Chapitre 3

Chapitre 3

Recombinaison et auto-adaptation dans les

d'élitism

iner l'influence des opérateurs d'évolution ait été largement souligné [Lau99], il n'y a eu à notre connaissance que très peu d’investigations sur cette problématique [Co

Dans c

élitistes (à savoir le SPEA2 et le NSGA-II) en fonction de différentes méthodes de recomb

perf

nous proposons et validons une technique de recomb robuste

3.1

Dans cette partie, nous présentons les différentes procédures de recombinaison et d’auto-adaptation que nous allons employer pour tester le SPEA2 et le NSGA-II.

3.1.1 Méthodes de croisement de variables réelles

algorithmes évolutionnaires multicritères

La plupart des travaux sur les méthodes évolutionnaires multicritères se sont focalisés jusqu'à présent sur les techniques de sélection, d'affectation de l'adaptation, e ou de nichage. Bien que le besoin d'exam

s02][Lau01].

e chapitre, nous allons donc examiner l'efficacité de deux algorithmes multicritères inaison, croisement et/ou mutation pour 3 problèmes tests standards. Des critères de ormance usuels et complémentaires sont pris pour réaliser les comparaisons. Par ailleurs, inaison auto-adaptative afin d'améliorer la sse des algorithmes.

Procédures de recombinaison et d'auto-adaptation

3.1.1.1 Le croisement arithmétique étendu (BLX-α )

Le croisement arithmétique étendu (Blind Crossover) permet de générer un enfant c(i)à partir de deux parents p1(i) et p2(i) de la manière suivante [Esh93] :

( )

i p₁(i) [p₂(i) p₁(i) ]

c = +β − (3.1)

où β est une variable aléatoire uniforme comprise dans l’intervalle [−α ,1+α ], et orrespond, pour l’enfant et les parents, à l’indice de la variable de conception à croiser.

i c

Si α =0, ce croisement engendre un enfant, qui sera obligatoirement situé à l’intérieur de l’intervalle défini par les deux parents. Dans ces conditions, cet opérateur est équivalent au croisement arithmétique classique [Mic96]. Eshelman et Schaffer ont montré, sur des problèmes

s a valeur

te ts, que l α =0.5 (BLX-0.5) garantissait les meilleurs performances [Esh93].

inary Crossover) reproduit les mécanismes du roisement standard à un point utilisé lorsque les variables objets sont représentées sous la forme enfants ) et , par l’intermédiaire de la relation suivante.

) ( ( ) ( 2 2 2 1 p i p p i β β (3.2) où

3.1.1.2 Le croisement binaire simulé (SBX)

Le croisement binaire simulé (Simulated B c

de chaînes binaires [Deb99a]. A partir de deux parents p₁(i) et p₂(i), ce croisement génère deux ( 1i c c₂(i) ⎪ ⎨ c ⎩ ⎪⎧c + +(1 ) ) (i p β − =0.5[(1 ) − +(1 ) ) ( 1i β + =0.5[(1 ) ] ) i ( ] ) i 1

β représente un facteur de dispersion d ini par : éf

( )

⎪ ⎪ ⎜ ⎝ 12(1 -u ⎩ ⎪ ⎨ ⎛ = β ⎪ ⎧ _2u η1+ ⎟ ⎠ ⎞ ) 5 . 1 (3.3) < 0 si u +1 1 η ailleurs

où u est une variable aléatoire uniformément répartie dans l’intervalle [0 ,1] et η un paramètre f qui caractérise la forme de la distribution des enfants par rapport au

rée on négati x parents. De

fo es valeurs de l n

rt η engendrent de fo tes probabilités e

local des parents. Tout com égi n,

propriétés intéressantes d’auto-adaptation

3.1.1.3 Le croisement génétique reproducteur (BGX)

A partir de deu i cro tiq eu Genetic

Crossover) crée un enfant

r d retrouver un enfant dans le voisinage me les strat

9

es d’évolutio le croisement SBX possède des [Deb99a].

x parents p₁( ) et p₂(i), le isement géné ue reproduct r (Breeder ) ( 1i c de la manière suivante [Schl94] : δ i i p ∆ i p i − p i p i p i c ) = ₁( )±( − ) ( ) ₁ ( ( ( 2 2 .4)

où est généralement égal à la moitié du domaine de définition du paramètre . La norme )) ( ) ₁ (3 i ∆ i

représente la distance euclidienne dans l’espace des paramètres. δ est calculé en utilisant une distribution définie par l’équation (3.5), qui favorise les faibles valeurs :

9

ku

− = 2

δ (3.5)

où u est une variable aléatoire uniformément distribuée dans l’interva e ll [0,1], et k une

constante de p n itu le que nt le

pl t s ois illeurs parents, p a possède la

meilleure ada ê d .4 e ilité de

0.9. Dans not s de au c i et du

signe dans l’é son

A e 3.1 uvo pou ts é ent décrits,

l’allure de la ré n pp e aduit la

probabilité de nf isi ux bolisés

récisio hab ellement éga à 16. Notons , dans [Schl94], les enfants so us souven itués au v inage des me 1(i) étant le p rent qui

ptation. De m me, le signe – e l’équation (3 ) est choisi av c une probab re travail, nou avons décidé ne favoriser cun parent (le hoix de (p1 )

quation (3.4) t fait avec une probabilité de 0.5).

la figur , nous po ns observer, r les différen croisements pr cédemm densité de partition d’u enfant par ra ort à ses par nts. Elle tr trouver un e ant dans le vo nage de ses de parents p1(i) et p2(i), sym

par les cercles noirs pleins. Remarquons que le croisement BGX avec k =16 renforce la probabilité de générer un enfant situé dans le voisinage local des parents.

0 10 0 1 0.2 0.4 0.6 0.8 p1 p2 BLX-0.5 BGX (k = 16) SBX (η= 1) BLX-0.5 BLX-0.5 BGX (k = 16) BGX (k = 16) SBX (η= 1) SBX (η= 1) n D en si té d e p ro b a d’ b il éa ti o un e n it é a ss o ci ée à l a cr fa nt

figure 3.1 : Densité de répartition des enfants en fonction des différents types de croisement

3.1.2 Auto-adaptation

Le concept d'auto-adaptation a été introduit pour désensibiliser les algorithmes évolutionnaires de leurs paramètres de contrôle et tirer profit de l'adaptation induite par la sélection. L'auto-adaptation consiste à permettre à l'algorithme évolutionnaire d'adapter automatiquement les valeurs de ses paramètres de contrôle au cours de la recherche, soit de façon explicite, à l'aide d'une heuristique prédéfinie, soit de façon implicite, en codant celles-ci directement dans les

individus. Il existe par exemple dans la littérature plusieurs techniques de mutations adaptatives, utilisant des taux de mutation variant au cours des générations [Sar99], ou directement intégrés

es multicritères.

Dans les stratégies d’évolution, chaque individu est caractérisé par ses variables objets

aux chromosomes des individus [Bäc92a][Bäc92b]. Toutefois, les méthodes auto-adaptatives les plus connues restent celles employées dans les stratégies d'évolution [Bäc96][Sch95][Deb99c]. Nous précisons en particulier dans ce qui suit la procédure de mutation gaussienne anisotrope et une technique de croisement auto-adaptative, que nous avons développée pour caractériser la performance des opérateurs de variation dans les algorithm

3.1.2.1 Mutations auto-adaptatives anisotropes

( )

i x et un ensemble d’écarts-types σ

( )

i associés. Lorsque l’on emploie la procédure de mutation gaussienne anisotrope, les enfants (c(i),σ_c(i)) sont créés à partir des parents (p(i),σ_p(i)), en utilisant les équations (3.6) et (3.7).

( )

p

( )

exp( ' (0,1) i(0,1))

c i σ i τ N τ N

σ = + (3.6)

( )

i p

( )

i c

( )

i Ni(0,1)

c = +σ (3.7)

représente une distribution normale aléatoire de moyenne nulle et d’écart-type 1. indique que le nombre aléatoire est généré pour chaque nouvelle valeur de . Les facteurs où )N(0,1 ) 1 , 0 ( i N i

τ et 'τ sont habituellement fixés à

(

2 param12

)

12

(

)

12 −

N et 2Nparam [Bäc96].

.1.2.2 Proposition d’une méthode de croisement auto-adaptatif

Il est très difficile de savoir a priori quel type de croisement sera le plus efficace pour un problème donné. Pour réduire la sensibilité des algorithmes vis-à-vis des opérateurs de recombinaison, nous proposons d’implémenter une procédure de croisement auto-adaptatif, similaire à celle utilisée par Spears dans les algorithmes génétiques à codage binaire [Spe95]. Pour cela, nous associons au chromosome de chaque individu, un gène supplémentaire (que nous qualifierons ici de gène de croisement ou X-gene) qui code le type de croisement à employer au cours du processus de recombinaison [Sar03]. Lors de la création d’un enfant, le croisement utilisé est choisi aléatoirement parmi les deux valeurs des X-gene des parents. Avec cette procédure, l’algorithme évolutionnaire favorise, par l’intermédiaire de la sélection, le croisement qui produit les meilleurs enfants. Notons qu’afin d’éviter la convergence prématurée vers un type de croisement particulier, le gène de croisement subit, lui aussi, une mutation, avec une probabilité différente de celle des variables objets.

−

3.2

Résolution de problèmes tests

3.2.1 Problèmes tests

Pour tester les performances des deux algorithmes retenus en fonction des différentes méthodes de variation, nous considérons trois problèmes de la littérature [Zit00][Sch85], décrits au tableau 3.2.

TABLEAU 3.2 : PROBLEMES TESTS UTILISES POUR LA CARACTERISATION DES PERFORMANCES DU SPEA2 ET DU

NSGA-II (MINIMISATION DES OBJECTIFS)

Problèmes Caractéristiques ZDT4

∑

= − + = = ≤ ≤ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ≤ ≤ = 10 2 2 1 2 1 1 1 )) 4 cos( 10 ( 91 où 10 ,..., 2 5 5 1 ) ( 1 0 ) ( i i i i x x g i x g x g x f x x x f π ZDT6 2 1 2(x) =g(1−(f / g) ) 1 6 1 1( ) 1 exp( 4 )sin (6 ) = ≤ ≤ − − = 1,...,10 i 1 0 25 . 0 10 2 9 / 9 1 où ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

∑

= i x f x x x f π i i x g SCH ) 2 ( 40 1 ) ( 10 ,..., 1 1000 0 100 -40 1 ) ( 10 1 2 2 10 1 2 1

∑

∑

= = − = = ≤ ≤ = i i i i i x x f i x x x f

ZDT4 est un problème multimodal continu qui contient 219 fronts locaux de Pareto. Le front lobal, convexe, est obtenu pour g =1 (voir figure 3.2).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 200 250 300 1 0 50 100 150 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Front de P héor aret o global t ique Solut io at oires

Front opt imal t héorique ns alé 1.2 1 f f1 2 f

figure 3.2 : Problème ZDT4. Représentation des solutions dans l’espace

Le problème ZDT6 présente un espace de recherche « trompeur », ainsi que des solutions non-uniformément distribuées le long du front optimal global (le front est biaisé quand les solutions présentent des valeurs de

des objectifs pour un tirage aléatoire de 20 000 points et allure du front théorique

) ( 1x

f proches de 1). Le front global, non-convexe, est obtenu pour (voir figure 3.3). 1 = g 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 5 6 7 1 0 1 2 3 Front de P aret o

Solut ions aléat oires Solut ions aléat oires

4

global t héorique

1 f 2

ure 3.3 : Problème ZDT6. Re s so spa

Le problèm CH (voir figure 3.4) est u ion d est

caractérisé par un large domaine de définition des

f

fig présentation de lutions dans l’e ce

e S ne généralisat du problème e Schaffer. Il

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 x 107 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18x 10 6 1 f 2 f x 10e6

Solut ions aléat oires

2 f Front de P aret o global t héorique x 10e7 1 f

figure 3.4 : Problème SCH. Représentation des solutions dans l’espace des objectifs pour un tirage aléatoire de 20 000 points et allure du front théorique

3.2.2 Critères de performance

Trois critères de performance sont utilisés pour caractériser l’efficacité des algorithmes. 3.2.2.1 Ecart moyen par rapport au front de Pareto théorique (ε )

L’écart moyen ε entre le front constitué de l’ensemble des solutions non-dominées déterminé par l’algorithme et le front théorique, s’exprime par [Zit00]:

{

}

∑

∈ ∈ − = P P P a a a a * * * min 1 ε (3.8)

où (respectivement ) représente l’ensemble des solutions non-dominées de la population finale (respectivem ront théorique de Pareto), et appartenant à chaque sous-ensemble. La norme

P _P*

ent le f a a*

représente la distance euclidienne calculée dans l’espace des objectifs. 3.2.2.2 Ecart moyen par rapport aux solutions extrémales (εmin)

Nous définissons l’écart moyen ε_min par rapport aux solutions extrémales comme la moyenne des distances minimales entre l’ensemble des solutions non-dominées et les solutions extrémales du front (celles minimisant indépendamment chaque critère) :

{

}

∑

= ∈ − = objectif 1 * min objectif min min 1 N i i a a a N P ε (3.9)

où est le nombre d’objectifs et représente la solution théorique du front optimal minimisant le critère .

3.2.2.3 Uniformité de la distribution des solutions sur le front ( objectif

N a_i*_min

i

∆ )

La quantité traduit la capacité des algorithmes à distribuer les solutions uniformément le long du front optimal. est une mesure basée sur les distances consécutives entre les solutions non-dominées de l’espace des objectifs [Deb00] :

∆ ∆

∑

− = − − = ∆ 1 1 1 1 P P i i d d (3.10)

où d₁ est la distance euclidienne entre deux solutions non-dominées consécutives, et d la moyenne de ces distances. Une valeur de ∆ nulle indique que toutes les solutions non-dominées trouvées par l’algorithme sont espacées de façon équidistante. Par rapport à la définition de ∆ dans [Deb00], nous n’incluons pas, dans l’ensemble des solutions non-dominées, les solutions extrémales du front théorique. L’indicateur ε_min permet déjà de caractériser la qualité de la détection de ces solutions.

La figure 3.5 montre la signification des différents critères de performances énoncés.

f₁ f₂

Front de P aret o t héorique P *

Ensemble des individus non dominés P * min 1 a * min 2 a i

ε

di min 1

ε

min 2 ε > =<

ε

_i

ε

(

_{1min 2min}

)

2 min

ε

ε

ε

= +

∑

− = − − = ∆ 1 1 1 1 P P i i d d

Comme le montre la figure 3.6, qui illustre différents ensembles solutions par rapport au front ères sont complémentaires pour évaluer l’efficacité des algorithmes

: théorique, ces trois crit évolutionnaires de Pareto

ε_min ≈ 0 (respectivement ε ≠ 0) indique une bonne (respectivement une mauvaise) déviation moyenne,

ε_min ≈ 0 (respectivement ε_min ≠ 0) une bonne (respectivement une mauvaise) détection des solutions extrémales théoriques

(respectivement ) une bonne (respectivement une mauvaise) répartition des solutions le long du front optimal.

0 ≈

∆ ∆ ≠ 0

Les solutions non-dominées sont repérées par des cercles noirs pleins et le front optimal théorique par une ligne continue.

f₁ f2 0 min≈ ε 0 ≈ ε 0 ≈ ∆ 0 min≈ ε 0 ≈ ε 0 ≈ ∆ f1 f2 0 min ≠ ε 0 ≈ ε 0 ≈ ∆ 0 min ≠ ε 0 ≈ ε 0 ≈ ∆ f1 f2 0 min≈ ε 0 ≈ ε 0 ≠ ∆ f1 f2 0 min ≠ ε 0 ≈ ε 0 ≠ ∆ f1 f2 0 min ≠ ε 0 ≠ ε 0 ≈ ∆ f1 f2 0 min≠ ε 0 ≠ ε 0 ≠ ∆

figure 3.6 : Illustration des critères de performance utilisés pour différentes configurations des

Nous avons successivement comparé les efficacités du NSGA-II et du SPEA2 sur les trois problèmes test, en utilisant les divers opérateurs de croisement et les procédures auto-adaptatives présentés à la section 3.1 . Tous les tests sont réalisés avec le même nombre d’évaluations des fonctions objectifs. Pour chaque optimisation, et quel que soit l’algorithme de résolution, le nombre de générations est fixé à 200 et la taille de la population à 100 individus. La taille de l’archive est aussi égale à 100 et la probabilité de croisement unitaire . Les stratégies de variations étudiées sont :

solutions non-dominées par rapport au front théorique

3.3

Résultats

) 1 (p_c =

3 méthodes de croisement introduites précédemment

les à savoir, le BGX (de constante

de précision k =16), le SBX (de paramétrage η =1) et le BLX-0.5. Ces croisements sont c l’opérateur de mutation employé dans le BGA [Schl94] appliqué avec une probabilité de

utilisés conjointement ave

param /

1 N .

la technique de mutation adaptative anisotrope pour laquelle nous imposons des écarts-types initiaux 10 fois plus faibles que le domaine de définition des variables objets correspondantes (σ_i(0) =(x_imax −x_imin)/ 10). Cette procédure est appliquée sans opérateur de croisement.

la recombinaison auto-a ents précédents et couplée

avec l’opérateur de muta e . Le gène de croisement

est quant à lui muté avec

.3.1 Influence de l’opérateur de variation

eaux 3.3 à 3.5, les valeurs des critères de performance pour les daptative intégrant les trois croisem

param / 1 N tion du BGA de probabilité d un taux de 5%.

3

Nous présentons, dans les tabl

différents problèmes tests et pour les diverses stratégies de variation étudiées. Les résultats sont basés sur les valeurs moyennes des critères de performance calculés pour chaque optimisation. Dans ces tableaux, les abréviations Mut. auto-ad et Rec. auto-ad signifient respectivement Mutation auto-adaptative et Recombinaison auto-adaptative.

Nous donnons aussi, en annexe F, des exemples d’exécutions typiques qui illustrent la répartition des solution Pareto optimales par rapport aux front théoriques, à l’issue des 200 générations et en fonction des différents opérateurs de variation utilisés.

A partir de ces résultats, nous proposons un classement des opérateurs de croisement et d’auto-adaptation pour chaque algorithme. Ce classement est fondé prioritairement sur la valeur de l’écart moyen ε .

A l’inverse de ce que l’on peut noter en optimisation monocritère10, nous constatons qu’en l’absence d’un opérateur de croisement, y compris lorsque le NSGA-II et le SPEA2 sont utilisés avec une procédure de mutation auto-adaptative, les résultats obtenus sont médiocres. Cela semble confirmer l’étude récente de [Cos02]

TABLEAU 3.3: CRITERES DE PERFORMANCE POUR LE PROBLEME ZDT4. LES MEILLEURS RESULTATS SONT INDIQUES EN GRAS ET LES INTERVALLES DE CONFIANCE A 95% SONT DONNES ENTRE CROCHETS

Opérateur ε εmin ∆ Classement

NSGA-II BGX (k=16) 2.231 [0.185] 1.769 [0.148] 0.112 [0.011] 4 (mauvais)

10

Les stratégies d’évolution sont habituellement employées avec succès en optimisation monocritère sans opérateur de croisement [Sch95], [Bäc96]. Seule la procédure de mutation gaussienne auto-adaptative est utilisée pour faire évoluer les individus.

SBX (η=1) 1.961 [0.170] 1.656 [0.138] 0.033 [0.009] 3 (bon)

BLX-0.5 1.483 [0.151] 1.275 [0.122] 0.019 [0.006] 1 (excellent)

Mut. auto-ad 10.41 [1.000] 9.439 [0.939] 0.017 [0.001] 5 (très mauvais) Rec. auto-ad 1.688 [0.164] 1.437 [0.136] 0.021 [0.008] 2 (très bon) BGX (k=16) 5.343 [0.436] 4.367 [0.380] 0.301 [0.041] 4 (mauvais)

SBX (η=1) 2.233 [0.221] 1.894 [0.163] 0.028 [0.008] 3 (bon)

BLX-0.5 1.527 [0.148] 1.373 [0.122] 0.021 [0.005] 1 (excellent)

Mut. auto-ad 10.55 [1.090] 9.525 [1.015] 0.012 [0.002] 5 (très mauvais) SPEA2

Rec. auto-ad 1.616 [0.161] 1.427 [0.133] 0.024 [0.006] 2 (très bon)

TABLEAU 3.4: CRITERES DE PERFORMANCE POUR LE PROBLEME ZDT6. LES MEILLEURS RESULTATS SONT INDIQUES EN GRAS ET LES INTERVALLES DE CONFIANCE A 95% SONT DONNES ENTRE CROCHETS

Opérateur ε ε_min ∆ Classement

BGX (k=16) 0.000 [0.000] 0.000 [0.000] 0.006 [0.000] 1 (excellent)

SBX (η=1) 0.185 [0.018] 0.001 [0.000] 0.202 [0.022] 4 (mauvais) BLX-0.5 0.081 0.097] 0.000 [0.000] 0.096 [0.054] 3 (très bon) Mut. auto-ad 1.866 [0.114] 0.442 [0.077] 0.543 [0.063] 5 (très mauvais) NSGA-II

Rec. auto-ad 0.014 [0.006] 0.000 [0.000] 0.024 [0.010] 2 (très bon) BGX (k=16) 0.068 [0.008] 0.000 [0.000] 0.071 [0.006] 3 (bon)

SBX (η=1) 0.186 [0.016] 0.000 [0.000] 0.141 [0.015] 4 (mauvais)

BLX-0.5 0.059 [0.005] 0.000 [0.000] 0.055 [0.005] 1 (excellent)

Mut. auto-ad 1.662 [0.126] 0.554 [0.090] 0.484 [0.049] 5 (très mauvais) SPEA2

Rec. auto-ad 0.061 [0.006] 0.000 [0.000] 0.056 [0.007] 2 (très bon)

TABLEAU 3.5: CRITERES DE P O EILL RS RESULTATS SONT INDIQUES EN

GRAS ET LE E NNE NTRE CROCHETS

Opérateur

ERF RMANCE POUR LE PROBLEME SCH. LES M EU S INT RVALLES DE CONFIANCE A 95% SONT DO S E

ε εmin ∆ Classement

BGX (k=16) pas de convergence au bout de 200 générations 5 (très mauvais)

SBX (η=1) 0.007 [0.000] 0.086 [0.006] 0.006 [0.000] 1 (excellent)

BLX-0.5 0.004 [0.000] 0.209 [0.008] 0.004 [0.000] 3 (bon) Mut. auto-ad 0.091 [0.006] 0.195 [0.059] 0.008 [0.001] 4 (mauvais) NSGA-II

Rec. auto-ad 0.004 [0.000] 0.118 [0.009] 0.005 [0.000] 2 (très bon) BGX (k=16) pas de convergence au bout de 200 générations 5 (très mauvais)

SBX (η=1) 0.006 [0.000] 0.100 [0.007] 0.005 [0.000] 1 (excellent)

BLX-0.5 0.009 [0.001] 0.289 [0.010] 0.002 [0.000] 3 (bon) Mut. auto-ad 0.302 [0.306] 0.445 [0.299] 0.008 [0.002] 4 (mauvais) SPEA2

Rec. auto-ad 0.006 [0.000] 0.129 [0.009] 0.004 [0.000] 2 (très bon)

Pour le problème ZDT4, le tableau 3.3 montre que les deux algorithmes sont les plus efficaces lorsqu’ils sont associés au croisement BLX-0.5. Ce croisement réussit bien au SPEA2 pour le problème ZDT6 mais conduit à des performances biens moindres lorsqu’il est utilisé par le

NSGA-II sur ce même problème. Nous analyserons ce phénomène en détail dans la partie suivante.

Le NSGA-II couplé au croisement BGX excelle sur la fonction ZDT6 mais présente des performances très mauvaises sur la fonction SCH (l’algorithme n’a en effet pas convergé au bout de 200 générations ; seul un individu non-dominé est trouvé dans la population finale pour les 100 exécutions).

Pour le problème SCH, excepté avec le croisement SBX, le NSGA-II et le SPEA2 n’ont pas réussi à correctement répartir les individus de la population finale sur le front optimal et à détecter convenablement les solutions extrémales (ε_min élevé). De ce fait, le SBX est classé en première position sur ce problème, malgré des performances légèrement moins bonnes vis-à-vis des deux autres critères ε et ∆.

De cette étude, nous pouvons conclure que les meilleures performances sont toujours obtenues ar un opérateu

p r de croisement donné agissant seul. Cependant, l’efficacité de chaque

t

diés. Les résultats sont donnés pour 400 générations et moyennés sur 100 exécutions. Nous indiquons

ent le seuil à partir duquel le clustering est activé.

Nous pouvons observer que la méthode de recombinaison auto-adaptative est capable de diriger croisement est clairement dépendante des caractéristiques des problèmes tests. Il est donc difficile de prédire a priori pour un problème quelconque quel opérateur sera le plus approprié. L’utilisation simultanée des différents croisements à travers la procédure de recombinaison auto-adaptative que nous avons proposée perme d’améliorer la robustesse des algorithmes. Nous observons en effet que ce type de stratégie de variation présente de très bonnes performances, quel que soit le problème considéré (le croisement auto-adaptatif est toujours classé au deuxième rang).

3.3.2 Analyse de la procédure de recombinaison auto-adaptative

Pour comprendre les mécanismes de fonctionnement de la procédure de recombinaison auto-adaptative, nous avons tracé, aux figures 3.7, 3.8, et 3.9, l’évolution des taux d’enfants créés avec les différents croisements au cours des générations pour les trois problèmes tests étu égalem

0 100 200 300 400 Générat ion 0 100 200 300 400 Générat ion 0 100 200 300 400 Générat ion 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

clust ering inact if clust ering act if

BGX (k= 16) SBX (η= 1) BLX-0.5 BGX (k= 16) SBX (η= 1) BLX-0.5 O ri g in e d es en fa n ts ( % ) O rig in e d es e n fa n ts ( % ) 0 100 200 300 400 0 100 200 300 400 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Générat ion Générat ion

clust ering inact if clust ering act if

BGX (k= 16) SBX (η= 1) BLX-0.5 BGX (k= 16) SBX (η= 1) BLX-0.5

figure 3.7 :Origine des enfants dans la procédure de recombinaison auto-adaptative

(a) NSGA-II (b) SPEA2

pour le problème test ZDT4

0 100 200 300 400 Générat ion 0 100 200 300 400 Générat ion 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 60 70 80 90 100

clust ering act if

BGX (k= 16) SBX (η= 1) BLX-0.5 BGX (k= 16) SBX (η= 1) BLX-0.5 Or ig in e d es e n fa n ts ( % )

clust ering inact if

70 80 90 100 70 80 90 100

clust ering inact if clust ering act if BGX (k= 16) SBX (η= 1) BLX-0.5 BGX (k= 16) SBX (η= 1) BLX-0.5 0 100 200 300 400 Générat ion 0 100 200 300 400 Générat ion 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 n fa n ts ( % ) 60 60 O rig in e d es e

(a) NSGA-II (b) SPEA2

figure 3.8 : Origine des enfants dans la procédure de recombinaison auto-adaptative pour le problème test ZDT6

Ainsi, le croisement BLX-0.5, qui possède la plus large capacité d’exploration, est rapidement favorisé pour le problème ZDT4, afin d’éviter les pièges dus à la présence des fronts locaux (figure 3.7). Sur le problème SCH, et à cause de la taille importante de son espace de recherche, cet opérateur est également privilégié au début de la recherche, mais les deux algorithmes tendent finalement vers une utilisation plus intense du SBX qui semble améliorer la convergence en direction des solutions extrémales (voir figure 3.9 et tableau 3.5).

BGX (k= 16) SBX (η= 1) BLX-0.5 60 70 80 90 100 60 70 80 90 100 0 100 200 300 400 Générat ion 0 100 200 300 400 Générat ion 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50

clust ering inact if clust ering act if

O ri g in e d es 0 100 200 300 400 Générat ion 0 100 200 300 400 Générat ion 0 10 70 80 90 100 70 80 90 100 BGX (k= 16) SBX (η= 1) BLX-0.5 BGX (k= 16) SBX (η= 1) BLX-0.5 clust ering inact if clust ering act if

n ts ( % ) en fa n ts ( % ) 20 20 30 40 50 60 0 10 30 40 50 60 O ri g es e n fa

(a) NSGA-II (b) SPEA2

figure 3.9 : Origi des en on auto-adaptative

SCH

Curieusement, pour le problème procédure de recombinaison auto-adaptative est radicalement différent en régim

résultats sont en accord avec ceux du paragraphe ontrent que le SPEA2 est plus performant lorsqu’il est a socié NSGA-II est plus efficace s’il est employé avec le BGX. Néanmoi ux algorithmes tirent tout deux profit du BGX, sans doute pour é iter le

in

e d

ne fants dans la procédure de recombinais pour le problème test

ZDT6, le comportement de la

e transitoire pour le SPEA2 et le NSGA-II. Ces 3.3.1, qui m

s au croisement SBX et que le ns, il semble que les de

v s « attracteurs locaux » de valeur f élevée au voisinage de la ₂

*

solution extrémale du front optimal définie par f₁ ≈ 280. . Dans les deux cas, le taux d’enfants créés par cet opérateur en régim elui obtenu pour les deux autres problèmes (environ 10% ontre 1

amment au cours du processus d’optimisation.

Enfin, nous examinons, dans les tableaux 3.6 à 3.8, l’influence du taux de mutation du gène de croisement sur l’efficacité des algorithmes. Les résultats montrent que les critères de

ent 5%), qui permettent de ne pas détériorer les effets bénéfiques du croisement auto-adaptatif à travers la procédure de sélection.

TABLEAU 3.6 : INFLUENCE DU TAUX DE MUTATION DU GENE DE CROISEMENT POUR LE PROBLEME ZDT4 (MOYENNE SUR 100 EXECUTIONS). LES MEILLEURS RESULTATS SONT INDIQUES EN GRAS ET LES INTERVALLES DE CONFIANCE A

95% SONT DONNES ENTRE CROCHETS Taux de mutation du X-gène

e stationnaire est supérieur à c

c %).

Remarquons également que le comportement de l’archive en régime stationnaire, caractérisé par l’activation du clustering, ne correspond pas nécessairement à l’apparition du régime stationnaire de la procédure de recombinaison auto-adaptative. Comme le montrent les figures 3.7, 3.8 et 3.9, les taux d’enfants créés par chaque type de croisement continuent à évoluer const

performances sont très peu sensibles à ce facteur. De manière générale, il est préférable d’opter pour des taux de mutation relativement faibles (typiquem

ε εmin ∆

5% 1.688 [0.164] 1.437 [0.136] 0.021 [0.008] 20% 1.699 [0.182] 1.460 [0.148] 0.019 [0.005] 100% (cas aléatoire ) 2.084 [0.187] 1.783 [0.151] 0.035 [0.010] 0 1.624 [0.138] 1.446 [0.118] 0.018 [0.004] 5% 1.616 [0.161] 1.427 [0.133] 0.024 [0.006] 20% 1.733 [0.182] 1.521 [0.135] 0.020 [0.006] SPEA2 100% (cas aléatoire ) 2.192 [0.201] 1.838 [0.147] 0.037 [0.009]

TABLEAU 3.7 : INFLUENCE DU TAUX DE MUTATION DU GENE DE CROISEMENT POUR LE PROBLEME ZDT6 (MOYENNE SUR 100 EXECUTIONS). LES MEILLEURS RESULTATS SONT INDIQUES EN GRAS ET LES INTERVALLES DE CONFIANCE A

95% SONT DONNES ENTRE CROCHETS

Taux de mutation du X-gène ε εmin ∆

0 0.005 [0.005] 0.000 [0.000] 0.011 [0.005] 5% 0.014 [0.006] 0.000 [0.000] 0.024 [0.010] 20% 0.015 [0.006] 0.000 [0.000] 0.026 [0.010] NSGA-II 100% (cas aléatoire ) 0.012 [0.004] 0.000 [0.000] 0.023 [0.008] 0 0.076 [0.008] 0.000 [0.000] 0.064 [0.007] 5% 0.061 [0.006] 0.000 [0.000] 0.056 [0.007] 20% 0.071 [0.008] 0.000 [0.000] 0.064 [0.008] SPEA2 100% (cas aléatoire ) 0.080 [0.007] 0.000 [0.000] 0.069 [0.007]

TABLEAU 3.8 : INFLUENCE DU TAUX DE MUTATION DU GENE DE CROISEMENT POUR LE PROBLEME SCH (MOYE SUR 100 EXECUTIONS). LES MEILLEURS RESULTATS SONT INDIQUE EN GRAS ET LES INTERVALLES DE CONFIAN

95% SONT DONNES ENTRE CROCHETS Taux de mutation d NNE CE A S ε εmin ∆ u X-gène 0 0.004 [0.000] 0.210 [0.009] 0.004 [0.000] 5% 0.004 [0.000] 0.118 [0.009] 0.005 [0.000] 20% 0.004 [0.000] 0.103 [0.009] 0.005 [0.000] NSGA-II 100% (cas aléatoire ) 0.006 [0.000] 0.124 [0.009] 0.005 [0.000] 0 0.003 [0.000] 0.289 [0.009] 0.002 [0.000] 5% 0.006 [0.000] 0.129 [0.009] 0.004 [0.000] 20% 0.003 [0.000] 0.132 [0.009] 0.004 [0.000] SPEA2 100% (cas aléatoire ) 0.006 [0.000] 0.169 [0.009] 0.004 [0.000]

3.4

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons montré la sensibilité des algorithmes évolutionnaires multicritères vis- nt utilisés lors de la phase d’évolution. L’efficacité d’un pérateur donné est fortement liée aux spécificités du problème traité (multimodalité, biais, non-niformité des solutions…). Le choix d’un type de croisement particulier nécessite la

à-vis des opérateurs de croiseme o

connaissance a priori de certaines caractéristiques des fonctions à optimiser, ce qui, en pratique, rarement le cas. L’implantation d’une méthode de recombinaison auto-adaptative a m tré, à travers la résolution de problèmes tests, qu’il était possible de grandement améliorer la robustesse d’un algorithme pour le désensibiliser vis-à-vis de ses opérateurs de variation.

est on

systémique de c

de recombinaison auto-adaptative, comme outil d’optimisation pour traiter, dans le domaine du Génie Électrique, plusieurs problèmes multicritères de conception

Tous ces avantages rendent ces algorithmes particulièrement bien adaptés à l’approche onception optimisée à laquelle nous nous intéressons. Dans la suite de ce travail, nous proposons donc d’utiliser le NSGA-II, couplé à la méthode

Chapitre 4

Les étapes d’une démarche de conception

roblème plus complexe de la conception d’un véhicule électrique.

cho le es

calcul des critères, des contraintes,…). La lutions et leurs couplages, il faudra en effet remonter jusqu’aux modèles t à la manière dont a été posé le problème.

ptimisati

lyse complète d’un problème de conception d’une chaîne e conversion électromécanique, en accordant une importance particulière à la compréhension

optimale

Nous proposons, dans ce chapitre, d’appliquer l’algorithme génétique multicritère NSGA-II à la résolution, dans le domaine du Génie Électrique, d’un problème d’optimisation formulé au sens de l’approche systémique. Le système choisi pour cette étude est constitué de l’association d’une source de tension, d’un onduleur, d’un actionneur à aimants permanents et d’un réducteur mécanique entraînant une charge. Le choix de cette structure, qui peut paraître simpliste, est motivé par l’objectif de ce chapitre qui est de mettre en avant les difficultés rencontrées lors des différentes étapes conduisant à la formulation du problème, à sa résolution et à l’analyse des résultats. Cette approche permet de mieux appréhender les fondements de la démarche et de concentrer le discours sur la méthode en elle-même, avant d’aborder, dans le chapitre suivant, le p

Nous présentons, dans ce chapitre, la manière dont nous avons conditionné le problème de conception par optimisation. Afin d’en évaluer la pertinence, nous abordons en détail les critères

isis, s modèles utilisés et les contraintes associées au problème. Cette description t essentielle pour connaître précisément le contexte dans lequel a été formulé le problème (hypothèses de modélisation, méthodes de

connaissance de tous ces éléments ce révèlera cruciale au moment de l’analyse des résultats. Pour comprendre les so

e

Sur la base du système proposé, nous résolvons plusieurs problèmes d’o on, et mettons en avant les apports méthodologiques de ces recherches dans le domaine de la conception en Génie Électrique. Nous menons une ana

d

4.1

Présentation du problème d’optimisation

4.1.1 Architecture du système

L’exemple choisi pour illustrer l’intérêt de la méthode que nous proposons est un systèm conversion électromécanique, système assez répandu dans le Génie Électrique moderne. Il est constitué :

d’un convertissement statique d’un moteur électrique

d’un réducteur mécanique

La figure 4.1 présente la structure globale de l’ensemble. Chacun des sous-systèmes sera associé à un jeu de paramètres , permettant d’évaluer l’ensemble des critères partiels relatifs à l’élément considéré.

L’optimisation des performances de ce système peut tout d’abord conduire à réfléchir sur la nat

satisfaire au mieux les objectifs d’optimisation ? Vaut-il mieux choisir une alimentation de type continu ou alternatif ? Vaut-il mieux choisir un actionneur de type synchrone, asynchrone continu ? Le convertisseur doit-il être continu-alternatif ou alternatif-continu ou autre ? interrupteurs du convertisseur doivent-ils être de type GTO, IGBT, CMOS ? L’intégration du choix de l’architecture du système au processus d’optimisation lui-même est bien sûr séduisante, car ces choix amonts sont souvent difficiles à faire et fondamentaux en terme de conception. Par ailleurs, comme évoqué au chapitre 1 (paragraphe 1.3.1), l’étape d’architecture système est intimement couplée à son dimensionnement ainsi qu’à son mode de gestion, si bien qu’une conception simultanée, intégrant ces trois points de vue, paraît opportune et de nature à mener au « véritable optimum global du système ». Cependant, cette intégration complexifie grandement la formulation du problème d’optimisation, ainsi que sa résolution.

D’une part, il faut disposer de nombreux modèles pour représenter chacun des objets. Ces modèles doivent permettre de décrire aussi bien des aspects relatifs au dimensionnement de la structure qu’à son comportement. Pour notre exemple, il faudrait disposer de modèles de dimensionnement et de simulation pour des machines synchrones, asynchrones, à courant continu, de modèles pour différentes structures de convertisseurs, avec différents composants de puissance. A ce stade, le rassemblement de toutes ces connaissances manque encore de maturité. Ce problème est d’ailleurs l’un des thèmes d’un groupe de recherche national (GdR), lancé il y a un an, et concernant « La capitalisation de modèles en vue de l’optimisation ».

e de

d’une source de tension

d’une charge

SSi

Σ

SSi

X FSSi

ure des sous-systèmes. Quelle architecture choisir pour cette chaîne de conversion afin de ou Les

Source de t ension Convert isseur statique Mot eur élect rique Réduct eur mécanique Charge mécanique 2 SS

∑

∑

_SS3

∑

_SS4

∑

_SS5 2 SS

X

X

_SS3

X

_SS4

X

_SS5 1 SS

X

1 SS2 SS3 SS4 SS5 1 SS

∑

SS F F F F F

figure 4.1 : Structure globale du système à optimiser

D’autre part, laisser la liberté au processus d’optimisation d’associer différents types de sources,

de convertisseurs et d’actionneurs nécessite d’é . Les

propriétés intrinsèques des élém

ensemb e de structure et de dynamique constitue déjà en soi une problématique. Des recherches sur ce sujet sont d’ailleurs actuellement en cours au LEEI [Dem02].

Fort de ces remarques, nous n’avons pas inclu le choix d’architecture au processus d’optim

recherc

d’un système dont la structure, fixée au préalable, est décrite dans la section suivante. Signalons tout de même que l’emploi de méthodes évolutionnaires peut, grâce à leur capacité à traiter des problèmes combinatoires, très bien se prêter à l’intégration de choix d’architecture et pourrait, à terme, permettre de

4.1.2

La structure du système retenu pour l’étude est basée sur une chaîne de conversion statique continu-alternatif. La figure 4.2 en présente les différents éléments. Cette chaîne de conversion compo

tudier la compatibilité des associations ents conditionnent leur environnement et l’établissement d’un le cohérent en term

isation, cet axe étant bien sûr parmi les perspectives à court terme de ce thème de he. Nous ne nous intéresserons dans ce travail qu’à l’optimisation et au dimensionnement

viser le concept « d’architecture simultanée ».

Présentation de la structure retenue

rte :

une source de tension continue (∑ ) _SS1 duleur de tension à IGBT ( _SS2

un on ∑ )

un moteur synchrone à aimants permanents ( ) un réducteur mécanique ( 3 SS ∑ 4 SS ∑ ) une charge de puissance constante

C_ch Ω_ch

~

=

~

=

Source de t ension continue Source de tension continue continu-alt ernatif Convert isseur Convertisseur continu-alt ernatif Moteur synchro à aimants permanents ne Moteur synchron à aimants permanent s cteur nique e Rédu méca Rédu mécan ct eur ique Charge mécanique constant e Charge mécanique const ant e 1 SS 2 SS

∑

3 SS

∑

_SS1

∑

∑

4 SS

∑

a formulation complète du problème d’optimisation passe dorénavant par le choix des critères

d’o que sous-système, ainsi que par la détermination

des contraintes intrinsèques aux modèles ou liées à l’assemblage des éléments.

4.1.3 Critères d’optimisation

Le choix des critères d’optimisation est fondamental car il va, d’une part, définir les objectifs du problème, et d’autre part, comme nous l’avons vu dans le chapitre 1, conditionner le type de modèle vers lequel va s’orienter notre choix pour évaluer ces critères. A titre non exhaustif, nous pouvons citer un certain nombre de critères qu’il pourrait être intéressant d’optimiser, tels que les per teur, les pertes convertisseur, la masse du réducteur, le coût économique ou l’encombrement de l’ensemble, etc. Il faudrait pouvoir extraire à l’aide de modèles toutes les informations désirées. Le coût économique, par exemple, est difficile à évaluer. Au stade actuel, nous ne disposons pas de données précises permettant d’établir des modèles de coût financier d’un actionneur, d’un convertisseur ou d’un réducteur. Il en est de

mêm comme le convertisseur qui sont difficiles à

déterminer. Ces aspects mettent en évidence le travail restant à faire en terme de recherche et de capitalisation de modèles. Une collaboration avec les industriels sur ce point pourrait être une solution intéressante. Leur expérience et leur savoir-faire s’avèreraient très utiles pour

permettrait de se de données » plus riche qui

possibilités de choix parmi différents critères de nature différente.

Pour le système considéré, nous choisissons de rechercher les configurations paramétriques figure 4.2 : Structure du système retenu pour l’étude par optimisation

L

ptimisation, des paramètres associés à cha

tes ou la masse du mo

e pour les masses de certains des éléments

l’élaboration de modèles technico-économiques. L’acquisition de ces nouvelles connaissances mettre à la disposition du concepteur une « ba

permettrait d’étendre un peu plus encore les

garantissant les meilleurs compromis entre deux critères, les pertes globales du système (critèreF₁

( )

X ) et sa masse globale (critèreF₂

( )

X ). Chacun des critères partiels constituant les critères globaux dépend d’un jeu de paramètres X_SSi associé au modèle du sous-système ∑_SSi considéré. Bien évidemment, il ne s’agit pas de conclure à l’indépendance des critères ne dépendant pas du même jeu de paramètres X_SSi . L’association des sous-systèmes va engendrer

des couplages entre les paramètres, les critères et les contraintes du problème d’optimisation formulé dans sa globalité. La mis évidence de ces couplages par une étude préliminaire est difficile. La complexité du modèle complet constitue un obstacle important à l’analyse des interactions prése

e en

ntes au sein du système. L’outil que nous proposons d’utiliser pour la voriser la compréhension de ces mécanismes de

4.1.4 Choix des modèles

Afin de réduire les temps de calcul relatifs à l’évaluation des critères, nous adopterons une modélisation purement analytique du système [Reg03a][Reg03b]. En contrepartie, pour certains

s de variations paramétriques. Cet aspect peut impliquer des rebouclages entre l’optimisation et la modélisation. Une démarche de validation a posteriori peut être appliquée, lorsque cela est nécessaire, pour s’assurer de la précision ou de la validité de certaines solutions.

m naturellement plus complexes que

d’autres. Ces éléments ont en général une influence centrale sur le comportement du système, dans la mesure où ils possèdent un caractère multi-domaines fort (présence de phénomènes physiques de nature magnétique et électrique par exemple). Cette complexité intrinsèque à l’élément se traduit souvent par un accroissement du nombre de paramètres de conception

écan

parfaite illustration d’un élément complexe, iège de phénomènes de natures physiques différentes. C’est pourquoi, dans la partie suivante, nous abordons en détail la stratégie de modélisation p

s

Une des étapes essentielles de l’approche que nous proposons est la caractérisation de l’actionneur électromécanique présent au sein du système [Reg03c]. Cet élément, de par sa nature hétérogène, va intervenir dans différents domaines physiques sur le comportement global du système. C’est un élément complexe qui est le siège de phénomènes en rapport avec

ma

résolution du problème, en plus de ses capacités à trouver des solutions optimales, permet, en explorant plusieurs solutions en parallèle, de fa

couplage. Nous reviendrons ultérieurement sur ce point lors de l’exploitation des résultats.

éléments de la chaîne, cette approche se traduit par une précision moins bonne que celle pouvant être obtenue avec d’autres méthodes (calcul numérique des champs par exemple). Comme nous l’avons évoqué dans le chapitre 1, il n’est pas simple de garantir la validité des modèles sur de larges gamme

Certains élé ents de la chaîne apparaissent comme étant

associé au modèle. Les phénomènes à décrire nécessitent en effet une approche physique plus complète. Les grandeurs de dimensionnement, plus nombreuses, peuvent chacune avoir une influence forte sur le comportement du système, et méritent donc d’être intégrées au modèle. Pour notre application, l’actionneur électrom ique que constitue la machine synchrone est la

s roposée pour cet actionneur.

4.2

Modélisation de la machine synchrone à aimants permanent

l’électromagnétisme, la thermique, la mécanique et les aspects de commande. Toutes ces propriétés, couplées entre elles, vont interagir avec les autres éléments du système. La sse de l’actionneur, ses pertes, ses propriétés en surcouple ou en survitesse, vont conditionner les performances globales de la chaîne de conversion.

Même si nous pouvons, a priori, déterminer l’existence de certains couplages et les caractériser nt et dans quelles mesures les propriétés de l’actionneur influent sur l’ensemble du système, comment

hérent par rapport aux sse et la consommation énergétique.

st une machine à aimants permanents de surface de type Néodyme-Fer-ore (Nd-Fe-B). Dans un premier temps, nous présenterons le modèle de dimensionnement

actionneur

La caractérisation géométrique de l’actionneur d ettre de déterminer les dimensions des différentes parties de la machine. Pour ce faire, nous présentons, sur la figure 4.3, les

grandeurs à extra s dans le tableau

4.1.

qualitativement, il reste difficile de déterminer leur importance et leur influence précise sur les critères de performances du système. Nous percevons la difficulté de prévoire comme

choisir ses caractéristiques tout en s’assurant qu’il soit réalisable et co impératifs du cahier des charges, et en minimisant simultanément la ma

4.2.1 Modèle analytique de dimensionnement de la machine synchrone à pôles lisses

L’actionneur retenu e B

analytique de l’actionneur.

Ce modèle nous permettra de caractériser l’actionneur d’un point de vue géométrique. Nous pourrons ainsi par la suite déterminer les valeurs des paramètres du modèle circuit de la machine, ainsi que ses propriétés magnétiques et thermiques.

4.2.1.1 Caractérisation géométrique de l’

oit nous perm

ire du modèle de dimensionnement. Ces grandeurs sont définie

l_m r_S g g w_S w_m w_{T d} y d_S

TABLEAU 4.1 : DIMENSIONS GEOMETRIQUES DE LA MACHINE SYNCHRONE

m

l Epaisseur radiale de l’aimant au rotor (m)

g Entrefer stator - rotor (m)

m

w Largeur d’amaint pour un pôle (m)

S

w Largeur d’une encoche statorique (m)

T

w Largeur d’une dent statorique (m)

S

d Profondeur d’encoche (m)

y

d Profondeur de la culasse de la machine (m)

R

l Longueur active de la machine (m)

S

r Rayon d’alésage de la machine (m)

La démarche de dimensionnement est inspirée de [Sle92] et va consister à déterminer, dans un premier temps, le rayon d’alésage de l’actionneur r_S . Partons de l’expression analytique du couple électromagnétique de la machine, qui peut s’exprimer de la manière suivante:

Dans l’expression (4.1), représente la densité linéique de courant (A/m) et la valeur efficace du fondamental de l’induction dans l’entrefer (T).

S a R S em r l B K C 2 _{1 1} 2π = (4.1) S K1 B1a

Calcul de la valeur efficace du fondamental de l’induction dans l’entreferB_1a

Considérons une machine à aimants permanents triphasée à p paires de pôles. Les aimants radiale B_R , et l’on peut représenter l’induction rotoriques présentent une aimantation de type

( )

θ

a

B créée par un aimant dans l’entrefer par la courbe de la figure 4.4.

( )

θ a B a Bˆ θ p π aimant θ a Bˆ₁

( )

θ a B a Bˆ a Bˆ₁ θ p π aimant θ

figure 4.4 : Allure de l’induction créée par un aimant dans l’entrefer

La valeur crête de l’induction Bˆ est déduite de la valeur de l’inducta ion rémanente radiale de

l’aimant BR par la relation :

r m c r m l B Ba R l g K µ µ + (4.2) = ˆ

où µ_R est la perméabilité relative de l’aimant (µ_R =1.05). L’équation (4.2) peut être modifiée pour faire apparaître un terme structurel sans dimension définissant par le rapport entre l’épaisseur d’aimant l et l’entrefer corrigé par le coefficient de Carter _m K_C . Ce dernier prend en compte de manière moyenne les effets de la denture statorique sur la valeur de l’entrefer, de telle sorte que g'=K_Cg . Traditionnellement, le c

pouvons, en première approximation pour les calculs, poser 1

oefficient de Carter est très proche de 1. Nous

= C K . Ainsi : ' ' ˆ _B l g B m a = (4.3) g lm r R µ + Typiquement, 3<l_m g' <5

En définissant le coefficient de remplissage d’un pôle par _K = pθ_πaimant _{, nous définissons} P

l'angle α_aimant par :

2 2 aimant P aimant p K θ π α = = (4.4)

Une décomposition en série de Fourier permet d’extraire la valeur crête du fondamental de l’induction créée par l’aimant dans l’entrefer :

aimant a

a B

Bˆ ₁ = _π4 ˆ sinα (4.5)

< 0.6.

a surface d’encoche vaut . La densité de courant dans l’encoche vaut donc Densité linéique de courantK_1S

La densité de courant linéique K1S est liée à la densité surfacique de courant dans les encoches S

J (A/m²), à la dimension des encoches et au facteur de remplissage des encoches KR . Le

coefficient de remplissage KR caractérise le rapport entre la surface d’encoche effectivement

remplie par du cuivre et la surface d’encoche totale. Ainsi, nous pouvons écrire

S S cuivre R S d w K = / . Typiquement, 0.4 <KR S Sw d L r S S S enc J d w K

J = . La densité linéique de courant peut alors s’exprimer par la moyenne de la densité du courant d’encoche sur un pas d’encoche ( encoche + dent ) :

r B T S S _{w w} 1 1 + 1 B

K est le facteur de bobinage [Chat83]. Il permet de prendre en compte les particularités du bobinage telles que le raccourcissement, l’inclinaison ou la distribution.

Pour notre modèle, nous supposons que le bobinage est à pas diamétral, de sorte que le coefficient de raccourcissement est unitaire. Le facteur d’inclinaison permet de prendre en compte le décalage des tôles statoriques, destiné à diminuer les perturbations dues à l’encochage en créant des encoches inclinées le long

S S

Sw d _{K K}

J

K = (4.6)

du rotor. Nous choisissons de négliger cet effet.

e facteur de bobinage se limite alors au terme fondamental du facteur de distribution . Ce

suppos ale sinusoïdale, c’est-à-dire que nous ne considérons

ue le fondamental de l’induction dans l’entrefer, le coefficient a pour expression : 1

B

K K_Z

L

facteur prend en compte le fait qu’une phase est répartie sur plusieurs encoches. Si l’on e que le champ est à répartition spati

1 Z K q 1 1 6 sin B epp Z N N π (4.7) 6 epp K K = = où

En considérant que la largeur d’une encoche et la largeur d’une dent sont égales ( sinπ

epp

N est le nombre d’encoches par pôle et par phase.

T

S w

w = ), les ypothèses précédentes permettent d’écrire le couple électromagnétique de la façon suivante : h

1 1 2 B R S S g R S em r l B d J K K C =π (4.8)

Afin d’extraire la valeur du rayon d’alésage r_S de l’actionneur, nous introduisons deux rapports permettant de réduire le nombre d’inconnues de l’équation (4.8) :

port rayon d’alésage / longueur R =_rl

Rap r_S l_R . Typiquem

(machines longues) et 10 (machines plates)

ent, peut être compris entre 0.1

Rapport profondeur d’encoche / rayon d’alésage =

rl R dr R d_S r_S . Typiquement, 0.2< <0.5. 1 de l’a dr R

Le couple électromagnétique devient :

S a dr rl S em r R R B J K K C =π 4 −1 ₁ (4.9) B R

Le rayon d’alésage rS ctionneur s’exprime alors par :

4 1 1 1 _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = _π dr a R S rl em S C R _{J K B R} r (4.10) ettre une bonne description de l’objet, avec des degrés de liberté intéressants pour l’optimisation. D’un

autre côté, il faut privi surcharger » avec des

variables peu influentes ou trop locales, car rappelons que les modèles doivent être orientés vers le « système », plutôt que vers l

Par rapport à ces considérations, nous avons choisi d’imposer le facteur de remplissage des pôles à . Cette valeur correspond à une valeur de

L’équation (4.10) pose d’ores et déjà le problème du choix de certaines des variables d’optimisation de l’actionneur. Quels paramètres d’entrée choisir pour caractériser ces dimensions géométriques ? Ce choix fait partie des décisions importantes à prendre par rapport à la stratégie de modélisation. Le rayon d’alésage dépend de plusieurs grandeurs qui ne seront pas toutes intégrées parmi les paramètres d’optimisation. Une fois encore, il faut faire un compromis. D’un côté, le nombre de variables de conception doit être suffisamment élevé pour perm

légier la simplicité du modèle, en évitant de le « e « sous-système ». 833 . 0 = p

K αaimant=75°. En effet, le volume des

aimants et leur coût sont directement proportionnels àα_aimant . Or, une augmentation de α_aimant de

3

π à π (soit 66% de variation) n’entraîne qu’une augmentation de 15% de la valeur de 2

Cette valeur permet d’assurer un bon rapport entre le volume d’aimant et la valeur efficace de l’induction dans l’entrefer. De

a

B₁ . plus, choisir αaimant=75° permet d’assurer un bon compromis

concernant la minim ation s rmoniques 5 et 7 du couple de détente de l’actionneur [Nog97].

Nous imposons également la va ndeur d’encoche / rayon d’alésage e sorte que =0.25, ainsi que le coefficient de remplissage des encoches . Nous avons

is imultanée des ha

leur du rapport profo d

dr

considéré que ces paramètres étaient peu intéressants par rapport au modèle global de la chaîne de conversion et aux objectifs choisis.

Ainsi, nous dégagons à ce stade quatre variables de conception nous paraissant pertinentes pour le modèle de l’actionneur électrique : C_em, R , p et _rl J_S.

Le rayon d’alésage est alors connu et toutes les dimensions de la machine synchrone peuvent être déterminées à l’aide des relations suivantes :

La longueur active de la machine l_R vaut :

( )

rl S

R R r

l = −1 (4.11)

La profondeur des encoches dS se déduit de rS par l’intermédiaire du rapport R : dr

S dr

S R r

d = (4.12)

La valeur de l’entrefer g est fournie par une relation empirique liant sa dimension à celle du rayon d’alésage et de la longueur de la machine, de sorte que :

R Sl

r

g = 0.001+0.003 (4.13)

Le nombre d’encoches au stator se déduit du nombre d’encoches par pôle et par phase : N 6 enc N epp N epp N enc = p (4.14)

La largeur des dents et encoches s’écrit :

enc S N r π T S w w = = (4.15)

L’épaisseur l_md’un aimant est donnée par : 1 ˆ − R B = a c m _B l _{K g} µr (4.16)

La p t évaluée en considérant que:

La valeur m aima

5 .

0 (4.17)

Le flux maximal produit par un aimant s’obtient par intégration de l’induction rofondeur dy de la culasse es

aximale du flux dans culasse Φ vaut la moitié du flux _y Φ produit par les _a nts: ˆ ˆ a y = Φ Φˆ ˆ a Φˆ

( )

θ a B sous un pôle : = = = Φ _{a a R S a R S aimant} (4.18) 0 0

∫

∫

a B dS B l r d B l r aimant aimant θ θ θ θ ˆ ˆ ˆ ˆ

De la même manière, nous pouvons calculer l’expression du flux Φˆ _y reçu par la culasse en considérant que les lignes d’induction sont canalisées par la culasse d’épaisseur d_y :

Culasse st at orique Aimant y Φˆ y Bˆ Bˆy a a Bˆ Bˆ nts dans la culasse

En écrivant l’expression du flux dans la culasse en fonction de ses dimensions, nous obtenons :

(4.19)

figure 4.5 : Répartition de l’induction des aima

y R y y d l Bˆ ˆ ₌ Φ

La culasse est dimensionnée en fonction du niveau d’induction que l’on y tolère. En règle général, la valeur maximale Bˆy de l’induction dans la culasse vaut 1.4 - 1.6 T (nous

choisissons ici Bˆy =1.6T). Nous pouvons alors exprimer la valeur de la profondeur de la culasse d par : _y aimant S y a y R y y r B B B l d θ ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ = Φ = (4.20)

Finalement, nous pouvons écrire :

aimant y y B p d α ˆ = rS Bˆa (4.21)

4.2.1.2 Caractérisation du modèle circuit de l’actionneur

L’objectif de cette partie est de relier les paramètres géométriques aux paramètres circuits de la achine. Pour cela, nous exprimons, à partir des dimensions géométriques précédemment calculées:

le flux à vide reçu par une phase :

(4.22)

l’inductance magnétisante d’une phase :

Les dimensions géométriques de la machine synchrone sont à ce stade complètement déterminées. m V Φ ce g epp b V =2K1 N B1 rSlRN Φ m L 2 2 1 2 2 0 4 ce b epp g m N K N l p l r L S R π µ = (4.23)

l’inductance de fuite d’une phase :

(4.24)

la résistance électrique d’une phase :

f L 2 0 2 _{R epp enc ce} f l pN N L = µ λ S R

(

)

2 2 2 5 . 0 2 ce R S S enc S S R cuivre S _{r d K} N pN p d r l R ρ π _⎥π ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ + = (4.25)

Da es .22) à nducteurs par encoche et 6

= représente le nombre total d’encoches au stator.

4.2.1.3 Adaptation du bobinage aux conditions de fonctionnement

A ce stade, le seul paramètre inconnu est le nombre de conducteurs par encoche . Il dépend es conditions de fonctionnement de la machine en terme de tension d’alimentation et de

fréq . Nou

pour pe la caractérisation complète de l’actionneur. Celui-ci doit être capable, de fournir couple pour lequel il a été dimensionné sous une tension d’alimentation et une

ns l équations (4 (4.25), N_ce représente le nombre de co N_enc pN_epp

Le détail des calculs est fourni en Annexe A.

ce

N d

uence de rotation s introduisons donc deux variables de conception supplémentaires rmettre

le C_dim Vdim

pulsation électrique de rotation ωdim données, en adoptant une stratégie de pilotage à couple maximum par ampère [Chab00]. Il s’agit donc d’adapter Nce à ces conditions de

fonctionnement.

Pour réaliser cette adaptation, considérons les grandeurs indicées 1, représentant les paramètres de la machine pour un conducteur par encoche (Nce =1).

Les valeurs des paramètres du modèle circuit de l’actionneur peuvent ainsi être reliées au nombre de conducteurs par encoche. Les équations (4.22) à (4.25) permettent d’écrire :

1 2 m ce m N L L = L_f = N_ce2L_f1 1 2 R N R_S = ce ΦS = NceΦ1 (4.26) n supposant que, compte tenu des symétries géométriques du stator, la valeur de la mutuelle statorique Pour une machine à pôles lisses, l’inductance cyclique LS d’une phase est calculée e

S M peut s’écrire : 2 m S L M = − ⇒ LS =

(

Lm −MS

)

+Lf ⇒ 2

(

_{1 1}

)

2 ₁ 2 3 S ce f m ce S N L L N L L = + = (4.27)

Le courant I_S dans une phase de la machine s’exprime par :

ce

N

en adoptant un modèle par phase de la

S

I

I = 1

(4.28)

Ainsi, machine, en choisissant l’angle d’autopilotage

0 et en tenant compte de la résistance statorique R_S , nous obtenons le diagramme de

Ψ = °

dim 1ω Φ ce N ce ce _N I R N 1 1 2

(

)

dim 1 1 1 2 2 3 _ω f m ce _N I L L N + dim V ce ϕ

figure 4.6 : Diagramme de fonctionnement de l’actionneur pour Ψ 0= ° Nous pouvons ainsi en extraire l’expression du nombre de conducteurs par encoche :

(

)

(

(

)

)

2 dim 1 1 2 1 1 dim 1 dim 2 3 _ω ω m f ce L L I R V N + + + Φ = (4.29)

A partir de la seule connaissance des dimensions géométriques de l’actionneur, nous sommes capables de calculer L_m1, L_f1, R₁ et Φ .₁ onnaissance de la tension d’alimentation V_dim et de la pulsaton de dimmensionnement _dim

La c

ω permet alors de déterminer le nombre de conducteurs par encoches N_ce, duquel nous déduisons les valeurs de L_m, L_f , R_S et Φ_S .

L’actionneur est maintenant complètement caractérisé. Nous disposons de toutes ses dimensions

.2.2 Modèle thermique de l’actionneur en régime permanent

Le dimensionnement d’un actionneur ne peut être traité indépendamment de ses propriétés thermiques, surtout dans le contexte syst

comportement thermique de l’actionneur, en plus de ses propriétés intrinsèques, est en effet lié à

va être plac llicitation s

rmiquement adapté à la mission qu’il doit mener et au

s util ons un ermiq a es

ont soumis ux de ctio dèle

en régime permanent retenu est présenté sur la figure 4.7 et le détail du calcul des odèle considère uniquement les transferts de chaleur neur

geométriques ainsi que de la valeur de tous ses paramètres électriques et magnétiques.

4

émique dans lequel nous nous plaçons. Le l’environnement dans lequel la machine

allons lui appliquer.

ée et aux so s (mission) que nou

Afin de s’assurer que l’actionneur est the contexte dans lequel il va évoluer, nou élévations de température auxquelles s thermique is modèle th les matéria ue l’a fin de déterminer l nneur. Le mo éléments peut être trouvé en annexe C. Ce m