E677 – Une issue certaine [*** à la main]
Deux entiers positifs distincts a et b sont écrits au tableau. Au premier tour,on efface le plus petit des deux et on le remplace par la fraction ab/abs(a ‒ b) où abs(.) désigne la valeur absolue de la différence a ‒ b. Le processus se répète aussi longtemps que les deux nombres figurant sur le tableau sont distincts. Démontrer qu'après un nombre fini de tours, les deux entiers sont égaux à un entier c.
Application numérique: a = 2016 et b = 2044. Déterminer c et le nombre de tours correspondant.
Solution proposée par Daniel Collignon
A chaque étape, les 2 nombres écrits sont de la forme ab/(au+bv) > 0 avec u et v entiers relatifs.
Au démarrage a est obtenu avec u=0 et v=1 et b avec u=1 et v=0.
Si 0 < A=ab/(au+bv) < B=ab/(as+bt), alors A sera remplacé par A' = A*B/(B-A) = ab/(a(u-s)+b(v-t)) > A puisque B-A < B
La suite des min est strictement croissante : - A < A' < B => A' remplace A
- A < B =< A' => B remplace A
La suite des max est croissante au sens large : - A < A' < B => B est conservé
- A < B =< A' => A' remplace B
Les éléments de ces 2 suites sont majorés par ab puisque au+bv >= 1.
Le dénominateur au+bv est un multiple de PGCD(a,b).
Il reste à montrer que c = ab/PGCD(a,b) = PPCM(a,b)
Pour le cas a = 2016 et b= 2044, c = 147168 est atteint en 72 étapes (tableur).
