1. Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
1.1. Champ de pesanteurLa pesanteur se faisant ressentir dans tout l’espace autour de la Terre, on dit qu’il existe un champ de pesanteur.
Ce champ est vectoriel puisqu’en chaque point, il a une valeur, une direction et un sens.
Définition : Au voisinage de la Terre, le vecteur champ de pesanteur en un point où se trouve une masse m (en kg) est défini par :
avec le poids (en N) de la masse m
Caractéristiques de :
Direction : ……….
Sens : ……….
Valeur ou intensité de la pesanteur : g = 9,8 N/kg à la surface de la Terre Propriétés :
Localement (si les dimensions n’excèdent pas quelques km), le champ de pesanteur est considéré comme ………..
Le vecteur y a alors la ……….. direction, sens et intensité en tout point.
1.2. Chute sans frottement : chute libre 1.2.1. Définition :
Définition : ……….
1.2.2.Analyse physique
Le système étudié est un objet de masse m et de centre d’inertie G.
Il est lancé au voisinage de la Terre avec une vitesse initiale v0 . Le référentiel d’étude est le ………..
supposé galiléen.
Dans le domaine du lancer, le champ de pesanteur est considéré comme ………
Forces extérieures appliquées au système : ………
On néglige la force de frottement fluide et la poussée d’Archimède.
On se retrouve dans le cas ………
D’après la deuxième loi de Newton : Constante k
a t + b a t2 + b t + c
sa dérivée donne :
une primitive donne :
i
k O z
x
v
0G0
x0
z0
j
S
portée
P
1.2.3. Equation horaires du vecteur accélération :
Dans le repère d’espace orthonormé (O, i,j,k), la projection de la relation vectorielle aG = g donne :
) t ( a
) t ( a
) t ( a
z y x
1.2.4.Conditions initiales
Dans le repère d’espace orthonormé (O, i,j,k)
Conditions initiales : Supposons qu’à l’instant t = 0, le point matériel G est lancé de G0 avec une vitesse initiale
faisant un angle α avec l’axe Ox.
x(0) = Le vecteur position initiale s’écrit alors y(0) =
z(0) = v0x = Le vecteur vitesse initiale a pour coordonnées : v0y =
v0z = 1.2.5.Equations horaires du vecteur vitesse
) t ( aG =
dt ) t ( dvG
donc
dt ) t ( dv
dt ) t ( dv
dt ) t ( dv
z y x
et par intégration des équations horaires du vecteur accélération, on obtient :
) t ( v
) t ( v
) t ( v
z y x
On détermine les constantes à l’aide des conditions initiales :
Equations horaires du vecteur vitesse :
Lors d’une chute libre avec une vitesse initiale située dans le plan (x0z) et formant un angle avec l’axe (Ox), les coordonnées du vecteur vitesse du centre d’inertie du solide sont :
) t ( v
) t ( v
) t ( v
z y x
Le mouvement est ………. selon l’axe Ox et ………. selon l’axe Oz.
Fig 2 : Vecteur vitesse
dt ) t ( OG ) d t (
vG donc
dt ) t ( dz
dt ) t ( dy
dt ) t ( dx
et par intégration des équations horaires du vecteur vitesse, on obtient : x(t)=
y(t)=
z(t)=
On détermine les constantes à l’aide des conditions initiales :
Equations horaires du vecteur position :
Lors d’une chute libre avec une vitesse initiale située dans le plan (x0z) et formant un angle avec l’axe (Ox), les coordonnées du vecteur position du centre d’inertie du solide sont :
) t ( z
) t ( y
) t ( x
Remarque : Comme y(t) = 0, le mouvement s’effectue dans le plan ………..
1.2.7. Equation de la trajectoire
L’équation z = f(x) est celle de la trajectoire du centre d’inertie G du système. Elle s’obtient en éliminant t entre x(t) et z(t).
(1) devient t =
) cos(
v ) t ( x
0 , que l’on reporte dans l’expression de z(t). On obtient ainsi l’équation de la trajectoire.
z(x) =
L’équation de la trajectoire z(x) =
est celle d’une parabole dont la concavité est tournée vers le bas.
Remarque : Déterminer la flèche c'est calculer l'altitude maximale atteinte par le projectile.
Exercices : 13 p 284 (corrigé dans le livre) ; 29 p 289 ; 23 p 287 (corrigé dans le
livre) – 24 p 287 (avec l’aide du 23 p 287) Fig 3 : a) Influence de la vitesse b) Influence de l’angle
2. Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme
2.1. Champ électrostatique E et force électrique (Voir cours de 1ère S) Un champ électrostatique s’obtient entre deux armatures métalliques planes P et N séparées d’une distance d, entre lesquelles une tension UPN est appliquée.
Remarque : Un champ électrostatique uniforme a même valeur, même direction, même sens en tout point de l’espace
Une particule chargée de charge électrique q dans un champ électrostatique subit une force telle que :
F en N ; E en V.m-1 et q en C (Coulomb) 2.2. Analyse physique
Une particule chargée de masse m et de charge électrique q pénètre avec une
vitesse initiale dans une région où règne dans un champ électrostatique uniforme .
Système étudié : ………
Référentiel : ………
Forces extérieures appliquées au système :
- ……….
- ………
Exercice :
D’après la deuxième loi de Newton : Σ = m .
= m .
q = m . d’où =
2.3. Equations horaires du vecteur accélération
Dans le repère d’espace orthonormé (O, i,j,k), la projection de la relation vectorielle
aG = donne :
ax(t) = ay (t) = az (t) =
Exercice :18 p 285 (corrigé dans le livre) Caractéristiques du champ électrique :
- Direction : ………
- Sens : ………
………
- Norme : E en V.m-1 ; UPN en V ; d en m
Dans le repère d’espace orthonormé (O, i,j,k)
Conditions initiales : Supposons qu’à l’instant t = 0, la particule chargée est lancé de O avec une vitesse initiale faisant un angle α avec l’axe Ox.
x(0) = 0
Le vecteur position initiale s’écrit alors y(0) = 0 z(0) = 0
v0x = v0 cos α Le vecteur vitesse initiale a pour coordonnées : v0y = 0
v0z = v0 sin α 2.5. Equations horaires du vecteur vitesse
) t ( aG =
dt ) t ( dvG
donc
dt ) t ( dv
dt ) t ( dv
dt ) t ( dv
z y x
et par intégration des équations horaires du vecteur accélération, on obtient :
) t ( v
) t ( v
) t ( v
z y x
On détermine les constantes à l’aide des conditions initiales :
Equations horaires du vecteur vitesse : avec une vitesse initiale située dans le plan (x0z) et formant un angle avec l’axe (Ox), les coordonnées du vecteur vitesse du centre d’inertie de la particule chargée placée dans un champ électrostatique sont :
) t ( v
) t ( v
) t ( v
z y x
Le mouvement est uniforme selon l’axe Ox et uniformément varié selon l’axe Oz.
2.6. Equations horaires du mouvement
dt ) t ( OG ) d t (
vG donc
dt ) t ( dz
dt ) t ( dy
dt ) t ( dx
et par intégration des équations horaires du vecteur vitesse, on obtient :
) t ( z
) t ( y
) t ( x
On détermine les constantes à l’aide des conditions initiales :
Equations horaires du vecteur position :
Avec une vitesse initiale située dans le plan (x0z) et formant un angle avec l’axe (Ox), les coordonnées du vecteur position du centre d’inertie de la particule chargée placée dans un champ de pesanteur sont :
) t ( z
) t ( y
) t ( x
Remarque : Comme y(t) = 0, le mouvement s’effectue dans le plan ………..
2.7. Equation de la trajectoire
L’équation z = f(x) est celle de la trajectoire du centre d’inertie G du système. Elle s’obtient en éliminant t entre x(t) et z(t).
(1) devient t = , que l’on reporte dans l’expression de z(t). On obtient ainsi l’équation de la trajectoire.
z(x) =
La trajectoire est parabolique :
- tournée dans le sens du champ si q > 0 (fig 5)
- tournée dans le sens opposé au champ si q < 0 (fig 6)
Application : accélérateur de particules Activité 4 p 277 Exercices : - 21 p 286 (corrigé dans le livre) - 37 p 293
3. Aspect énergétique (voir cours de 1
ère)
3.1. Travail d’une force constante
Le travail d’une force constante dont le point d’application se déplace d’un point A à un point B,notée WAB( ) est égal au produit scalaire du vecteur déplacement par le vecteur force:
WAB( ) = . AB = F.AB.cos() WAB ( ) en joule (J), F en Newton(N), AB en mètre (m).
= angle entre les vecteurs et AB .
Remarque : doit rester constante en direction, sens et norme tout au long du déplacement pour que cette formule soit valable.
Trois cas possibles :
- Si 0° α < 90 ° alors cos α > 0 donc W ( ) > 0 le travail est moteur - Si α = 90 ° alors cos α = 0 donc W ( ) = 0 le travail est nul
- Si 90° < α 180 ° alors cos α < 0 donc W ( ) < 0 le travail est résistant
Fig 6 Fig 5
Définition : Une force est dite conservative si son travail entre deux points A et B quelconques ne dépend pas de la trajectoire suivie entre ces deux points.
Exemple : le poids (dans un champ de pesanteur uniforme) et la force électrique (dans un champ électrostatique uniforme).
Une force de frottement est non-conservative. Son sens, toujours contraire au mouvement, change avec celui du vecteur vitesse. Par conséquent, le travail qu’elle fournit dépend du chemin suivi par son point d’application.
3.3. Travail du poids
Un objet de masse m, placé dans un champ de pesanteur uniforme g , est soumis à son poids, dont le point d’application est le centre de gravité de l’objet.
Lorsque le centre de gravité se déplace d’un point A à un point B, le travail du poids est donné par la relation :
= m.g.(zA-zB)
s’exprime en J ; m (kg) ; g en N/kg ;
(zA-zB) : différence d’altitude entre A et B, repérées sur un axe (Oz) orienté vers le haut, en m.
Remarques :
Si zA>zB, alors l’objet descend et > 0 : le travail du poids est moteur.
Si zA<zB, alors l’objet monte et < 0 : le travail du poids est résistant.
Si zA=zB, alors l’objet reste à la même altitude et = 0 : le poids ne travaille pas.
3.4. Energie potentielle associée à des forces conservatives Définition :
L’énergie potentielle Ep, associée à la force conservative subie par un système, est définie par sa variation lors du déplacement du système entre un point A et un point B : la variation d’énergie potentielle entre ces deux points est égale à l’opposé du travail de la force sur le trajet allant de A à B :
Ep = Ep(B) – Ep (A) = - WAB ( )
Une énergie potentielle étant définie par ses variations, elle est toujours connue à une constante arbitraire près.
L’énergie potentielle de pesanteur EPp (en J) d’un solide de masse m est l’énergie qu’il possède du fait de sa position à une altitude z par rapport à une altitude de référence (EPP = 0 J quand z = 0 m) selon un axe vertical ( Oz) orienté vers le haut :
Epp = m .g . zG.
4. Transferts énergétiques au cours du mouvement 4.1. Définition de l’énergie cinétique
L’énergie cinétique EC ( en J) d’un solide de masse m en translation est l’énergie qu’il possède du fait de son mouvement à la vitesse v :
Ec = 2
1m v2 avec m : la masse du solide en kg, et v : la valeur de la vitesse en m.s1
4.2. Théorème de l’énergie cinétique
La variation de l’énergie cinétique d’un système en mouvement, d’une position A à une position B, est égale à la somme des travaux de toutes les forces appliquées au système entre A et B.
Ec = EcB – EcA =
4.3. Définition de l’énergie mécanique
L’énergie mécanique Em (en J) d’un solide dans le champ de pesanteur est : Em = EC + EPp.
4.4. Conservation de l’énergie mécanique
Lorsqu’un système est soumis à des forces conservatives et/ou à des forces non conservatives dont le travail est nul, son énergie mécanique Em se conserve
soit ∆Em = 0
Lorsqu’il y a conservation de l’énergie mécanique, il y a transfert total de l’énergie potentielle en énergie cinétique ou inversement.
4.5. Non conservation de l’énergie mécanique
Lorsqu’un système est soumis à des forces conservatives et/ou à des forces non conservatives qui travaillent, son énergie mécanique Em ne se conserve pas soit :
Lorsqu’il y a non-conservation de l’énergie mécanique, il y a transfert partiel de l’énergie potentielle en énergie cinétique ou inversement.
L’énergie mécanique d’un système diminue progressivement au cours des oscillations, les forces de frottement non conservatives dissipent de l’énergie par transfert thermique.
