Conjugu´ ee d’une fonction convexe

DM de MP2

Devoir non surveill´ e

Conjugu´ ee d’une fonction convexe

Dans ce probl`eme, on noteN l’ensemble des fonctionsf :R+→Rv´erifiant : 1. f(0) = 0.

2. f >0 (i.e. ∀x∈R+, f(x)>0).

3. f est deux fois d´erivable surR+. 4. f est convexe (i.e. f⁰⁰>0).

On notera (l´eg`erement abusivement) Id la fonctionx∈R+7→x∈R.

Partie A – G´ en´ eralit´ e sur les fonctions convexes

A.1Soithune fonction convexe continue deR+dansR.

a Montrer que sihs’annule deux fois (au moins), alors elle est minor´ee.

bMontrer quehest d´ecroissante ou tend vers +∞en +∞. En d´eduire quehadmet une limite (´eventuelle- ment infinie) en +∞.

A.2Soitf ∈ N non constante, etg :x∈R^∗+7→ ^f(x)_x .

a V´erifier queg etf⁰ admettent en +∞des limitesl et l⁰, finies ou valant +∞.

bMontrer que pour toutx∈R^∗+ :

g(x)6f⁰(x)62g(2x)−g(x).

En d´eduire quel=l⁰.

cMontrer que si g tend versa∈R^∗+ en +∞, alors f−aId tend vers un r´eelb ou vers −∞en +∞, et pr´eciser dans le premier cas les positions relatives de la courbe repr´esentative def et de son asymptote.

Partie B – Conjugu´ ee d’une fonction

Soitf :R+→Rune fonction (non n´ecessairement ´el´ement deN). On d´efinit, pourm∈R+, la fonction hm : R+ → R

x 7→ mx−f(x) et on note

M(f) ={m∈R+, h_mest major´ee sur R+} B.1

a Montrer que sim∈M(f), alors [0, m]⊂M(f).

bEn d´eduire queM(f) est un intervalle.

D´esormais, lorsquem∈M(f), on note f^∗(m) = sup

x∈R+

h_m(x) = sup

x∈R+

(mx−f(x)).

La fonctionf^∗ ainsi d´efinie surM(f) est appel´ee lafonction conjugu´ee def. B.2On suppose iciM(f) non vide.

a Montrer que

∀x∈R+,∀m∈M(f), f(x) +f^∗(m)>mx.

bOn suppose dans cette question queM(f) =R+. Montrer queM(f^∗) =R+, et que pour toutm∈R+: (f^∗)^∗(m)6f(m).

B.3On consid`ere deux fonctionsf etg deR+ dansRtelles quef 6g. Montrer queM(f)⊂M(g) et que

∀m∈M(f), g^∗(m)6f^∗(m).

B.4On cherche ici `a d´eterminer les fonctions f telle queM(f) =R+ etf =f^∗. a Etablir que la fonction´ k :x∈R+7→ ^x₂² v´erifie cette propri´et´e.

bSoitf une telle fonction. Montrer quef >k, puis quef =k. Conclure.

Partie C – Conjugu´ ee d’une fonction convexe

f d´esigne ici une fonction non constante appartenant `a N, etgest la fonctionx∈R^∗+ 7→^f(x)_x . C.1

a Montrer queg(R^∗+) est inclus dansM(f).

bD´eterminer M(f) :

i Lorsquef⁰ tend vers +∞en +∞.

ii Lorque le graphe def admet une asymptote en +∞.

iii Lorsque le graphe def admet une branche parabolique en +∞.

cDonner des exemples explicites d’´el´ements deN v´erifiant ces trois situations possibles.

C.2On suppose queM(f) =R+.

a Montrer que pour toutx0∈R+,f⁰(x0)>0, et que :

f^∗(f⁰(x0)) =x0f⁰(x0)−f(x0).

bMontrer quef = (f^∗)^∗.

C.3Dans cette question,f⁰(0) = 0 et il existe un r´eel strictement positifctel que f⁰⁰>c.

a Montrer quef⁰ r´ealise une bijection deR+ sur lui-mˆeme, de bijection r´eciproque d´erivable.

bMontrer queM(f) =R+, quef^∗ est d´erivable, et que pour tout x∈R+, (f^∗)⁰(f⁰(x)) =x.