Objectifs du chapitre :

(1)

Chap. n°4 : Matrices : applications Objectifs du chapitre :

C4.a - Niv1 - Savoir calculer l’inverse d’une matrice.

C4.b - Niv1 - Savoir résoudre un système d’équations linéaires.

C4.c - Niv1 - Savoir calculer avec une suite matricielle .

C4.d - Niv1 - Savoir étudier la convergence d’une suite matricielle.

C4.e - Niv1 - Savoir étudier une marche aléatoire.

Cours n°1 : Inverse d’une matrice, puissance de matrice

C4.a - Niv1 - Savoir calculer l’inverse d’une matrice.

Définition n°1 : INVERSE

Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n.

B est l’inverse de A si ………...

Remarque :

Si BA=I, alors, AB=I :

………

………...

Propriété n°1 : inverse d’une matrice carrée d’ordre 2 Soit A = (^{a b}c d)^{. Alors :}

1) A est inversible si et seulement si ……….

2) L’inverse de A est alors la matrice 1

ac−bd(^{… …}… …^.)^.

Démonstration

………

(2)

………

………...

Exemple n°1

Soit A la matrice (⁻⁴0 ⁻−7⁴) . Est-elle inversible ? Justifier. Si elle est inversible, donner son inverse.

...

………

………....

...

………

Propriété n°2 : Inverse d’une matrice quelconque : méthode.

Pour calculer à la main l’inverse d’une matrice, on résout le système :

{

âââⁿ¹¹¹²¹^x^x^x¹¹¹⁺⁺^+aââ¹²²²ⁿ²^x^x^x²²²^+...+^+...+a^…⁺^...⁺ââ¹²ⁿⁿⁿⁿ^x^x^xⁿⁿⁿ^=b⁼^=b^b¹²ⁿôù

1. Le but est d’exprimer les x_i en fonction des b_i .

2. les coefficients a_ij sont les coefficients de la matrice A que l’on souhaite inverser.

Exemple n°2

Calculer l’inverse de A=(¹⁰0 ⁻⁵0² ⁻⁶³9 ) à la main.

...

(3)

...

(4)

...

Détermination de l’inverse d’une matrice à la calculatrice.

TI :

Casio :

(5)

NUMWORKS :

Définition n°2 : puissance d’une matrice

Si A est une matrice carrée d’ordre p, Aⁿ=A× A ×…× A où le facteur matrice A

apparaît n fois.

Exemple n°3 :

Soit L la matrice donnée par L = (^{0 1}^{0 0}0 0 ⁻³¹0 ). Calculer Lⁿ.

...

(6)

...

Exemple n°4:

Soit la matrice A = (−1¹ ⁻¹1 ). Déterminer Aⁿpour tout n élément de N.

...

(7)

...

FIN du cours n°1

Premier ‘Se tester’ du cours n°1 : C4.a - Niv1 - Savoir calculer l’inverse d’une

matrice. 1 2 3

C4.b - Niv1 - Savoir résoudre un système d’équations linéaires. 1 2 3

(Se Tester n°1) - Exercice n°1

Soit A la matrice (⁻⁴−5 −⁸7) . Est-elle inversible ? Justifier. Si elle est inversible, calculer son inverse.

Calculer l’inverse de A=(⁹⁰0 ⁻⁷⁴0 −⁵²9) à la main.

Soit la matrice A = (⁻⁷+7 −7⁺⁷). Déterminer Aⁿpour tout n élément de N.

(8)

Résultats et indices 1

^er ex : Oui et A⁻¹= 1

68(⁻+5⁷ −⁻⁸7)

2

^ème ex :

(

¹⁹⁰⁰ ³⁶⁷¹⁴⁰ ⁻¹⁸¹²¹¹⁹

)

3

^ème ex : 2ⁿ⁻¹×−7ⁿ(−1¹ ⁻¹1 )^.

(9)

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°1

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1 : C4.a - Niv1 - Savoir calculer l’inverse d’une

matrice. 1 2 3

Soit A la matrice (−5¹ ⁻−⁴9) . Est-elle inversible ? Justifier. Si elle est inversible, calculer son inverse.

Calculer l’inverse de A=(⁰0² ⁻³⁻³0 −8⁹⁶ ) à la main.

Soit la matrice A = (⁻⁷+7 −7⁺⁷). Déterminer Aⁿpour tout n élément de N.

(10)

^er ex : Oui et A⁻¹=− 1

29(⁻⁹+5 −9⁺⁴)

2

^ème ex :

(

¹²⁰⁰ ⁻⁻⁰¹²¹³ ⁻⁻¹¹⁸¹¹⁸⁴

)

3

^ème ex : 2ⁿ⁻¹×−7ⁿ(−1¹ ⁻¹1 )^.

(11)

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1

Interrogation n°1 :

Objectif : C4.a - Niv1 - Savoir calculer l’inverse d’une matrice.

Exercices du cours n°1 (Cours n°1) - Exercice n°7

Ex.32 et 33 p.95

(Cours n°1) - Exercice n°8

Ex.34 p.95

Soit la matrice K=(^{0 1 0}^{0 0 1}1 0 0). Déterminer Kⁿ.

Soit la matrice J=(^{1 1 1}^{1 1 1}1 1 1)Déterminer Jⁿ.

Résultats des exercices du cours n°1

1

^er ex :

Ex 32 : A^-1=(⁻⁵3 −1² )^{; Ex 33 :}

2

^ème ex :

(⁻¹3 ;−1 3;5

3)

3

^ème ex :

Si n=3k+1, Kⁿ = K, si n = 3k + 2, Kⁿ = (^{0 0 1}^{1 0 0}0 1 0)^{et si}^n=3k^,^Kⁿ^{= I}³^.

4

^ème ex :

Jⁿ =

(

³³3ⁿ⁻¹ⁿ⁻¹ⁿ⁻¹ ³³3ⁿ⁻¹ⁿ⁻¹ⁿ⁻¹ ³³3ⁿ⁻¹ⁿ⁻¹ⁿ⁻¹

)

FIN des exercices du cours n°1

Cours n°2 : Résoudre un système linéaire

C4.b - Niv1 - Savoir résoudre un système d’équations linéaires.

Propriété n°1

(12)

Un système d’équations linéaires est un système d’équations de la forme :

{

âââ^m²¹¹¹¹^x^x^x¹¹¹^+a^+a^+a^m¹²²²²^x^x^x²²²^…^{+… …}⁺^+……^……^.^….^.+^.+^.+âââ¹²^mnⁿⁿ^x^x^xⁿⁿⁿ^=b^=b^=b¹²^m^{, où les}âîj^{et les}^b^jsont des nombres donnés, et où les x_i sont les nombres inconnus.

Il peut s’écrire matriciellement sous la forme : ………. où

...

Propriété n°2 : conséquence n°1 du théorème de Bezout

Si, avec la notation précédente, la matrice A est inversible, alors ce système d’équations linéaires possède une solution unique données par :

...

Démonstration

...

Exemple n°1

Résoudre, si c’est possible, le système suivant, en l’écrivant sous forme matricielle, et en utilisant la matrice inverse déterminée par la calculatrice (dans le cas d’une matrice non inversible, on déterminera si le système a une infinité de solution ou aucune) :

{⁵2^xx⁻⁶+3y=1^y=3

...

(13)

Premier ‘Se tester’ du cours n°2 : C4.a - Niv1 - Savoir calculer l’inverse d’une

matrice. 1 2 3

Résoudre le système suivant, en l’écrivant sous forme matricielle, et en utilisant la matrice inverse déterminée par la calculatrice (dans le cas d’une matrice non inversible, on déterminera si le système a une infinité de solution ou aucune) :

{⁻⁹6^x−8x−9y^y=−1=4

(14)

^er ex : x= 41

129^ety=− 10 43

(15)

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2 : C4.a - Niv1 - Savoir calculer l’inverse d’une

matrice. 1 2 3

Résoudre le système suivant, en l’écrivant sous forme matricielle, et en utilisant la matrice inverse déterminée par la calculatrice (dans le cas d’une matrice non inversible, on déterminera si le système a une infinité de solution ou aucune) :

{−2²^x−x+8^y=−2y=−6

(16)

^er ex : x=−11

7 ^ety=− 8 7

(17)

Interrogation n° 2 :

Objectif : C4.b - Niv1 - Savoir résoudre un système d’équations linéaires.

Exercices du cours n°2 (Cours n°2) - Exercice n°13

Ex.68 p.99

Ex.82 p.100

Soit le système d'équations linéaires {⁻x−^x⁺²^y−y+^y−^z=12z^z=2=3

1. Déterminer A tel que A(^x^yz)⁼(¹3²)

2. Montrer qu'il existe deux nombres a et b non nuls tels que A² = aI3 – bA.

3. En déduire que A est inversible et trouver les solutions du système d'équations.

(Cours n°2) - une autre façon d’inverser (sans calculatrice) - Exercice n°16

On donne le système suivant :

{⁴⁴²^x−3^x+^x+²²^y+^y−^y+²^z^z=a^z=^=b^c

1. Exprimer x , y et z en fonction de a ,b et c.

2. En déduire l’inverse de (⁴²4 −3²² ⁻¹¹2 ). Vérifier le résultat à la calculatrice.

Sujet D p.106

Résultats des exercices du cours n°2

1

^er ex :

B^-1=B.

2

^ème ex :

1. M = (^{−4 2 1}^{16 4 1}36 6 1) 2. f(x) = 7x² + 4x – 10 3. g(x)= (¹4 p+1

2)^x² + (–2p – 4)x + (4p + 6) 3

^ème ex :

1. A = (⁻⁰1¹ −1¹² ⁻¹⁻¹2 )

(18)

2. A² = -2I + 3A. 3. A^-1 = -1

2^{A – 3I.}

4

...

Exemple n°3

Soit (^Vn) la suite définie par V_n+1=(⁰² ⁻¹¹3 )^Vⁿ^et^V⁰⁼⁽⁻¹² ⁾^.

Calculer V₁, V₂, V₃.

...

Propriété n°1 :

Soit (^Un) une suite de matrices colonnes comportant m lignes. Soit A une matrice carrée d’ordre m, telle que, pour tout rang n, on ait U_n+1=AU_n.

Alors, pour tout entier naturel n, on a : ………..

Démonstration :

...

(20)

...

Exemple n°4

Reprendre l’exemple n°3 : calculer

(

⁽²⁰ ⁻¹¹³ ⁾

)

⁷ et en déduire V₇.

...

Exemple n°5 :

Soit (^Un) la suite de matrices colonnes définie par :

U₀=(¹⁰8 )êtÛⁿ⁺¹⁼ÂUⁿ, sachant que A=(^{1 3}4 2)^.

1. On donne la matrice Q = (−4 3¹ ¹). Déterminer la matrice P, inverse de la matrice

Q.

...

2. Calculer D = QAP.

...

(21)

...

3. Exprimer A en fonction de D, Q, et P. En déduire l’expression de Aⁿ en fonction de Dⁿ, Q et P.

...

4. Calculer Dⁿ en fonction de n. En déduire Aⁿ en fonction de n.

...

(22)

...

5. Déduire de ce qui précède U_n en fonction de n.

...

Premier ‘Se tester’ du cours n°3 : C4.c - Niv1 - Savoir calculer avec une suite matricielle. 1 2 3

1. Soit (^Un) la suite définie par U_n=

(

ⁿ

4−6 6 n n³−7 n³−1

)

^.

2. Soit (^Vn) la suite définie par V_n+1=(⁻⁷⁰ ⁻⁴¹6 )^Vⁿ^et^V⁰⁼⁽⁻⁴⁴ ⁾^.

a. Calculer V₁, V₂, V₃.

(23)

b. Calculer (⁻⁷⁰ ⁻⁴¹6 )⁷ et en déduire V₇.

U₀=(⁻⁴1 )êtÛⁿ⁺¹⁼ÂUⁿ, sachant que A=

(

⁻⁵4²³⁴ −⁻37⁹⁴ 4

)

^.

1. On donne la matrice Q =

(

⁻⁻ ⁵⁴¹4 ⁹⁴ 1

4

)

. Déterminer la matrice P, inverse de la matrice Q.

4. Calculer Dⁿ en fonction de n. En déduire Aⁿ en fonction de n. 5. Déduire de ce qui précède U_n en fonction de n.

1. P =

(

⁺¹⁴¹4 −⁻⁹⁴5 4

)

2. D = (⁻⁸0 −⁰7)^.

3. A = PDQ ; Aⁿ = PDⁿQ.

4. Dⁿ = (⁽⁻⁸0⁾ⁿ (−7⁰)ⁿ)^.^Aⁿ⁼

(

⁻⁻ ¹⁶16⁵⁵ ⁽(⁻⁸−8⁾)ⁿⁿ⁺+ ¹⁶⁹5 ⁽⁻⁷⁾ⁿ ⁻ ¹⁶⁹ ⁽⁻⁷⁾ⁿ⁺ ¹⁶⁹ ⁽⁻⁸⁾ⁿ 16(−7)ⁿ − 5

16(−7)ⁿ+ 9

16(−8)ⁿ

)

^.

5. Un=

(

¹⁶16²⁹²⁹⁽(⁻⁸−8⁾)ⁿⁿ⁻− ⁴⁵¹⁶25⁽⁻⁷⁾ⁿ 16(−7)ⁿ

)

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°3 : C4.c - Niv1 - Savoir calculer avec une suite matricielle. 1 2 3

(

ⁿ

7+7 3 n n⁷−4

n⁵+6

)

^.

(25)

2. Soit (^Vn) la suite définie par V_n+1=(^{9 2}⁰ ¹9)^Vⁿ^et^V⁰⁼⁽⁻⁹⁻⁶⁾^.

b. Calculer (^{9 2}⁰ ¹9)⁷ et en déduire V₇.

U₀=(−6⁹ )êtÛⁿ⁺¹⁼ÂUⁿ, sachant que A=(−⁻15⁶ ⁻6³)^.

1. On donne la matrice Q =

(

⁻⁵⁶¹6 ¹⁶ 1

6

)

. Déterminer la matrice P, inverse de la matrice Q.

1. P =

(

⁺¹⁶¹6 ⁻¹⁶ 5 6

)

2. D = (^{−9 0}0 9)^.

U₀=(⁻⁵3 )êtÛⁿ⁺¹⁼ÂUⁿ, sachant que A=(52⁴⁷ ⁻−³⁹44)^.

1. On donne la matrice Q = (¹⁴2 −⁻³1

2). Déterminer la matrice P, inverse de la matrice Q.