HAL Id: hal-00142014
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Réduction du chaos hamiltonien
Cristel Chandre
To cite this version:
Cristel Chandre. Réduction du chaos hamiltonien. Images de la Physique, 2007, 2006, pp.54.
�hal-00142014�
hal-00142014, version 1 - 10 Aug 2007
Rédu tion du haos
hamiltonien
Unegoutte de olorant quel'on agite dans un verre d'eau illustre la diusion haotique des parti ules
dans tout le volumedisponible.Ce phénomène est aussi observé dans lesa élérateurs de parti ulesou
dans lesplasmas de tokamak. Cependant il est possible de ontr ler e haos en onstruisant des
barrières de transport qui agissent omme des murs immatériels empê hant ou analisant ladiusion
des parti ules. Ce ontr le est réalisé par une a tion extérieure asso iée à unfaible oût énergétique.
L
es systèmes déterministes sont ara térisés par deséquations du mouvement
où, formellement, une traje toire
est entièrement déterminée par
ses onditionsinitiales.Cependant,
ils présentent en pratique des
omportementsapparemment
erra-tiques, appelés haotiques, qui se
manifestent par une forte
sensibil-ité aux onditions initiales
(illus-tréeparlemétaphoriquebattement
d'ailesdepapillonauBrésilpouvant
provoquer une tornade au Texas).
Par onséquent, ils font du
déter-minisme de Newton et Lagrange,
plus un on ept théorique qu'une
réalitépratique, ar,pour onnaître
les traje toires et don le
om-portement du système, il faudrait
onnaîtreave une pré isionin nie
les onditions initiales. Les
man-ifestations du haos déterministe
sontnombreusesetvariées.Pourles
systèmes physiques impliquant un
faiblenombredeparti ules, omme
'est le as en mé anique ( elle de
systèmes simples mais aussi elle
du système solaire), ette
sensi-bilité aux onditions initiales
em-pê he de prévoir l'évolution
glob-aledansl'espa edesphases.Malgré
la onnaissan e pré ise des
équa-tionsquimodélisentlesystème
per-mettantde onnaîtreladynamique
aussipré isémentqu'on lesouhaite
mais sur des temps ourts, ette
instabilité empê he de déterminer,
même grossièrement,les
omporte-ments sur des temps longs. Pour
desproblèmesphysiquesmettanten
jeu un grand nombrede parti ules
( omme en météorologie, ou plus
généralement en hydrodynamique
ou en physique des plasmas), la
onnaissan e et la prévision de la
position dans l'espa e des phases
des diérentes parti ules n'est pas
un enjeu. Cependant, le haos se
manifesteaussiparl'imprévisibilité
à grande é helle et des propriétés
detransportradi alementnouvelles
(diusion des parti ules dans
l'es-pa edesphases),et 'estdans e as
quelemot haosprend une
signi - ation pro he du sens ommun, le
désordre. Pour les systèmes
hamil-toniens (voir en adré), es
pro-priétés nouvelles sont au oeur de
la ompréhension et du ontr le
de nombreux systèmes physiques.
Des exemples sont donnés par la
physique des parti ules
( ollimata-tiondufais eau),l'hydrodynamique
(mélange par adve tion haotique)
ou la physique des plasmas
( on- nement magnétique d'un plasma
de fusion). L'importan e du
on-tr le de es systèmes réside dans
l'améliorationdesperforman es
as-so iées mais aussi dans la
onnais-san edelaphysiquesous-ja ente.
Le ontr le onsisteenune
mod-i ation du système physique. Il
estréalisé,parexemple,parl'ajout
d'undispositifextérieurausystème,
et se traduit par une modi ation
des équations qui déterminent son
évolution.Silesystèmeprésenteun
omportement haotique à grande
é helle,lebutde ettemodi ation
est de réduire ou de supprimer le
haosouletransport quiluiest
as-so ié. La stratégie que l'on adopte
est elle de la onstru tionde
bar-rièresdetransportdansl'espa edes
En adré 1
SYSTÈMES HAMILTONIENS : DE L'INTÉGRABILITÉ AU CHAOS
Unsystème hamiltonien à
N
degrés delibertéest un système dynamique dontleséquations d'évolutionobéissentaux équationsde Hamilton, 'est-à-direqu'il
existe une fon tions alairedespositions
x
= (x
1
, x
2
, . . . , x
N
)
etdesmomentsp
= (p
1
, p
2
, . . . , p
N
)
( ommeparexemples lesquantitésde mouvement),notée
H
,tellequel'évolution des variables anoniquesx
etp
véri entdx
j
dt
=
∂H
∂p
j
,
dp
j
dt
= −
∂H
∂x
j
,
pour
j = 1, . . . , N
.Lessystèmes onservatifsdemé anique sontdesexemples de essystèmes,où
H
est l'énergie dusystème (somme de l'énergie inétiquep
2
/2m
etde l'énergie potentielleV (x)
).Unsystème hamiltonien estditintégrables'il aautantde quantitésonservées(indépendanteseten involution)quede
degrésde liberté
N
.Une quantité onservéeF
est une fon tion s alaire despositionsx
etdesmomentsp
tellequedF/dt = 0
.Dans e as, lessolutionsdes équationsdumouvement peuvent s'obtenir parquadrature. Ave deshypothèsesplusfortes, onmontre
qu'il existe un hangementde variables anoniques
( 'est-à-diretelqueles équationsde Hamilton sont
préservées pour lesnouvelles variables)
(p, x) 7→ (A, θ)
,appeléesvariables a tions-angles,telqueleHamiltonien s'é rit ommeune fon tion
uniquementdes a tions
A
, 'est-à-dire,H(p, x) = H
0
(A)
.Dans e as, leséquations deHamilton montrentquelesa tions sontdesquantités
onservées etquelesanglesévoluent linéairementen
fon tiondutemps. Ladynamique sedéroulentalors
périodiquement ouquasi-périodiquement surdestores,
appeléstores invariants( arils sontinvariants parla
dynamique). D'unemanièreplusglobale,l'espa edes
phasesest rempli de estoresinvariants dansle as
intégrableetlestraje toiress'obtiennentexpli itement
parintégrationdire tedeséquations de Hamilton.
Laquestionqu'il estnaturelde se poserestla
persistan edes es stru turesrégulièreslorsqu'on
perturbelesystème, 'est-à-dire lorsqu'on onsidère
H = H
0
(A) + V (A, θ)
.Le théorème KAM(Kolmogorov, Arnold, Moser) donnele adrepour
répondre à ettequestion.Sous ertaineshypothèses
surla perturbation,etnotamment pourdes
perturbationsde faibles amplitudes, ertainstores
invariants sontpréservés. Lorsquel'amplitude de la
perturbationaugmente, de plusen plusde toressont
détruits,laissant pla eàdestraje toiresqui ne sont
plus on néessurdestores maisqui errent
haotiquement dansl'espa edesphases.
DESBARRIERESDETRANSPORT
En suivant l'appro he de
Poin aré, il est plus important
de penser la dynamique en terme
de stru tures dans l'espa e des
phases plut t qu'en terme de
tra-je toires individuelles. On pourra
alors déterminer le omportement
des traje toires à partir des
pro-priétésde esstru tures.Des
stru -tures très importantes pour la
dy-namique sont les tores invariants
(voir gure1) quipeuventêtrevus
omme les restes de
l'intégrabil-ité du système ar ils remplissent
l'espa e des phases dans le as
in-tégrable et sont progressivement
détruits à mesure que l'amplitude
de la perturbation augmente (voir
en adré1).Cesstru turesrégulières
diminuentfortementladiusiondes
parti ules, arpourdeuxdegrés de
liberté, lestoresinvariantsagissent
omme des barrières
infran hiss-ables par les parti ules, et à trois
degrés de liberté, les phénomènes
de ollage sur les tores invariants
diminuent signi ativement la
dif-fusion.
Figure 1 Un exemple de stru ture régulièreimportante pourladynamique: untoreinvariant sur lequelse déroulent
destraje toires (en bleu) et une se tion de Poin aré de e tore en rouge
( 'est-à-dire,unese tionplane delatraje toire dansl'espa edesphases).
Des travaux ré ents ee tués
au Centre de Physique Théorique
de Marseille ont permis de
met-tre en pla e une stratégie de
on-tr le fondée sur une petite
mod-i ation des équations gouvernant
la dynamique. Cette modi ation
estee tuéeenrespe tantla
stru -turehamiltonienne du problèmeet
traduit une perturbation du
sys-tème par une a tion extérieure
(réalisée à l'aide d'ondes
éle tro-magnétiques par exemple). D'une
manière générique, si on introduit
une perturbation du système, une
augmentation du haos est
atten-due. C'est le as, par exemple, de
latransitionau haosd'unsystème
intégrable dé rit par
H
0
ayant un espa e des phases feuilleté par destores invariants ( 'est-à-dire,
om-posé d'un superposition de tores).
H =
H
0
+ V
,laplupartdestores invari-ants sont brisés et le systèmede-vient haotique. On s'attend don
génériquement à e qu'une
pertur-bationadditionnelle
f
( 'est-à-dire, un système dé rit par lehamil-tonien
H
0
+V +f
)augmenteen ore plus le haos. Cependant, il existeunensembledeperturbations
addi-tionnelles
f
qui onduisent à une rédu tion ou même unesuppres-siondes omportements haotiques.
Dansde nombreux as, il en existe
unein nitémême si,dans
l'ensem-ble des perturbations possibles du
système,ellessontpeunombreuses.
Parmi les perturbations, appelées
termesde ontr le,quiamènentune
rédu tion du haos, nous
onsid-érons elles asso iées à une petite
modi ation du hamiltonien. Plus
pré isément,lehamiltonien ontr lé
par le terme de ontr le, noté
f
,est
H
c
= H
0
+ εV + ε
2
f
, où leHamiltonien
H
c
estmoins haotiqueque
H = H
0
+ εV
, voireinté-grable. A l'aidede transformations
anoniques parti ulières
(transfor-mationsdeLiepro hedel'identité,
qui sont des hangements de
o-ordonnées qui préservent les
équa-tions de Hamilton), on obtient des
formesexpli itement al ulablesde
termes de ontr le (qui ne sont
pasuniques)d'ordre
ε
2
, 'est-à-dire,
beau oup plus petits que la
per-turbation.On her heainsià
trou-ver unterme de ontr le
f
tel queH
0
+εV +ε
2
f
,exprimédansles nou-velles oordonnées soit unhamil-tonienintégrable omme
H
0
. Ainsi l'ajoutdeε
2
f
restaureglobalement ou lo alement des quantitéson-servées qui rendent le hamiltonien
intégrable(voir en adré). Ce
prob-lème à deux fon tions in onnues
(fon tion génératri e de la
trans-formation anonique et terme de
ontr le) ontraintes par une seule
équation a en général une in nité
desolutions.Ilestnaturelde hoisir
la solution qui orrespond le plus
àlasituation physique et aux
on-traintesasso iées.
ulefor équisertdeparadigmeàla
transitionau haoshamiltonien.On
montre,notammentàl'aidede
se -tionsde Poin aré,que la
modi a-tiondupotentielpermetderéduire
le haos par restauration d'un
en-sembledetoresinvariantsdela
dy-namique. La régularisation de son
espa edesphasesestréaliséàfaible
oûténergétique.
Lependulefor équel'on
onsid-èreapouréquationdumouvement
¨
x + ω
0
2
sin x = −ε sin(x − t),
ouautrementdit,pourhamiltonien
h(p, x, t) =
p
2
2
−ω
2
0
cos x−ε cos(x−t).
Dans le as où
ε = 0
, onre- onnaît le pendule où le portrait
de phases ( 'est-à-dire la
représen-tation de traje toiresdans l'espa e
(x, p)
)estreprésentésurla gure2.Figure 2 Portraitdephasedupendule
¨
x + ω
2
0
sin
x = 0
. Les traje toires se déroulent sur les ourbes isoénergétiquesp
2
/2 − ω
2
0
cos
x = const
.Ilest omposé,outred'un
équili-brestableet d'uninstable,detores
invariants de rotation (où les
tra-je toiresne sont paspiégées parla
résonan e, 'est le as d'un
rota-teur) et de libration(oùles
traje -toires sont piégées, omme dans le
as d'une balançoire). Si on
aug-mente
ε
,lesystèmen'estplus inté-grableet aun omportementhao-tique par brisure des tores
invari-ants. Une se tion de Poin aré du
pendule for éest représentéesurla
gure3.
0
1
2
3
4
5
6
−0.5
0
0.5
1
x
p
Figure 3 Se tion de Poin aré pour le pendule for é. Elle est onstituée par les points d'un ensemble de traje toires
représentéstouslestempsmultiplesdela période du potentiel, 'est-à-dire
2
π
.Les pointsrouges (respe tivementbleus) sont eux de traje toires issues de la partiebasse (respe tivement haute) de l'espa e desphase.
Elle montre des traje toires de
parti ules rouges et bleues qui se
mélangent dans les zones
hao-tiques. On restaure un tore
invari-antdanslazone haotiqueen
modi- antleforçage, ommeparexemple
¨
x + ω
2
0
sin x =
−ε sin(x − t) − 2ε
2
sin(2x − t).
0
1
2
3
4
5
6
−0.5
0
0.5
1
1.5
x
p
Figure 4 Se tiondePoin arépourle
pendulefor é ontr lé.
La onséquen e est que les
tra-je toires rouges ne se mélangent
plusauxtraje toiresbleues(voirla
gure 4); on a restauré des
bar-rièresdetransport( 'est-à-dire,des
toresinvariants) ainsi qu'un
rédu -tion signi ativedu omportement
haotiquedusystème.
Cette onstru tion de barrières
de transport a été réalisée
expéri-mentalement surun Tube àOndes
Progressives. Ce dispositif onsiste
àfaire interagirun fais eau
d'éle -tronssortantd'un anonàéle trons
ave un ensemble d'ondes
éle tro-statiques lan ées par un
généra-teurd'ondes àtraversune antenne
tube fait environ quatre mètres et
se termine par un analyseur
tro- hoïdal qui analyse la distribution
des vitesses des éle trons en n de
tube (voir gure 5) par
appli a-tion d'un hamp éle triqueet d'un
hampmagnétiqueperpendi ulaire.
L'intera tion ondes-parti ules
pro-duit en général un élargissement
en vitesse d'un fais eau
initiale-ment mono- inétique lorsqu'il
in-teragit ave au moins deux ondes.
Il a été montré expérimentalement
quelere ouvrementdesrésonan es
asso iées aux ondes engendre un
omportement haotique à grande
é helle.L'expérien e onsisteàfaire
interagir le fais eau ave deux
on-des dont on onnaît exa tement
les ara téristiques.Lehamiltonien
dé rivantl'expérien e est très
sim-ilaire au hamiltonien
h
pré édent. Si on ajoute une troisième ondeéle trostatique générique, on
s'at-tend à augmenter le haos, et par
onséquentunediusiona ruedes
parti ulesenvitesse.Cependant,on
peut al uleraprioriles
ara téris-tiquesd'unetroisièmeondedetelle
sorte que le haos soit réduit de
manière signi ative. Cette
rédu -tion entraîne du oupune forte
ré-du tion de la dispersion en vitesse
des éle trons (voir gure 6). Il est
à noter que ette rédu tion a été
réaliséeave unapporténergétique
additionnelde0.1%parrapportau
système desdeuxondesinitiales.
Figure 5 S héma d'un Tube à Ondes Progressives (TOP) : un anon
à éle trons, une héli e où se propage un ensemble d'ondes éle trostatiques,un
analyseur tro hoïdal pour analyser les vitessesdeséle tronsauboutdutube.
Figure 6 Distribution de vitesses des éle trons à la sortie du TOP :
le fais eau n'interagissant ave au une ondes(enhaut),lefais eau interagissant
ave deuxondes(aumilieu)etlefais eau interagissantave troisondesdontunede
ontr le(enbas).
Lessimulationsnumériquesainsi
que l'expérien e dé rite i-dessus
nousmontrent qu'ilest possible de
réduire la diusion par
onstru -tion de barrières de transport à
l'aide d'une petite modi ation du
système. Ces barrières de
trans-port sont parti ulièrement utiles
en physique des plasmas où l'on
her he à on ner des parti ules
hargéespardes hampsextérieurs.
Cetteappli ationestenvisagéedans
lasuitede etarti le.
APPICATIONAUCONFINEMENT
MAGNETIQUED'UNPLASMA
Les pertes d'énergie et de
par-ti ules dues au transport
anor-mal dans les appareils de
on ne-ment magnétique de type
toka-mak sont en ore un sérieux
obsta- le pour la fusion thermonu léaire
ontr lée. Au niveau d'ITER, des
hangementsaussimodestes
soient-ils dans les propriétés de
on ne-ment peuvent hanger de manière
drastique lefa teur d'ampli ation
d'énergie.Lesétatsdemeilleur
on- nement trouvésempiriquement et
lapossibilité deréduire et/ou
sup-primer le haos ave les
pertur-bations paramétriques
(essentielle-mentdéveloppéespourlessystèmes
dissipatifs), suggèrent d'étudier la
possibilité d'une stratégie de
on-tr ledutransport haotiquepardes
perturbations appropriées agissant
au niveau mi ros opique des
mou-vementsdesparti ules hargées.
Le transport anormal d'origine
non ollisionnelle( 'est-à-direle
dé-pla ement non-diusif d'un
ensem-ble de parti ules hargées en
l'ab-sen e de ollisions) est aujourd'hui
attribué à la présen e de
u tua-tionsturbulentesdu hamp
éle tro-statiquedanslesplasmasdefusion.
Ilyaplusieursannées,ilaété
mon-tréqueladérive
E
×B
quesubissent les parti ules tests hargéessuiv-ant le mouvement du entre guide
donne une expli ation naturelle de
ladiusionàtraversle hamp
mag-nétiquede on nement
B
.Ces par-ti ulestests(de hargeq
etdemassem
) qui peuvent être, par exemple, deséle tronsoudesimpuretés(su-isamment diluées pour ne pas
in- uen er le hamp éle trique), sont
soumises à la for e de Lorentz et
l'équation dumouvementest
m
dv
dt
= q
E
+
v
c
× B
.
De ette équation, on montre que
le omposantetransverse(au hamp
magnétique
B
) de la vitessev
a pourexpressionv
d
=
c
B
2
E
(x, y, t) × B,
àdes termes près qui sont
néglige-ables dans le as d'un fort hamp
magnétique(pression inétique
nég-ligeable devant la pression
magné-tique, equiestle asdansun
toka-mak en première approximation).
Dans le adre de ette
approxima-tion,appeléeapproximationdu
en-tre guide, les équations du
mou-vement des parti ules hargées en
E(x, y, t) = −∇V (x, y, t)
sontdond
dt
x
y
=
c
B
−∂
y
V (x, y, t)
∂
x
V (x, y, t)
.
Onre onnaîti iunsystème
hamil-tonienoù les oordonnéesspatiales
x
ety
jouent le r le de variables anoniquement onjuguées et lepotentiel éle trostatique
V (x, y, t)
, spatialementturbulent,estlehamil-toniendusystème.
Comme le potentiel dépend
du temps, les parti ules hargées
ne suivent plus les ourbes
iso-potentielles. En fait, ette
dépen-dan e entemps introduit de la
dif-fusion dans le système et ainsi
dé- on neles parti ules.L'idée est de
trouver une modi ation du
po-tentiel éle trostatique
V
qui aug-mente signi ativement leon ne-ment des parti ules hargées. De
plus, ettemodi ationdoit
répon-dre à plusieurs ontraintes et
no-tamment elle ne doit introduire
qu'un faible oût énergétiquepour
être envisageable
expérimentale-ment. Le potentiel éle trostatique
ontr léestdon
V
c
(x, y, t) = V (x, y, t) + f (x, y, t),
où
kf k ≪ kV k
etf
est al uléà partird'expressions expli ites de
termesde ontr le(par ro hetsde
Poisson su essifs).
Uneprémièreétapedans esens
onsisteà onsidérerune
modélisa-tiondupotentieléle trostatique en
onsidérantun ensemble de modes
delatransforméedeFourier
spatio-temporelle:
V (x, y, t) =
X
m,n
V
mn
× sin[mx + ny
+ϕ
mn
− ω
mn
t],
(1)où les
V
mn
dé roissent en a ord ave les données expérimentales,'est-à-dire,
V
m,n
= ak(m, n)k
−
3
.
Pour des petites valeurs de
a
, le hamiltonien autonome a la formeH(x, y, E, t) = E + V (x, y, t)
,'est-à-dire, un Hamiltonien intégrable
tion
V
. Si on al ule le terme de ontr lef
,ons'aperçoitqu'ilayant un spe tre tropri he pour la miseenpla eexpérimentale,ilest
envis-agéune tron aturede lasérie
don-nant
f
. Dans e as, on onsidère uneapproximationdutermedeon-tr ledonnéparunesériein nie.Ce
premierterme
f
2
,d'ordrekV k
2
,est
tel que le Hamiltonien donné par
H
c
= H
0
+ V + f
2
est plus pro hedel'intégrabilitéqueleHamiltonien
de départ
H
0
+ V
, 'est-à-dire, tel queH
c
est anoniquement onjuguéà
H
0
+ O(kV k
3
)
.Ilest donnépar:f
2
= −
1
2
∂ΓV
∂x
∂V
∂y
−
∂ΓV
∂y
∂V
∂x
,
où, dans le as onsidéré, la
fon -tion
ΓV
estuneprimitivedeV
par rapport au temps. Les autrester-mes de la série donnant
f
se al- ulentexpli itementparré urren e,ave des ro hetsdePoisson
su es-sifsave
ΓV
. Ilest ànoter qu'ave le terme de ontr lef
, les parti -ules tests sont stoppées et il n'y aplusdetransportverslesbords ar
H
0
+ V + f
estintégrableetanon-iquement onjuguéà
H
0
= E
. L'e a itédutermede ontr lepartiel
f
2
, qui est aussi un test de robustesse de la stratégie deon-tr le envisagée,est véri ée à l'aide
de simulations numériques. Nous
avons omparé les propriétés des
traje toires de parti ules obtenues
ave le potentiel
V
et ave le po-tentiel ontr léV
c
ave leterme de ontr lef
2
. La guremontre deux traje toires issues des mêmeson-ditions initiales al ulées ave et
sans le terme de ontr le. La
par-ti ule reste on née dans une
ré-gionétroitedansle as ontr lé,
in-diquantunerédu tiondutransport
verslesbords.
x
y
−10
0
10
20
30
40
50
−20
−10
0
10
20
Figure 7 Exemple de traje toire obtenue pour le potentiel
V
donné par l'équation (1). Le fond représente leslignes de niveaux du potentiel
V
à un instantdonné(t = 0
).x
y
−10
0
10
20
30
40
50
−30
−20
−10
0
10
20
Figure 8 Exemple de traje toire obtenuepourlepotentiel ontr lé
V + f
2
. Le fond représente les lignesde niveaux du potentielV + f
2
à un instantdonné (t = 0
).La mesure de l'amplitude
rela-tive du terme de ontr le
f
2
par rapportaupotentieléle trostatiquemontrequeletermede ontr leest
une petite modi ation du
poten-tiel éle trostatique (de l'ordre de
quelques pour ents). Il est à noter
que la onstru tion du terme de
ontr ledépend dela onnaissan e
du potentiel
V
. Il a été montré numériquementquemêmeuneon-naissan egrossière(pardesmesures
sur les points d'une grille spatiale,
par exemple) permet de réduire
signi ativement la diusion. Une
méthodedtyperétro-a tion
perme-ttraitdemettreenpla ele ontr le
pourun potentielmesuréen temps
réel.
Les prin ipaux s énarios pour
ITER sont fondés sur les
bar-rièresdetransport.Cesbarrièresde
transport sont souvent asso iées à
un grand apport d'énergie. Cette
stratégiede ontr leouvreunevoie
d'investigation possible pour réer
des barrières (ou réduire le
on- nement magnétique à faible oût
énergétiquedanslesappareilsde
fu-sion ontr léetelsquelestokamaks.
POURENSAVOIR PLUS
C. Chandre, G. Ciraolo, F.
Doveil, R. Lima, A. Ma or,
M.Vittot,Physi alReview
Let-ters,94, 2005,074101.
C. Chandre, M. Vittot, G.
Ciraolo, Ph. Ghendrih, R.
Lima,Nu learFusion,46,2006,
33.
Arti leproposépar:C.Chandre,CentredePhysiqueThéoriqueUMR6207
CNRS, handre pt.univ-mrs.fr.
Ont également parti ipé à e travail : R. Lima et M. Vittot, Centre
de Physique Théorique UMR 6207 CNRS (Marseille), G. Ciraolo et
Ph. Ghendrih, Département de Re her he sur la Fusion Contr lée, CEA
Cadara he, F. Doveil etA. Ma or, Physique des Intera tions Ioniques et
Molé ulairesUMR6633 CNRS(Marseille),M.Pettini, IstitutoNazionale
