Quitte ou double
Problème E117 de Diophante
Dans la suite des entiers positifs : 1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, … les entiers qui sont absents, à savoir : 2, 6, 8, 10, 14, 18, ... sont exactement les doubles de ceux qui sont présents. Quel est le 2009 ème nombre présent?
Solution
1 1 oui
2 10 non
3 11 oui
4 100 oui 5 101 oui
6 110 non
7 111 oui
8 1000 non
9 1001 oui
10 1010 non
11 1011 oui 12 1100 oui 13 1101 oui
14 1110 non
15 1111 oui 16 10000 oui 17 10001 oui
18 10010 non
Le passage au double est, en numération binaire, l’ajout d’un zéro à droite.
Ainsi les nombres présents sont ceux qui, en numération binaire, ont un nombre pair de zéros à droite et les nombres absents sont ceux qui ont un nombre impair de zéros à droite.
Grosso modo le nombre n présent est au rang 2n/3 et au rang r se trouve le nombre 3r/2.
Plus précisément, le 2009 ème nombre présent est 3013.
On peut aussi vérifier que 2009 est présent au rang 1340.
19 10011 oui
