13-Les ondes électromagnétiques

(1)

Version 2022 13-Les ondes électromagnétiques1

1.

_a)

En mettant nos doigts de la main droite dans la direction du champ électrique et en les pliant dans la direction du champ magnétique, notre pouce pointe vers la droite.

Cette onde va donc vers la droite.

b) On trouve le champ magnétique avec

8 7

45 3 10

1,5 10

V m

m s

E Bc B

B ⁻ T

=

= ⋅ ×

= ×

Selon la règle de la main droite, ce champ sort de la page.

2.

_{a) On a}

8

7

3 10 / 50

1,885 10

m

s rad

m rad

s

c k ω

ω π ω

=

× =

= ×

b) Puisqu’on a un signe positif devant ω, cette onde va vers les x négatifs.

c) Si l’onde va vers les x négatifs, on doit avoir l’onde suivante à t = 0 s.

kids.britannica.com/comptons/art-167420/The-movement-of-a-light-wave-or-of-any-electromagnetic

(2)

Version 2022 13-Les ondes électromagnétiques 2 On voit que le champ magnétique a une composante en y. On a alors

( )

7 8

50 2

8 7

50 2

12 sin 1,885 10 3 10

4 10 sin 1,885 10

z y

V rad rad m

y

m m s s

rad rad

y m s

E B c

x t B

B T x t

π π

−

=

⋅ ⋅ + × ⋅ + = ⋅ ×

= × ⋅ ⋅ + × ⋅ +

Note : Si l’onde allait vers les x positifs, le champ magnétique à x = 0 aurait été vers les y négatifs alors que le champ électrique aurait été vers les z positifs. Il y aurait alors eu un signe négatif de plus. On aurait alors eu

( )

7 8

50 2

8 7

50 2

12 sin 1,885 10 3 10

4 10 sin 1,885 10

z y

V rad rad m

y

m m s s

rad rad

y m s

E B c

x t B

B T x t

π π

−

= −

⋅ ⋅ − × ⋅ + = − ⋅ ×

= − × ⋅ ⋅ − × ⋅ +

On aurait pu ensuite camoufler ce signe négatif dans le déphasage pour obtenir

( )

8 7

50 2

4 10 sin ^rad 1,885 10 ^rad

y m s

B = × ⁻ T⋅ ^π ⋅ −x × ⋅ −t ^π

3.

L’amplitude du champ électrique se trouve avec

2 0 0

8 12 2

0

²

0

1 2

1000 1 3 10 8,854 10 2

867,7

W m F

m s m

V m

I c E

E E

ε

−

=

= ⋅ × ⋅ × ⋅

= L’amplitude du champ magnétique est

0 0

8 0

6 0

867,7 3 10 2,892 10

V m

m s

E B c B

B ⁻ T

=

= ⋅ ×

= ×

4.

L’intensité est

(3)

Version 2022 13-Les ondes électromagnétiques 3

( )

2 0 0

8 12 2

²

1 2

1 3 10 8,854 10 25 2

0,83

m F V

s m m

W m

I c Eε

−

=

= ⋅ × ⋅ × ⋅

= La puissance captée est

0,83 ² 30 ² 24,9

captée capteur W m

P IA

m W

=

= ⋅

= L’énergie captée en 5 minutes est alors

24,9 300 7471 E P t

W s

J

= ∆

= ⋅

=

5.

L’intensité à 2000 m de distance est

( )

2

2 5

²

4 1000 4 2000 1,989 10 ^W_m I P

r W

m π

π

−

=

⋅

= ×

L’amplitude du champ électrique se trouve avec

2 0 0

5 8 12 2

0

²

0

1 2

1,989 10 1 3 10 8,854 10 2

0,1224

W m F

m s m

V m

I c E

E E

ε

− −

=

× = ⋅ × ⋅ × ⋅

= L’amplitude du champ magnétique est

(4)

0 0

8 0

10 0

0,1224 3 10 4,080 10

V m

m s

E B c B

B ⁻ T

=

= ⋅ ×

= ×

6.

a) À la limite, on a

2 10

² 2

5

4 10 50

4 1,995 10

199,5

W m

I P r

W r

r m

r km

π π

−

=

= ×

=

b) L’amplitude du champ électrique se trouve avec

2 0 0

10 8 12 2

² 0

4 0

1 2

10 1 3 10 8,854 10 2

2,744 10

W m F

m s m

V m

I c E

E E

ε

− −

−

=

= ⋅ × ⋅ × ⋅

= ×

L’amplitude du champ magnétique est

0 0

4 8

0 13 0

2,744 10 3 10 9,147 10

V m

m s

E B c B

B T

−

=

× = ⋅ ×

= ×

7.

L’intensité est

( )

2 0 0

8 7 2

7

²

1 2

3 10 1 10

1

2 4 10

1,194

m s

H m W

m

I cB

T µ

π

−

=

× ⋅ ×

= ⋅

×

= On a alors

(5)

( )

2

² 2

4 1,194

4 5

375

W m

I P r

P m

P W

π π

=

⋅

=

8.

La puissance captée par le panneau est

0, 2 1350^W_m² _capteur

P= ⋅ ⋅A

Le 0,2 représente que 20 % de la puissance de la lumière reçue.

L’énergie reçue pendant toute l’année est donc

2

² 9

0, 2 1350 365, 25 12 60 60 4, 26 10

W jour h min h

capteur

m an jour h s

J

capteur m

E P t

A A

= ∆

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= × ⋅

Cette énergie captée doit être égale à l’énergie consommée, qui est de

12 6 19

5 10 3,6 10 _kWh^J 1,8 10

E= × kWh⋅ × = × J

On a donc

2

19 9

1,8 10× J =4, 26 10× _m^J ⋅A_capteur L’aire des panneaux est alors

4, 225 109 ²

capteur

A = × m

Avec un capteur carré, la longueur d’un côté d’un capteur est

2

9 2

4, 225 10 ² 65

capteur

A l

m l l km

=

× =

=

9.

La pression est

(6)

² 8

6

1350 3 10 4,5 10

W m m

s

P I c

− Pa

=

= ×

La force est donc

6 4

4,5 10 50 ² 2, 25 10

F PA

Pa m N

−

=

= × ⋅

= ×

10.

La force de gravitation sur la plaque est

0,001 9,8 0,0098

N kg

F mg kg

N

=

= ⋅

=

Si on veut que la plaque lévite, la force de la pression de radiation doit être de 0,0098 N vers le haut. La pression de radiation doit être de

0, 0098 0, 008 ² 1, 225

F PA

N P m

P Pa

=

= ⋅

= L’intensité de la lumière doit donc être de

8 8

²

1, 225

3 10 3, 675 10

m s W m

P I c Pa I I

=

= ×

(C’est pas mal grand comme intensité… Ce serait l’intensité d’une ampoule de 462 milliards de W à 10 m de distance !)

11.

La pression est

(7)

² 8

5

6000 3 10 2 10

W m m s

P I c

− Pa

=

= ×

Cette pression s’exerce seulement là où le laser éclaire la plaque. Pour calculer la force, il faut donc prendre seulement l’aire de la région où le laser éclair la plaque.

( )

²

5 11

2 10 0,0005

1,571 10 F PA

Pa m

N

− π

−

=

= × ⋅ ⋅

= ×

On ne peut pas dire que c’est une grosse force…

12.

Commençons par trouver la force sur un grain de poussière. L’intensité de la lumière à une distance r du Soleil est

2

26 2 27 2

4

100 3,83 10 4 3, 048 10 I P

r

W r

W r π

π

=

⋅ ×

=

= ×

La pression de radiation est donc

27 2

8 19 2

3, 048 10 3 10 1, 016 10

m s

P I c

W r

N r

=

 × 

 

 

= ×

Si le grain a un rayon R, il agit comme un capteur circulaire de rayon R. La force sur le grain est donc de

(8)

19 2

2 19

2 2

1, 016 10 3,192 10 Frad PA

N R

r

N R r

π

=

= × ⋅

La force de gravitation sur le grain est

( )

2

2 4 3 3 2

11 ² 30 4 3

³ 3

2 24

3 2

6,674 10 2 10 2000 1,118 10

Soleil grain g

Soleil grain

Soleil

Nm kg kg m

N m

GM m

F r

GM Volume r

GM R

r

kg R

r r R

π ρ π

− π

=

× ⋅ × ⋅ ⋅

=

= × ⋅

Le grain est poussé à l’extérieur du système solaire si la force de poussée est supérieure à la force de gravitation. Donc si

24

19 2 3

2 2

19 24 1

5

1,118 10 3,192 10

3,192 10 1,118 10 2,854 10

N m

m

N R R

r r

R m R

−

×

× ⋅ > ⋅

× > × ⋅

× >

Ainsi, tous les grains de poussière dont le rayon était inférieur à 28,54 µm furent éliminés du système solaire par la pression de radiation.

13.

Dans un champ de 10⁶ V/m, l’accélération de l’électron est

(9)

19 6

31 17

²

1, 602 10 10 9,11 10 1, 758 10

V m

m s

a F m eE

m

C kg

−

=

× ⋅

= ×

La puissance émise est donc

( ) ( )

( )

2 2 3 0

2 2

17 19

²

12 8 3

19

6

1,758 10 1,602 10 6 8,854 10 3 10 1,761 10

m s

F m

m s

P a q c

C

W πε

π

−

=

× ⋅ ×

=

⋅ × ⋅ ×

= ×

Puisque l’électron accélère pendant 10 s, l’énergie perdue est

19 18

1, 761 10 10 1, 761 10

10,99 E Pt

W s

J eV

−

=

= × ⋅

= ×

=

14.

Intensité de l’onde est

2 2 2

2 3 2

0

sin 16 I a q

c R θ

= π ε

Comme on a une oscillation harmonique, l’accélération est

( )

2sin

a= −Aω ωt+φ L’intensité est donc

( )

2 4 2 2 2

2 3 2

0

sin sin

16

A t q

I c R

ω ω φ θ

π ε

= +

(10)

Version 2022 13-Les ondes électromagnétiques 10 Pour avoir la valeur moyenne de l’intensité sur une période, on prend la valeur moyenne de sin²(ωt+φ) sur un cycle, qui est ½. On a donc

2 4 2 2

2 3 2

0

1 sin

2 16

A q

I c R

ω θ

= ⋅ π ε

Dans cette formule, θ est l’angle entre la ditection de l’accélération (verticale ici) et l’endroit où on veut savoir l’intensité. Cette angle est donc de 60°.

Avec les valeurs, on a

( ) ( ) ⁽ ⁾

( ) ( )

6

2 2 4 2 2

10

3 2

2 12 8

3

²

0,001 0,01 sin 60

1

2 16 8,854 10 3 10 15 6,881 10

s

m F

m s

W m

m C

I

m

π

−

⋅ ⋅ ⋅ °

= ⋅

⋅ × ⋅ × ⋅

= ×

15.

Pendant le freinage, l’accélération de l’électron est

( )

( ) ( )

2 2

0 0

10 8 2

25

²

2

2 10 0 10

5 10

m s m s

a x x v v

a m

a

−

− = −

⋅ ⋅ = −

= − × La puissance émise est donc

( ) ( )

( )

2 2 3 0

2 2

25 19

²

12 8 3

2

6

5 10 1,602 10 6 8,854 10 3 10 1, 4238 10

m s

m F

m s

P a q c

C

W πε

π

−

=

× ⋅ ×

=

⋅ × ⋅ ×

= ×

La durée du freinage est

( )

0

8 25

² 18

0 10 5 10

2 10

m m

s s

v v at

t

t ⁻ s

= +

= + − × ⋅

= × L’énergie perdue est donc

(11)

2 18

20

1, 4238 10 2 10 2,848 10

0,1778 E Pt

W s

J eV

− −

−

=

= × ⋅ ×

= ×

=

16.

a) L’accélération est

( )

2

9 ² 19 2

31 11 2

22

²

9 10 1, 602 10 9,11 10 5, 29 10

9, 06 10

Nm C

m s

ma kqq r a kqq

mr a C

kg m

a

−

− −

=

× ⋅ ×

=

× ⋅ ×

= ×

b) L’énergie mécanique de l’électron sur son orbite est

2

1 2

2

k

e

E E U

E m v kZe r

= +

= −

Or, l’équation de la force centripète

2 2 e

m v kZe

= r

nous permet d’écrire l’énergie cinétique sous la forme suivante.

2 2

1

2 ^e 2

m v kZe

= r On a donc

(12)

2 2

2

2 2 E Ek U

kZe kZe

r r

kZe r

= +

= −

= − L’énergie est donc

( )

2

9 ² 19 2

²

11 18

2

9 10 1,602 10 2 5, 29 10 2,183 10

Nm C

E ke r

C m J

−

= −

× ⋅ ×

= − ⋅ ×

= − ×

c) La puissance est

( ) ( )

( )

2 2 3 0

2 2

22 19

²

12 8 3

8

6

9,06 10 1,602 10 6 8,854 10 3 10 4,674 10

m s

m F

m s

P a q c

C

W πε

π

−

=

× ⋅ ×

=

⋅ × ⋅ ×

= ×

d) On sait que

2 2 3

6 0

dE a e dt ^{= −} πε c Puisque l’accélération est

2 2

4 0

a ke mr

e πε mr

=

= On a

6

2 4 3 3 3

96 0

dE e

dt ^{= −}m r π ε c

(13)

Version 2022 13-Les ondes électromagnétiques 13 Puisque

2

0

2 8 E ke

r e πε r

= −

= − On a aussi

2

0 2

2 0

8 8 dE dE dr

dt dr dt

d e dr

dr r dt

e dr r dt πε πε

=

 

= − 

 

= En égalant nos deux dE/dt on a

2 6

2 2 4 3 3 3

0 0

4

2 2 2 2 3

0 2 4

2 2 2 3

0

3 4

2 3

0

8 96

12 12

3 3

e dr e

r dt m r c

dr e

dt m r c

r dr e dt

m c

r e t

m c cst

πε π ε

π ε π ε πε

= −

= − +

Comme à t = 0, le rayon est le rayon de Bohr a0, on a

3

0 0

3

a = +cst

Ainsi, le rayon est

3

3 4

0

2 2 2 3

0 3 3 4

0 2 2 2 3

0

3 12 3

4

a

r e t

m c

r a e t

m c

π ε π ε

= − +

= −

(14)

Version 2022 13-Les ondes électromagnétiques 14 Ainsi, le temps pour arriver à r = 10^-15 m est

( ) ( ) ( )

( ) ( )

³

19 4

3 3

15 11

2 2 3

31 2 12 8

3 3

15 11 21

11

1,602 10

10 5, 29 10

9,11 10 4 8,854 10 3 10

10 5, 29 10 9, 497 10 1,55 10

m F

m s

C t

m m

kg

m m t

t s

π

−

− −

− − −

−

× ⋅

= × −

× ⋅ ⋅ × ⋅ ×

= × − × ⋅

= ×

L’atome ne vivrait donc pas très longtemps…