Discret / continu (DV, 23/6/2015)
1) On a deux op´erateurs repr´esent´es par des matrices, l’une contenant des r´eels, l’autre contenant des entiers, sur lesquels se focaliser :
- La matrice de r´eels contient des ´el´ements de la forme cos2πno
b ; par exemple, la matrice associ´ee `a n= 10 est :
cos20π11 0 0 0 0 0 0 0 0 0
cos20π12 cos20π22 0 0 0 0 0 0 0 0
cos20π13 cos20π23 cos20π33 0 0 0 0 0 0 0
cos20π14 cos20π24 cos20π34 cos20π44 0 0 0 0 0 0 cos20π15 cos20π25 cos20π35 cos20π45 cos20π55 0 0 0 0 0 cos20π16 cos20π26 cos20π36 cos20π46 cos20π56 cos20π66 0 0 0 0 cos20π17 cos20π27 cos20π37 cos20π47 cos20π57 cos20π67 cos20π77 0 0 0 cos20π18 cos20π28 cos20π38 cos20π48 cos20π58 cos20π68 cos20π78 cos20π88 0 0 cos20π19 cos20π29 cos20π39 cos20π49 cos20π59 cos20π69 cos20π79 cos20π89 cos20π99 0 cos20π110 cos20π210 cos20π310 cos20π410 cos20π510 cos20π610 cos20π710 cos20π810 cos20π910 cos20π1010
La somme des ´el´ements de la lignedvautdsid|net vaut 0 sinon.
La somme de tous les ´el´ements de la matrice vaut doncσ(n), qui est la somme des diviseurs den.
- La matrice d’entiers contient des ´el´ements Mn,d=dsid|net 0 sinon.
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 3 0 0 0 0 0 0 0
1 2 0 4 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 5 0 0 0 0 0
1 2 3 0 0 6 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 7 0 0 0
1 2 0 4 0 0 0 8 0 0
1 0 3 0 0 0 0 0 9 0
1 2 0 0 5 0 0 0 0 10
Ici,σ(n) est la somme des ´el´ements de la derni`ere ligne.
On est plutˆot port´ee, depuis le d´ebut de ces recherches, vers une mod´elisation discr`ete, bool´eenne (binaire)
´etant l’id´eale.
2) Comme cela est visible sur les tables de v´erit´e logique de ∧et ∨ci-dessous, si on pose que 1 + 1 = 1, min´equivaudrait `a∧et + ´equivaudrait `a ∨.
∧ 0 1
0 0 0
1 0 1
∨ 0 1
0 0 1
1 1 1
1
