LA CROISSANCE D’UNE CULTURE DE BACTERIES.
DU DISCRET AU CONTINU On étudie la croissance d’une culture de bactéries.
L’instant t = 0 est le lundi 4 septembre 2014 à 0 heures et on étudie le nombre B(t) de bactéries (en milliers) à l’instant t (en heures).
On a observé les faits suivants :
Il y avait à 0h le 4 septembre 1000 bactéries.
Le nombre de bactéries double chaque heure.
Sur des intervalles de temps de même durée, le coefficient multiplicateur de la population est le même.
On parle de croissance exponentielle.
PARTIE A : Un modèle discret.
Compléter le tableau ci-dessous au fur et à mesure des questions :
1. Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de bactéries après n heures. Ainsi un=B(n).
a. Donner u0 et calculer u1 et u2. Interpréter.
b. Quelle est la nature de la suite ( )un ? Exprimer un en fonction de n.
c. Pour n = 0 ; 1 ; 2 ;3 et 4, compléter le tableau.
2. Calculer B(1) et B(2). Interpréter. Compléter les colonnes correspondantes dans le tableau.
3. On souhaite connaître le nombre de bactéries le 4 septembre à 0h30.
a. Par quel coefficient est multiplié le nombre de bactéries en une demi-heure ? b. En déduire B(0,5) et interpréter.
c. Calculer nombre de bactéries après 30 minutes ; 1 heure ; 1h30 ; 2h ; ...;4h et compléter les colonnes correspondantes dans le tableau.
d. Calculer le nombre de bactéries le 3 septembre 23h30, 23h15 et compléter les colonnes correspondantes dans le tableau.
4.
a. Quel est le coefficient multiplicateur de la population toutes les 15 minutes ? e. En déduire le nombre de bactéries à 1h15, 1h45 et 2h15. Compléter les colonnes correspondantes dans le tableau.
f. Calculer le nombre de bactéries le 3 septembre à 23h15 et compléter les colonnes correspondantes dans le tableau.
5. Avec le logiciel Géogébra, on place les points de coordonnées (x;B(x)) obtenus dans le tableau dans un repère. Que voit-on apparaître dans le repère ?
PARTIE B : Un modèle continu.
Il semble donc naturel d’envisager une fonction N continue qui à t associe le nombre de bactéries (en milliers) après t heures.
1. Pour les nombres entiers, on a N(t) = 2t. La calculatrice permet de calculer 2t pour tout réel t. On fait afficher le tableau de valeur de cette fonction entre 2 et 4 avec un pas de 0,25 puis la courbe de la fonction N. Comparer avec les résultats obtenus précédemment.
On admet l’existence de la fonction N définie sur Ë. Elle permet de décrire l’évolution de la population de bactéries sur tout intervalle de temps.
Nombre d’heures 2 1 0,75 0,5 0 0,5 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 3 3,5 4 Nombre de bactéries
Graphique obtenu à l’écran :
PARTIE C : Et la dérivée ?
A l’aide de la calculatrice, on a obtenu les tableaux ci-dessous (valeurs arrondies au centième).
Commenter.
Avec f1(x)=2x :
x 2 1 0 0,5 1 10 10,5
f(x) 0,25 0,5 1 1,41 2 1024 1448,15
f ′(x) 0,17 0,35 0,69 0,98 1,39 709,78 1003,78 f′(x)
f(x)
0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69
Avec f2(x)=3x :
x 2 1 0 0,5 1 10 10,5
f(x) 0,11 0,33 1 1,73 3 59049 102275,87
f ′(x) 0,12 0,37 1,10 1,90 3,30 64871,96 112361,53 f′(x)
f(x)
1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1
Avec f3(x)=0,5x :
x 2 1 0 0,5 1 10 10,5
f(x) 4 2 1 0,71 0,5 0 0
f ′(x) 2,77 1,39 0,69 0,49 0,35 0 0 f′(x)
f(x)
0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69
Avec f4 (x)=ex (shift ln sur la calculatrice) :
x 2 1 0 0,5 1 10 10,5
f(x) 0,14 0,37 1 1,65 2,72 22026,47 36315,50
f ′(x) 0,14 0,37 1 1,65 2,72 22026,47 36315,50 f′(x)
f(x)
1 1 1 1 1 1 1
Aide pour afficher f′(a) où a est un réel et f une fonction : Sur Casio : pour afficher f′(a) où a est un réel et f une fonction :
Aller dans SetUp avec les touches Shift MENU, se placer sur la ligne derivative puis sélectionner On avec la touche F1. Sortir du SetUp avec la touche EXIT.
Construire le tableau de valeurs comme d’habitude. Dans la deuxième colonne, apparaît le nombre dérivé.
Sur TI : Pour calculer par exemple f ′(1) où f est définie par f(x)=2x : taper nDeriv(2^X,X,1) nDeriv s’obtient avec les touches Math puis 8 : nDeriv( La virgule s’obtient avec la touche , .
