ÉLECTRICITÉ : Calcul mécanique des lignes électriques dans le cas de longues portées en forte pente

LA HOUILLE BLANCHE

É L E C T R I C I T É

Calcul mécanique des lignes électriques dans le cas de longues portées en forte pente

Tout câble en équilibre constitue un segment de chaînette ; mais, quand les points d'attache sont à des niveaux différents, les déformations résultant des changements de température, du vent, du givre, ne sont plus symétriques, comme elles le sont dans le cas des portées horizontales. On cherche néan­

moins généralement, au moyen de diverses approximations, à donner aux formules d'équilibre des portées inclinées, une forme semblable à celles des câbles tendus entre deux points d'attache au même niveau ; on peut ainsi utiliser les abaques établis pour ces dernières. Mais, dans les cas où une plus grande préci­

sion est nécessaire, l'exactitude primant alors la rapidité, il est utile de disposer de méthodes de calcul plus rigoureuses.

Le but du présent article est de comparer entre eux les degrés d'exactitude des abaques cl des calculs.

I. - — E T U D E S T H É O R I Q U E S P R É L I M I N A I R E S

A v a n t d ' e x a m i n e r les m é t h o d e s employées dans la pratique»

il a paru nécessaire d'analyser t o u t d'abord la question avec une rigueur m a t h é m a t i q u e ; si, par la suite, les formules ainsi obte­

nues sont reconnues inemployables industriellement, elles per­

mettront t o u t au moins de d é t e r m i n e r éventuellement des points de repère d ' u n e précision absolue d o n n a n t une base solide pour l'évaluation du degré de précision réalisé dans les t a b l e a u x de pose.

T

Appelons П la force (poids et surcharge p r o d u i t e p a r le v e n t ou le givre) agissant sur l'unité de longueur du câble. Il est à noter que la tension n ' é t a n t pas la m ê m e t o u t le long du câble, l'allongement n ' e s t p a s uniforme ; le poids par unité de longueur n'est donc pas c o n s t a n t dans un câble sous tension ; la courbe d'équilibre réelle n ' e s t pas, p a r suite, une chaînette parfaite.

Nous raisonnerons c e p e n d a n t sur une courbe géométrique dont le 11 c o n s t a n t sera la m o v e n n e des 1 1 ' v a r i a n t d'un poinb à

„ S l l ' d Z l'autre du c â b l ç ; en d ' a u t r e s termes, 11 — — - — , en appe­

lant l la l o n g u e u r de l'arc réel. P é t a n t la force totale externe, on a bien,ainsi, P = 111.

Le module de c e t t e chaînette, est : T⁰ '"' - П

E R R A T U M

Page 52, renvoi (2), lire :

5-2 X — I SX 71

L SX

2 I ^{2 /}

Page 53, 4»>« alinéa de la colonne de droite, lire : y_t _ Al — a et non Z, — A — a Page 54, formule 8 '<* le dénominateur est T; et non TJ.

Les formules suivantes sont connues : D )

(2) ^{m m}

m . cos h — m

•• m sin h —

/77

On sait que, en a p p e l a n t t la tension au p o i n t x, on a :

Y = i

II

Y est l'ordonnée p a r r a p p o r t à un axe horizontal placé à une distance m au-dessous de o.

I x est la longueur de l'arc compris e n t r e o e t le p o i n t d ' a b ­ scisse x.

1 . Longueur de l'arc de chaînette. ^;— On a appelé p r é c é d e m m e n t l la longueur de l'arc réel. C'est aussi la longueur de la c h a î n e t t e , en p r e n a n t pour force t o t a l e P = n Z.

Les équations précédentes d o n n e n t :

Y ,

—

7?7

l, = 777 SILL h —

1 m

Yc, = m cos h —

777

Z^a = m sm /г —

777

Donc, puisque Z = l^x -f- L et H = Y² — Y^x. /2 ^{= m}s fsin 2 h El _|_ ^Si n 2 ^л Ti _|_ 2 ^Siⁿ h 'El ^Si n h ^

V /71 77? 777 /77

H² = m- cos ² h - i + cos ¹ h

\ m m R e t r a n c h o n s n o m b r e à n o m b r e :

2 cos h — cos h ^{Х з}

777 / 7 7 /

l- — H²

7??² ~ ~

c'est-à-dire Г- — H²

1 1 + 2 ( SILI h — SILL /7 S _[_ cos h 'li cos Л — , ' 777 77? /77 /71 /

/77-

2 Г _ \ + cos Л - Sl± 3 " | = 2 . 2 . s i n²h P a g e 55, 2">" alinéa de « Recherche des valeurs . . .

« J'essaye ; d'autre part la formule (8) d o n n e A'⁵ = 0,976

lire

Comme 244,008 + 2,0976 = 245,9b0, c'est que 21-6 est trop fort Page 56, « .l'essaye alors ï⁵ = 3>>27 », la 3"^ l i g n e de ce paragra­

phe est : « J'essaye donc 3^k28 pour laquelle, et n o n par l a q u e l l e . P a g e 56, colonne de g a u c h e , au bas, lire :

- R ... . , . n R

2 h (2

L

t)

L

84

d'où

•i m ^a- s i n 2 h ^{+ Xp}

4 m + H² 2 [ ;n sin

+ н«

L a p a r t i e e n t r e p a r e n t h è s e s est le double de la longueur de Гага, / x d ' u n ppjnt d'abscisse d, d'od :

(3) Z* = ( 2 /^d) » + H '

Cette r e m a r q u e r a m è n e l ' é t u d e de la v a r i a t i o n de la longueur d ' u n e portée en p e n t e à l ' é t u d e de la v a r i a t i o n de la longueur de la portée horizontale de m ô m e module d o n t la distance des points d ' a t t a c h e serait la projection horizontale de celle de la p o r t é e en p e n t e .

2, Longueur du câble libre (l^Q) c'est-à-dire en s u p p o s a n t que tpute tension d i s p a r a î t sans c h a n g e m e n t de t e m p é r a t u r e ,

Soit t la tension en u n p o i n t quelconque de la c h a î n e t t e con­

sidérée, dl⁰ la longueur de la n^me p a r t i e d u câble libre, à la m ô m e t e m p é r a t u r e , л é t a n t pris assez g r a n d p o u r q u e dl⁰ puisse ê t r e considéré comme u n infiniment p e t i t .

P a r suite de la tension /, d l⁰ est devenue :

(4) ds = d Z⁰ (1 + 1 0

L a force externe agissant sur d s est П d s.

Soit Y^g l'ordonnée d u centre de g r a v i t é d u câble en équilibre j Y„ est défini p a r l ' é q u a t i o n connue d u centre de g r a v i t é d ' u n corps quelconque ;

(3)

c'est-à-dire

donc :

( 5 ^{6 / s})

P Y , = Y . П ds

П Z Y „ = П Yds

v .

Xä

fy ds

— X,

Considérons u n arc élémentaire d s défini p a r l ' é q u a t i o n (4) ; imaginons q u e les conditions extérieures (vent, t e m p é r a t u r e , givre) r e s t a n t les m ê m e s , nous fassions décroître progressive­

m e n t la tension d u câble ; la tension t de l'élément ds d i m i n u e r a mais la force e x t e r n e fl d s agissant sur cet élément r e s t e r a inva­

riable, de m ê m e , donc, aussi, la force externe t o t a l e P . Q u a n t t sera devenu n u l , l'élément d s s e r a redevenu ce qu'il é t a i t a v a n t d ' ê t r e soumis à t, c'est-à-dire d Z⁰ ; c o m m e on a v a i t choisi

u n

il s u p p o r t e r a le n^me p a r t i e de la force e x t e r n e t o t a l e p^; on v i e n t de voir, d ' a u t r e p a r t , que la force i n t e r n e agissant sur ce m ê m e élément n ' a p a s v a r i é p e n d a n t q u e t d i m i n u a i t ; dope :

P

- = Uds n

alors, voir (5) :

x2 X,

P Y^g = Jy ,l\ds, est aussi égal à

— x , — x ,

c'estrà-dire q u e :

Mais, p a r suite de la définition d e d Z⁰,

Us

/ л ~ ~ П

donc :

s*

(6)

— x ,

D ' a u t r e p a r t , l ' é q u a t i o n (4) intégrée d e v i e n t / ~* z⁰ + x f tdi^ti

— x ,

R e m p l a ç a n t t p a r sa v a l e u r II Y :

Z ^ Z⁰ + X I I JY dl,

1= l^ar \ -f-

л Ц y ^{Y ~}

p'est-à-dire

e'est-à-dire, v u (6) .*

Z = Z⁰ (1 - j - X П Yg ) ou bien, p a r suite de (5 bis) :

c o m m e Il Y = t

l = l⁰

(i

x4

j

Xj

z

L e deuxième t e r m e de la p a r e n t h è s e e s t la tension moyenne

tds

(?)

Z = Z⁰

(1

ds e.st la longueur d'un arc infiniment petit du câble, en équi*

libre ; elle est donc aussi la longueur d'un arc infiniment petit de îa chaînette représentée par les équations (1) at (2) ;

d s = d. Ix — cos h — . d x m c o m m e

on a donc

t = I l Y = 1 1 . m . cos h m

t . ds = N . m . cos * Л - . dx m donc

m Mais :

U HOUÎLLË BLANCrífí

Donc

/ c o s¹ h — d x— \ x-\- 7T sm h — ) = ./ m 2 \ ' 2 m)

2 Z est donnée par l'équation (3), l'expression complète de T^D est donc :

T^m^ =

x,

m 2 a,

sm h —-' + ( sin /i ^ - 2 + sin

2 2 \ m ' m

par conséquent, p u i s q u e x¡_ + x^% = 2 d, voir (l'ig. 1) I I , m I N , . m / . , 2 a;» . , ^; 2

V

d \² 2 m s i n / î - ) + 1 1 ^

m

2 d - j - m s i n /¡ 2 d

( 9 ) '

1 +

2

( m s i n A — I

T^m = . *\ ' ^m f 2 d -f ^ (sin /i ——² + sin h —)1 [ ou bien, en e m p l o y a n t les n o t a t i o n s de la formule (2) :

wL^ + M' + w ) ]

En c o n s e r v a n t les n o t a t i o n s de l'équation (2), cette équation- ci s'écrit, en o b s e r v a n t que l l^m = T⁰ :

(7 T^m = ^ | 2 d+ i ( / . ,^{X i} + /^{J X |}) ]

. 2 x . x , . OU Ciicofe, e n é c r i v a n t -— s o u s la f o r m e — e t a p p e l a n t Zx l a

itx m

1

m l o n g u e u r d e l ' a r c d ' a b e i s s e x d a n s l a c h a î n e t t e d e m o d u l e — :

{Ve r} T^NI= J 5 [ 2 d + | ( Z '^Xs + Z ' , , ) ]

i'^x -|- l' est la longueur de l'arc découpé par les verticales m

x» et .Tj d a n s la c h a î n e t t e de module — . Cette r e m a r q u e sera utilisée u l t é r i e u r e m e n t .

Reprenons l'expression de T^m en fonction des sinus h y p e r b o - liques ; on a ;

sin h + s i n h - — = 2 s i n h

m m m

x\ ~f" á'o ^ j X%_ - Xi

c o s or

. .l'a X*

COS II — ! + 2 sin ² h -~ k— — m 2 m D'autre p a r t :

H = Y^s — Y , = m ^

et :

I , . a;,

cos /i -=• — cos h —

m m

.^cos /, 'Ü ⁼ H siu ft ^si^{n ft} m 2 m a ni

= 2 sin /¡ — sin h —¹

m 2 m cos Zi

m

donc

d'où

(»)

H = 2 «i sin Z¡ — sin Z¡ -^s-.,—•—

m ^V) m

I I . , — x, ⁿ . , d sm h — ^ = 2 m sm Zi —

m m

comme on a o b t e n u p r é c é d e m m e n t

L M = T T

L

J

il résulte de (8) ci-dessus, en r e m p l a ç a n t II m par T⁰ e t x^l + a;, par 2 d :

T

AM — ^

=, ^ü> d /

2 d + m sin Zî / 1 + m ¹

I I^A 2 n i² s i n² h —

m

valeurs qui portées dans la 2^e é q u a t i o n (7) d o n n e n t e x a c t e m e n t la longueur Z⁰ du câble libre, à la t e m p é r a t u r e 0 de l'équilibre considéré.

Ces équations p e r m e t t e n t donc de calculer Z⁰ à la t e m p é r a t u r e 0 si l'on connaît, pouf cette t e m p é r a t u r e , la tension h o r i z o n t a l e T⁰ qui r é s u l t e r a i t d ' u n e charge quelconque LT.

3. Variation de la température. — Si la t e m p é r a t u r e passe de 6 à 6', la nouvelle courbe d'équilibre fera p a r t i e d ' u n e c h a î n e t t e de module m ; ce segment de c h a î n e t t e a u r a une longueur Z' donnée par l ' é q u a t i o n :

(7/er) Z' = Z'0 (1 + AT'm)

formule dans laquelle Z'„ est la longueur p r i m i t i v e /„, du câble libre à la t e m p é r a t u r e 6, p o r t é e à la t e m p é r a t u r e f/ sans inter- v e n t i o n d ' a u c u n e tension ; donc :

N O ) F . = I . T Î F Î la formule (9) donne :

CI 0 W S) R M s = Î | [ 2 d + h ^D ( L + ^ ) ] l ' é q u a t i o n (3) donne :

(3**) Z'² = (2 Z'^d)² + H²

Les é q u a t i o n s ci-dessus, 7 ter, 10 10 bis, 3 bis, d é t e r m i n e n t e x a c t e m e n t les nouvelles valeurs du m o d u l e

T'

m' = d'où T '⁰.

4. Variation de la charge. — Si la surcharge a v a r i é ou a dis- p a r u , fi est devenu r., dès lors les formules ci-dessus au lieu d'être exprimées en fonction de T'o et m', le s o n t en fonction d é

{

la nouvelle tension horizontale Z'⁰ et du m o d u l e -° ; elles don- n e n t donc la tension horizontale du nouvel équilibre.

5. Tension au point d'attache le plus haut. — E l l e é t a i t du d é b u t , T = T„ + II Y , ;

(1) donne Y² en fonction de x² ; la valeur de a;² résulte d e l ' é q u a t i o n (8), car :

x² - ^{X i} = x^s — (2 d - z j ) = 2 (ar^a + d)

Ce calcul exigera l'usage d ' u n e t a b l e de fonctions h y p e r b o l i q u e s . Après la v a r i a t i o n d e la c h a r g e e t à la t e m p é r a t u r e 6' la t e n - sion a u p o i n t le plus h a u t est d e v e n u e :

T ' = T Z '0 + * Y '2

le n o u v e a u m o d u l e m = — é t a n t d é t e r m i n é c o m m e on l'a i n d i - q u e au § 4, l ' é q u a t i o n (8) d o n n e x '^{2 )} l ' é q u a t i o n (1) d o n n e Y"'^a.

6. Utilisation des formules précédentes. — L e problème le plus général qui se pdse e s t le s u i v a n t : « Quelle d e v r a ê t r e la tension au p o i n t d ' a t t a c h e supérieur lors de la pose pour que le câble ne soit j a m a i s soumis à des tensions d é p a s s a n t la tension m a x i m a T r é s u l t a n t d u t a u x de sécurité imposé. »

L A H O U I L L E B L A N C H E

Soient tt t l ' . . . . I ï^r . . . . Fi»

les charges m a x i m u m a u x t e m p é r a t u r e s : 0 tí' OP . . . . 0"

On calculera les tensions horizontales correspondantes T„ ^{T '}

il T :

•Il 0 . . . . o

d o n n a n t la tension T au p o i n t le plus h a u t , de la m a n i è r e sui­

v a n t e :

r-£^V

I I P

Y , = ~ = '«p cos h ^ Y, — H = m⁰ cos h -^J-

llp ^P m^p

E n les r e t r a n c h a n t m e m b r e et m e m b r e , on obtient, voir (8) :

sm h H

2 m,, sin h — nip E n les a j o u t a n t m e m b r e à m e m b r e , il v i e n t :

I I P

H = m^p I cos h — - j - cos h — m^r L e deuxième facteur du second m e m b r e p e u t s'écrire :

t i X, -f- Xq X⁰ ."Tj

2 cos « —S cos h ——- 2 / 7 i^p 2 /«,, donc :

9

eos 7l

2 m„

T_ H

2 mⁿ cos /i —

1 ' " p P a r conséquent :

.V:-, X ,

c o s² h Sill 2 /!

2 mⁿ

№

T

2 ~ H

2 ITlp COS 7l

( 2 mⁿ sin h —

v 1 m,

d'où

sin ² 7¡ T² T

• ⁴ p - ^{U I} i L

H

( eos /i — — s i n î A - ] =

m,. m,.

= ( 2 m^p eos /i — sin /t. ^

c'est-à-dire, en p o s a n t :

Z - = s i n ² /i

(11 ) 4 V Z² + ( \ I m^{p 2} — 4 J - 4 H J ^ J Z - H² = O Au moyen d ' u n e table hyperbolique, c e t t e équation permet­

t r a i t de calculer m^p par a p p r o x i m a t i o n s successives.

Mais comme il n'est pas nécessaire que la tension au point le plus h a u t a i t e x a c t e m e n t la valeur T, le faux de sécurité per­

m e t t a n t un p e t i t écart, il sera inutile d'avoir recours à cette é q u a t i o n , m^p p o u v a n t être d é t e r m i n é par une construction g r a p h i q u e t r è s simple (*) basée sur la similitude de t o u t e s les

cliaînettes, On appréciera la différence qui en résultera pour le faux de sécurité, en calculant, c o m m e il a été i n d i q u é au para­

g r a p h e 5, la tension réelle au p o i n t le plus h a u t .

A y a n t o b t e n u ainsi les valeurs m, m'..., m^p..., mⁿ corres­

p o n d a n t à des t a u x de sécurité t r è s voisins de celui imposé, on en déduira, au moyen des é q u a t i o n s (7), (9), (10), les lon­

gueurs qui en résulteraient pour le câble libre à u n e seule tem­

p é r a t u r e de comparaison (-).

L a longueur qu'il convient d ' a d o p t e r p o u r ne j a m a i s dépasser le t a u x de sécurité, est é v i d e m m e n t la plus g r a n d e des valeurs ainsi calculées.

Appelons L⁰ c e t t e longueur, t.^v le poids u n i t a i r e du câble à la t e m p é r a t u r e (-) et P⁰ le poids t o t a l de L⁰, on a :

P^{( )} = : 11 . L„

Remarque. — Le poids p a r unité de longueur du câble en équi­

libre, sans surcharge, est légèrement différent de u⁰. (Voir la r e m a r q u e du d é b u t de ce c h a p i t r e sur le r. moyen). Quand la t e m p é r a t u r e est 0 et la tension m o y e n n e T^m, la l o n g u e u r est, en effet, devenue :

l = L„

1 - f a H R I ' O + A T , „ )

le poids moyen u n i t a i r e est donc devenu :

" ^— /

On a l ' h a b i t u d e de prendre pour n la m ê m e valeur que celle de n⁰; en t o u t e rigueur, il faudra vérifier, à posteriori, que la vraie valeur de n r é s u l t a n t de 0 et T^m r e d o n n e bien, pour chaque t e m p é r a t u r e de pose, le T⁰ calculé au m o y e n de L⁰ comme il a été i n d i q u é au p a r a g r a p h e 4.

7. Possibilité de déterminer un tableau de pose mathématiquement exact. — L⁰ e t n é t a n t c o n n u s , on essaiera une série de valeurs de t'⁰. P o u r chacune : l ' é q u a t i o n (9) donne T^m, l est donnée p a r l ' é q u a t i o n (3), de l ' é q u a t i o n (7) on t i r e l'⁰ qui portée dans (10) d o n n e 0' de pose c o r r e s p o n d a n t à ce t'⁰. On a v u au paragraphe 5 c o m m e n t on déduira T' de t'⁰.

On a donc, finalement, T' en fonction de la t e m p é r a t u r e de pose.

Remarque. — Le seul p a r a m è t r e exigeant un calcul assez long est T^m (équation (9). Mais cette g r a n d e u r é t a n t multipliée par '/.

qui est de l'ordre de 1 0 " ⁴, on p e u t tolérer, sur sa valeur réelle, u n e certaine erreur. La formule ci-après, est suffisamment appro­

chée.

(!)*») T ^m^ ^ - [ 2 c Z + Z^{2 d}( l +

•(h)*)]

D ' a u t r e p a r t

h d = 2 d - f es d

Les q u a n t i t é s ti a ^c^ =a ^{s o n}f c des différences premières dont la valeur est assez faible ; on pourra donc les regarder comme constantes t a n t que /'„ ne sortira pas d ' u n e certaine zone, en considérant, c o m m e p r é c é d e m m e n t , que l'erreur commise est multipliée par 10 ^{— 4}.

J e m o n t r e r a i d'ailleurs, u l t é r i e u r e m e n t , c o m m e n t , par la m é t h o d e de similitude, on p e u t o b t e n i r u n e t a b l e de valeurs pro­

portionnelles à ç^d, ^d ; il suffit alors de puiser dans celle t a b l e , et de multiplier p a r le r a p p o r t de similitude.

(!) Voir La Houille Blanche de Novembre-Décembre 1925, p . 176. (A suivre). N . D E W U L F .