J’ai fabriqué la maquette d’un polyèdre régulier qui comporte n faces que je numérote de 1 à n. Je lance ce polyèdre à la manière d’un dé et je note le numéro de la face sur laquelle il repose sur la table.La probabilité d’obtenir un numéro quelconque est la même pour tous les numéros.Je constate qu’après de très nombreux lancers, il faut un nombre moyen de lancers voisin de 72 pour obtenir au moins une fois tous les entiers de 1 à n. Comment s’appelle ce polyèdre ?
Soit E(n) l’espérance du nombre de coups nécessaires pour obtenir au moins une fois chacun des nombres, dans un tirage équiprobable des nombres de 1 à n.
Ayant tiré un nombre quelconque au premier coup, on a ensuite, à chaque tirage la probabilité 1/n de retomber sur le premier nombre, donc la probabilité (n-1)/n de tirer l’un des n-1 autres : on en déduit que E(n)=1+E(n-1)*n/(n-1). E est une fonction croissante de n : E(1)=1, E(2)=3, E(3)=11/2, E(4)=25/3, E(5)=137/12, E(6)=147/10, ... On trouve plus loin E(20)=71,955...
J’ai donc fabriqué un icosaèdre.
