Optimisation Chapitre 1

Texte intégral

(1)Optimisation. Chapitre 1. Notes de cours et exercices. Mathématique CST5 Collège Reine-Marie 2019-2020. Nom : ___________________________________ Groupe : _______.

(2) NOTES DE COURS. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 2.

(3) 1. Tracer une droite dans un graphique. Cer aine m hode po r racer ne droi e dan le plan car ien a ren pl efficaces » que d a re . La able de ale r perme de d erminer de co ple a i fai an l q a ion, mai cela e laborieux. Deux méthodes sont plus « efficaces » pour tracer une droite dans le plan et, selon la forme de l q a ion donn e, l ne de ce de m hode e pl appropri e. A) U ili er l ordonn e l origine e le a de aria ion dan le plan car ien. B) U ili er le coordonn e l origine.. A) Méthode « pente et ordonn e à l origine » Si la droite se présente sous la forme 𝒎𝒙 𝒃 alor il e po la pente m ( a de aria ion) e de l ordonn e l origine b. RAPPEL : La pente d une droite Soit deux points 𝑃 𝑥 , 𝑦 et 𝑃 𝑥 , 𝑦. ance de. appartenant à une droite D. La pente de D est donnée par : 𝑎. O d ne fa on pl. ible d e ploi er la connai. ∆𝑦 ∆𝑥. g n rale, 𝑎. 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑒𝑠. ∆𝑦 ∆𝑥. **Il e pr f rable d ili er le erme ordonnées » et « abscisses » puisque les variables utilisées en mathématique ne sont pas toujours 𝑦 et 𝑥.. Pour tracer une droite, il suffit de : 1) Placer n poin l ordonn e l origine 𝑏, soit le point 0, 𝑏 . 2) Placer un second point en fonction de la pente 𝑚 de la droi e, c e -à-dire en se déplaçant horizontalement de ∆𝑥 unités et verticalement de ∆𝑦 unités. 3) R p er l ape 2, p i relier le poin po r d erminer la droi e.. 3. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(4) Exemples :. Tauxdevar.ci. 3x 4 2 dans le plan cartésien cicontre.. 1) Tracer la droite y =. 2. 01 DX. 3) Tracer la droite y =. 3x + 10 . 4. 1. 1 Qrdialorigine be 4 Co 4 2) Tracer la droite y =. 5x +2. 3. Eploie. 1. f. 5. Ï. L. a. gars. 5) Tracer la droite y = 2 + x .. y1. Yo 87. 9 1. 01. Jax. 2. L. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. Z. z. 2. 2. z. a. DX. 4) Tracer la droite y = x 8 .. io. 70,10. 2 a. t.aa.e.at. www.madameblanchette.com. 1. 4.

(5) On e o. ien a. a. i de l a pec de droi e par ic li re :. 6) : Tracer y = 3.. 7) : Tracer x = 2.. horizontale. verticale. (droite _________________). (droite _________________). 8) : Tracer y = x. (variation directe). Ë. 0. équivalente à y = 0x + -3. 3. **L q a ion de l a e de ordonn e e **L q a ion de l a e de ab ci. e e. 1. équivalente à y = 1x + 0. X. D. 0. : _______________ : _______________. y. B) Méthode « coordonn es à l origine ». Si la droite se présente sous la forme 𝑨𝒙 𝑩 d e ploi er la connai ance de coordonn e l ordonn e l origine.. 𝑪 (ou toute forme équivalente) alors il est possible l origine, c e -à-dire l ab ci e l origine e. On ai q e l ab ci e l origine e la ale r de l ab ci e lor q e l ordonn e e n lle [(x0, 0)] et q e l ordonn e l origine e la ale r de l ordonn e lor q e l ab ci e a ro [(0, y0)]. Pour tracer la droite, il suffit de : 1) b i er l ab ci e la ale r ro po r ob enir l ordonn e l origine ; 2) b i er l ordonn e la ale r ro po r ob enir l ab ci e l origine ; 3) placer et relier les deux points obtenus dans le plan pour déterminer la droite.. Exemples : 1) Tracer la droite 2 x + 3 y = 24 .. 10,1. 2 39 24 2.0 39 21. 24. 5. y 8 0,8. 2 39 24. 2 3.0 24 211 24. 434 12. 12,0. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(6) 2) Tracer la droite. 4 x + 7 y = 56 .. LÀ. 10,1. 4. 4.0 79 56. 79 56 g8. 3). 0,8 Tracer la droite 25 x. X. 25.0 159 1500 154 1500. y. 14. 14. F a. top. 15 y = 1500 .. 10f. y. 7.0 56 4 56. KI. 25 15.0 1500 25 1500. 100. Orta. Exemples : Trace les droites représentant les différentes fonctions suivantes. Identifie bien les différentes droites dans le plan cartésien. 𝑦. 𝑥. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. 5. 2𝑥. 𝑦. 3. 0. 𝑦. www.madameblanchette.com. 𝑥. 𝑦. 1. 6.

(7) 2. Trouver l quation d une droite. Po r ro. er l q a ion d ne droi e. par ir de a repr. en a ion dan. n plan car. ien, il fa. :. 1- Trouver le taux de variation 2- Tro er l ordonn e l origine (o ale r ini iale) en li an la donn e r le plan car en r ol an alg briq emen par ir de coordonn e d n poin conn .. Exemple : Tro a). e l q a ion de droi e. i an e .. 2. YI.fi Eo Eb Ordialoriginerais. ordià. Dtauxdevariation. x ya. a. zFita g 4coi.p 1 tauxdevar. zordiatongine.ir 3.1 fais 5ff 2 2 a. 7g. x. y. b. 6. 5 s. ç. b. 5 b. ÏÏ. c). fÏÏ 7. 4. g. l'origine. b). ien o. ËÊÉÎÊ. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. oraiaiorigine y 3xtb 6 3.3 6. EEE Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(8) 3. Traduire une situation en équations ou inéquations A) Traduction en équation. Pour traduire une situation en une équation à une ou deux variables et la résoudre, il faut : 1- Identifier la ou les variables. 2ablir l q a ion appropri e. 3- Résoudre l q a ion (graphiq emen o alg briq emen ) l aide de donn e fo rnie . 4- Fournir une réponse complète en tenant compte du contexte.. Exemples : Trad ire chaq e i a ion par ne q a ion, p i r a) Le do ble d n nombre dimin. de 5 donne 8. Q el e. o dre. il. a lie .. ce nombre?. b) Sylvie travaille comme vendeuse dans une boutique cadeaux, elle gagne le salaire minimum. Sachan q elle a re ne paie de 828 $ br , combien d he re a-t-elle travaillées?. c) La fin de l impliq e la pr para ion de la pi cine po r l hi er. Sachan q ne pi cine con enan 10 000 gallon d ea e ide n r hme de 400 gallon a 12 min e , d ermine le temps nécessaire, en heures, pour assécher complètement la cuve.. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 8.

(9) B) Traduction d une situation par une in quation à une variable Une inégalité est une affirmation qui peut être VRAIE ou FAUSSE. Par exemple, 2 5. 7. 3. 4. 8. 4. 1. 3. 5. 8. 13 9. 8. 6 – 13. sont des inégalités ____________ ;. 19. 3 1. sont des inégalités ____________.. 6. Exemple : Complète le tableau suivant afin de rendre les inégalités vraies. Inégalités. S mbole d in gali. 6 ___ 3². <o. 3,2 ___ 3,11. >o. 27 ___ 3³. >o. 3 2 ___ 5 3 ne ariable dan. ible. o. 10 ___ 100. Si on in rod i. po. <o. ne in gali , ce n e. pl. ne inégalité, mais une inéquation.. Voici quatre inéquations : 𝑥. 5. 𝑦. 2𝑥 – 6. 𝑚. 𝑛. 3𝑡. 1. 𝑢. Bref, une inéquation contient : au moins une donnée inconnue (variable) ; l n de igne d in gali i an : <, , >, .. Pour traduire une situation en une inéquation à une ou deux variable(s), on doit : 1) identifier la ou les variable(s) dans la situation donnée ; 2) établir les expressions algébriques à comparer ; 3) crire l in q a ion en choi i an le mbole d in gali appropri : : : :. 9. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(10) Exemple :. La variable p d igne le pri (en $) d n j une inéquation.. a) Troi j. d orange co en moin de 4 $.. b) Troi j. d orange co en a moin 4 $.. c) Q a re j. d orange co en pl. d) Q a re j. d orange co en a pl. d orange. Trad i chac n de. nonc. par. de 5 $. 5 $.. C) Rappel : Les op rations avec les symboles d in galit s. Propri t d addition et de soustraction L addi ion o la o rac ion d ne m me q an i modifie pa le en d mbole d in gali .. a. de. membre d ne in q a ion ne. Propriété de multiplication ou de division par un nombre positif La m l iplica ion o la di i ion de de membre d ne in quation par un même nombre positif non-nul ne modifie pa le en d mbole d in gali . Propriété de multiplication ou de division par un nombre négatif La m l iplica ion o la di i ion de de membre d ne in q a ion par n m me nombre négatif non-nul ne modifie pa l en emble ol ion, en a an q e l on change le sens du symbole d in galit .. Exemples : Isole la variable 𝑦 dans les inéquations suivantes. a) 2𝑦. 3. 4𝑥. 7. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. b). 3𝑦. 9. www.madameblanchette.com. 6𝑥. 10.

(11) ATTENTION !! On peut écrire ou lire une inéquation dans les deux sens. Par exemple, x > y signifie que x est plus grand que y, mais aussi que y est plus petit que x. Donc ici, y < x.. Exemple : R. o. l in q a ion. i an e : 2𝑥. 7. 8𝑥. 15. Comme on ien de le oir, r o dre ne in q a ion con i e ro er l en emble de ale r d ne variable vérifiant cette dernière, autrement dit ses solutions. D a re diron q e r o dre ne in q a ion, c e ro er par q el nombre on pe remplacer la ou les variable(s) pour obtenir une inégalité VRAIE. L en emble ol ion d ne inéquation peut être représenté par des nombres réels(ℝ , des nombres entiers (ℤ ou des nombres naturels (ℕ . Attention !! : Lor de r ol ion d in q a ion en con e e, il fa dra con id rer l en emble de référence avant de donner la réponse.. Exemple :. Résous les inéquations suivantes.. a) 5 𝑡 – 2. b) 2 y 5. c) 6 x 30. 11. 1. 8 𝑡. 1 –9. y +1. 2( x 10). Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(12) Il est aussi possible de résoudre un système d in q a ion ne ariable. Po r ce faire, il ffi de résoudre chaque inéquation du système, de représenter la solution sur une droite numérique, puis de d erminer l en emble ol ion q i a i fai im l an men toutes les inéquations. Cet ensemble sol ion e donn par l in er ec ion de ol ion re pec i e de in q a ion .. Exemple : Résoudre le. me d in q a ion. ne ariable. i an :. 7x + 3 25 4x -3x + 5 < -x + 17 En effectuant les opérations appropriées, on trouve les solutions :. __________ et __________ respectivement. Représentons ces solutions sur un axe numérique :. -6. -1. 0. 1. 2. D erminon l en emble ol ion d me en regardant l in er ec ion de de ol ion , c e -à-dire l in er alle r leq el le de demi-droites sont superposées. Ici, on ro. demi-droites. e l in er alle de nombre r el ____________.. Q elq e ca par ic lier a) Q el erai l en emble ol ion d. me d in q a ion. i an ?. 2x + 1 5x - 8 13 4x < 4 2x. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 12.

(13) b) Q el erai l en emble ol ion de l in q a ion 2( x + 1). 2x 4 ?. c) Q el erai l en emble ol ion de l in q a ion 3a + 21. 1 (9a) ? 3. D) Traduire une situation par une inéquation à deux variables. Exemple :. Traduis les propositions suivantes par une inéquation du 1er degré à deux variables.. a) La somme de deux nombres ne dépasse pas 5.. b) Le double du 1er nombre diminué du second nombre est supérieur à -3.. c) Le tiers du 1er nombre augmenté du quadruple du second est au moins égal à 5.. d) La différence de deux nombres est inférieure à -9.. 13. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(14) 4. Tracer une inéquation à deux variables dans un graphique. Lor q e l on repr en e ne q a ion dan le plan car ien, on obtient une droite. Toutefois, lor q e l on repr en e ne in q a ion dan le plan car ien, c e pl ne r gion q e l on ob ien . Cette région est appelée « demi-plan ». R o dre ne in q a ion de ariable , c e ro er le co ple q i c e -à-dire TOUS le co ple q i renden VRAIE l in q a ion.. Tra on la droi e d q a ion 2𝑥. 𝑦. rifien ce e in q a ion,. 3 dans le plan ci-contre.. Que peut-on observer? La repr. en a ion graphiq e d ne droi e pare le plan car ien en roi r gion : 1) le poin SUR la droi e (corre pondan la rela ion d gali ) ; 2) les points AU-DESSUS de la droite ; 3) les points EN-DESSOUS de la droite.. La droite qui partage le plan cartésien est dite droite frontière. Il existe une infinité de couples (x, y) q i a i fon l équation 2𝑥 𝑦 3. La droite illustre cette infinité de solutions dans le plan. Mais quels couples satisfont alors une inéquation comme 2𝑥. 𝑦. 3?. Po r le d erminer, il ffi de con r ire la droi e d q a ion 2𝑥 𝑦 3 et se demander lequel des demi-plans obtenus, celui au-dessus ou en-dessous de la droite, convient. La technique pour y parvenir est fort simple, comme nous le verrons.. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 14.

(15) Pour tracer une inéquation : a) Tracer la droite frontière dans le plan cartésien. par ir d ne de de. m hode po r racer. une droite vue précédemment. Attention!! Observe-bien le. mbole. ili. dan l in q a ion. Cel i-ci informe i. doi. ili er. un trait pointillé ou un trait plein. 𝑒𝑡. : - - - - - - - - - - - - - (trait pointillé). 𝑒𝑡. : ______________ (trait plein). b) Déterminer le demi-plan. ol ion de l in q a ion. l aide d. point test. Si le point 0,0. n appar ien pa. la droi e fron i re, on. ili e ce poin afin de facili er le calc l . Si le poin. 0,0 appar ien. la droi e fron i re, on. ili e n impor e q el poin ne fai an pa par ie de la. droite frontière. Si l in gali. e. VRAIE, alor le demi-plan solution est le demi-plan qui inclut le point-. e. FAUSSE, alor le demi-plan solution est le demi-plan qui exclut le. test choisi. Si l in gali. point-test choisi. c) Hachurer le demi-plan ol ion re pec an le e. effec. l. ape b).. Exemples : Trace le demi-plan représentant les inéquations suivantes. a) 𝑦. 15. 6𝑥. 2. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(16) b) 2𝑥. 3𝑦. 4. Exemple : Combien de co ple. a i fon l in q a ion. i an e : 𝑥. 𝑦. 16? _______________. Donner au moins cinq couples. ___________________________________________. 5. Trouver une inéquation représentant un demi-plan. Il faut également être en mesure de faire le proce associée à un demi-plan. Il fa dra donc e en. con raire, oi de d erminer l in q a ion. re capable de d erminer l q a ion de la droi e fron i re. i e de choi ir le bon igne d in q a ion elon la r gion d plan q i e. Pour trouver l in q a ion a oci e. hach r e.. n demi-plan :. a) Trouver la règle qui représente la droite frontière du demi-plan. b) Tro. er le igne d in gali. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. a oci a demi-plan.. www.madameblanchette.com. 16.

(17) Exemples : Trouve les inéquations associées aux demi-plans ci-dessous. 1). 2). 17. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(18) 6. Syst mes d quations A) Les solutions d un syst me d quations. Dès que deux relations du premier degré sont simultanément imposées à deux variables, on obtient un système de deux équations du premier degré à deux variables. Selon la position rela i e de droi e dan le plan, n admettre aucune, une seule ou une infinité de solutions. Si le droi e. on. alor il. me d q a ion d premier degr pe. a. parallèles distinctes (disjointes) ____________________________________________ sécantes. ____________________________________________. parallèles confondues. ____________________________________________. B) R solution d un syst me d quations. R o dre n me d q a ion d premier degré à deux variables consiste à déterminer quelles valeurs il faut donner à ces variables pour rendre toutes les équations du système VRAIES simultanément. Pour ce faire, il existe deux catégories de méthodes : la méthode graphique et les méthodes algébriques. Méthode graphique La méthode graphique consiste simplement à tracer dans le plan cartésien chaque équation du me. Le poin d in er ec ion de droi e a po r coordonn e le nombre q i on la ol ion d système. Cette méthode est très ile lor q e la ol ion d me appar ien l en emble de entiers ℤ, mai pl laborie e po r de ol ion p i e dan l en emble de ra ionnel ℚ ou des réels ℝ. Méthodes algébriques Les diverses méthodes algébriques connues sont : la réduction, la comparaison et la substitution. Ci-après, un bref rappel des trois méthodes. Pour être « efficace », il est important de choisir la « bonne m hode, p i ne foi la r ol ion compl e, de rifier la ol ion ob en e L erre r est humaine! **Po r r o dre n situation donnée.. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. me d q a ion , il fa. a an d q a ion q il. www.madameblanchette.com. a de ariable dan la. 18.

(19) La méthode de résolution par COMPARAISON e. 2x + y = 1. 2. 3x + 2 y = 9. t'i5X. 1,5 il. l. 45. La méthode de 1,5 résolution par SUBSTITUTION e. y. 3x + 4 y = 6 2x + y = 1. 3. 1. 3. y. 9. 4. 2. 1. lt. 3. 1,3. i an :. 6. 17. 2. r e dan l e emple. i an :. 2x + 5 y = 4 3x 2 y = 13. 6 154 6. 4. 194. Ta 19. r e dan l e emple. 2. 84. 3. 2kt. ill. 1. 2. 6. La méthode de résolution par RÉDUCTION est ill. 3. Y y. F55,5. 3K. i an :. y. 3,511 3,5. 25 9. 9. 45. 1,5. 1 i. 1. zz. 2. r e dan l e emple. 3,5 1 4,5. 2x y I y 2 3. ill. f. 4 2 5 2 572 4 4 2 10. 12. 26. 38. 10. 10. 19 2. 2. 3. 2. JE. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. 6. 3 Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(20) Exemples : 1. Résoudre graphiquement le. me d q a ion. i an .. a). y= x. -3x +5 4 4y = 12. b). 2x +2 3 2x + y = -1. y=. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 20.

(21) 2. Résoudre algébriquement le qui convient le mieux.. a). 1. y = 3x 1 x y= +4 2. me d q a ion. b). i an. 3. 2x 3y =5 y = 9 4x. c). Z. en. ili an la m hode. 2x 3y = 12 3x + y = -2. L. Méthode :Comparaison. Méthode :substitution. Méthode :Réduction. Calculs :. Calculs :. Calculs :. trouvera. gY. 2 39 1 1214. 5. 5. 2 trouver 1. 2Ttowery Dtrouvernc. 10 5 z. y.sn g g. 2 39 5 94 7 2 319 1 7 5 y 27 12 5 Y 7. 42. m 77. 2 trouvera. 6 99 362 3. 7 IlyET402Kff. 6 29. y. 1. 2E. they. L. c. 7. X. 3. En une semaine, un commis vend 40 bracelets pour un total de 282,00$. Les bracelets unis se vendent 4,95$ et les multicolores, 7,95$. En prenant soin de définir les variables ili e , rad ire ce e i a ion par n me d q a ion q i perme rai de d erminer combien de bracelets unis et multicolores le commis a vendu en une semaine.. 1 inconnues. Xinbbraceletsunis. y. hb bracelets multicolores. 2 Équations 40. Xty. 4,95. 21. 7,959 282 Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(22) 7. Syst mes d in quations A) Traduction d une situation par un syst me d in quations à deux variables Trad ire ne i a ion par n me d in q a ion de ariable n e pa pl difficile q e de traduire une situation par une inéquation à une variable. Pour ce faire, il suffit de reprendre les étapes pour créer une inéquation (page 3) et de répéter le processus plusieurs fois.. Exemples : 1. Trad ire le nonc i an par ne in q a ion o n me d in q a ion d 1 er degré à deux variables. a. Le frai de par icipa ion n camp d hi er on de 20$ po r n membre de l organi a ion et de 30$ pour tout autre participant. On pense recueillir un minimum de 10 000$ grâce à la participation des membres et autres participants. Le camp peut accueillir au plus 125 personnes.¸. b. Des adultes et des enfants ont assisté à une représentation dans une salle de spectacle ne po an con enir q e 250 per onne . Il a ai a moin 2 foi pl d enfan q e d ad l e .. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 22.

(23) d. Laura et David possèdent des cartes de hockey. David possède au plus 3 fois plus de cartes que Laura. En tout, ils ont plus de 250 cartes.. e. La ale r ma imale d n por efe ille con i d ac ion ordinaire 7$ chac ne e d ac ion pri il gi e 11$ chac ne e de 1 800$. Il a a moin 200 ac ion ordinaire de plus q e d ac ion pri il gi e dan le por efe ille.. f. Un DVD (Digital Versatile Disc) coûte 12$ et un disque Blu-ray coûte 20$. Le budget di ponible e d a pl 400$. On e fi e n ma im m de 15 di q e . Le nombre de disques Blu-ray doit être supérieur ou égal au double du nombre de DVD. On achètera au moins 4 disques Blu-ray.. 23. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(24) B) Repr sentation graphique d un syst me d in quations à deux variables Reprenon l e emple ra aill précédemment, oi l in q a ion2𝑥 𝑦 3. Si une deuxième inéquation impose aux variables x et y une seconde condition, par exemple : 𝑥 𝑦 1 il faudra alors que les coordonnées cartésiennes des couples solutions satisfassent simultanément les deux inéquations. Pour déterminer cette nouvelle portion du plan, il suffit de tracer la droite frontière 𝑥 𝑦 1 e d iden ifier on demi-plan solution. Illustrons les demi-plans solutions des inéquations du système suivant dans le plan ci-contre. 2𝑥 𝑦 𝑥 𝑦. 3 1. **Lor q il a pl d ne droi e repr en e dan n m me plan car ien, il e n ce chaque droite frontière en la numérotant clairement (ou en utilisant un code couleur).. aire d iden ifier. La one d plan q i a i fai o e le in q a ion d me corre pond l intersection des demiplans associés à chacune des inéquations. Par convention, cette portion du plan est complètement hach r e (colori e) po r clairemen d limi er l en emble ol ion d me. Lor q e l en emble ol ion d limi e ne fig re plane ferm e, on di q e l en emble ol ion e fermé (o born ). Par aille r , i l en emble ol ion n e pa born , on di q il est ouvert. Comme on vient tout juste de constater, pour résoudre graphiquement n me d in q a ion deux variables, il faut : 1) déterminer le demi-plan solution pour chaque inéquation ; 2) identifier la portion du plan qui vérifie simultanément toutes les inéquations du système, soit l in er ec ion de demi-plans ; 3) hach rer ad q a emen l en emble ol ion. Attention ! Con rairemen a me d q a ion , n me d in q a ion ne pe re r que graphiquement. Cependant, n me d in q a ion pe a oir o non de ol ion .. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. ol. 24.

(25) Exemple : Résous le système d in q a ion donn . 2x + 3y 6 x y 4. 8. Polygones de contraintes A) Caract ristiques d un probl me d optimisation MISE EN SITUATION : Le e e À la planche! Inc.» fabrique deux types de planches à neige : les planches de slalom et celles de style libre. Il faut 6 heures pour fabriquer une planche de slalom et 4 heures pour celle de style libre. La durée de production hebdomadaire doit être au plus de 60 heures. De plus, pour répondre a de a de de e c e , e e ed d e de 2 7 a c e de a c a e e a ee de 3 à 8 planches de style libre. Q e e. e. b. ff e. e. eprise?. Dan la majori de i a ion de la ie co ran e, comme dan l e emple ci-de , la ol ion d n probl me doi enir comp e de l en emble de con rain e e ce, o e en même temps ». Les condi ion re pec er (con rain e ) e primen ma hématiquement par des inéquations. Une anal e pl a en i e d n probl me perme d iden ifier : 1) de quoi il est question (les deux variables) ; 2) le con rain e re pec er (le me d in q a ion ) ; 3) l objec if i e la fonc ion op imi er (fonc ion d op imi a ion). ** Dans la plupart des situations réelles, les variables ne peuvent être inférieures à 0. On ajoute donc au système deux inéquations appelées contraintes de positivité, soit x 0 et y 0.. 25. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(26) Après relecture de la mise en situation ci-haut, compléter le tableau suivant : Le. e. e. À la planche! Inc.». 6. Les variables : Soit x y:. x:. 4 60. 4y 7. 6 60. Ta. 1. y. Les contraintes : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7). 6 44560. 5. ÊÈ. 930 X3O. Voici q elq e po. ibili. po r l en repri e :. B) Le polygone de contraintes. G 6 Cz 4,4. Combien y a-t-il de possibilités au total ?. zoroptions. La repr en a ion graphiq e d n me d in q a ion perme d iden ifier l in er ec ion de demiplans associés à chacune des inéquations. Cette intersection forme une région délimitée par un polygone convexe appelé polygone de contraintes. Le polygone de contraintes peut être dit : 1) Fermé (borné) : La superposition des demi-plans solutions donne une figure fermée, dite bornée.. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 26.

(27) 2) Ouvert (non-borné) : La superposition des demi-plan er l infini.. ol ion donne ne fig re q i. 3) « Inexistant » ou « vide » : La superposition des demi-plan région commune.. Question : Est-il po ible q e l en emble concave?. 27. ol ion d n. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. ol ion. me d in q a ion. end. n iden ifie a c ne. oi. n pol gone. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(28) P i q e le pol gone de con rain e d limi e l en emble de o le co ple re pec an o e le con rain e d ne i a ion, il e e r memen ile de conna re le coordonn e de poin q i bornent la figure plane. Chaque sommet du polygone de contrain e e i e l in er ec ion de de droi e fron i re ; par con q en , il ffi de r o dre le me d q a ion po r ob enir le coordonnées cartésiennes de ce sommet du polygone. À chaque sommet correspond un système d q a ion diff ren . La r ol ion alg briq e (o graphiq e) de me d q a ion era r p e a an de foi q il a de omme dan le pol gone de con rain e . Bref, pour établir le polygone de contraintes, on doit :. variables. 1) identifier clairement les __________________ ; 2) traduire le. con rain e. en. n. positivité. contraintes de ____________________ ( il 3) repr. inéquations. me d ______________________, sans oublier les a lie ) ;. flèches. en er l en emble ol ion de chaq e in q a ion (a ec de pe i e ______________ ) ;. intersection. 4) hach rer l ________________________ des demi-plans solutions ;. sommets. 5) déterminer les coordonnées des ______________ du polygone de contraintes en résolvant. systèmes d'équations. sommets. les ________________ ____________________ associés à ces ______________. ** Prendre soin de nommer tous les sommets (A, B, C,. ) d pol gone de contraintes.. 9. Polygones de contraintes A) Solutions avantageuses. La recherche de la solution optimale. MISE EN SITUATION : Pour Pâques, Macha veut offrir au moins 12 chocolats à ses amies en respectant leurs goûts. Elle sait e e de a ac e e a moins 2 chocolats blancs. Même si le chocolat noir coûte plus cher, elle compte acheter au moins 2 fois plus de chocolats noirs que de blancs, mais pas plus de 20 chocolats noirs. Un chocolat blanc coûte 2$ et un chocolat noir, 4$.. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 28.

(29) tzwvA. Les variables : Soit x : nombre de chocolats blancs y : nombre de chocolats noirs Les contraintes : 1) 2) 3) 4) 5) 6). Oxtysiz. xËEÊËÊ. y zx. f3,8. FAUX L objec 478 if i par Macha :. ami. Minimiser les dépenses. Comment évaluer la dépense? :. Tablea de l objec if : Coordonnées des sommets. MCA. MLB. D. MCD. 2,10. M. 2xtty. Fonction objectif. BLIORO. 4,8. p. q. 4,4 472 4. 3 pttest. A 2,20. io.IE a. Mlc. 2 2 2 10 2 4 2 2. 4 20 420 4 8 4 10. 4. Résultat. 84. 100. 40 44. 8. Réponse : Pour Pâques, Macha doit acheter _____ chocolats blancs et _____ chocolats noirs. Le coût total sera alors de _________ $.. 40. Th or me fondamental de l optimisation lin aire : On re ro e le ma im m o le minim m d ne fonc ion lin aire a contraintes.. 29. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. sommets du polygone de. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(30) Exemple :. Un re a ra e r offre able d h e ep. e clien. ne able d h e cinq er ice q i co e 35 $ et une. er ice q i co e 50 $. Il vend a moin de. foi pl. de able d h e. cinq er ice q e de able d h e ep er ice . Il er en re 30 e 50 able d h e chaq e soir pour obtenir un revenu maximal de 1500 $. Représentez graphiquement le polygone de contraintes qui correspond à cette situation et identifiez-en les sommets.. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 30.

(31) Fonction objectif. Dan n en emble de po ibili pour une situation donnée.. , cer aine. ol ion pe. en. re pl. a an age. e q e d a re. Selon le contexte, la solution la plus avantageuse est celle qui engendre : la valeur la moins élevée, le MINIMUM ; la valeur la plus élevée, le MAXIMUM. Ce minim m o ma im m pe re calc l a ec ne r gle rad i an l objec if i (la fonction d a , fonction objectif ou encore, la e de b ec f sont des termes synonymes pour ce e r gle). La r gle de l objec if e g n ralemen de la forme suivante : 𝑀 𝐴𝑥 𝐵𝑦 𝐶 La fonction objectif. e prime par ne équation, c e. la q an i. op imi er.. Afin de déterminer la solution optimale pour une situation donnée, deux méthodes sont accessibles et valables : 1) méthode de la droite baladeuse; 2) m hode d ablea de l objec if.. a) Tableau de l objectif Considérons la mise en situation suivante pour illustrer le fonctionnement du ab ea de. b ec if.. MISE EN SITUATION : Une entreprise de production de fertilisants chimiques doit remplir une commande de 120 kg ou plus d a ec de de de c a A e P . Le a ed c e a 10 unités de Az sans dépasser les 20 unités, et au moins 15 unités de Pz sans dépasser les 24 unités. Chaque unité de Az pèse 3 kg et se vend 4$, tandis que chaque unité de Pz pèse 5 kg et se vend 6$. P a fa e c e , e e ed d e ce a ea e e c b e. Les variables : Soit x : nombre d ni y : nombre d ni de P Les contraintes : 1) 2) 3) 4) 5) 6) X 70 7). ËË ZÉ. y. 31. Y. L. de A. Ox. Er D. A A. 0. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. A. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(32) L objec if i. par l en repri e :. Minimiser le coût. M 4x. La fonction objectif :. Tableau de l objec if : Coordonnées des sommets. AGORA. Fonction objectif. MCA MLB. 13120,24. 6y 4.10 6 24 4 20 6.24. 184. ËËmû ËiËËË ËËÊ. Réponse : Po r prod ire le m lange a meille r co. Ë. Résultat. po. ible, l en repri e doi. 148. 18. unités de Az et ____ de Pz. Le coût total sera alors de ________ $.. ili er. ____ 10. S i e ce e emple, on con a e q e le ablea de l objec if perme de d co rir la ol ion op imale en con id ran , d ne mani re e ha i e, tous les sommets du polygone de contraintes. Cette solution op imale corre pond donc a coordonn e d omme a i fai an l objec if i (le b recherché), soit de minimiser ou de maximiser.. g. X 10. b. 3 59 120 3 5 15 120 3 75 120 75 75 39 3. x. 45 3. 15. DU515. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. 3 59. 120. 310 59 120 301 59 120 30 30 90. 5g g. g. 4 18. www.madameblanchette.com. 32.

(33) Problème 1 : Une randonnée sur le St-Laurent Af de e ab e ac , Ma d c de d ff de randonnées sur le St-La e . I f e de e e a e d ec f e.V e d e d ac , e b e d e fa a e d d bed b e d ad e e e e c de 140. P d e a de a de, Ma e e y aura au m 30 e fa b d. D a e a , ca e de e de c , e b e d ad e d ea a a e d b e d e fa . C b e d e fa e d ad e Ma e -il accepter pour une randonnée afin de maximiser ses revenus? Martin prévoit charger un coût de 3$ par enfant et 10$ par adulte?. 7. 5. Les variables : Soit x : nombre d enfan y : nombre d ad l e Les contraintes : 1) x 0 2) y 0 3) 4) 5). EE. L objec if i. B. par Mar in :. maximiser les revenus. La fonction objectif :. M. Le coordonn e d. omme q i op imi en l objec if :. entières entre. SHINY. Bo 55. touslessommets decoordonnées. et 84,28 sur la dtexty HO. Réponse : Martin doit embarquer sur son yacht ____ enfants et ____ adultes. Son revenu sera alors. 700. de ________ $.. MCA mm. 33. 5.30. 55. ÏË. Ï. 700. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(34) Q ad e d a -il si Martin modifiait ses tarifs : 5$ par enfant et 10$ par adulte. Est-ce e ba e e e b e d e fa e d ad e e a d e? Justifier la réponse en effectuant une démarche détaillée.. de a. Les variables : Soit x : nombre d enfan y : nombre d ad l e Les contraintes : 1) x 0 2) y 0 3) 4) 5). L objec if i. par Mar in :. La fonction objectif :. Les coordonnées des poin. q i op imi en l objec if : ________________________. ______________________________________________________________________ Réponse : Martin ______________________________________________________________ ____________________________________________________________________________. Son revenu sera alors de ________ $.. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 34.

(35) Problème 2 : Les croustilles attirent le cola Selon une étude portant sur les habitudes alimentaires, les croustilles et le cola sont des inséparables. Un dépanneur offre un sac de croustilles à très bas prix pour attirer la clientèle. Ce prix est tellement ba e e e e e de 0,10$ a ac. Pa c e, a e e de c a a e 0,50$ .E une journée, il vend habituellement au moins autant de sacs de croustilles que de colas, au moins 10 c a e 40 ac de c e . Ma , a a, e e d a de 60 de ce d . Combien de sacs de croustilles et de colas le propriétaire du dépanneur devrait-il vendre pour maximiser son profit? Les variables : Soit x : nombre de colas vendus y : nombre de sacs de croustilles vendues Les contraintes : 1) x 0 2) y 0 3) 4) 5) 6). L objec if i. par le propri aire :. La fonction objectif :. Le coordonn e d. omme q i op imi en l objec if :. Réponse : Le propriétaire du dépanneur doit vendre quotidiennement ____ colas et ____ sacs de croustilles. Le profit généré sera alors de ________ $.. 35. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(36) 10. Probl mes d optimisation. Tous les outils acquis depuis le début du chapitre permettent maintenant de résoudre adéquatement de probl me d op imi a ion. On ai q e r o dre n probl me d op imi a ion, c e minimise(nt) OU la fonc ion d op imi a ion maximise(nt). rechercher ne (de ) ol ion( ) q i :. De plus, la ol ion d n probl me d op imi a ion corre pond soit : a coordonn e de l n de omme OU aux coordonnées de tous les points formant un côté du polygone de contraintes Il reste tout simplement à détailler une m thode de r solution d un probl me d optimisation : 1) lire attentivement le problème ; 2) iden ifier le. ariable a ec pr ci ion (en indiq an le. ni. de me. re,. il. a lie ) ;. 3) déterminer les inéquations associées aux contraintes du problème (sans oublier les contraintes de positivité) ; 4) écrire la fonction objectif ; 5) déterminer le but visé : maximiser ou minimiser 6) tracer le polygone de contraintes ; 7). METHODE DU TABLEAU DE L OBJECTIF. : déterminer les coordonnées de tous les sommets du. polygone de contraintes --- OU --: déterminer, avec la droite baladeuse, les coordonnées du (o de ) omme ( ) q i op imi e(n ) l objec if i ; METHODE DE LA DROITE BALADEUSE. 8). : calculer la valeur de la fonction objectif pour les coordonnées de chacun des sommets du polygone --- OU --METHODE DE LA DROITE BALADEUSE : calculer la valeur de la fonction objectif pour les coordonnées d n omme q i op imi e l objec if ; METHODE DU TABLEAU DE L OBJECTIF. 9) donner une réponse complète en fonction du but visé. ** Une démarche structurée facilite la résolution!. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 36.

(37) EXERCICES Note : Certains exercices sont tirés des reproductibles de Vision CST5 ou de Point de Mire CST5.. 37. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(38) 1. La variable 𝑥 d inéquation.. igne le p rim re (en cm) d n riangle. Trad i chac n de. a) Le p rim re d n riangle me. re pl. b) Le p rim re d n riangle me. re a pl. par ne. de 10 cm. 10 cm.. c) Le demi-p rim re d n riangle me. re moin de 5 cm.. d) Le demi-p rim re d n riangle me. re a moin 5 cm.. 2. On désigne par w la ma e suivants par une inéquation.. nonc. ide (en kg) d ne camionne e. Trad ire chac n de. nonc. a) Deux camionnettes, chargées de 500 kg chacune, pèsent au moins 7 000 kg. b) Deux camionnettes, chargées de 500 kg chacune, pèsent moins de 7 000 kg. c) Trois camionnettes, chargées de 600 kg chacune, pèsent plus de 9 000 kg. d) Trois camionnettes, chargées de 600 kg chacune, pèsent au plus 9 000 kg. 3. Identifie la variable et traduis chacun des énoncés suivants par une inéquation. a) Dans un restaurant, la capacité maximale autorisée est de 65 personnes. b) Un livre contient au moins 500 exercices. c) Un paquet renferme moins de 100 enveloppes. d) Une omme d argen e plac e n a rapporté ne dépassera pas 170 $.. d in r. ann el de 11 %. Apr. n an, l in r. 4. Dans chacun des cas suivants, rad i l nonc par ne in q a ion. a) 𝑥 est au maximum 5. b) 𝑥 est inférieur à. .. c) 𝑥 est au moins . d) 𝑥 vaut plus de -3 (avec 𝑥 ∈ ℤ) Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 38.

(39) 5. Traduis les propositions suivantes par une inéquation du 1er degré. a) La longueur L d n rec angle e d a moin 5 cm. b) Le nombre minimal n d enfan c) Le nombre d l d) La vitesse v d n. e e pr. en. par famille e. de 2.. l cole en re 7h e 8h e. p rie r. 1 800.. hicule est inférieure à 100 km/h.. 6. R o le probl me i an l aide d ne in q a ion. a) Quels sont les quatre plus grands entiers impairs consécutifs dont la somme est plus petite que 105?. b) La long e r d n rec angle e gale 2 foi a large r. Si le p rim re n e c de pa 1 200 cm, quelle est la plus grande largeur possible?. c) Trouve les trois plus grands entiers pairs consécutifs dont la somme est plus petite que 61.. d) Trouve le plus petit entier tel que le produit de cet entier et de. e) Tro e le pl pe i en ier po i if el q en re ranchan 5 a r nombre par 4, on obtienne un résultat supérieur à 8.. 39. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. soit inférieur à 22.. l a ob en en m l iplian ce. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(40) 7. De in q a ion on q i alen e lor q elle on le m me en emble ol ion. Indiq er dan chacun des cas suivants si les inéquations sont équivalentes. a). x. 5. 1. et x. 6. b). x+2. 3. et x. 5. c). 2x. et x. 5. d). -3x. et x. 5. 10 15. 8. Soit 𝑎, 𝑏 et 𝑐 trois nombres ℝ. Complète par le symbole a) Si 𝑎 𝑏 alors 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 b) Si 𝑎. alors 𝑎. 𝑏. 𝑐. 𝑏. c) 1. Si 𝑎 2. Si 𝑎. 𝑏 et 𝑐 𝑏 et 𝑐. 0 0. alors 𝑎 alors 𝑎. d) 1. Si 𝑎. 𝑏 et 𝑐. 0. alors. 2. Si 𝑎. 𝑏 et 𝑐. 0. alors. ou. qui convient.. 𝑐 𝑐 𝑐. 𝑏 𝑏. 𝑐 𝑐. 9. Résous les inéquations suivantes. a) 3𝑥. b) 1. 10. 2𝑥. 19. 5. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. c) 7𝑥. d) 18. 2. 19. 6𝑥. www.madameblanchette.com. 36. 40.

(41) 10. Résous les inéquations suivantes. a) 4x + 2. 5x + 3. c) (4. 2(3x. x). b) 4(3x + 1). 1). 4(x. 3). 11. Résous les inéquations suivantes. a) 2𝑥 3 9. c) 2 2𝑥. e) 𝑥. g). 41. 3. 1. 4 𝑥. 𝑥. 1. 1. 1. d). b). x+7 5. x. 8. 4 +. 3. 2𝑥. d) 2𝑥. 2(5x + 3). 8. 𝑥. 4x. 2x 8 15. 4. 𝑥. f). 1. 𝑥. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(42) 12. Résous les inéquations suivantes. a) 5 𝑥 2 3𝑥 1. c). b). d). 2,5 8. 𝑥. 𝑥. 3 1,5𝑥. 4. 6𝑥. 𝑥. 2. 3 𝑥. 16. 2. 3𝑥. 𝑥. 8 𝑥. 1. 13. Traduis chacun des énoncés suivants par une inéquation. a) Soit 𝑥 : longueur du rectangle en mètres et 𝑦 : largeur du rectangle en mètres; i. La diff rence en re la long e r e la large r d n rec angle e inf rie re 3 m re . ii. La diff rence en re la long e r e la large r d n rec angle e pl q e 3 m re . iii. La différence en re la long e r e la large r d n rec angle e a pl 3 m re . iv. La diff rence en re la long e r e la large r d n rec angle e a moin 3 m re . i.. ii.. iii.. iv.. b) Soit 𝑟 : nombre d he re po r co dre ne robe e 𝑐 : nombre d he re po r co dre un chemisier; i. Pour coudre deux robes et trois chemisiers, une couturière doit travailler plus de dix heures. ii. Pour coudre deux robes et trois chemisiers, une couturière doit travailler moins de dix heures. iii. Pour coudre deux robes et trois chemisiers, une couturière doit travailler au maximum dix heures. iv. Pour coudre deux robes et trois chemisiers, une couturière doit travailler au minimum dix heures. i.. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. ii.. iii.. www.madameblanchette.com. iv.. 42.

(43) c) Soit 𝑚 : longueur du rectangle en mètres et 𝑐 : largeur du rectangle en mètres; i. L aire d n errain rec ang laire e a pl gale 1 200 m². ii. L aire d n errain rec ang laire e a moin gale 1 200 m². iii. L aire d n errain rec ang laire e ric emen p rie re 1 200 m². iv. L aire d n errain rec ang laire e ric emen inf rieure à 1 200 m². i.. ii.. iii.. iv.. 14. Jacin he, Nadine e Jeff on o roi n ra ail d . Jacin he fai d ra ail de ecr aria 12$ l he re la compagnie de a m re. Nadine garde le enfan de a oi ine. Elle e pa e 9,50$ l he re. Jeff ra aille po r ne compagnie d en re ien de pelo e 11$/h. Si x repr en e le nombre d he re d ran le q elle Jacin he a ra aill , y celles de Nadine et z celles de Jeff, traduire chacune des situations suivantes par une inéquation.. Xelo. a) Jacinthe a travaillé moins de 10 heures cette semaine. b) Nadine a gardé les enfants au plus 20 heures. c) Jeff a travaillé au maximum 25 heures cette semaine. d) La semaine prochaine, Jacinthe travaillera au moins 30 heures.. EZO f25 30 X. Y Z. e) Le nombre d he re q e Jeff a ra aill n e c de pa la moi i d nombre d he re o Nadine. ZE. a gardé. f) Nadine gagnera au minimum 120 $ la semaine prochaine. g) Jeff a gagné plus de 130 $.. 9,50g 120. h) Jacinthe gagnera au plus 224 $ par semaine. i) La semaine dernière, le salaire de Jacinthe dépassait le double du salaire de Nadine. j) Ensemble, Nadine et Jeff ont gagné moins de 425 $. 15. Pl. d e ercice !!! Traduis les situations suivantes par une inéquation à une ou deux variables.. a) Le nombre p de pa ager. r le ol 524 n e. b) La vitesse v d n. inf rie re. hic le e. pa. p rie r. 250.. 100km/h.. c) La somme de deux nombre x et y ne dépasse pas 5. d) Le do ble d n nombre x dimin e) Un nombre x dimin. 43. d n nombre y est supérieur à -3.. de 25% e a gmen. d q adr ple d n nombre y est au moins égal à 15.. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(44) f) Un nombre t a a moin 9 ni. de pl. q. n nombre u.. g) x adultes et y enfants ont assisté à une représentation dans une salle de spectacle ne pouvant contenir que 250 personnes. h) Le frai de par icipa ion. n camp d hi er on de 200$ po r n membre de l organi a ion e. 300$ pour tout autre participant. On pense recueillir un minimum de 10 000$ grâce aux x membres et au y autres participants. i) Laura possède x cartes de hockey et David en possède y. Laura possède au moins 4 fois plus de cartes que David. j) La ale r ma imale d n por efe ille con i. de x actions ordinaires à 3$ chacune et y actions. privilégiées à 9$ chacune est de 1800$. k) Un CD audio coûte 22$ et un album (au format mp3) est disponible sur internet au coût de 5$. On peut acheter x CD audio et y albums au format mp3 avec 300$. l) Un camion ne peut transporter plus de 9000kg. Il transporte x sacs de 100kg de farine et y sacs de 70kg de sucre. m) Nathalie travaille x heures par jour et Patricia en travaille y. Nathalie travaille au moins deux fois pl. d he re par jo r q e Pa ricia.. n) Xaviera possède x robes et Yolanda en possède y. Yolanda possède au plus trois fois plus de robes que Xaviera. o) La production quotidienne de la compagnie Bat-Hock-Ski est de x bâtons de hockey et de y paires de skis par machine. Une machine produit un bâton de hockey en 2 minutes et un ski en 3 minutes. La machine fonctionne 8 heures par jour. p) x repr. en e le nombre d ordina e r. maga in. On end a moin de. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. end. foi pl. e y, le nombre d impriman e. end e dan. n. d impriman e q e d ordina e r .. www.madameblanchette.com. 44.

(45) 16. Représente les droites suivantes dans le plan cartésien. 1.. y = -3x + 1. 2.. y = - 2x - 2 5. b 1. 0,1. b a. 2. A. 0 2. Ç1. 5. 45. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(46) 3.. 2x - 3y = 6. 4.. 4y + x = 20. N e. CO y. 2.0. 39 66 35 2 y. x 0. 2 3.0 6 2x 6 X 3. a e. Pour tracer une droite en se basant sur le taux de variation, on peut se permettre de « compter des carreaux » seulement si les deux axes sont gradués de la même manière. Sinon, il faut se baser sur les unités données sur chaque axe pour construire le graphique! Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 46.

(47) 4 3 x+ 3 2. 5.. y=. 6.. 1 x + 3y = 6 2. 47. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(48) 17. Repr. en e dan. a) 4x + 5y. n plan car. ien l en emble ol ion de in q a ion. 10. b) 2y > 2 + x. c) y < x - 2. d) y. x. ii. Ë. ï. i an e :. oa. e) x + y > 0. f) x. 2. i.in. g) 3x. 2y. 6. 0. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. h) y < 2 www.madameblanchette.com. 48.

(49) i) 2x + y > 4. 49. j). 2x + 3y 9 3y + 3 > 2x. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(50) 18. R a). o. le. me d q a ion. y = 5x + 2 y = x 22. y = 2x + 1 e) x = 16. i). y = x+4 x = 5y + 4. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. i an .. y= x y = x + 19. c). 1 1 x f) 2 4 x+2= y. g). b). y=. x= j). 1 y 1 7. 1 y = 7x 1 2. k). y = 2 x + 26 y = 3x + 1. 2 x = 2 y 16 2 x = 4 y + 10. y = 2x 5 x + 2 y = 20. d). x = 2y + 5 x = y+2. h). x = y + 20 3x 2 y = 5. l). x + y = 12 4 x + 4 y = 24. www.madameblanchette.com. 50.

(51) x 2 = 2y. 2x + y = 5 m) x = y + 14. n). 3x + y = 12 q) 2x 3y = 8. 1 x + 2y =1 r) 2 x y= 1. y=. 1 1 x + y = 12 2 3. o). s). 1 x+5 2. 1 x = y +1 4. 3( y 2) = 4 x 2( x 4) = y 1. 1 x y=6 2 p) 1 1 x+ y =9 3 6. t). 2 x + 4 y = 24 5 x + 2 y = 12. 19. Représente graphiquement les droites définies par les équations suivantes. a) y = 2x + 3. 51. b) y 7 = 0,5x. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. c) 3y 18 = -5x. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(52) 20. Repr. en e graphiq emen l en emble ol ion de in q a ion a) y -2x + 12. b) 36 > 3y + 2x. 21. Dans chaque ca , d ermine l in q a ion a a). i an e . c) 24x < 45 5y. oci e. l en emble ol ion repr. en .. b). attest UN FAUX. ONE 4.0 7. 0M 7. 7 yens y. c. Es. 5. 22. Traduis par une inéquation à deux variables les énoncés suivants et décris ce que représente chacune des variables. a) Un aliment contient au moins trois fois plus de milligrammes de lipides que de glucides par portion.. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 52.

(53) b) C dric e. a. r on mi a. o al pa moin de 12 he re. faire le r de oir ce e emaine.. c) John a deux emplois; un dont le salaire horaire est de 12,50$ et l a re de 9,75$. Ce e emaine, il pr oi a oir n re en d a pl 246$.. 23. Un a cen e r commence de cendre ne i e e de 0,75 m/ par ir d ne ha e r de 23 m. Au même moment, un second ascenseur commence à monter à une vitesse de 0,5 m/s à partir d ne ha e r de 2 m. q elle ha e r le de a cen e r e rencon ren -ils? a) Identifie les deux variables. b) Traduis la i a ion par n. me d q a ion .. c) Trouve la solution.. 24. Au restaurant La bonne fourchette, on peut placer des tables pour deux personnes (x) ou des tables pour quatre personnes (y). Traduis chacune des situations suivantes par un système de deux inéquations à deux variables. a) Pour servir au moins 90 clients en même temps, il faudrait placer plus de 30 tables.. b) Un minimum de 35 tables permettrait de servir au plus 120 clients en même temps.. c) Le nombre de clien. 53. midi ne po rra pa d pa. er 110. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. il. a moin de 26 able .. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(54) d) Si le nombre de tables à 4 places surpasse le double du nombre de tables à 2 places, au moins 150 clients seront servis au même moment.. e) Il e impo ible d in aller pl attendus à 19 heures.. 25. R. o. a). x+ y x y. b). x+ y 2x y. le. de 25 able dan ce re a ran o a moin 75 clien. me d in q a ion donn. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. on. .. www.madameblanchette.com. 54.

(55) c). x+y x 3y. d). x y x + 2y. e). x y x + 2y. 55. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(56) f). x+ y y > -2x +. 26. Tro. e le. me d in q a ion repr. en an la i a ion e r. o. -le.. a) La long e r d n rec angle e p rie re à sa largeur. Son périmètre est inférieur à 24 cm.. b) Au bal de fin d ann e, il a ra a moin de foi pl d l e q e d a re participants dans une salle pouvant contenir un maximum de 1000 personnes.. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 56.

(57) 27. Quel serait le référentiel de référence (ℝ, ℤ, ℕ, ) approprié à chacune des situations du numéro précédent. Justifie ta réponse. a). b). 28. Écris la règle qui permet de calculer, selon la situation, le minimum ou le maximum recherché. Indiq e i l on doi ma imi er o minimiser cette fonction a) Marc-Antoine fait des travaux de rai emen de e e r on ordina e r. Il a calc l q ne page de e e e lemen n ce i ai 30 min e de ra ail e q ne page de e e a ec graphi me nécessitait une heure de travail. Il a au plus 12 heures par semaine à consacrer à cette activité. Cependant, il a observé que le nombre de pages de texte avec graphisme ne dépasse jamais 10 page par emaine, e q e le nombre de page de e e e lemen n e jamai p rie r a triple du nombre de pages de texte avec graphisme. Il demande 2,50$ pour une page de texte seulement et 4$ pour une page de texte avec graphisme. Il recherche le profit maximal.. b) Marita et François veulent prendre des vacances. Ils veulent se reposer au moins 15 jours. Ils on calc l q ne jo rn e de acance pa e a Q bec co ai en mo enne 80$ e q ne journée passée aux États-Unis coûtait 150$. Ils veulent cependant passer au moins deux fois plus de temps aux États-Uni q a Q bec, mai le r permi de jo r a a -Unis leur accorde un maximum de 10 jours. De plus, ils ont payé un forfait assurance-voyage à 160$. Ils recherchent les vacances les moins coûteuses possible qui satisfont à ces contraintes.. 57. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(58) 29. Résous les problèmes suivants. ( fa e de. f e ce. d. a e. ad. ). a) Un atelier d inage prod i de h lice e de me d engrenage de in la fabrica ion de ba ea . Il fa 2 h po r prod ire ne h lice e 3 h po r n me d engrenage . Un r glemen concernant la pollution par le bruit limite le fonctionnement des machines à 98 h par semaine. Le ol me de l e pace r er l en repo age e de 200 m 3. La boîte contenant une hélice occupe un espace de 1 m3 e la bo e con enan n me d engrenage req ier n e pace de 3 m 3. Une de de march concl q e l a elier doi prod ire a moin 2 foi pl d h lice q e de me d engrenage . En endan ne h lice 800$ e n me d engrenage 3000$, on recherche le re en ma imal. Combien d h lice e de me d engrenage doi -on vendre et combien l e le re enu maximal ?. b) À vos ordres, capitaine ! I abelle e echnicienne en na iga ion e e p re de enir capi aine de ba ea . Lor d n age r m n r d ne d r e d n moi , elle doi ra ailler r n ca amaran e r n oilier. Le nombre d he re de ra ail par moi r le ca amaran e p rie r (d a pl 40 h) a nombre d he re de travail sur le voilier. Isabelle doit travailler de 20 h à 40 h par mois sur le voilier. Le stage a une durée totale de 60 h à 100 h. Sur le catamaran, Isabelle est payée 4$/h et sur le voilier, 7$/h. Comment Isabelle doit-elle partager son temps si elle désire tirer le revenu maximal de son stage ?. c) Faire rouler son argent Alain, n mord de la ro le e a ca ino, a d elopp ne echniq e de je q il q alifie d infaillible. Il place un jeton par case sur un certain nombre de cases noires et de cases rouges. La différence entre le nombre de cases rouges choisies et la moitié du nombre de cases noires choisies ne doit pas dépasser 4, tandis que la différence entre le nombre de cases noires et le sixième du nombre de ca e ro ge ne doi pa d pa er 3. Si le o al de ca e choi ie e p rie r 1 e q il parie 10$ par case noire et 5$ par case rouge, combien Alain aura-t-il parié au maximum ?. d) Pour faire une excursion en ski de fond, il faut louer des autobus. Les autobus du modèle A et du modèle B sont disponibles. Le modèle A transporte 20 passagers et le modèle B, 12 passagers. Le nombre de modèles A disponibles ne dépasse pas 5 et celui du modèle B ne dépasse pas 10. Le responsable désire connaître combien il lui en coûtera au minimum selon ces conditions, achan q e la loca ion d mod le A co e 200 $ l ni e la loca ion d mod le B, 100 $ l ni . De plus, le responsable doit transporter au moins 240 personnes.. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 58.

(59) Exercices récapitulatifs de révision 30. Soi le. me d in q a ion 𝑥. 0,𝑦. i an a oci 0, 2𝑥. 𝑦. ne i a ion d op imi a ion o. 30, 𝑥. 𝑦. 90, 𝑥. 10, 𝑦. 𝑥, 𝑦 ∈ ℕ .. 2𝑥. Quelles sont les valeurs de y qui solutionnent ce système sachant que 𝑥. 22?. 31. Soit la région solution suivante (x et y sont des nombres réels). a) D ermine le me d in q a ion forman ce pol gone de con rain e . S. me d in q a ion. 𝑑 : 𝑑 : 𝑑 :. b) Détermine algébriquement les coordonnées exactes des sommets A, B et C.. c) Nous ajoutons la contrainte suivante au système : 𝑦 qui maximiserait alors la fonction 𝑍. 59. 36𝑥. 7. Quel serait le couple solution. 12𝑦?. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(60) 32. Soit la fonction 𝑇 4𝑥 5𝑦 24. a) Quel est le taux de variation de la droite baladeuse associée à cette fonction?. b) Q elle e pre fonction?. ion repr. en e l ordonn e. l origine de la droi e balade. ea. oci e. ce e. c) Un polygone de contraintes (convexe) est formé par les 5 sommets suivants : 𝐴 5, 220 ; 𝐵 45, 200 ; 𝐶 85, 168 ; 𝐷 109, 138 ; 𝐸 40, 40 Donne le maximum de la fonction T et dis quel(s) couple(s) maximise(nt) T.. 33. Le couple (15, 40) maximise une fonction objectif de la forme 𝑃 𝐴𝑥 𝐵𝑦. La valeur maximale de P est 735. La valeur minimale de P est 120 et est obtenue par le couple (5, 5). Donne la règle complète de cette fonction.. 34. On vous présente la fonction à optimiser 𝑊 1,25𝑥 𝑦 10 et un polygone de contraintes dont les sommets ont pour coordonnées : 𝐴 54, 65 ; 𝐵 34, 49 ; 𝐶 58, 19 ; 𝐷 78, 35 . Combien de couples à coordonnées entières minimisent cette fonction? Énumère-les.. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 60.

(61) 35. Vrai ou faux? Justifie ta réponse. a) Le sommet minimi an la r gle de l objec if e o jo r cel i q i engendre l ordonn e l origine de la droi e balade e la pl le e.. b) Si ne i a ion d op imi a ion e optimisée.. ill. r e par n pol gone o. er , la i a ion ne pe. pa. re. 36. Traduis algébriquement les situations suivantes : a) A co r d n ma ch de ba ke -ball, Josée a fait au moins 3 fois plus de paniers de 2 points q e de panier de 3 poin . Elle n a pa p ba re on record de 54 poin .. b) Lor d n Grand Pri de form le Ind , le compris entre 7,18 s et 41,34 s.. c) Le p rim re d n errain e largeur.. d a pl. emp de ravitaillement aux puits enregistrés sont. 182 cm. La long e r me. re 6 cm de pl. q e la. 37. Résous les inéquations suivantes. a) 3𝑥. 4. 4𝑥. b). 12. 𝑥. 4. 38. Soit la règle 𝐶 15𝑥 9𝑦 corre pondan a co d acha de de prod i 𝐶 2,5 ; 5 et 𝐷 1, 5 les sommets du polygone de contraintes. a) Représente le polygone de contraintes dans un plan cartésien.. e 𝐴 2, 10 , 𝐵 4, 8 ,. b) Quel couple engendre le coût minimal?. 61. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(62) 39. Dans un polygone de contraintes, on a identifié les sommets : 𝐴 0,1 , 𝐵 1,5 , 𝐶 5,3 et 𝐷 5,2 . Déterminer tous les couples de coordonnées entières maximisant la fonction objectif représentée par 𝑅 4𝑥 8𝑦.. 40. Lor d n o per-b n fice, on in alle de able o 8 per onne pe en a eoir e de able o e lemen 4 per onne pe en a eoir. En tenant compte des normes municipales, du personnel nécessaire pour le service et de la superficie occupée par ces tables, Gilberte établit un système de contraintes. Gilberte vend une table de 8 personnes 150 $ et une table de 4 personnes 80 $. a) Quel e l objec if i par Gilber e?. b) Q elle e la r gle de l objec if i repr nombre le table pour 4 personnes?. en e le nombre de able po r 8 per onne e. le. 41. Détermine algébriquement les coordonnées des sommets du polygone de contraintes déterminé par les inéquations suivantes : x y y y x x + y. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 62.

(63) 42. A parc de Cerf , L do ic a in en n appareil perme an de ro er l aire parco r e par n chevreuil dans une jo rn e en rad i an le raje de l animal en in q a ion . Dan n plan, hachure la région ainsi formée par ces inéquations, puis donne aussi les sommets du trajet parcouru. x y x y x y x + y. 43. Érika a reçu un aquarium pour sa fête. Elle désire maintenant y mettre des poissons. Pour ce faire, elle se rend dans une boutique spécialisée en poissons tropicaux. Après mûre réflexion, elle arrête son choix sur deux espèces en particulier : les poissons anges et les poissons abeilles. Le vendeur l informe alor de cer aine condi ion q i doi en re re pec e po r le bien-être de ces poissons. Elle ne peut mettre plus de 30 poissons dans son aquarium. Le nombre de poissons abeilles doit être inférieur o gal a nombre de poi on ange . L aq ari m doi comp er a moin 12 poissons anges. Il doit y avoir au moins 2 poissons abeilles de plus que le tiers des poissons anges. Un poisson ange se vend 7,50 $ andi q n poi on abeille e end 5 $. Combien de poissons de chaque espèce Érika peut-elle ache er po r minimi er on co d acha ? Q el era alor ce co d acha ?. 63. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(64) 44. Dans chaque cas : 1) identifiez chacune des variables; 2) rad i e l nonc par ne in q a ion de ariable . a) L an prochain, le re en de la en e d algicide po r le pi cine de raien plus 500 000 $ les revenus de cette année.. rpa. er d a. 1) 𝑥: ___________________________________________________________________ 𝑦: ___________________________________________________________________ 2) _____________________________________________________________________ b) Un contenant de 500 g de vitamine C se vend 10 $ et un contenant de 1 000 g se vend 18 $. Les ventes hebdomadaire de raien le er a moin 3 400 $. 1) 𝑥: ___________________________________________________________________ 𝑦: ___________________________________________________________________ 2) _____________________________________________________________________ 45. Repr a) 𝑦. c). en e graphiq emen l en emble-solution de chacune des inéquations suivantes. 𝑥. 4. 1,5𝑥. 𝑦. b) 𝑦. 3. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. d). 0,5𝑥. 𝑦. 2𝑥. 3. 1. www.madameblanchette.com. 64.

(65) 46. Traduisez chaque demi-plan par une inéquation.. 47. Pendant la gro e e, il e recommand de prendre q o idiennemen de 0,4 mg 1 mg d acide folique. Au cours de sa grossesse, une femme consomme des capsules de 0,15 mg et de 0,25 mg d acide foliq e. Q elle on le de in q a ion a oci e ce e i a ion q i permettent de respecter la dose recommandée ?. 48.. 65. la i e d ne in er en ion chir rgicale, on admini re de ol n pa ien . Le ol A co e 12 $/ml et le soluté B, 15 $/ml. Une infirmière affirme que les solutés administrés à ce patient coûteront au plus 900 $. a) cri e l in q a ion q i repr en e la i a ion achan q e 𝑥 représente la quantité A de soluté (en ml), et 𝑦, la quantité de soluté B (en ml).. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(66) b) Repr. en e graphiq emen l en emble-solution de la situation.. 49. Probl mes d optimisation 1- Roger e. propri aire d ne rabli re Chaq e prin emp , il prod i d. irop q il end a march. local. Il verse ce sirop dans des contenants de deux formats : 1 litre et 3 litres. Cette année, il en a produit au moins 60 litres. Au cours des années antérieures, il a observé que le premier format est au moins trois fois plus en demande que le second. Cependant, il ne peut pas dépasser 60 contenants à cause de son équipement désuet. Il vend son sirop 8 $ le contenant de 1 litre et 20 $ le contenant de 3 litres. a) Il cherche le nombre de contenants de chaque format qui vont lui permettre de réaliser un revenu maximal. b) Il recherche l in er alle de e re en. . ( car en re le re en ma imal e le re en. minimal) c) Roger j. q. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. ach e de l q ipemen pl. performan q i a l i perme re de prod ire pl. conc rrence de 100 con enan . Q el e. le no. www.madameblanchette.com. ea re en ma imal?. 66.

(67) 2- Roger organise un lavothon afin de faire des fonds pour le voyage à Québec. Dix élèves sont pr. ra ailler n ma im m de 7 he re chac n. Po r n la age par iel d ne oi re (la age. extérieur), il faut compter 35 minutes et pour un lavage complet (lavage intérieur et extérieur), il faut 70 minutes. On demande 3 $ pour un lavage extérieur et 5 $ pour un lavage complet. On prévoit que le nombre de lavages complets ne sera pas supérieur au nombre de lavage partiels. On espère au moins 60 clients et les prévisions optimistes sont de 90 clients. a) Combien de lavages de chaque sorte devra-t-on faire pour maximiser les profits si les d pen e de la jo rn e. l. en. 35 $?. b) De combien son profit maximum augmente-t-il si les prévisions optimistes sont de 100 clients? 3- Po r on o. er re, la propri aire d n re a ran doi engager un maximum de 20 personnes,. dont au moins huit serveurs et au plus dix placiers. Il doit y avoir au maximum le double du nombre de serveurs que de placiers. Le salaire des serveurs est de 12 $/h et celui des placiers, de 14 $/h. Combien de serveurs et de placiers la propriétaire devra-t-elle engager afin de minimi er e d pen e e. combien. l. eron celle -ci ?. 4- Une équipe de baseball organise un lavothon pour financer un tournoi. Deux forfaits sont offerts : un lavage extérieur au coût de 15 $ et un lavage complet au coût de 25 $. L q ipe prévoit faire au moins 30 lavages au cours du lavothon, dont au moins 15 lavages extérieurs et au moins 10 lavages complets. Un lavage extérieur prend 10 min et un lavage complet, 15 min. Le b n. ole. on di ponible po r n ma im m de 8 h. L n de b n. l q ipe la e n ma im m de oi re , le profi. eron ma ima. ole affirme q e i. . Confirme o infirme ce e. affirmation.. 5- Un poissonnier vend du saumon et du pangasius. Il vend au moins 30 kg de ces poissons par semaine et il garde en stock au maximum 50 kg de ces poissons. Il vend au moins 3 fois plus de saumon que de pangasius. Il vend toujours au moins 7 kg de pangasius par semaine. Le prix du saumon est de 15,41 $/kg et celui du pangasius est de 13,21 $/kg. Déterminez les ventes maximales et les ventes minimales que ce poissonnier peut atteindre.. 67. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(68) 6- Air ABC offre des billets en classe économique à 600 $ et en classe affaires à 1 600 $. Dans un avion, la classe affaires compte 20 sièges alors que la classe économique en compte 120. Pour q e l en repri e ne. bi. e a c ne per e, a moin 80 % des sièges de chaque vol doivent être. occupés. De plus, au moins 50 % des sièges de la classe affaires doivent être occupés. Déterminez le nombre de billets de chaque cla. e q Air ABC doi. endre afin d. i er d a oir. enregistrer des pertes.. 7- Emmy a le choix entre deux emploi . L emploi A e. r m n r 8 $/h po r l horaire normal et 12. $/h pour les heures supplémentaire . L emploi B rappor e 7 $/h po r l horaire normal e 14 $/h pour les heures suppl men aire . Le nombre d he re supplémentaires ne peut pas dépasser le riple de he re de l horaire normal. Le nombre d he re de ra ail de l horaire normal est inférieur ou égal au nombre d he re. ppl men aire augmenté de 7 h. Emmy est disponible. pour travailler au plus 24 h par semaine et elle désire travailler au moins 12 h par semaine. D ermine l emploi q i offre n alaire ma imal. 8- Un éleveur produit des porcs et des sangliers. Son assurance ne couvre pas plus de 2200 têtes. Les installations disponibles font en sorte que la différence entre le nombre de porcs et le nombre de sangliers élevés en même temps ne peut pas dépasser 1200 têtes. Le marché du sanglier est tel que sa production ne peut pas excéder le quart de la production porcine. Le profit estimé par tête de sanglier est de 175 $ alor q il e. de 120 $ par. e po r le porc.. Déterminez le nombre de porcs et le nombre de sangliers que cet éleveur devrait produire afin de maximiser ses profits.. 9- Une pharmacienne end de analg. iq e d ne marq e mai on a pri de 3,75 $ la bouteille. e d ne marq e na ionale a pri de 4,55 $ la bouteille. Chaque semaine, elle vend au moins 2 fois plus d analg. iq e. de marq e na ionale q e de marq e maison. Les ventes. hebdomadaires de ce produit varient de 60 à 240 bouteilles de comprimés. Le profit sur les analgésiques de marque maison est de 44 % du prix de en e alor q il e. de 20 %. r ce. de la marque nationale. Quel profit maximal annuel la pharmacienne peut-elle atteindre avec la vente de ce produit ?. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 68.

(69) 10- Un couturier dispose de 80 m2 de coton, de 12 m2 de toile et de 288 m de fil. La confec ion d n complet nécessite 4 m2 de coton, 0,8 m2 de toile et 24 m de fil. La confec ion d n aille r demande 5 m2 de coton, 0,8 m2 de toile et 16 m de fil. Le couturier vend un complet 500 $ et un tailleur 450 $.Combien de complets et de tailleurs doit-il confectionner pour maximiser son revenu ?. 69. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(70) CORRIGÉ 1. a) x. b) x. c). 2. a) (w + 500) 7000 c) 3(w + 600) > 9000. x. d). x. b) (w + 500) < 7000 d) 3(w + 600) 9000. 3. a) Soit n le nombre de personnes, n b) Soit x le nombre d e ercice x 500 c) Soit e le nombre d en eloppe e < 100 p d) Soit p la omme d argen placée 4.. a) x. 5 c) x 2. b) x. 5. 3 d) x 2. 3. 5.. a) L b) n c) e > 1800 d) v < 100 6. a) n: premier des 4 nombres impairs. b) x: largeur du rectangle (cm). 2 x + x + 2 x + x 1200 6 x 1200. n + (n + 2) + (n + 4) + (n + 6) 105 4n + 12 105 n 23,25. x 200. On déduit que n = 23 et on obtient les nombres : 23, 25, 27 et 29. On détermine que x = 200. La largeur est 200 cm. (La longueur serait donc 400 cm.). c) n: premier des 3 nombres pairs. d) n: nombre entier. n + (n + 2) + (n + 4) 61. n. 3n + 6 61. 3 22 7 51, 3. n 18, 3. n. On déduit que n = 18 et on obtient les nombres : 18, 20 et 22. Le plus petit nombre n est donc 51.. e) n: nombre entier positif 4n 5 8. n 3,25 Le plus petit nombre n est donc 4. 7. a) équivalentes b) non équivalentes c) non équivalentes d) non équivalentes 8. a. b. 9.. a) 𝑥. c. d 3. b) 𝑥. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. 2. c) 𝑥. 3. d) 𝑥. 3. www.madameblanchette.com. 70.

(71) 10.. a) 𝑥. 1. b) 𝑥. c) 𝑥. d) 𝑥. 11.. a) 𝑥. 6. b) 𝑥. c) ∅. d) 𝑥. 12.. a) 𝑥. b) 𝑥. c) 𝑥. 13.. a) i. 𝑥 𝑦 3 b) i. 2𝑟 3𝑐 10 c) i. 𝑚𝑛 1 200. ii. 𝑥 𝑦 3 ii. 2𝑟 3𝑐 10 ii. 𝑚𝑛 1 200. iii. 𝑥 𝑦 3 iii. 2𝑟 3𝑐 10 iii. 𝑚𝑛 1 200. 14.. a) 𝑥. 20. d) 𝑥. h) 12𝑥 15.. 10. b) 𝑦 224 i) 12𝑥. 19𝑦. c) 𝑥 j) 9,5𝑦. 6. 25 11𝑧. 0. d) 𝑥. 30. e) 𝑥 ∈ ℝ. f) 𝑥. e) 𝑥. f). e) 𝑥. 1 √15. g) 𝑥. 2. √10. iv. 𝑥 𝑦 3 iv. 2𝑟 3𝑐 10 iv. 𝑚𝑛 1 200 f) 9,5𝑦. 120 g) 11𝑧. 130. 425. a) 𝑝 250 b) 𝑣 100 c) 𝑥 𝑦 5 d) 2𝑥 𝑦 3 e) 0,75𝑥 4𝑦 f) 𝑡 𝑢 9 g) 𝑥 𝑦 250 h)200𝑥 300𝑦 10 000 i) 𝑥 4𝑦 j) 3𝑥 9𝑦 1 800 k) 22𝑥 5𝑦 300 l) 100 𝑥 70𝑦 9 000 m) 𝑥 2𝑦 n) 3𝑥 𝑦 o) 2𝑥 3𝑦 480 p) 2𝑥 𝑦. 15. 16.. 71. 1). 2). 3). 4). 5). 6). Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(72) 17.. a). b). c). d). e). f). g). h). i). j). Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. www.madameblanchette.com. 72.

(73) 18.. a) 4, 18 g). ,. b). 21, 13 h) 9,11. m). 19,33. n). ,. s). , 20. t) 0, 6. 5,16. c). d) 3, 1. i) 4,0. j). , 16. o) 8,1. p) 24,6. e) 16, 31. f). ,. k) 10, 15. l). 3,9. q) 4,0. r). ,. 19.. a). b). c). a). b). c). 20.. 21.. a) 𝑦. 22.. a) Soit x: nombre de mg de glucides par portion y: nombre de mg de lipides par portion b) Soit x nombre d he re d é de de Cédric y : nombre d he re d é de de a œ r c) Soit x nombre d he re a er emploi y nombre d he re a e emploi a) x: temps (en secondes) ha e r de l a cen e r en mè re 𝑦 23 0,75𝑥 b) 𝑦 2 0,5𝑥 c) Les ascenseurs se croisent à 10,4 m.. 23.. 73. 4𝑥. 7. b) 𝑦. 𝑥. 5 𝑦. 3𝑥. 𝑥. 𝑦. 12,5𝑥. 12 9,75𝑦. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle. 246. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5.

(74) 𝑥 2𝑥 𝑥 e) 2𝑥 25. a). 24.. a). 𝑦 30 4𝑦 90 𝑦 25 4𝑦 75. b). 𝑥 𝑦 2𝑥 4𝑦. d). 35 120. c). 2𝑥 4𝑦 𝑥 𝑦. 110 26. b). c). e). f). d). 𝑦 2𝑥. 2𝑥 4𝑦. 150. E.S. = 26. a). Soit x : largeur du rectangle (cm). b) Soit x nombre d élè e. y : longueur du rectangle (cm). On a donc. 27.. x y y>x 2(x + y). y nombre d a re participants. On a donc 24. a) ℝ , car ce sont des mesures de longueur.. Chapitre 1 Optimisation Mathématique CST5. x y x y x + y 1000. b) ℕ, car ce sont des individus.. www.madameblanchette.com. 74.