PanaMaths
[1 - 2]Novembre 2008
Simplifier :
2 2
2 2
x x x x
e e
−e e
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ − −
Analyse
On peut développer « froidement » les carrés ou penser à une identité remarquable …
Résolution
Nous développons les deux approches suggérées ci-dessus.
1
èreapproche
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1 2 2
4
1 2 2
4
1 2 2
4 1 4
x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x
e e e e
e e e e
e e e e e e e e
e e e e
e e e e
e
− −
− −
− − − −
− −
− −
+ −
⎛ + ⎞ −⎛ − ⎞ = −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤
= ⎢⎣ + + − − + ⎥⎦
⎡ ⎤
= ⎣ + + − − + ⎦
= + + − + −
=
(
+ +2 e−2x −e2x + −2 e−2x)
1 4 4 1
= ×
=
PanaMaths
[2 - 2]Novembre 2008 2
èmeapproche
Nous avons affaire à une différence de deux carrés. Nous pouvons donc utiliser l’identité remarquable correspondante :
2 2
2 2 2 2 2 2
x x x x x x x x x x x x
x x
e e e e e e e e e e e e
e e
− − − − − −
−
⎛ + ⎞ −⎛ − ⎞ =⎛ + + − ⎞⎛ + − − ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
= + +ex −e−x
( )
2 2
2 2
x x x x
x x
e e e e
e e
− −
+ − −
×
= × +e−x −ex 2 2
2
1
x
x x
x x
e e e
e e
−
−
−
+
= ×
= ×
=
Résultat final
2 2
, 1
2 2
x x x x
e e e e
x
− −
⎛ + ⎞ ⎛ − ⎞
∀ ∈ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
\
