Équations d'Euler et positivité : adaptation des schémas classiques

Yohan Penel¹

1LRC Manon UPMC-LJLL, Paris 6 Travaux réalisés en collaboration avec

C. Calgaro, E. Creusé (INRIA Lille) & T. Goudon (INRIA Sophia-Antipolis)

Groupe de Travail

Modélisation et Calcul Scientique

Laboratoire Jean Leray, Nantes 06 février 2012

§ Système de lois de conservation modélisant un phénomène physique (mécanique des uides, . . . ) :

(@tW+r F(W) =0;

W(0; x) =W₀(x):

§ Contraintes physiques : W 2W

à Principe du maximum (densité pour Euler incompressible) à Positivité (densité et pression pour Euler compressible)

§ Système de lois de conservation modélisant un phénomène physique (mécanique des uides, . . . ) :

(@tW+r F(W) =0;

W(0; x) =W₀(x):

§ Contraintes physiques : W 2W

à Principe du maximum (densité pour Euler incompressible) à Positivité (densité et pression pour Euler compressible)

§ Vérication des contraintes d'un point de vuethéorique

§ Système de lois de conservation modélisant un phénomène physique (mécanique des uides, . . . ) :

(@tW+r F(W) =0;

W(0; x) =W₀(x):

§ Contraintes physiques : W 2W

à Principe du maximum (densité pour Euler incompressible) à Positivité (densité et pression pour Euler compressible)

§ Vérication des contraintes d'un point de vuethéorique

§ Vérication au niveaunumérique(robustesse) ? À quel prix ? à Précision

Équations d'Euler pour un uide parfait en dimension 2 :

W=^t(; u; E); F =^t(u; u u+pI2;(E+p)u)

W=

W 2R⁴ : =W1> 0 et p= ( 1)

W4 W₂²+W₃² 2W1

> 0

Équations d'Euler pour un uide parfait en dimension 2 :

W=^t(; u; E); F =^t(u; u u+pI2;(E+p)u)

W=

W 2R⁴ : =W1> 0 et p= ( 1)

W4 W₂²+W₃² 2W1

> 0

Problème de Riemann : W₀(x) =

(W_l; si x₁< 0;

Wr; si x1> 0:

Vide et raréfactions (Einfeldt, Munz, Roe & Sjögreen, 1991)

§ ₀> 0, u₀> 0, E₀> u₀²=2

§ Wl = (0; 0u0; 0; 0E0)et Wr = (0;0u0; 0; 0E0)

§ Si 4

3 1E₀> u²₀, alors la pression et la densité restent positives.

Étude à l'ordre 1

§ Einfeldt et al. (1991), Bouchut (2004)

§ Godunov, Rusanov, HLLs / Roe

Étude à l'ordre 1

§ Einfeldt et al. (1991), Bouchut (2004)

§ Godunov, Rusanov, HLLs / Roe

Étude à l'ordre 2: méthodes de type volumes nis + MUSCL

§ Équations scalaires : Clain & Clauzon (2010), Calgaro et al. (2010) à Adaptation de limiteurs

à Adaptation de la condition CFL

§ Systèmes de lois de conservation : reconstruction . . .

à . . . monopente (construction d'un gradient par cellule) : Perthame & Shu (1996)

à . . . multipente (construction d'un gradient par interface) : Berthon (2006)

Étude à l'ordre 1

§ Einfeldt et al. (1991), Bouchut (2004)

§ Godunov, Rusanov, HLLs / Roe

Étude à l'ordre 2: méthodes de type volumes nis + MUSCL

§ Équations scalaires : Clain & Clauzon (2010), Calgaro et al. (2010) à Adaptation de limiteurs

à Adaptation de la condition CFL

§ Systèmes de lois de conservation : reconstruction . . .

à . . . multipente (construction d'un gradient par interface) : Berthon (2006) Utilisation de la convexité de W

Adaptation de la reconstruction

Construction d'un état supplémentaire dans chaque cellule

Décomposition du schéma bi-dimensionnel d'ordre 2 en combinaison convexe de schémas mono-dimensionnel d'ordre 1

Wⁿ_i⁺¹ = Wⁿ_i ∆tⁿ X

j2V(i)

jΓ_ijj

jΩijF Wⁿ_ij; Wⁿ_ji; nij

Wⁿ_i⁺¹ = Wⁿ_i ∆tⁿ X

j2V(i)

jΓ_ijj

jΩijF Wⁿ_ij; Wⁿ_ji; nij

Wⁿ_i = jΩ_ij

jΩijW_i + X

j2V(i)

jΩ_ijj jΩijWⁿ_ij

Wⁿ_i⁺¹ = Wⁿ_i ∆tⁿ X

j2V(i)

jΓ_ijj

jΩijF Wⁿ_ij; Wⁿ_ji; nij

Wⁿ_i = jΩ_ij

jΩijW_i + X

j2V(i)

jΩ_ijj jΩijWⁿ_ij

Wⁿ_i⁺¹ = jΩ_ij

jΩ_ijW_i + X

j2V(i)

jΩ_ijj jΩ_ijWij

Wⁿ_i⁺¹ = Wⁿ_i ∆tⁿ X

j2V(i)

jΓ_ijj

jΩijF Wⁿ_ij; Wⁿ_ji; nij

Wⁿ_i = jΩ_ij

jΩijW_i + X

j2V(i)

jΩ_ijj jΩijWⁿ_ij

Wⁿ_i⁺¹ = jΩ_ij

jΩ_ijW_i + X

j2V(i)

jΩ_ijj jΩ_ijWij

W = Wⁿ ∆t

`

F(Wⁿ; Vⁿ; n) F(Wⁿ; Wⁿ; n)

Hypothèses sur le ux 1DF et sur le pas de temps∆t

Wⁿ_i⁺¹ = Wⁿ_i ∆tⁿ X

j2V(i)

jΓ_ijj

jΩijF Wⁿ_ij; Wⁿ_ji; nij

Wⁿ_i = _iW_i +(1 _i) X

j2V(i)

ijWⁿ_ij

Wⁿ_i⁺¹ = _iW_i +(1 _i) X

j2V(i)

ijWij

W = Wⁿ ∆t

`

F(Wⁿ; Vⁿ; n) F(Wⁿ; Wⁿ; n)

Hypothèses sur le ux 1DF et sur le pas de temps∆t

Choix des coecients _i et ij

Choix des coecients _i et ij

Précision du schéma Ecacité de

l'algorithme

Choix des coecients _i et ij

Précision du schéma Ecacité de

l'algorithme

Calcul de l'état

W_i 2 W Optimisation de

la condition CFL

Choix des coecients _i et ij

Précision du schéma Ecacité de

l'algorithme

Calcul de l'état

W_i 2 W Optimisation de

la condition CFL

_i "grand" _i "petit"

Choix des coecients _i et ij

Précision du schéma Ecacité de

l'algorithme

Calcul de l'état

W_i 2 W Optimisation de

la condition CFL

_i "grand" Équilibre ? _i "petit"

1 Construction d'états physiques Reconstruction

État intermédiaire

2 Calcul du pas de temps Formule algébrique Optimisation

3 Simulations

1 Construction d'états physiques Reconstruction

État intermédiaire

2 Calcul du pas de temps

3 Simulations

Problématique : garantir que Wij 2 W

Ml

Mk

Mm

Mp

Mq

Qij

Triangle aval Triangle amont

Mi

Mj

Problématique : garantir que Wij 2 W

Ml

Mk

Mm

Mp

Mq

Qij

Triangle aval Triangle amont

Mi

Mj

Reconstruction sur les variables physiques U= (; u; p) =(W)

ij =i+ij'(rij)(j i); rij= ∆^up_ij

Problématique : garantir que Wij 2 W

Ml

Mk

Mm

Mp

Mq

Qij

Triangle aval Triangle amont

Mi

Mj

Utilisation de -limiteurs ij =MiQij

M_iM_j; =min

i;j

1

_ij; 06'(r)6min(r; )

Problématique : garantir que Wij 2 W

Ml

Mk

Mm

Mp

Mq

Qij

Triangle aval Triangle amont

Mi

Mj

Construction d'un gradient en variables conservatives Wij=Wi+ ∆Wij; ∆Wij = ¹ Ui+ ∆Uij

Wi

Construction d'un état intermédiaire physiquement admissible Wⁿ_ij =Wⁿ_i + ∆Wⁿ_ij;

W_i = 1 _i

2

4Wⁿ_i (1 _i) X

j2V(i)

_ijWⁿ_ij 3

5=W_i 1 _{i i}

X

j2V(i)

_ij∆W_ij

Construction d'un état intermédiaire physiquement admissible Wⁿ_ij=Wⁿ_i +_iⁿ∆Wⁿ_ij;

W_i = 1 _i

2

4Wⁿ_i (1 _i)_iⁿ X

j2V(i)

_ijWⁿ_ij 3

5=W_i 1 _{i i i}ⁿ X

j2V(i)

_ij∆W_ij

ⁿ_i 2[0; 1] =) Wⁿ_ij = (1 _iⁿ)Wⁿ_i +ⁿ_i

Wⁿ_i + ∆Wⁿ_ij 2 W

Construction d'un état intermédiaire physiquement admissible Wⁿ_ij=Wⁿ_i +_iⁿ∆Wⁿ_ij;

W_i = 1 _i

2

4Wⁿ_i (1 _i)_iⁿ X

j2V(i)

_ijWⁿ_ij 3

5=W_i 1 _{i i i}ⁿ X

j2V(i)

_ij∆W_ij

ⁿ_i 2[0; 1] =) Wⁿ_ij = (1 _iⁿ)Wⁿ_i +ⁿ_i

Wⁿ_i + ∆Wⁿ_ij 2 W On pose :

∆W_i = X

j2V(i)

ij∆Wij

de sorte que W_i =Wⁿ_i +1 _i

_{i i}ⁿ∆W_i.

Choix de ⁿ de sorte que > 0 et p> 0 ?

_i > 0 () P1

1 _{i i i}ⁿ

=1+D_iⁿ

1 _{i i i}ⁿ

> 0

p_i> 0 () P₂

1 _{i i i}ⁿ

=1+B_iⁿ

1 _{i i i}ⁿ

+Aⁿ_i

1 _{i i i}ⁿ

₂

> 0

Densité Avec D_iⁿ=∆_i

ⁿ_i , on en déduit la condition sur ⁿ_i 6_i⁽¹⁾ :

_i⁽¹⁾=min

1; _i 1 _ii⁽¹⁾

avec _i⁽¹⁾= 8>

<

>:

+1; si D_iⁿ>0;

1

D_iⁿ; sinon.

Pression ^{n (2)} avec : : :

1 Construction d'états physiques

2 Calcul du pas de temps Formule algébrique Optimisation

3 Simulations

Wⁿ_i⁺¹=Wⁿ_i ∆tⁿ X

j2V(i)

jΓ_ijj

jΩ_ijF Wⁿ_ij; Wⁿ_ji; nij Wⁿ_i =_iW_i + (1 _i) X

j2V(i)

ijWⁿ_ij Wⁿ_i⁺¹=_iW_i + (1 _i) X

j2V(i)

ijWij

Wⁿ_i⁺¹=Wⁿ_i ∆tⁿ X

j2V(i)

jΓ_ijj

jΩ_ijF Wⁿ_ij; Wⁿ_ji; nij Wⁿ_i =_iW_i + (1 _i) X

j2V(i)

ijWⁿ_ij Wⁿ_i⁺¹=_iW_i + (1 _i) X

j2V(i)

ijWij

W_ij =Wⁿ_ij ∆tⁿX⁴

k=1

_ij;kF Wⁿ_ij; Wⁿ_ij;k; n_ij;k

; j 2 V(i)

Wⁿ_i⁺¹=Wⁿ_i ∆tⁿ X

j2V(i)

jΓ_ijj

jΩ_ijF Wⁿ_ij; Wⁿ_ji; nij Wⁿ_i =_iW_i + (1 _i) X

j2V(i)

ijWⁿ_ij Wⁿ_i⁺¹=_iW_i + (1 _i) X

j2V(i)

ijWij

W_ij =Wⁿ_ij ∆tⁿX⁴

k=1

_ij;kF Wⁿ_ij; Wⁿ_ij;k; n_ij;k

; j 2 V(i) 8>

><

>>

: Wij=

X4 k=1

ij;k

_ij;kWij;k

Wij;k=Wⁿ_ij ∆tⁿij;k

F(Wⁿ_ij; Wⁿ_ij;k; nij;k) F(Wⁿ_ij; Wⁿ_ij; nij;k)

Coecients : consistance de la décomposition

ijij;1=_iij; ijij;2=ikik;4; ijij;3= jΓ_ijj jΩ_ij;

X4 k=1

ij;k

ij;k =1;

X4 k=1

ij;knij;k =0

Flux

§ Consistance, conservation, continuité

§ 8(V ; W)2 W²; W ^∆_`^t[F(W ; V) F(W ; W)]2 W sous condition CFL∆t max

k j_k(V ; W)j6₀` Condition CFL

∆tⁿmax

j2V(i)

_ij; max

1k4ij;k

¯ⁿ_i 0;

¯ⁿ_i := max

j2Vi

juⁿ_ij n_ij;kj+c_ijⁿ; juⁿ_ij;k n_ij;kj+c_ij;kⁿ

AvecX =ij0;1 pour j02 V(i), on a : ij;1= jΓ_ijj

jΓ_ij0j ij0

_ijX; _ij= jΓ_ijj jΓ_ij0j

ij0

_iX; ij;3= jΓ_ijj _ijjΩ_ij

ij;2=MiGijl

_ij 1

jΩ_ij ij0

jΓ_ij0jX

; ij;4= MiGijk

_ij 1

jΩ_ij ij0

jΓ_ij0jX

ij;k = j@T_ijj ijjΩ_ij

X jΓ_ij0j

_ij0

ij j@Tijj 2jΓ_ijj

; _ij = j@Ω_ij jΓ_ij0j

_{ij0 i} X On cherche alors à résoudre le problème de minimisation :

^opt_i := min

0X Xmax max

j2V(i)

_ij(X); max

16k64_ij;k(X)

:

La solution est donnée par :

^opt_i (_i) = 8>

>>

><

>>

>>

: 2

(1 _i)jΩ_ij max

j2V(i)

jΓ_ijj

_ij ; si _i>_i j@Ω_ij

jΩ_ij

j2Vmin(i)

_i

1 2jΓ_ijj j@Tijj

ijj@Ω_ij j@Tijj

+ijj@Ω_ij j@Tijj

₁

En xant _i =_i = j@Ω_ij j@Ω_ij+2 max

j2V(i)

jΓ_ijj ij

, la famille de coecients ij optimaux

est donnée par :

ij = jΓ_ijj j@Ω_ij On a alors _i=1=3.

1 Construction d'états physiques

2 Calcul du pas de temps

3 Simulations

Le coecient de la CFL optimisée est globalement 10 fois plus petit qu'avec une CFL standard donnée par∆h .

0 BB BB BB

@ 0

0u0

0 0E0

1 CC CC CC A

0 BB BB BB

@ 0

0u0

0 0E0

1 CC CC CC A

§ Le schéma à l'ordre 2 (i.e. schéma sans _iⁿ) sur maillage structuré échoue à préserver la positivité de la pression

§ Le coecient _iⁿ n'est "activé" (i.e. diérent de 1) que pour un nombre ni d'itérations et que dans une zone très localisée autour de l'interface

§ Dans la zone proche du vide, le schéma avec _iⁿ est plus précis

Bilan

X Analyse de la robustesse des schémas MUSCL en toute généralité (ux numérique, limiteur)

X Établissement de conditions (susantes) pour garantir l'admissibilité de la solution

X CFL explicite en fonction du maillage

X Modications faciles à implémenter dans un code pré-existant À faire

§ Inuence du ux numérique sur l'activation du coecient _iⁿ

§ Analyse des congurations activant le coecient _iⁿ

§ Application de la démarche à d'autres systèmes de lois de conservation avec contraintes