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Parties d’un ensemble et proc´ ed´ e diagonal

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Academic year: 2022

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(1)

Exercices Alternatifs

Parties d’un ensemble et proc´ ed´ e diagonal

c

°2002 Vincent Guirardel(copyleftLDL : Licence pour Documents Libres).

Source:parties et procede diagonal.tex.

Version imprimable:parties et procede diagonal.pdf

Th´eorie des ensembles, et structures de base.DEUG premi`ere ann´ee. Angle p´edagogique : Langage.

Objectifs et commentaires. L’exercice commence par introduire le codage des parties d’un ensemble par leur fonction caract´eristique, puis leur montre le proc´ed´e diagonal de Cantor. L’exer- cice fait manipuler aux ´etudiants les notions de bijections, injections, applications, compl´ementaire.

C’est volontairement qu’on parle d’ensemble quelconque (sans preciser que cela signifie fini ou infini), et c’est la derniere question qui doit leur faire realiser que la construction marche aussi pour un ensemble infini. On peut alors les faire r´efl´echir sur l’existence d’infinis plus grand que d’autres...

Question 1. Codage des parties d’un ensemble fini

Dans tout l’exercice, on noteraB ={0,1} (ensemble des ”bits”).

Soit E ={a1, . . . , an} un ensemble `a n´el´ements (n ≥1). `A toute partieA de E, on associe son application caract´eristique :

χA :



 E→B x7→

(1 six∈A 0 six6∈A

(2)

On peut coder l’applicationχApar unvecteur de bits (”bit vector”)VA= (²1, . . . , ²n), o`u²iA(ai).

Autrement dit, le i-`eme bit²i est mis `a 1 siai est ´el´ement de A, sinon, il est mis `a 0 1.

a. On prend ici n = 3 et E = {1,2,3}. Enum´erer toutes les parties de E. Pour chacune, expliciter son application caract´eristique ainsi que le vecteur de bits associ´e. On pr´esentera les r´esultats sous forme de tableau.

b.

(i). — On se replace dans le cas g´en´eral (nquelconque). Montrer que l’application deP(E) dans F(E, B) qui `a une partie A de E associe sa fonction caract´eristique χA est bijective. Pour cela, on explicitera son application r´eciproque.

(ii). — Montrer de mˆeme que l’applicationP(E) dansBn qui `a une partieA de E associe son vecteur de bits VA est bijective.

La bijectivit’e de cette application a-t-elle un int´erˆet, en termes du codage mentionn´e au dessus ? (iii). — En d´eduire le cardinal de P(E).

c.

(i). — On note 0 = 1 et 1 = 0 (bit compl´ementaire) ; autrement dit, ∀² ∈B , ² = 1−². Pour tout vecteur de bits V = (²1, . . . , ²n)∈Bn, on noteV = (²1, . . . , ²n). A quelle partie de E correspond le vecteur de bitsVA?

(ii). — D´ecrire de mˆeme le vecteur de bits associ´e `aA∪A0, `aA∩A0.

1C’est la m´ethode utilis´ee dans le langagePascal(par exemple) pour coder le type de donn´eesensemble.

(3)

Question 2. Le proc´ed´e diagonal de Cantor

a. Montrer que pour tout entier naturel n, 2n > n. En d´eduire que, pour tout ensemble fini E, il n’existe aucune application surjective de E sur P(E).

b. On prend maintenantE ={1, . . . , n}. On consid`erenparties deE, not´ees A1, . . . , An. Pour tout i∈ {1, . . . , n}, on note VAi = (²i,1, . . . , ²i,n) le vecteur de bits associ´e. Puis, pour tout i∈ {1, . . . , n}, on note ²0i = ²i,i. On note enfin V0 = (²01, . . . , ²0n) et A0 l’unique partie de E dont le vecteur de bits associ´e est V0.

(i). — Donner un exemple de ces constructions, sous forme de tableau, lorsque n= 10.

(ii). — En g´en´eral, montrer que A0 n’est ´egal `a aucune des parties Ai. On raisonnera par l’absurde : si l’on avaitA0 =Ai pour un certaini∈ {1, . . . , n}, quelle serait la valeur dui-`eme bit du vecteur associ´e `a cette partie ?

(iii). — Retrouver ainsi le r´esultat de la question a. Indication : si f est une application deE dansP(E), on noteA1=f(1), . . . , An=f(n) ; on constate alors que la partie A0 construite ci-dessus n’appartient pas `a l’ensemble image de f.

(iv). — V´erifier queA0 ={i∈E / i6∈Ai}.

c. On s’inspire ici de la question b pour d´emontrer le th´eor`eme suivant : E ´etant un ensemble quelconque, il n’existe aucune application surjective de E sur P(E). Supposons donc que f est une application de E dansP(E). Posons :

A0 ={x∈E / x6∈f(x)}.

(4)

(i). — V´erifier que cette d´efinition a bien un sens.

(ii). — Montrer qu’il n’existe aucun ´el´ement x de E tel que A0 = f(x). On raisonnera par l’absurde : si l’on avait A0 =f(x), aurait-on x∈A0 ou x6∈A0?

(iii). — Conclure.

(iv). — Pourquoi, dans l’´enonc´e du th´eor`eme, a-t-on pr´ecis´e que l’ensemble E ´etait ”quel- conque” ?

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