G273 – Triangulations par paquets
Solution proposée par Jacques Guitonneau
On doit d’abord constater que quand on a une partition d’un ensemble de points à deux ensembles, celle qui minimise le nombre de triangles que l’on peut former est celle qui répartit les points de la façon la plus homogène entre ces deux ensembles. Ainsi pour un ensemble à 2n points , la répartition entre 2 ensembles à n points donne un ensemble de triangles égal à 2 n(n-1)(n-2) /6 soit n(n-1)(n-2)/3, alors que des ensembles de tailles différentes,soit n-p et n+p points,donnent un ensemble de (2n³ – 6n² + 6np² +4n -6p²)/6 triangles , soit (n-1) p² triangles de plus que par rapport à la partition égalitaire.
Il en est de même pour un ensemble impair de points (2n +1) où la répartition à n et n+1 points donne le minimum de triangles par rapport à une répartition à n-p et n+1+p points.
On en conclut que la répartition optimale recherchée est celle qui répartira les N points cherchés en des ensembles aussi homogènes que possibles c’est-à-dire avec un écart maximum d’un point entre groupes.
Examinons maintenant le nombre de triangles auquel il faut arriver 116280 soit 1162,8 en moyenne et comparons ce chiffre au nombre de triangles obtenus avec N points, soit N(N- 1)(N-2)/6. On constate très facilement que ce chiffre est entre 1140 et 1330 soit le nombre de triangles obtenus avec 20 et 21 points.
On cherche alors tout simplement la répartition des 100 sous-ensembles entre sous-ensembles à 20 et sous-ensembles à 21 points, X et 100-X soit résoudre :
X* 1140 + (100-X)*1330=116280, soit X=(133000-116280)/(1330-1140) soit et cela tombe juste Oh merveille 88.
Soit au total 88*20 + 12*21=2012 points
Oh merveille il était temps , on est bientôt en 2013 !
