coNri Nui-rÉ €T )e R1VA

(1)

coNri ^Nui-rÉ €T )e ^R1VA

^{0i LI}

T€ _î€S FoxrqrioNS REêtfCS [,N€ VAfliÊSL€ .RéCU€ ^. ^EX€H

^P

LES ër

^Co!§rRE

^-€xeH

Etoç3

pzzq

Æ$rrr- ^,6

ry +i+i r

ïLi{rf

+l.rrà ^Ë

iïLqïL

Ë ^.âl

cJ

=ÿ,

.,\

n

i;

V iFâ Ér

l% t.A

*-F

_a@

îf a-f ç§

kr E,<

lr

A

'!

₍

€

Â

F

(1a

P

Ë

,16

;fq

,|.â

tg'

t-r

,É

3

F

É§ F

tli

b r

<t

r j 9,

dGÈ

r.

Ë

? rl

F q(,

o-

?

2tL

4ê

iF âÊ Fr>

4i&, _(.æ

rF

a-

_v

F b

È

Cz- (t,u

I

a a

î

Ë

FFE. _:: _lr"Èr ç _r _' _' ^o ^iËFi ^H

$tir{{I:{i ^ËF

t ^T, ^e ^T" Tiif ^n;+ ^T

h * ^s ^f f:'.f'h_Tf

?

i i'- ⁶ ?Lgt Pîa ô -B i '' ,:oæ v ï i:f _t yq ir 'on ^-''Ë-

^Ç"

^!-

î ^b lf{"r: ,s ^|ht

h q _?h

t'3iri 'i: ^q

\r r _i'vrif r ^f qrr,-iei1f3, _f

: i ii ili ^l

i ki ^riil ?

aî <'F

a)7

Ëta'

r

(-l

t

LJ

f

;

F ë

r"È

-FËË

!cæ [ "*

'ÿ* _HT

§-' ./

J

Ëf.Ë ^v

â ! i

^Ê

'i* _î

^fi

qITk-

çt I f

ed'l' f

⁷

i. {.F

ii ^{Ë' E.}

..'è" _w

nÇ 7 V

.,'6u t'

Èâ " il

f i ic*rt

rI f _{v, .,}

^Ë

ltt

F,

E.Lâ/ Âr- o *

rô{

I ;d*

ç Lr É' _*ii

ÉlÈ

îjr. _ilf,E't§

IrrrilrF;

Li ^?,i ^æ,r î

-Ëf _ei: _f i;xr _i3 i i

I ^Ë

r=+ '"f,.tt-v e i:,'i ^"b i $

i.: {, I'ç i ^,"

Ë.j ^È, ii' ;;

-i s g i'J t. ⁱ

*f ir-Ë| ^f

i t ^§ ^sr ^r ⁱ

!I iPr r / 6. (i,? ^: ^I

or, F}

^È

IFF

-ffîÿrËfiEirHH

ei!;Lï ^{â,= nr} f.ti**

:2TÉ,,';iri ËIf Trtîfl

ff,,ri ^q"i : ^êr Ë ^? ^.ç *

^éu

^J"* f

cl I, Ç*.x s È .o{, -'t, ^ç i"

^l

ao? r.. -- ^L ^Y' É îF. -l i iLV

â8, -f ^.r ^îJ' Jr Li,*; ^f

;:T, *i'l ^l; ^F ^nrÊ;Ë +t' _t

Lr p às i + i',{-?i ^i'_ --f L îhî

^ô

ⁱ

! _I ^uT'' ^;Ëî:h[ _Lti's _{i iï ^ï _?

* 'îr î' ⁱ

^a

(c.

t-9.9

t<

:r1

_.<"

f-qS

Ës'r

'. 1€

iF,

(2)

t)l- LkGflpaS ÉA

fi

C(>oul

g ÿ

5

I .1u a\

§

rf

.\)

â

)

?

ll

s

hftic d.fl ^àÿ1* ^r

$âiï , _'&{ ³ :lÏï _fi

11; ;j ^i"1i i*ï+i ^fÉ+ ^Ëï

:ï1 ^{ï1 }qhlii ïË*ï ^ï{

*1

jruà

rf{ ^{Éiï,ffi

g q ^!

,g =r\ + {

I _='*if, ^y

J ^Ëcr: I'i ^-,

is i"llla {

I _{". +} ^e,li;; { -r i3 a .,.,. "{-5 Èe? ^,Z-lJ ₁

o--- t4.t p .

^t

Z'', Iil- _ïî _1:

ÉroB + fiu,n,;

?tu ç , f j _I

Ë tua!. §i; = ^A

=^gr,J ^ë 1 T Ë"c t? r4r ^â

a 4 4 r ^d _9y

^Àâ

:i

^

v =t=-v

{l,d+<tosô

* ^§ T a ^-9 à-

ü iffi 2

^ne

v r'J, Oz{l

4:'; g ^*r9,î

lgE ,dliî

^,

aH^= .,o1

A1 ê rçlÿt i

-t,p 1 lj î ^Te

J ^,1< ,r-.ÿ

+; i ^* ;

i; ^i-,it ^iç:*{

;r.lflfii -tazt;izâiIîî g21lâl _îËc di;il A ^,-i

; ^fi ; ^,Ë ⁺ ^J;o,i,J

;'Fe 1r ^dv _k _*e _I ^g

# j &'l * t'o"-, i ¹ ^{'^i,} ^v

93 ÿ ë,ii _rfî _"î;; î I Ël-,Ëlîi Ji'iJl ïj ^î

i* tt

Jd

-J 3L

_{_g}

;'H É3

f d*,t _'{', r-, {t

â) at^

,gl

gS H

_J)

Ë^

_./6

"rf%

^,.o^I

âJIôJ

efl---l

È -Cÿ n,â t

.ql H ; ¹

flr; ^a

vl4 q

,e

ilsi _,l _uo- ⁱ _t

Jl si _i

ë1, €

^g

âl;:à

^$

,il'jæ î

5l 3i ^§"

ll Yi ^J3"

Ë13Ë;+ ,

{ ^-j ^1',*

#,i; f

côt,è

ÿ1

L3

*rx

vi

GÉ,

tJ

q-2 _4.

i

*.ÿ u,1

J)ÿd{

a§ v1

;

^d.

I

bI ^r-1

-' -

"g ^r"t -tl : ^u

%l'- ï:a

e

üt#6,

'l% ) ü"U

a4

r§ _.t

dd .s

-t4 C

d

%, I

âi

I

atu (',

)s

_"c

q,O l-l

5l

*)

ta.

'ai

J

I.î

t

r'1 4b

t

IJ

a/J LJ

,?

,:9

e, T

t? -d

.ô

^.J

Zi -5

'c )

,1 qo

:§

c)

?ÿ

d

.t

't

.ÿ

Y

! tQ<q zJ o,,l),)

'd

2 -§o

à,

ol

ü\

,

_.1

j )

t3

I /

f

'ô I

1' "d

3 §

*

+

1 ry,

o-

11

-t4 ^'.

ÿ-a

ü,

^-

dii

il

u{1 ^c

r(t rl I

U:(

ofl

^dLaUH,

gsd

tv.loul

^oo9J

.)

.?

lr

^rl

.+ s3

.:à

(=

a

.-lFl

€lÂ

-r'

è

F -Ê-c ts

<--+-

3

.t-i

2

.!ê'I

/ É

"P,

c."â

{1l-,1

à? _I

''A a- _!n

-f? '$

_"r

ë,s I e2

u.8

4<

+É ôl^

î;1h

4) .r2

\,

.

.-_2.1

L

f-

(3)

fGeL,l

§ Ë r

g

/1

§,-rF'FHffHtrfEi§ _Ti _iË

lil"t+ï _{ylrj _}il

{iïlilëË _{*_{t,9.} -Ëff'f1,,. î}

=Ë E if - f,L ⁱ

{*îi 9Yt§-Lfii"i s ⁱ j-rri _f _r"L§ il 'î ^a

ë _* _rfn iïï ^jj ;îLi["I" ^ïi,Ër ^r _t ^â

ÊtË

rls _F _'.

,

^oL6

ilta

Hr

f.* _[,h

ta

ë6,

;H ËF,

r'?

ê

r,,

l+,0 É§

on-\i§

5

r^

{

F.

@

ê frr

4

o UI

4..3

o

I et

ÿ

ô H

oU

Y

e"

ü I

GÂ

di

(t

c.

*

P

-t

ç

(à

ôetn

;

t^

J) 1;(a

r

JPÿG

dâæ

il4'p

É- _'96v F ⁿ

rç-\ f5H

,F:î, _7.

u-

B= i-l

c.4

r

&ç 9.

f._

a

=i

^F-.

é 'f'

^q-.

rh

ttù ^æ

:t§ i

8:'

§ at

î".

ÿ

t tr

i.

,_, f

É_ ^Ê--r i ^{Ii lf,} ^_ ^$

u'Ë ^A: q.r,,t?"2;

LL B I ^.Ê,Ê* ^i:Ç

-lË' ^ê' iit? _?b

gi'ffi _î {Lr ^-tl

+.

,iu { C. T ^;- { ⁿ

^e

ffr, _7u# iI _? _î;E' ^É zt, ^Eî- _i'#

_§ î;i,: J F p': ii*i ^Fj _t'

?': _à'q ^a{ ^* e

^Ë

k Ft ^k

11 ;'Ë"Ë ^t

tt-, i ï É f'

-+' cr

^F

[ (^:r

(t\.

i,

fr }(, E Éâ' ër.tJ

AE

(\ ë

e

JT

a.

al t.

f.:

c/J

âF

:

uË

Ë

c( TJ

.-

<J {+- iJ-{;

Ps

_ÿ1

rJ ê.

UÈ

e.ft .--

ê '\i

=

è

ç, v.

;

îr-

Frt

;

(4)

W

fi t-l r.Ê

Ëc.hg

e _{" ii} ⁸ ^iE-

Pt6 rt

f ^i.**

6.i eô

,5 ^I

c q"

_Ç,

6Y

*à Zg

_(7r

_c

iFB

is tt

lË

^rË

l,

^Àr

lÉÊ rf",

.L* b,

^b'

["t

t2 a

{

æ

F

F 'p

hæ Éî o,

2p

à

1

t

&

t' 6

3(

âp t

tg _rl

r,

8 a

IFrl T

:1lF 6ili

çitf

â

^!.§

qft I

pi.

ÉÉ

l(-r'l

lfl

ti,

lf

i"

tIJ

t?IJ I$"

IËIJ tE

-

lp

aÆ,è

§

rr

tt/

à ?

N

1,.

L9

.ÿ

I

,fr

E

ffii

_p-

n

IP

t5

tb

_lrz

IF

rDI

i*, ti ie' tr

+!"

lr.

ta_l5

-ü

t

f o?o

(5)

Densité des fonctions continues nulle part

dérivables

Joubaud Maud et Jochault Bastien 15 Octobre 2014

ThéorÈme. ^L'ensembk

A

des fonctions ^continues

str

[0, 1] qû ne sont dé- riaobles en aucun poùnt de _[0,U ^esü^densefura ^(Cp([O,1],R),

ll ll-).

Pteroe.

Pour montrer ce résultat de densité on utilisena le lemme de Baire sous sa ver- sion ouverte :

Soü

X

un Bonach aoec (Xn)nçy

c

XN tel _Eue'pour torû n :

-

^Xn^est^un^mneri.

-

^Xn^estd,ense d,ans

X.

Alors on @ [-l,ex

X,

est ilense dans

X.

Comme (C0([0,1],R),

ll ll-)

est complet on peut utiliser ce résultat.

Àinsi pour montrer la densité de

â

(l'ensemble des fonctions continues nulle part dérivables sur [0,1])

il

suffit d'exùiberune suite

(X'),ex c

C0([0,1],R) qui vérifie les hypothèses précédentes avec

fl..nX, ^c

^A.

De maniàe êquiralente, en passant au complémentaire, on va c,hercher une suite (Fn)nex avec ^:

-

^{Vn €}

^{N .t|}

est fermé.

-

^{Yn e}

^N

^JL^estd'intérieur vide.

- U*.xF, ) â"

Posous

Fn: {l ^€

CP([O,1],IR)

I ^{lco e}

^[0,1]^Vs

^{€ [0,1]}

^;1(oo)

- ^/(s)l

^<

nloo

- ^sll

(6)

1*

étape : Montrons que

[jr.p

^Fr,,

f

^,4t.

Soit

/

^€

^A',

^comme^Jêst^dérivable^{eu au}^{moins un}^poiatônâ^:

3os e [0,1] f'(no) elR

+ fr-e N

vs e to,1l

lffil

^<

^N

+/eFrv

Onadonc.f€U,exX".

2*"

étape : Montroas que .F* est fermé.

Soit

(fi)1.p c F,

tel _aue(.ft)ren converge daDs (Cp([0,1],R),ll

ll-)'ers r.

Cornme ("r)re1

c

i0, ^1]avec _{[0, 1]}compact, il e:<iste une sous zuite (r1,)6çs qui couverge vers o e _[0,1]'

2. Si on

moutre lim

l.f*,(or,)

- ^fix,(ùl: ^l/(r) - ^î@l

i-+oo

Alors on aura :

3c e [0,1] ^Vy[o,

t] _l/(") _-

f

(ùl (

nlr

-

^yl

et donc

I

^{e Fo}^ce^qui^a.ssure^que^.t"æ^{est fermé.}

-

^On^a^d'abordclairement : Vy € [0,

{

,

1** ^1*,(g):

^î(g)

-

^Ilnous reste seulement à montrer

t

i Tt ^lxr(at1:

^l@)

l.fr.(or.)

- I ^@)l(

^lf*.(cr,)

- ^/(r*.)l

⁺^lf(o*,)

-

^f@)l

(

_ll/*,

_{- /ll-}

+ _V@x)

- ^/(")l Or lim

llfr,

- /ll- :

⁰^car.f&. converge vers

/

^dans

i-+oo

(C0([0,].1),lR),

ll ll-), u,

,

T"". ^l/(r*.) ^- ^/(r)l :0

pa,r continuité de 1.

(7)

3"-" étape : Montrons que .F|.

:

fl.

Comme on est dans un ^espace^métrique,

il

suffit de montrer qu'il n'eciste pas de boule ouverte

BU,r)

C trL avec

I

^e

^F.

^et^e

)

^0.

Le problème est équivalent à vérifier que :

Vf e

F-

^Ve>

0 B$,r)nFi+

^0.

Fixons alors e > 0 et

f

^€^F;.

-

^Parle théorème de Weierstrass : 3P e

R[X]

_llP

- /ll-

^<

^;.

On note M

: _llP'll*

^(quieriste car P/ est continue sur le compactê _[0,1].

-

^Soit^N^€^N^tel^que^N^>

2**:*'

.On partitio;i alors _{[0, 1]}en N intervalles de même longueur.

On définit alors une fonction gs périodique sur _[0,1]en la définissant sur [0,

*]

_'

vc € [0,

r]

.eo(r)

: {i: *- ^:i ^:: ^[L4,

Notons alors que llsoll-

:

_f,et que go est bien continue.

-

^OnPose

g:P+go

L. Vérifions que g € B(î,u)

ll/-sll- : _ll.f- P-soll- _{< ll/} - ^Pll*

⁺llsoll-

ii

<e 2. Il reste à montrer que g € trf,.

Rappelons que

rï : _{f

e Co([O,1]) | ^Voe [0,1] lso e [0,

t] l/(")-

/(go)l

> ,,lî-aol],.

on ^a^:Vr,y € [0,

r]

_ls(")

_- _s(ùl>

lgo(")

-

^so(y)l

-l

^P(r)

-

^P(y)1.

On va alors minorer le premier terme et majorer le second ^:

-

^Pour^lepremier terme, par le partitionnement de _[0,1] :

3k e [0;2(N

-

^{l)n tel}

^que,

^€^[rrs,

#]

Soit ys € _[",

g#]

alors on a :

lso(r)

-

^so(yo)l

: _!@ _-

aol

> (M + n,+ 1)lr

-

^ysl

-

^Pour^{le second}^terme,^on^utilisele théorême des accroissement finis :

Yr,y e [0,

1]

!c e [0,

1]

_lP(r)

- ^P(u)l:

^lP'(c)llr

-

^yl

lP(")- ^r(s)l

^<

Ml"-yl

Mis bout à bout on obtient la minoration ^: Vr € [0,1] lso € [0,1] ls@)

-

^g(yo)l

^>

^nlr

-

^vol

On a donc bien g

€,tf

^ce^qü^termine^ladémonstration.

(8)

Rêfêrences

[1] ^HervéQUEFFELEC, ^ClaudeZIJILY, Analyse pour l'agrégation, DÜ- NOD : page270 proposition I.13.

(9)

Théorème de Weierstrass

Joubaud Maud et Jochault Bastien 15 octobre 2074

A

remettre éventuellement dans ^:

-

202, exemples de parties denses

et

applications

-

^209,

approximation d'une fonction par

des

polynômes et

des polynômes trigonométriques. Exemples

-

^228,

continuité et dérivabilité de fonctions

reelles

d'une variable

réelle.

Exemples

et

contre-exemples.

-

^247,

^suites ^et

^séries

de fonctions.

Exemples

et

contre-exemples.

Théorème. Toute fonction ^cont'inue F : _[a,ô] c ^IR ^-+ C ^est limite uniforrne sur fa,b) d'une suite

de

fonctions ^polynômes.

Preuae.

On va montrer 1e théorème

pour a:0 ^et

^b

: _1; pour

se ramener au cas général,

il

suffira de considérer

f (r): f'(a(l - ^r) ^{+ br)}

^pour

r e I

s1 7

:

_[0,1].

Soit

donc

7

l'ensemble des fonctions continue de -I dans

C et / ^€ ^€. ^On

^ua

utiliser

les polynômes

d'approximation

de

BpRwsrutN

^: pour

n e N*,

on définit

On va montrer que 1a suite de polynôme

(8"(/))".^r

converge uniformément vers

/ ^sur.I. ^On

^confond

^pour simplifier l'écriture

1,

ï,r2

^{avec les}^fonctions

r ^r+

^1,

ïèt)r*+12.

L"' étape: Calcul de B"(7), Bn(), Br(')

B,(il:1+c , rF+y()rXA ^avec bf;(r):(î)"-,, -r)n-

En

utiiisant

la propriété du binôme de Newton, on

introduit

Ia fonction suivante ^:

v n eN, v a,ô € lR, ^N(a,à) : (a

(1

- ^b))" :

à (;)*U-

^{b)^-x}

avec

N(a, a) :

_{1 Pour}

tout

a

(10)

Et

on a donc ^: n

. B"(1) : »

¹

^x ^bl(r): ^N(s, ⁿ⁾ :1

k:0

. B,(r):

Ë ^,ul;Al: _Ë, ([)- ^rk-lr(t ^- ^r)n-x :!

ff@,*)

:i E(;),- ^+k(k-t)) ^re(t ^-r)n-*

: # V#o'r)+rz; ^(;) ^k&- ^t) rk-2(t-")'-l :T"@+(1- *))-':,

. B(,):

Ë

^,,Y,

^u:or: # _F(;)- ^r(t ^- ^x)n-x

r [ _^a2N. ^.l :- lnrlf ^;lr,r)l _Loa')

:9+4\a,r1:42a*z

n nooa' ⁿ

2h" ^étape: ^Majorer ^quand onns'éloigne'de r : » ^Ulr(*) S

¹

,ro,{=nn"' '- nf

On a d'une

part

(*),

Ë (f -,)'

^utçr1

^: i;$ ^- ^z'L ⁺ ^*)

^uiç.1

:rffi2rB*(r)

+ î28*(L)

n Et d'autre part

^:

(xx)

:

o,,op_,,,,u1(*) s #i;G ^- ù

^u*@)

^: ^#,r, ^- ^ù ⁼ #

On peut

voir

I'expression

B,(/) (r) : ÿ ^f ^Onl ^b[(r) ^co-me ^un

^barycentre

&:0

des

points {f (kl"), 0 < k < n} (car DUI@) - ^1).

^{De plus,}^les^points^{les plus}

(11)

'lourds'

^{(ie qui}

^vont

^être^les^plus

significatiB)

sont ceux

tels qt"

*est

^proche^de

o,

d'après

(xx).

Donc

B"$) _{(r) =} _/(c).

^Onva formaliser cette approche ^:

3h' étape : Passer aux quantificateurs

Soit

e

>

0.

Co--e /

est continue sur _"f

:

_[0,L] compact, elle

y

est uniformément continue (theorème de

HelNo)

et bornée. Ou a donc

1M> 0, l/(")l SMswI et 1r7>0,V(r,u)eI'(lr-ul<?)=+ _M@)-f@)l <u) D'où, pour tout o

da.ns

.I

et pour

tout

n, dans [rT* ^:

lB"(l)@) - ^f

^@)l

: lB"(f)(r) - /(c)B"(t)l

=Élr(*) -rr"rlarla

s,( » ^bl(,)) ^+zM( r ^ôI(,))

\*,1r7n-ol<a / \r,lrln-ol>a I

= . fi

^ôf

(,'\ 2M ^2M

\r-=o

'-

',)

) æ ^s'+ ⁿ '

On choisit donc

.l[ e

^]N*

tel

^qrrc

W (

e et donc :

Vn

) N, Yr e I, lA"(/X") - ^f(r)l ^<2e

et

ainsi,

la

suite de polynômes

(.B"(/))n

converge uniformément vers

/ ^sur

[0,1], ce qui montre le théorème de'WoIoRSTRASS

tr

R,éférences

[1]

^Xavier

GounooN

Analyse Zème éditiorz, Ellipses, eooS : page 231, exercice 8

3

coNri Nui-rÉ €T )e R1VA