A 516. Des sommes bien encadrées. ****
Démontrer que pour tout n ≥ 2, la somme des n premiers nombres premiers (2, 3, 5,...) est comprise entre n2 et n3 et celle de leurs carrés entre n3 et n4.
Pour les plus courageux : pour tout entier k > 0 fixé à l’avance, est-il vrai qu’à partir d’un certain rang nk , pour tout n > nk , la somme des puissances d’ordre k des n premiers nombres premiers est comprise entre nk+1 et nk+2 ? Solution proposée par Michel Lafond:
Notons où est le nième nombre premier.
On a
On utilisera souvent dans la suite le résultat ci-dessous [Voir Wikipédia Théorème des nombres premiers]
Pour tout n ≥ 6 on a : . (1)
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
pn 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37
n2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
Sn 2 5 10 17 28 41 58 77 100 129 160 197
n3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728
pn2 4 9 25 49 121 169 289 361 529 841 961 1369
Tn 4 13 38 87 208 377 666 1027 1556 2397 3358 4727
n4 1 16 81 256 625 1296
Pour 2 ≤ n < 6 on a [Voir le tableau ci-dessus].
Pour n ≥ 6 d’après (1), puis en majorant ln ln i par ln i :
La convexité de la fonction x ln x permet de majorer le "sigma" par une intégrale :
(2)
On démontre facilement que pour tout n > 0 on a
Donc (2) entraîne : (3)
On vérifie aisément que pour tout n ≥ 2 on a Donc d’après (3) pour n ≥ 6
Finalement : pour tout n ≥ 2 .
Notons où est le nième nombre premier.
On a
En effet, cette dernière inégalité équivaut à qui est vraie à partir de n = 1.
Pour 2 ≤ n < 6 on a [Voir le tableau ci-dessus].
Pour n ≥ 6 d’après (1), puis en majorant ln ln i par ln i :
La convexité de la fonction x2 ln2 x permet de majorer le "sigma" par une intégrale :
On vérifie cette dernière inégalité graphiquement par exemple à partir de n = 6.
Finalement : pour tout n ≥ 2 .
Notons où est le nième nombre premier.
k est un entier positif fixé.
On a
Car cette dernière inégalité équivaut à qui est manifestement vraie pour n suffisamment grand.
Il reste à majorer Un pour n suffisamment grand.
On sait que si x est assez grand, on peut majorer ln x par x ε et ceci pour n’importe quel ε > 0.
ε > 0 étant donné (arbitraire), supposons donc à partir de x = N (ε) = N.
Pour n ≥ 6 et n > N (ε), d’après (1),
puis en majorant ln ln i par ln i :
Pour n assez grand l’expression ci-dessus équivaut à qui est un infiniment grand d’ordre inférieur à n k + 2 puisque k (1 + ε) + 1 est arbitrairement proche de k + 1.
Finalement : k étant un entier positif fixé, pour n suffisamment grand .
