E583 - Presque côte à côte [*** à la main]
Soit E un ensemble de 13 entiers positifs distincts.Pris deux à deux, ils sont relativement premiers entre eux.
Déterminer la plus petite valeur possible de la différence entre le plus grand terme et le plus petit terme.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
On trouve des solutions avec un écart de 32 comme par exemple la suite
17 ;19 ;23.25 ;27 ;29 ;31 ;32 ;37 ;41 ;43 ;47 ;49 ou encore 29 ;31.32.37 ;39 ;41.43.47 ;49 ;53 ;55 ;59 ;61.
Peut-il y avoir des suites plus courtes ? On aurait alors Nmax –Nmin =31. Une des extrémités serait alors paire et l’autre impaire. Il y aurait alors 32 chiffres possibles dont 16 impairs.
Il faudrait alors placer 12 chiffres impairs tous premiers entre sur ces 16 nombres impairs qui se suivent sur une élongation de 30. Il y a au moins 5 nombres impairs divisibles par 3, donc il faut en éliminer au moins 4.
Il y a au moins 3 nombres impairs divisibles par 5. On peut en garder un mais il faut éliminer les deux autres, dont un au moins n’est pas divisible par 3, et ne peut donc être confondu avec ceux éliminés au titre des multiples de 3.
Il faut donc sur ces 16 impairs en éliminer au moins 5, on ne peut donc obtenir au maximum que 12 nombres premiers entre eux. L’écart minimum est donc de 32.
