D10086. Tangente à construire Une droite

D10086. Tangente à construire

Une droiteDet une courbe C étant données dans un plan, on fait corres- pondre à chaque point M de C l’intersection L de D avec la normale en M à C, et le point M⁰ de cette normale tel queLM~ ⁰ =k·LM~ ,knombre donné.

Construire la tangente en M⁰ à la courbe C⁰ lieu de M⁰, connaissant la tangente et la courbure de C en M.

Cas particulier : C est une parabole de directriceD.

Solution Construction

D coupe en T la tangente enM àC;I étant le centre de courbure de C en M,IT coupe enU la parallèle menée parM⁰ à M T;Dcoupe enT⁰ la parallèle menée par U àLM. La tangente cherchée est M⁰T⁰.

Justification

Le repère lié à M et à la tangente enM à C a I pour centre instantané de rotation. La vitesse deLsurDest somme de sa vitesse d’entraînement (perpendiculaire àIL) et de sa vitesse relative (surM L). Fixons l’échelle des vitesses pour que la vitesse relative soitM L, la vitesse d’entraînement est LN avec M N parallèle à D. La vitesse de M est M V ; M⁰ a M⁰V⁰ pour vitesse d’entraînement et (par la proportionnalitéM M⁰= (1−k)M L) M M⁰ pour vitesse relative, doncM V⁰ pour vitesse totale.

Le parallélisme de M⁰T⁰ etM V⁰ résulte des égalités

U T⁰/M M⁰ = IL.U T /(IT.M M⁰) = IL/M I = LN/M V = M T /M V = M⁰U/M⁰V⁰.

T⁰ vient en T si M⁰ est en M (k = 1) ; T⁰ vient en L si M⁰ est en I.

Dans le cas particulier de la parabole de directriceD, on a constamment IL/M L= 3, d’où T T⁰/T L= (k−1)/2.