Quitte ou double
Problème E117 de Diophante
Dans la suite des entiers positifs : 1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, …les entiers qui sont absents, à savoir : 2, 6, 8, 10, 14, 18, ... sont exactement les doubles de ceux qui sont présents. Quel est le 2009ème nombre présent?
Solution proposée par Patrick Gordon
Si N est le 2009ème nombre présent, c'est qu'on en a ôté N – 2009.
Or quels sont les nombres ôtés?
Les nombres impairs NON, puisqu'ils ne sont le double d'aucun entier.
Les doubles de nombres impairs OUI, mais les quadruples de nombres impairs NON, etc.
Au total, ne sont ôtés que les entiers qui comportent le facteur 2 un nombre impair k de fois.
Combien sont-ils, par exemple pour k = 1? Ils forment la suite 2, 6, 10, etc. et sont donc de la forme :
(1) 2 + 4 (x1 – 1) (où x1 ≥ 1).
Soit N une valeur d'essai du 2009ème nombre présent. Le nombre d'entiers de la forme (1) strictement inférieurs à N (= N uniquement si N est de la forme considérée – à revoir in fine) est le maximum de x1 tel que : 2 + 4 (x1 – 1) < N, c’est-à-dire :
(2) x1 = ENT [(N-2)/4] + 1
De même, pour k impair quelconque, on aura : (3) xk = ENT [(N-2k)/ 2k+1] + 1
Pour N donné (à l'essai), on additionnera donc x1 + … + xk … pour tous les k impairs tels que (N-2k) > 0 et on fera varier N jusqu'à ce que
(4) N – (x1 + … + xk …) = 2009.
Un examen rapide de la suite suggère de chercher N aux alentours de 3000. On trouve deux valeurs de N qui satisfont la condition (4) : 3013 et 3014. Toutefois 3014 est exclu car 3014/2
= 1507 et 3014, double d'un nombre impair, doit être ôté.
La réponse est donc :
Le 2009ème nombre de la suite est 3013.
