Chapitre 24 Calcul différentiel

Chap 24 : Calcul différentiel

Préliminaire : Comparaison de fonctions à valeur dans un evn

( , )X d espace métrique, A X a, A E, ( , ) evn.

( ) ( ) 0 ( ) ( )

( ) 0 ( ) ( ) ( )

~ ( )

, ,

(

( )

)

, , ,

, , ,

a a

a a

g U a r x U A f x M g x

g U a x

f g A E f

f o f

U A f x g x

g f g o g

 

 

  



        

        

 







F V

V

\ \

, : ( ( ) ) ( ( ) ( ))

est une propriété locale lorsque : f g AE,  U a f, _UAg_UA  f  g

P V P P

I. Différentiabilité

( ,E _E) et ( ,F _F) evn sur ou . ouvert de ,  E a

: ( , )

( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) 0

est différentiable en s'il existe tq :

, où

x a

f F a C E F

x f x f a x a x a x x



  



  

       

L

( ) ( ) ( ) 0( ) C'est une propriété locale

f a h f a  h o h

    

est différentiable sur si elle l'est en tout point de

f  

constante diff sur , avec 0 linéaire diff en en

f  f    f   f f a C a

( , ) ( ) ( ) ( ) 0( )

S'il existe L_C E F tel que f a h  f a  h o h , il est unique et est noté df_a intervalle de , : evn. dérivable en différentiable en

aI f I E f a f a

2 2

2

( ) ( )

1 0

0 ( , | ) 2 |

: ( , )

est diff. en de diff. nulle diff en de diff

n'est pas diff. en ph réel diff en de diff.

bilin. diff en de dif

n

E

n

x x E f A H AH HA

A A

E x x a E h a h

f E F G f a b

    ^ ^ 



      

   

M M

C C f. ( , )h k f a k( , ) f h b( , )

Si et sont diff en , f g a f g est diff en de diff a df_adg_a

1

1 1

1( ),..

...

... ( ) ( ( ),..., ( ))

( .,^p ( )) diff en _p sont diff en , et dans ce cas _{a p a}

p

x f a

F F

f a ssi f f a df h df h df h

x f x

   

  



: ' : ' ( ) '

( )

ouvert de , , , , diff en de diff , diff en de diff

est diff en de diff _{a b a}

f F g G a b f a f a g b

g f a d g f dg df

 

 

       

 

2

2

2

2 ( )

: ( ) : 2 ( ) ( ) ( ) :

2 ( )

( , | ) \ {0}}

, diff en diff en ,

eph réel, est diff en de diff

a

a a a

f a f a d f h f a df h d f h df h

f a

E a E a h a h

a

   

  

0

0 0

0 ( ) 0

: ( ) , :

( '( ))

Règle de la chaîne : arc dérivable en , avec diff en est dérivable en de dérivée _t

I E t I t f F a

f t df_ t

 

 

    



II. Dérivée selon un vecteur, dérivée partielle

ouvert de l'evn , E a , f E: F evn

  

: ( )

0 0

. possède une dérivée directionnelle selon le vecteur lorsque est définie au voisinage de et possède une dérivée en

uE f u  t f a tu

diff en , possède une dérivée selon , égale à _a( )

f a  u E f u df u

4 2

( , ) 2

RECIPROQUE FAUSSE x y

x y x y

1 1

( ... ) . ( ) ( ... ) .

et de dim finie. _p base de _n base de

E F b b F e  e e E

1 1

. diff en les ( ) le sont, , ( ) ( ) (vrai pour normes equiv)

i i i a i a i

p p

i i

f f b f a f h E df h df h b _

 





   





( ) 1,

possède des dérivées partielles selon lorsque : , possède une dérivée de direction _i

f e  i n f e

diff en possède des dérivées partielles _a( )_i RECIPROQUE FAUSSE

f a f df e

0 0

1 0 0

1

( ) ( )

( ) ( ) lim

( ,..., ,..., ) ( ,..., ) ( ) lim

A base fixée, on note si elle existe.

Pour , on utilise la base canonique :

t t

t i

i

n i n

t

n i

f a te f a

e f a

x t

f a a t a f a a

E f a

x t





 

 



 

  



1 1

Lorsqu'elle existe, la différentielle est : _{i i i} ( )

n n

i i i

h e h f a

  x



 



: ( ...1 )

, , ouvert de , , (composantes de )

n p q n p

E F G  a f   f  f fn f

1( ) 1(

1

)

, ( ) ( )

( ) ( ) 1

( ) det( ( )) Si est diff en , sa matrice jacobienne en est :

Si , le jacobien de est

f f

a a

x n

i f

j

x

f f

i j p a p a

n f

x f

x

f a a J a f a

x

n p f DJ a J a

  

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

  

  

 

( ) est la matrice de dans la base canonique

f a

J a df

1

1

1

1

, 1

1

,

, ( ) ( ) ( )

( ... ) ( ... ) 1

Si est bij d'inverse diff, , et

Si , , MAIS

a b f n

i i i

n n f f

j i j i j j

i f

j j

f x f f x x df df Id J a J b I

y x x

y y f x J J

x y y

x y

x





 

   

    

       



1

1

( ...1 ) ( ... ) : ( )

( )

1, 1, ( ) ( ) ( )

Composition : , , défini au vois. de et diff en

Pour , ,

p q p q

p q

i k

j k j

p

k

y y z z g b f a b

g f

g f

i q j n a b a

x _ y x

   

 

   





 

III. Applications de classe C

¹

, evn quelconques E F

1 ( ( , ), )

: est de classe lorsue : est différentiable sur et ^C est continue

a

f F f df E F

a df

 

   



C L

1

( ... )1 1,

de dim finie, de base _n , diff en . est , est sur

i

E e e f f i n f

x

      

C  C

: . 1

, est sur possède des DP continues sur

n p

f f f

   C   

1 1 1

) (

(det) ( ) t (r (dvt comatrice, ...) ) ( )

ij

A AH d A A A H A

d H  x ^  ^HA^



1

1

( ),( ) ( , )

( ) 1,

1, ouvert de ,

Si CVS vers et, compact, , CVU vers sur , est sur et

Si CVS sur et, compact, , CVU sur ,

p

k k

k

k i i

i i

k k

k

i

n f u

f f

f f K i n g K f g

x x

u K i n f K u

x

  

  

         

      

 



C

C

1 0

0 0

est sur et ^k

k k

i k i

k

k

u u

x x



 



 

 

  

 

 



^C

 

La CVU sur les compacts des différentielles entraîne celle des DP, donc la validité du théorème

0

1

0 ( ) ( ) '( )0

SE de rayon est de différentielle :

n

n z

f 



a z  f ^C df h ik  h ik f z

1 1

1 1

: ⁿ [ , ] ^p de classe : ( ,..., ) ^b ( ,..., , ) est

n a n

f  a b  ^C F x x



f x x t dt ^C

1 1 ( ) 1

2

( )

( ) ( )

: , . , ( , ) : ( , )

'( ) ( , ( )) '( ) ( , ( )) '( ) ( , ) est , avec

v x u x

v x u x

f u v F x f x t dt

F x f x v x v x f x u x u x f x t dt x

  

   







C C C

Compléments : gradient, divergence

( , | )E  eve, ouvert de ,  E a,f :  diff en a

!u E tel que : f a h( ) f a( ) u h| o h u( ), est le gradient de en et est noté f a f_a

        

1

( ... )1 ( ) |

est défini indépendamment des bases.

Si est une BON de : Chaîne :

n a

i

n i a

i

u

f d

e e E f e f f

x dt  



     





1

div tr ( )

La divergence de en est : _a ⁱ dans la base can.

i n a

i

f a f df f a

 x

  





IV. Accroissements finis

( ...) : ( ...)

ouvert de de dim finie E ⁿ , f F de dim finie ^p

  

2 1

0 (1 )

1 ( , ) [ , ] ( ) ( ) ( )

Supp , f ^C a b  tq a b   Alors f b  f a 



df _{t a tb} b a dt

1

( ) ( ) 0 ((1 ) )

Si est euclidien : E f b  f a  



f t a tb b a dt  

(1 ) [0,1]

( ) ( ) sup

Mêmes hypothèses : _{t a tb}

t

f b f a b a df _{ }

    1 sur localement lipschitzienne sur

connexe, identiquement nulle sur constante f

df f

  

  

C

(1 )

1 [0,1] ( ) ( ) ( )

à but tq _{a b}

f C réel   f b  f a df _{ } b a

( ) ( ) ( )

Utile : Montrer une inégalité entre f a_{i i}  f b_{i i} et f a_i b_{i i} Différentielle, AF

V. Difféomorphisme, inversion locale

1

1 1 1

, ' , : '

1) 2) 3)

ouverts de evn. est un difféomorphisme lorsque :

est de classe réalise une bijection de sur ' est de classe

E F f

f f f^

     

 

C

C C

1

3 1

1) et ne suffisent pas : 2) f x: x ,f^ non C

1

1 ( ) 1

(

: ' ( ...)

dim dim ) 0

Les difféo se composent et s'inversent.

est un difféo ( ) et sont isomorphes

En dim finie, Si , ,

f a E

n

f

f E F df dfa Id

E F E F a DJ a





       

      

C

C

, de dim finie E F

/ / / 1

1

/ ( , ) . ( , ).

( ) ( )

Inversion locale globale : ouvert de , , Supp

Alors il existe un voisinage ouvert de , et un voisinage ouvert de tel que et induise un d

H

a

P E f F a df Isom E F

U a V b f a

f U V f

    

  

 

C

C ifféo de sur U V ( ) 0

Pour ⁿ, la condition devient DJ_f a 

( ) // // 1

( ) 0

( , ). ,

ouvert de , Si , est une application ouverte

I HP n n

f a f

f a DJ

 C    

1 1

' ( ).

'

ouvert de , bij de sur Si est et , ( ) 0, alors est un difféo de sur ' et est ouvert

n

f f f a DJf

f

       a 

   

C C

Seul le dernier corollaire est au programme : il redonne l'inversion locale

(0, ) 1/ 2...

Mq loc. inj : tq f r  x B r , df_xId_E 

Problème de la réciproque : il peut y avoir plusieurs réciproques locales

|

( ) | .. .

Changement de variable dans les intégrales multiples : Si ,

Df D

D f J_

 

 



 



1 1

: ( , ), ( ) ( )

Points isolés : inversion locale + méthode variationnelle

tq : difféo de sur

n n n n

f  C  x y f x  f x   x y f C 

: : ( )

Surj. de f X Y f X ou bien classes à droitesouvert, fermé + connexité

VI. Dérivées partielles d’ordre supérieur

ouvert de ⁿ, evn, F f : F

  

1

1 1 2

( ) ...

1

... ...

On définit les dérivées partielles successives (si elles existent) par réc. :

i ik

k k

k k

i i i i i

k

x x

f f

x x x x x f

  

     

      est de classe ^k lorsqu'elle admet des dérivées partielles continues jusqu'à l'ordre

f C k

1 1

( , ) { : }

: '

de classe est un ev et une algèbre si , stable par composition Si est un difféo de classe , alors est de classe (Rec : jacobiens et comatrice)

k k

k k

F f F F

f f^

     

   

C C

C C C

2 2

2 2

( , ) 1, ( ) ( )

Schwarz : Si est de classe sur , , ,

i j j i

f f

f a i j n a a

x x x x

 

     

    C

2 : ( , ) 1( , ) ( , ) ( , )

Traduction : si , les opérateurs ^k commutent

k

k k

i

k F F F F

x

 



      

 C C C C

2 2

2 (0,0) ( , ) ( , ) ( ,0) (0, ) (0,0) (0,0) | |

Pour , en IAF avec f , majoré par , idem f

n x y f x y f x f y f xy xy

x y  y x

 

      

   

2( , ) evn de dim finie,

F f C  F

2

,

. La hessienne de en est : ( ) ( )

j f

i i j

F f x H x f x

x x

  

    

1 1

2

1 1

( ) ( ) 2 0. "( ) ( ) ( )

Taylor : est défini et au vois. de si

n n

n n t h h

h j

i i j h

i f

j

t f a th t h h f a th H a F

  x x ^{       }

   

     

      



  C

1 2 , 1, 0

( , ) tq [ , ] ( ) ( ) _a( ) ( ) _{i j}

ij n i j

a h E a a h f a th f a df h f a th dt h

x x h



  

        

 

     1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 (exacte pour poly de deg 2)

a f

F  f ah  f a df h  thH a h o h 

Equations aux dérivées partiellesChangements de variable, jacobienne...

cos sin

sin cos

2 1

1

: ( , ) ( cos , sin ) ( , ) ( , )

* ]0, [ ] , [ \ ( {0})

' ( ', )

Coordonnées polaires :

Inversion locale sur , est un difféo de sur

ouvert de , ,

r

U r U

U r r r J r DJ r r

U X

X f

 

 

    

  ^

  

 

 

 

 

          

  

C C

2 2 2 2

2 2 2 2 2

cos sin sin cos

1 1 1

( ) ( )

,

Gradient : _r Laplacien :

g f f g f f

g f U r r

r x y x y

g g f f g g g

f u u f

r r ^ x y r r r r

   



 

 

     

     

     

      

        

      

2

cos sin cos cos sin sin sin sin sin cos cos sin

co

1

s sin 0

: ( , ) ( cos sin , sin sin , cos ) ( , , ) sin

( , , ) ]0, [ ]0, [ ] , [

Coordonnées sphériques :

difféo de sur

r r

r r

f

f r

f r r r r DJ r r

J r f

     

     

 

         

  ^ ^{ }   

  

 



 C      ³\ ( ^{0} )

( , ) ( cos , sin ) ( , , ) ( , , ) 2sin

D D

f x y dxdy f r  r  rdrd f x y z dxdydz f r  r drd d 

   

   