Solutions entropiques de lois de conservation

(1)

TER

Solutions entropiques de lois de conservation

Thomas Mietton

Mai 2017

(2)

Table des mati` eres

Introduction 2

1 Solutions classiques 3

1.1 Cas lin´ eaire . . . . 3 1.2 Cas non lin´ eaire par la m´ ethode des caract´ eristiques . . . . 3

2 Solutions faibles 6

2.1 D´ efinition . . . . 6 2.2 La condition de Rankine-Hugoniot . . . . 8 2.3 Non-unicit´ e du probl` eme de Cauchy . . . . 12

3 Approximation parabolique 13

3.1 D´ efinition du probl` eme . . . . 13 3.2 R´ esolution par une m´ ethode de point fixe . . . . 15 3.3 R´ egularit´ e, existence globale, passage ` a la limite . . . . 17

4 Solutions entropiques 18

Annexe 19

R´ ef´ erences 20

(3)

Introduction

L’objet de ce TER est d’´ etudier les ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles s’´ ecrivant sous la forme d’une loi de conservation. Un syst` eme physique est caract´ eris´ e par des variables intensives sous la forme d’un champ de vecteurs :

u : R

^d

× R −→ R

ⁿ

(x, t) 7−→ u(x, t) = (u

1

, . . . , u

n

) .

Si ~ q

_i

repr´ esente le flux de la variable u

_i

et g

_i

l’interaction avec les champs ext´ erieur, la conser- vation de la variable u du syst` eme s’´ ecrit sous la forme :

∂

t

u

i

+ div

x

q ~

i

= g

i

∀ 1 ≤ i ≤ n.

Dans l’ensemble de ce travail, on consid´ erera l’´ equation sans second membre (g

i

= 0) et on travaillera en dimension 1, ` a la fois en espace et pour la variable u (d = n = 1). De plus, la r´ esolution de ce type d’´ equation suppose qu’on ait une relation entre q et u appel´ ee loi d’´ etat.

On se place dans le cas o` u cette relation peut ˆ etre mise sous la forme q = f (u) et on supposera dans toute la suite que f est une fonction C

^∞

de R dans R . La loi de conservation s’´ ecrit donc sous la forme :

∂u

∂t (x, t) + ∂f (u)

∂x (x, t) = 0. (1)

Illustrons cela par un exemple simple : celui du trafic routier. On consid` ere une autoroute unidimensionnelle dont on veut mod´ eliser le trafic. On note ρ(x, t) la densit´ e du trafic (c’est-` a- dire le nombre de voitures par unit´ e de distance) ` a un endroit et un temps donn´ es, et le flux q du nombre de voitures s’´ ecrit q = ρv avec v(x, t) la vitesse moyenne des voitures en (x, t).

Si l’on consid` ere en un point (x, t) une variation infinit´ esimale d’espace δx et une variation infinit´ esimale de temps δt, la variation du nombre de voitures dans [x, x + δx] entre t et t + δt est ´ egale ` a (ρ(x, t + δt) − ρ(x, t))δx. Elle est aussi ´ egale au nombre de voitures entr´ ees dans [x, x + ] moins le nombre de voitures qui en sont sorties, qui est (q(x, t) − q(x + δx))δt. On a donc δ

_t

ρ δx = −δ

x

q δt, ce qui donne la loi de conservation :

∂

_t

ρ + ∂

_x

q = 0.

Une loi de conservation n’est en fait rien d’autre que la caract´ erisation d’une conservation de

“mati` ere”, ici le nombre de voitures. Il reste ` a ´ etablir le lien entre ρ et q, et pour cela on peut consid´ erer que les automobilistes r´ egulent leur vitesse en fonction de la densit´ e de trafic selon une fonction v = V (ρ), o` u la vitesse en cas de trafic nul est ´ egale ` a la limite maximale (V (0) = 130) et elle est d´ ecroissante et atteint 0 quand le trafic est suffisamment dense (en cas de bouchon). On a donc q = f (ρ) avec f (ρ) = ρV (ρ).

Si l’on veut mod´ eliser de mani` ere plus pr´ ecise, on pourrait consid´ erer que les conducteurs anticipent en fonction des variations de la densit´ e : ils acc´ el` erent si le trafic s’´ eclaircit et freinent s’il se densifie. On peut donc ´ ecrire v sous la forme v = V (ρ)− ∂

x

ρ avec 0 < << 1. L’´ equation v´ erifi´ ee par ρ n’est alors plus une loi de conservation sous la forme qu’on a d´ efinie, mais une

´

equation parabolique :

∂

_t

ρ + ∂

_x

f (ρ) − ∂

_x

(ρ ∂

_x

ρ) = 0

On verra l’importance de ce type d’´ equations par la suite.

(4)

1 Solutions classiques

Nous allons commencer par ´ etudier les solutions dites classiques, c’est-` a-dire suffisamment r´ eguli` eres pour ˆ etre directement solutions de la loi de conservation. Toutes les fonctions que nous utilisons sont consid´ er´ ees ` a valeurs r´ eelles sauf mention contraire.

D´ efinition 1.1. Soit ω un ouvert de R

²

. Alors u est dite solution classique de la loi de conser- vation (1) si u ∈ C

¹

(ω) et u v´ erifie (1) en tout point de ω

D´ efinition 1.2. Soit u

0

∈ C

¹

( R ) born´ ee, et T ∈ R

^∗+

∪ {+∞}. Alors u est dite solution classique du probl` eme de Cauchy associ´ e ` a (1) sur [0, T [ si u ∈ C

¹

( R × [0, T [), u est solution classique de (1) sur R ×]0, T [ et u(x, 0) = u

0

(x) pour tout x ∈ R .

1.1 Cas lin´ eaire

Examinons d’abord le cas o` u l’´ equation est lin´ eaire, c’est-` a-dire o` u f est de la forme f (u) = cu, avec c une constante.

On a alors, si u

₀

∈ C

¹

( R ) et u ∈ C

¹

est solution du probl` eme de Cauchy, d

dt u(x + ct, t) = c ∂u

∂x (x + ct, t) + ∂u

∂t (x + ct, t) = 0.

Cela montre que u(x + ct, t) est constante en temps, ´ egale ` a u(x, 0) = u

0

(x). Dit autrement, la condition initiale se propage de mani` ere constante dans le temps ` a la vitesse c. Cela d´ etermine de mani` ere unique la solution

u(x, t) = u

₀

(x − ct),

par simple translation de la variable, qui r´ eciproquement v´ erifie bien l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles. Le cas lin´ eaire nous donne donc une unique solution d´ efinie sur R × R

⁺

et de mˆ eme r´ egularit´ e que u

0

.

1.2 Cas non lin´ eaire par la m´ ethode des caract´ eristiques

Ici, f est une fonction quelconque. Par analogie avec le cas lin´ eaire, on note c(u) = f

⁰

(u).

La loi de conservation s’´ ecrit donc sous la forme

∂u

∂t + c(u) ∂u

∂x = 0.

Soit u ∈ C

¹

solution du probl` eme de Cauchy sur ]0, T [ pour une condition initiale u

0

donn´ ee.

L’id´ ee de la m´ ethode des caract´ eristiques est de trouver une courbe (X (t), t) o` u la solution u est constante (de mˆ eme que dans le cas lin´ eaire, la solution est constante le long de t 7→ (x +ct, t)).

En supposant X ∈ C

¹

, on a d

dt u(X (t), t) = dX dt

∂u

∂x (X, t) + ∂u

∂t (X, t) = dX

dt − c(u(X, t)) ∂u

∂x (X, t).

On en vient donc logiquement ` a d´ efinir X(t) comme solution de l’´ equation diff´ erentielle ordinaire :

dX

dt = c(u(X, t)). (2)

Une courbe caract´ eristique se d´ efinit donc ainsi :

(5)

D´ efinition 1.3. Soit I un intervalle ouvert dans [0, T [. Une courbe caract´ eristique de la solution u sur I est une courbe param´ etr´ ee {(X(t), t), t ∈ I}, avec X ∈ C

¹

(I) v´ erifiant l’´ equation diff´ erentielle (2) en tout point de I.

On peut d´ emontrer le lemme suivant :

Lemme 1.1. Soit u ∈ C

¹

( R × [0, T [) solution de (1).

Alors pour tout (x, t) ∈ R × [0, T [, il existe une unique caract´ eristique maximale passant par (x, t) d´ efinie sur [0, T [, le long de laquelle u est constante.

Les caract´ eristiques sont alors exactement les portions de droites d’´ equation X(s) = y + s c(u

0

(y)) pour s ∈ [0, T [, y d´ ecrivant R .

D´ emonstration. Soit (x, t) ∈ R × [0, T [. On a l’existence et l’unicit´ e d’une solution maximale X ` a l’´ equation (2) pour la condition initiale X (t) = x d´ efinie sur un voisinage de t par le th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz, la fonction c ◦ u ´ etant C

¹

. De plus, de par le calcul effectu´ e pr´ ec´ edemment, u est constante le long de la courbe caract´ eristique (X(s), s) pour s dans le domaine de d´ efinition de X . Cela entraˆıne par l’´ equation (2) que

^dX_dt

est constante, donc les courbes caract´ eristiques sont en fait des droites de pente c(u(x, t)). Par crit` ere de non explosion en temps fini, X est d´ efinie sur tout l’intervalle [0, T [, elle vaut X(0) en X = 0 est croˆıt de mani` ere constante ` a la vitesse c(u(x, t)) = c(u(X (0), 0). L’application X est donc d´ efinie par

X(s) = X (0) + s c(u

₀

(X(0))).

R´ eciproquement, si y ∈ R , la droite d’´ equation X(s) = y + s c(u

₀

(y)) pour s ∈ [0, T [ est l’unique droite de ce type passant par (y, 0), donc par existence de la solution maximale, c’est une caract´ eristique, c’est ` a dire que X v´ erifie (2) sur ]0, T [.

Les droites caract´ eristiques permettent alors de d´ eterminer les valeurs d’une solution clas- sique : si u ∈ C

¹

est solution de la loi de conservation sur R ×[0, T [ on alors pour (x, t) ∈ R ×[0, T [ une droite caract´ eristique (s, X(s)) passant par (x, t), et alors u(x, t) = u

₀

(y), avec y v´ erifiant l’´ equation x = y + t c(u

₀

(y)). Graphiquement, cela revient ` a trouver une droite caract´ eristique passant par le point (x, t) et ` a remonter en l’origine pour d´ eterminer y.

Le lemme permet aussi de conclure ` a la non-existence d’une solution classique jusqu’` a un temps o` u deux droites caract´ eristiques se coupent, car cela contredirait l’unicit´ e due au th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz. On peut alors se poser la question de d´ eterminer le plus court temps ` a partir duquel les droites caract´ eristiques se coupent. Cela va d´ ependre des variations de la fonction c ◦ u

₀

, qui d´ etermine la pente de celles-ci. Regardons graphiquement comment se placent les droites caract´ eristiques sur deux exemples, l’un o` u c ◦ u

₀

est toujours croissante, l’autre o` u il y a une d´ ecroissance :

x t

c ◦ u

0

x t

c ◦ u

0

(6)

On remarque que dans le cas o` u c ◦ u

0

est croissante, les droites caract´ eristiques ´ etant de pente de plus en plus importante ne se couperont jamais, tandis que dans l’autre cas, quand c ◦ u

0

commence ` a d´ ecroˆıtre, les caract´ eristiques vont se couper et, intuitivement, le temps le plus court ` a partir duquel elles se coupent est au niveau des caract´ eristiques qui partent de l’endroit o` u la d´ eriv´ ee de c ◦ u

0

atteint son minimum.

Plus pr´ ecis´ ement, on peut noter que si deux droites se coupent ` a un temps t > 0 pour deux valeurs y 6= y

⁰

, c’est-` a-dire y + tc(u

0

(y)) = y

⁰

+ tc(u

0

(y

⁰

)), on a alors c(u

0

(y)) 6= c(u

0

(y

⁰

)) et

t = − y − y

⁰

c(u

0

(y)) − c(u

0

(y

⁰

)) ,

ce qui veut dire que t est ´ egal ` a l’oppos´ e de l’inverse d’un taux d’accroissement. Comme c◦u

₀

est une application C

¹

, la borne inf´ erieure des taux d’accroissements est ´ egale ` a la borne inf´ erieure de la d´ eriv´ ee par l’´ egalit´ e des accroissements finis. On va alors d´ emontrer le th´ eor` eme suivant pour conclure cette partie :

Th´ eor` eme 1.2. On suppose u

0

C

¹

born´ ee ainsi que u

⁰₀

. Posons

T

^∗

=







+∞ si c ◦ u

0

est croissante

− 1

inf((c ◦ u

0

)

⁰

) sinon.

Alors il existe une unique solution classique au probl` eme de Cauchy associ´ e ` a (1) d´ efinie sur R × [0, T

^∗

[, et le temps T

^∗

est maximal, au sens o` u si T

^∗

est fini et T > T

^∗

, il n’existe pas de solution ` a (1) sur R × [0, T [.

D´ emonstration. L’unicit´ e vient du fait que si l’on se place dans l’intervalle d’existence d’une solution, les valeurs point par point de la solution sont d´ etermin´ ees par les caract´ eristiques, qui sont uniques et d´ ependant uniquement de u

₀

, comme on l’a vu en cons´ equence du lemme 2.1, c’est-` a-dire que les droites caract´ eristiques sont n´ ecessairement non s´ ecantes dans l’intervalle d’existence de solutions.

Montrons alors que l’on a existence d’une telle solution. Pour t ∈ R , posons F

t

: R −→ R

y 7−→ y + t c(u

0

(y))

Comme u

0

est born´ ee, F

t

est surjective. Ainsi pour tout t ∈ [0, T

^∗

[, F

t

est une bijection de R dans R . Posons alors

ψ : R × [0, T

^∗

[ −→ R × [0, T

^∗

[ (y, t) 7−→ (F

t

(y), t) ψ est bijective car F

^t

l’est et :

J

ψ

(y, t) =

F

_t⁰

(y) c(u

0

(y)

0 1

= F

_t⁰

(y) > 0.

Donc par th´ eor` eme d’inversion global, ψ est un C

¹

-diff´ eomorphisme. On peut alors poser u(x, t) = u

₀

p

₁

◦ ψ

⁻¹

(x, t)

= u

₀

F

_t⁻¹

(x)

(avec p

₁

la projection sur la premi` ere variable), ce qui d´ efinit bien une application C

¹

sur R × [0, T

^∗

[. On a pour tout x ∈ R ,

u(x, 0) = u

₀

(F

₀⁻¹

(x)) = u

₀

(x)

(7)

car F

0

= id. On a de plus u(ψ(x, t)) = u(x + t c(u

0

(x)), t) = u

0

(x), ce qui donne en d´ erivant par rapport ` a t :

0 = c(u

0

(x)) ∂u

∂x (ψ(x, t))

+ ∂u

∂t (ψ(x, t))

= c(u(ψ(x, t))) ∂u

∂x (ψ(x, t))

+ ∂u

∂t (ψ(x, t)),

ce qui montre que u est solution classique du probl` eme de Cauchy, ψ ´ etant bijectif de R ×]0, T

^∗

[ sur lui mˆ eme.

Finalement, il reste ` a montrer que T

^∗

est maximal. Soit T > T

^∗

. Alors pour tout > 0, il existe x ∈ R tel que (c ◦ u

0

)

⁰

(x) < inf((c ◦ u

0

)

⁰

) + . Comme T

^∗

est fini par hypoth` ese, inf((c ◦ u

0

)

⁰

) < 0 donc, quitte ` a prendre suffisamment petit, par croissance de la fonction x 7→ −1/x sur ] − ∞, 0[, on a −

_(c◦u¹

0)⁰(x)

< −

_inf((c◦u¹

0)⁰)+

et quitte ` a r´ eduire encore , −

_inf((c◦u¹

0)⁰)+

< T . Si l’on pose t = −

_(c◦u¹

0)⁰(x)

, on a t < T . Par le th´ eor` eme des accroissements finis, il existe y, y

⁰

∈ R tels que t = −

_c(u ^y−y⁰

0(y))−c(u0(y⁰))

, ce qui veut dire que deux droites caract´ eristiques se coupent au temps t comme on l’a vu pr´ ec´ edemment. Cela montre qu’il n’y a pas de solution classique sur ]0, T ] ` a cause de l’unicit´ e du lemme 2.1.

2 Solutions faibles

2.1 D´ efinition

Afin d’´ elargir le nombre de solutions possibles ` a une loi de conservation, on introduit la notion de solution faible, qui ne requiert plus la diff´ erentiabilit´ e de la fonction, mais permet de consid´ erer des solutions moins r´ eguli` eres, par exemple continues par morceaux, ce qui se retrouve aussi en physique o` u certaines grandeurs ne sont pas forc´ ement continues en temps et en espace.

D´ efinition 2.1. Soit ω un ouvert de R

²

, u est dite solution faible de la loi de conservation (1) sur ω si u ∈ L

^∞

(ω) et, pour toute fonction test φ ∈ C

_c^∞

(ω),

Z Z

ω

u ∂φ

∂t + f(u) ∂φ

∂x

dx dt = 0. (3)

On peut d´ efinir de mˆ eme un ´ equivalent faible du probl` eme de Cauchy :

D´ efinition 2.2. Soit u

₀

∈ L

^∞

( R ) et T > 0, u est dite solution faible du probl` eme de Cauchy associ´ e ` a (1) si u ∈ L

^∞

( R × [0, T [) et pour tout φ ∈ C

_c^∞

( R ×] − ∞, T [),

Z Z

R×[0,T[

u ∂φ

∂t + f (u) ∂φ

∂x

dx dt + Z

R

u

₀

(x) φ(x, 0) dx = 0. (4)

Pour que ces d´ efinitions aient un sens il faut montrer qu’elles co¨ıncident avec la d´ efinition

classique pour des solutions C

¹

. On va le faire pour le probl` eme de Cauchy, la d´ emonstration

serait la mˆ eme sur ω.

(8)

Proposition 2.1. Soit u ∈ C

¹

( R × [0, T [) ∩ L

^∞

( R × [0, T [).

Alors u est solution classique du probl` eme de Cauchy (1) sur R × [0, T [ si et seulement si u en est une solution faible.

D´ emonstration. Supposons d’abord que u est solution classique. Soit φ ∈ C

^∞_c

( R ×] − ∞, T [).

On a Z Z

R×[0,T[

u ∂φ

∂t + f (u) ∂φ

∂x

dx dt

= Z Z

R×[0,T[

u ∂φ

∂t dx dt + Z Z

R×[0,T[

f (u) ∂φ

∂x dx dt

= Z

R

Z

T 0

u ∂φ

∂t dt

! dx +

Z

T 0

Z

R

f (u) ∂φ

∂x dx

dt

en appliquant le th´ eor` eme de Fubini, les fonctions consid´ er´ ees ´ etant ` a support compact

= Z

R

h uφ i

^t=T

t=0

− Z

T

0

∂u

∂t φ dt

! dx +

Z

T 0

h

uφ i

x=+∞

x=−∞

− Z

R

∂f(u)

∂x φ dx

dt

par int´ egration par parties, ce qui est possible par le fait que u et f (u) sont C

¹

= Z

R

−u(x, 0) φ(x, 0) − Z

T

0

∂u

∂t φ dt

! dx −

Z

T 0

Z

R

∂f (u)

∂x φ dx

dt

φ ´ etant nulle pour les termes de bord sauf en t = 0

= − Z

R

u(x, 0) φ(x, 0) dx − Z Z

R×[0,T[

∂u

∂t + ∂f(u)

∂x

φ dx dt

= − Z

R

u

0

(x) φ(x, 0) dx

en utilisant le fait que u est solution classique. L’´ egalit´ e finale montre alors que u est solution faible.

R´ eciproquement, supposons u solution faible. On a donc pour tout φ ∈ C

_c^∞

( R ×] − ∞, T [), Z Z

R×[0,T[

u ∂φ

∂t + f (u) ∂φ

∂x

dx dt + Z

R

u

₀

(x) φ(x, 0) dx = 0.

En utilisant les mˆ emes int´ egrations par parties que pr´ ec´ edemment, qui se justifient par le fait que u est C

¹

, on obtient alors :

Z Z

R×[0,T[

∂u

∂t + ∂f (u)

∂x

φ dx dt + Z

R

(u

0

(x) − u(x, 0)) φ(x, 0) dx = 0.

En particulier, ceci est vrai pour tout φ ∈ C

^∞_c

( R ×]0, T [), et dans ce cas, l’´ egalit´ e devient Z Z

R×[0,T[

∂u

∂t + ∂f (u)

∂x

φ dx dt = 0.

(9)

On utilise alors la densit´ e de C

_c^∞

( R ×]0, T [) dans L

²

( R ×]0, T [) pour conclure : on peut faire approcher φ autant que l’on veut de la restriction de

^∂u_∂t

+

^∂f(u)_∂x

sur un compact, qui est L

²

, donc cette fonction est nulle sur tout compact, donc elle est nulle globalement. On a donc

∂u

∂t + ∂f(u)

∂x = 0 ∀(x, t) ∈ R ×]0, T [,

c’est-` a-dire u est solution classique de l’´ equation diff´ erentielle. De plus, on a alors pour tout φ ∈ C

_c^∞

( R ×] − ∞, T [),

Z

R

(u

₀

(x) − u(x, 0)) φ(x, 0) dx = 0.

Si ψ est une fonction de C

_c^∞

( R ), on peut construire une application φ ∈ C

_c^∞

( R ×] − ∞, T [) de mani` ere ` a ce que ψ(x) = φ(x, 0) pour tout x ∈ R . Il suffit par exemple de se donner une application θ dans C

^∞

( R ) ` a support dans [−1, 1] telle que θ(0) = 1, et de poser φ(x, t) = ψ(x) θ(t ×

_T²

). On a donc, pour tout ψ ∈ C

^∞_c

( R ),

Z

R

(u

₀

(x) − u(x, 0)) ψ(x) dx = 0, ce qui permet de conclure, toujours par un argument de densit´ e, que

u

0

(x) = u(x, 0) ∀x ∈ R .

La condition initiale du probl` eme de Cauchy est donc v´ erifi´ ee, et ceci ach` eve la preuve.

2.2 La condition de Rankine-Hugoniot

Dans cette partie, on analyse le cas o` u une solution est discontinue le long d’une courbe et C

¹

ailleurs. Soit ω un ouvert de R

²

et Γ ⊂ ω une courbe de r´ egularit´ e C

^∞

s´ eparant ω en deux composantes connexes ω

+

et ω

−

. Soit (x, t) ∈ Γ, si u est une application C

¹

dans ω

+

et ω

−

et continue par morceaux sur ω, on note u

+

(x, t) la limite de u(y, s) quand (y, s) tend vers (x, t) en restant dans ω

+

, et de mˆ eme u

−

(x, t) la limite de u en (x, t) dans ω

−

. On pose alors [u](x, t) = u

₊

(x, t) − u

₋

(x, t) le saut de u ` a travers Γ, et on d´ efinit de la mˆ eme mani` ere [f (u)](x, t).

Nous allons d´ eterminer ` a quelle condition u est solution faible de la loi de conservation sur ω tout entier par le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme 2.2. Soit u ∈ C

¹

(ω

+

) ∩ C

¹

(ω

−

) ∩ L

^∞

(ω) continue par morceaux sur ω.

Alors u est solution faible de la loi de conservation (1) dans ω si et seulement si : (i) u est solution classique de cette loi de conservation sur ω

+

et ω

−

(ii) la condition [u]n

_t

+ [f (u)]n

_x

= 0 est satisfaite sur Γ, o` u n = (n

_x

, n

_t

) est un vecteur normal

le long de Γ. Cette condition s’appelle la condition de Rankine-Hugoniot.

(10)

x t

Γ

ω

+

ω

−

n

Remarque. Pour d´ emontrer cela, nous allons utiliser le th´ eor` eme de Green-Riemann. Celui-ci s’´ enonce ainsi :

Th´ eor` eme. (Green-Riemann)

Si C est un chemin ferm´ e du plan C

¹

par morceaux orient´ ee dans le sens trigonom´ etrique et D le domaine compact d´ elimit´ e par cette courbe, si P et Q sont des fonctions d´ efinies sur D ayant des d´ eriv´ ees partielles continues sur D, alors :

Z Z

D

∂Q

∂x − ∂P

∂y

dx dy = Z

C

P dx + Q dy.

On l’admettra dans le cadre de cette d´ emonstration, et l’on en fera la d´ emonstration dans un cas simple en annexe.

Si l’on a un vecteur normal unitaire n = (n

x

, n

y

) orient´ e ext´ erieurement ` a D, le vecteur (−n

y

, n

x

) est tangent unitaire et orient´ e dans le sens trigonom´ etrique, et on a

Z

C

P dx + Q dy = Z

C

P Q

· −n

y

n

x

ds =

Z

C

(−P n

y

+ Q n

x

) ds,

o` u ds est l’´ el´ ement de longueur correspondant ` a un param´ etrage par longueur d’arc de Γ. En rempla¸ cant P par −P, la formule de Green-Riemann se r´ e´ ecrit donc :

Z Z

D

∂Q

∂x + ∂P

∂y

dx dy = Z

C

(P n

y

+ Q n

x

) ds

D´ emonstration. Supposons d’abord que u est solution faible. Alors (3) est vraie en particulier pour des fonctions ` a support compact inclus dans ω

+

ou ω

−

, donc u est solution faible dans ces deux ouverts. D’apr` es la proposition 3.1, u est alors solution classique dans ω

+

et ω

−

car

´

etant de r´ egularit´ e C

¹

sur les deux ouverts.

Montrons alors la deuxi` eme assertion. On voudrait appliquer la formule de Green-Riemann

`

a l’int´ egrale pr´ ec´ edente, mais pour cela il faut int´ egrer sur un domaine d´ elimit´ e par une courbe,

`

a la fronti` ere de laquelle u est f (u) sont bien d´ efinies et C

¹

, ce qui n’est pas forc´ ement le cas

pour ω. Mais si on fixe φ ∈ C

_c^∞

(ω), (3) reste vraie si on int` egre sur n’importe quel domaine

contenant supp(φ) qui est un compact de ω. On peut alors construire un domaine inclus dans

ω contentant supp(φ) qui satisfasse les hypoth` eses voulues : en effet la distance de supp(φ) ` a

la fronti` ere de ω est non nulle, par compacit´ e, donc on pourra toujours construire entre les

deux une courbe C

^∞

qui entoure supp(φ). Notons D le domaine d´ elimit´ e par cette courbe, et

D

₊

= D ∩ ω

₊

et D

₋

= D ∩ ω

₋

.

(11)

Comme supp(φ) ⊂ D, on a Z Z

D

u ∂φ

∂t + f (u) ∂φ

∂x

dx dt

= Z Z

D₊

u ∂φ

∂t + f (u) ∂φ

∂x

dx dt + Z Z

D−

u ∂φ

∂t + f (u) ∂φ

∂x

dx dt = 0.

On va alors appliquer le th´ eor` eme de Green-Riemann ` a P = uφ et Q = f (u)φ sur D

₊

, qui est un domaine d´ elimit´ e par la concat´ enation de ∂D ∩ D

₊

et de Γ ∩ D, sachant que φ est nulle partout sur la fronti` ere sauf sur Γ ∩ D. Notons que uφ et f (u)φ sont C

¹

sur D

₊

et prolongeables par continuit´ e sur Γ en u

₊

et f (u)

₊

. On peut supposer, quitte ` a changer n en −n que n est orient´ e ext´ erieurement ` a D

₊

, et dans ce cas il est orient´ e int´ erieurement ` a D

₋

. On a donc :

Z Z

D+

∂f(u)φ

∂x + ∂uφ

∂t

dx dt = Z

Γ

(u

+

n

t

+ f (u)

+

n

x

) φ ds, ce qui donne

Z Z

D+

u ∂φ

∂t + f (u) ∂φ

∂x

dx dt

= Z

Γ

(u

+

n

t

+ f (u)

+

n

x

) φ ds − Z Z

D+

∂u

∂t + ∂f(u)

∂x

φ dx dt

= Z

Γ

(u

+

n

t

+ f (u)

+

n

x

) φ ds,

car u est solution classique sur ω

+

. Et on a de mˆ eme sur D

₋

, sachant que n est alors orient´ e int´ erieurement ` a D

₋

:

Z Z

D−

u ∂φ

∂t + f (u) ∂φ

∂x

dx dt = − Z

Γ

(u

−

n

t

+ f (u)

−

n

x

) φ ds.

En rempla¸ cant tout cela dans l’´ egalit´ e initiale, cela donne : Z

Γ

([u] n

_t

+ [f (u)] n

_x

) φ ds = 0,

et cela est vrai pour tout φ ∈ C

_c^∞

(ω). On peut alors conclure en utilisant le lemme suivant : Lemme 2.3. Soit g : Γ → R continue telle que pour tout φ ∈ C

_c^∞

(ω),

Z

Γ

gφ ds = 0. (5)

Alors g = 0

D´ emonstration. Soit γ : I → R

²

un param´ etrage par longueur d’arc de γ, et soit p = γ(s

0

) un point de Γ. Soit n(s) un vecteur normal unitaire ` a Γ, si > 0, r > 0, d´ efinissons l’application suivante :

κ : ]s

0

− , s

0

+ [×] − r, r[ −→ R

²

(s, v) 7−→ γ(s) + vn(s) .

(12)

Cette application est C

^∞

par hypoth` ese sur la r´ egularit´ e de Γ. De plus dκ(s, v) = (γ

⁰

(s) + vn

⁰

(s), n(s)) donc la matrice dκ(s

0

, 0) est ´ egale ` a

1 0 0 1

dans la base (γ

⁰

(s

0

), n(s

0

)). Par th´ eor` eme d’inversion local, on peut donc fixer et r tels que κ soit un C

^∞

-diff´ eomorphisme sur son image, not´ ee V avec V ⊂ ω.

Ainsi, si ψ ∈ C

_c^∞

(]s

0

− , s

0

+ [), en posant φ = ψ ◦ p

s

◦ κ

⁻¹

dans V (avec p

s

la projection sur la premi` ere variable), φ = 0 ailleurs, φ est une application C

^∞

` a support compact dans V , et elle v´ erifie donc (5). De plus, si s ∈]s

0

− , s

₀

+ [, φ ◦ γ(s) = ψ ◦ p

_s

(s, 0) = ψ(s). On s’est donc ramen´ e ` a un probl` eme unidimensionnel sur la courbe : on a pour tout ψ ∈ C

_c^∞

(]s

₀

− , s

₀

+ [),

Z

s₀+ s₀−

g(γ(s))ψ(s)ds = 0.

On peut donc utiliser un argument de densit´ e dans L

²

en utilisant la continuit´ e de g pour conclure que g ◦ γ

_|]s₀_−,s₀_+[

= 0 et en particulier g(γ(s

₀

)) = g(p) = 0. Comme cela est vrai pour tout p ∈ Γ, g = 0.

Fin de la d´ emonstration du th´ eor` eme. Ainsi comme [u] n

t

+ [f (u)] n

x

est continue par hypoth` ese sur u qui est continue sur Γ par morceaux, on a en appliquant le lemme :

[u] n

_t

+ [f (u)] n

_x

= 0.

R´ eciproquement, si l’on suppose les conditions (i) et (ii) v´ erifi´ ees, en utilisant le mˆ eme calcul que pr´ ec´ edemment, on obtient que

Z Z

ω

u ∂φ

∂t + f(u) ∂φ

∂x

dx dt = 0, c’est-` a-dire que u est solution faible de la loi de conservation.

Une solution u d’un tel probl` eme ´ etant par hypoth` ese born´ ee, par une valeur not´ ee A, si l’on pose M = sup

_|x|≤A

|f

⁰

(x)|, on a pour tout (x, t) ∈ Γ,

|[f(u)](x, t)| ≤ M |[u](x, t)|.

Si l’on applique la condition de Rankine-Hugoniot, cela donne, en supposant que Γ est un lieu de discontinuit´ e r´ eelle, c’est-` a-dire que pour tout (x, t) ∈ Γ, [u](x, t) 6= 0 :

|n

t

| ≤ M |n

x

|.

En particulier, cela montre, comme n est unitaire, que |n

x

| ne s’annule jamais, c’est-` a-dire que le vecteur normal de Γ n’est jamais vertical. Cela implique que la courbe Γ peut se param´ etrer comme un graphe au-dessus de l’axe Ot. En effet, si l’on note γ = (γ

_x

, γ

_t

) un param´ etrage par longueur d’arc de Γ, le vecteur unitaire normal ` a Γ est (−γ

_t⁰

, γ

_x⁰

) et la condition de Rankine- Hugoniot montre que γ

⁰_t

6= 0 sur tout l’intervalle de d´ efinition de γ. On peut donc inverser globalement γ

_t

de mani` ere C

^∞

et l’application γ ◦ γ

_t⁻¹

donne le param´ etrage voulu.

On a donc un param´ etrage de Γ de la forme :

Γ = {(X(t), t), t ∈]t

1

, t

₂

[}

(13)

et un vecteur normal unitaire ` a cette courbe s’´ ecrivant n = (1, −

^dX_dt

) ` a une renormalisation pr` es, la condition de Rankine-Hugoniot se r´ e´ ecrit ainsi :

[f(u)] = dX dt [u].

La pente de la courbe de discontinuit´ e est donc ´ egale au taux d’accroissement de f sur entre les points u

−

(x, t) et u

+

(x, t). On peut rapprocher cela des courbes caract´ eristiques, dont la pente

´

etait ´ egale ` a la valeur de f

⁰

en u : si la discontinuit´ e est faible, la courbe de celle-ci est donc proche d’une droite caract´ eristique.

2.3 Non-unicit´ e du probl` eme de Cauchy

La condition de Rankine-Hugoniot donne une relation entre la pente d’une courbe de dis- continuit´ e et la valeur des discontinuit´ es de u et f (u) et nous permet de construire des solutions continues par morceaux ` a une loi de conservation. La mani` ere la plus simple de construire de telles solutions consiste ` a consid´ erer des fonctions constantes par morceaux et dont les discon- tinuit´ es sont plac´ ees le long d’une droite. Ce type de fonction est trivialement solution de la loi de conservation hors des discontinuit´ es, et la condition de Rankine-Hugoniot implique que la pente σ d’une discontinuit´ e doit v´ erifier :

σ = [f (u)]

[u] .

Pla¸ cons-nous dans le cas de l’´ equation de Burgers, o` u f (u) =

^u₂²

. La condition sur la pente d’une discontinuit´ e devient alors

σ = u

²₊

− u

²₋

2(u

+

− u−) = u

₊

+ u−

2 .

Soit p ∈ R

+

, consid´ erons l’application suivante :

u : (x, t) 7−→



 

 

 

 

0 si x < −pt

−2p si −pt < x < 0 2p si 0 < x < pt 0 si pt > x

x t

u = 0 u = 0

u = −2p u = 2p

x = −pt x = pt

(14)

Cette application est constante par morceaux, comporte trois demi-droites de discontinuit´ e (en x = −pt, x = 0 et x = pt) et v´ erifie la condition de Rankine-Hugoniot sur celles-ci. D’apr` es le th´ eor` eme 3.2, c’est une solution faible ` a l’´ equation de Burgers

^∂u_∂t

+

¹₂^∂(u_∂x²⁾

= 0, et ce pour tout p r´ eel positif. On a donc construit une infinit´ e de solutions, en plus de la solution triviale partout nulle, qui sont nulles en t = 0.

Cela montre que la notion de solution faible telle qu’on l’a d´ efinie ne permet pas d’avoir l’unicit´ e pour un probl` eme de Cauchy comme on l’a dans le sens classique, et cela ne concorde pas avec le point de vue physique pour lequel une condition initiale donn´ ee ne permet qu’une seule ´ evolution possible. Les solutions que l’on a construites n’ont d’ailleurs pas vraiment de sens physique, car for¸ cant l’apparition d’une perturbation ` a partir d’une condition initiale nulle, et ne sont pas ”souhaitables” pour la r´ esolution d’une ´ equation de loi de conservation. Il nous faut donc d´ efinir une nouvelle classe de solutions, plus restrictive que celle des solutions faibles afin d’obtenir l’unicit´ e pour un probl` eme de Cauchy, tout en ´ etant plus large que celle des solutions classiques.

3 Approximation parabolique

3.1 D´ efinition du probl` eme

Dans la r´ ealit´ e physique, les lois de conservation telles qu’on les a ´ etudi´ ees sont en g´ en´ eral l’approximation d’une ´ equation parabolique avec un terme de viscosit´ e, comme dans l’exemple du trafic routier de l’introduction, sous la forme :

∂

t

u

(x, t) + ∂

x

(f (u

))(x, t) − ∆u

(x, t) = 0,

le terme ´ etant n´ egligeable. Notre cheminement sera d’utiliser cette ´ equation, en trouver des solutions (dans un sens que l’on d´ efinira) et faire tendre vers 0, afin d’obtenir un certain type de solution faibles pour la loi de conservation.

Tout d’abord, on va prendre = 1 et on fera intervenir uniquement lors du passage ` a la limite. On veut donc r´ esoudre l’´ equation

∂

t

u + ∂

x

f (u) − ∆u = 0. (6)

Or on sait d´ ej` a r´ esoudre l’´ equation de la chaleur :

∂

t

v − ∆v = 0.

En effet, en passant par la transformation de Fourier, qui on le rappelle est d´ efinie par F (f )(ξ) = ˆ f (ξ) =

Z

+∞

−∞

f (x)e

^−iξ

dx, l’´ equation devient

∂

t

v ˆ + ξ

²

v ˆ = 0

en utilisant les propri´ et´ es de la transform´ ee de Fourier pour la d´ erivation, et cela se r´ esout en ˆ

v(ξ, t) = e

^−ξ²^t

v(ξ, ˆ 0).

(15)

En passant ` a la transformation de Fourier inverse, on a v(x, t) = F

⁻¹

e

^−(·)²^t

ˆ v(·, 0)

(x) = F

⁻¹

e

^−(·)²^t

∗ v(·, 0)(x).

On a ici utilis´ e la propri´ et´ e de la transform´ ee de Fourier sur le produit de convolution : F(f ∗g) = F(f )F(g) ` a laquelle on a appliqu´ e la transform´ ee de Fourier inverse.

On peut aussi donner une formule explicite du noyau de la chaleur G(x, t) = F

⁻¹

(e

^−(·)²^t

) en utilisant le fait que R

+∞

−∞

e

^−x²

dx = √

π, celle-ci ´ etant G(x, t) =

^√_4πt¹

e

⁻^x

2

4t

. En effet, F

1 √ 4πt e

⁻^x

2 4t

= 1

√ 4πt Z

+∞

−∞

e

⁻^x

2 4t−iξx

dx

= 1

√ 4πt Z

+∞

−∞

e

^−p

x

2√ t+iξ√

t2

−ξ²t

dx

= e

^−ξ²^t

√ π

Z

+∞+iξ√ t

−∞+iξ√ t

e

^−z²

dz

= e

^−ξ²^t

,

sachant que l’int´ egrale de la fonction z 7→ e

^−z²

holomorphe sur C sur la droite des r´ eels est la mˆ eme que sur celle-ci translat´ ee verticalement.

On peut alors consid´ erer (6) au moins sur le plan formel comme une ´ equation de la chaleur avec un second membre (d´ ependant de u) :

∂

t

u − ∆u = −∂

x

(f (u)).

Les calculs que l’on effectue ici sont purement formels et sans consid´ erations sur la r´ egularit´ e de u : il nous servent uniquement ` a d´ eterminer une d´ efinition qui nous convienne pour les solutions de (6). La formule de Duhamel donnant la solution de cette ´ equation est, en notant u

0

= u(·, 0) :

u(x, t) = G(·, t) ∗ u

0

(x) − Z

t

0

G(·, t − s) ∗ ∂

x

f(u(·, s))(x) ds

= G(·, t) ∗ u

0

(x) − Z

t

0

∂

x

G(·, t − s) ∗ f(u(·, s))(x) ds.

On a utilis´ e ici le fait que si f et g sont C

¹

et ` a d´ eriv´ ees L

¹

, (f ∗ g)

⁰

= f

⁰

∗ g = f ∗ g

⁰

par th´ eor` eme de d´ erivation sous l’int´ egrale. C’est cette derni` ere ´ egalit´ e que l’on va utiliser pour d´ efinir le probl` eme que l’on veut r´ esoudre :

D´ efinition 3.1. Soit u

0

∈ L

^∞

( R ) et T > 0. Soit u ∈ C

b

( R ×]0, T [ (continue born´ ee), alors u est dite solution de l’´ equation parabolique (6) sur ]0, T [ si pour tout (x, t) ∈ R ×]0, T [ :

u(x, t) = (G(·, t) ∗ u

0

)(x) − Z

t

0

∂

x

G(·, t − s) ∗ f (u(·, s))(x) ds (7)

Remarque. Les calculs menant de (6) ` a (7) ´ etant vrais uniquement d’un point de vue formel,

on n’a pas montr´ e le lien qui existe entre ces deux ´ equations. Mais cela ne nous est pas utile

pour le moment : on veut uniquement trouver une solution de (7) et l’utiliser pour construire

(16)

une solution faible ` a la loi de conservation. Malgr´ e tout, il nous faut v´ erifier que les termes de cette ´ equation sont bien d´ efinis sous les hypoth` eses donn´ ees.

On commence par remarquer que G(x, t) = t

⁻¹²

G(t

⁻¹²

x, 1) d’apr` es l’expression explicite de G.

Alors ∂

x

G(x, t) = t

⁻¹

∂

x

G(t

⁻¹²

x, 1). En notant K

1

= k∂

x

G(·, 1)k

_L1(R)

, qui est fini car la d´ eriv´ ee d’une gaussienne est int´ egrable, on a par un changement de variable, pour tout t ∈]0, T [ :

k∂

x

G(·, t)k

L¹(R)

= K

₁

t

⁻¹²

.

On utilise alors l’in´ egalit´ e de Young pour la convolution pour L

^∞

: kf ∗ gk

L^∞

≤ kf k

L¹

kgk

L^∞

. On a donc pour tout t ∈]0, T [ et s ∈]0, t[ :

k∂

x

G(·, t − s) ∗ f (u(·, s))k

_L^∞₍_R

≤ K

1

(t − s)

⁻¹²

kf (u(·, s))k

_L^∞₍_R₎

≤ K

₁

(t − s)

⁻¹²

kf (u)k

_L∞(R×]0,T[)

.

Ainsi, s 7→ ∂

_x

G(·, t − s) ∗ f (u(·, s))(x) est int´ egrable sur ]0, t[ pour tout x ∈ R donc le deuxi` eme terme de l’´ equation (7) est bien d´ efini, et il en est de mˆ eme pour le terme G(·, t) ∗ u

₀

(x) car G(·, t) ∈ L

¹

( R ) et u

₀

(x) ∈ L

^∞

( R ).

3.2 R´ esolution par une m´ ethode de point fixe

L’´ equation sous forme int´ egrale (7) que nous voulons r´ esoudre caract´ erise u comme point fixe d’une certaine fonctionnelle, et nous allons utiliser pour le r´ esoudre un th´ eor` eme de point fixe contractant sur l’espace C

_b

( R ×]0, T [) pour un certain T , muni de la norme infinie, qui est un espace complet. On va montrer le r´ esultat suivant :

Th´ eor` eme 3.1. Soient R

⁰

> R > 0. Il existe T > 0, ne d´ ependant que de R et de R

⁰

, tel que, pour tout u

0

∈ L

^∞

( R ) born´ ee par R et pour tout S ∈]0, T ], l’´ equation parabolique (6) poss` ede une unique solution born´ ee par R

⁰

sur R ×]0, S[.

D´ emonstration. Si T ∈ R (que l’on fixera par la suite), posons E = C

b

( R ×]0, T [) et d´ efinissons l’application suivante :

ψ : E −→ E

u 7−→ G(·, t) ∗ u

0

(x) − Z

t

0

∂

x

G(·, t − s) ∗ f (u(·, s))(x) ds .

On sait d´ ej` a que si u ∈ E, ψ(u) est bien d´ efinie par la remarque de la partie pr´ ec´ edente mais il nous faut montrer que ψ(E) ⊂ E pour que cette d´ efinition ait un sens. Si u ∈ E born´ ee par un certain R

⁰

, les estimations de la remarque donnent :

|ψ(u)(x, t)| ≤ kG(·, t)k

_L1(R)

ku

0

k

_L∞(R)

+ K

1

sup

[−R⁰,R⁰]

|f|

Z

t 0

(t − s)

⁻¹²

ds

≤ ku

0

k

L^∞(R)

+ 2K

₁

sup

[−R⁰,R⁰]

|f | √ t

car kG(·, t)k

L¹(R)

= R

R

G(x, t)dx = F (G(·, t))(0) = 1 d’apr` es les calculs d´ ej` a effectu´ es sur G. Ainsi ψ(u) est born´ ee. Si l’on d´ efinit sur R

²

les fonctions ˜ G(x, t) = p 1

]0,T[

(t)∂

x

G(x, t) et F ˜ (x, t) = p 1

^]0,T[

(t)f (u(x, t)) alors on a pour tout (x, t) ∈ R ×]0, T [ :

ψ(u)(x, t) = G(·, t) ∗ u

₀

(x) − G ? ˜ F ˜ (x, t)

(17)

avec ? d´ esignant un produit de convolution bidimensionnel en (x, t), c’est ` a dire que f ? g(x, t) =

Z Z

R²

f ((x, t) − X)g(X ) dX = Z Z

R²

f (x − y, t − s)g(y, s) dy ds.

Ici, ˜ G ∈ L

¹

( R

²

) car k∂

x

G(·, t)k

L¹(R)

≤ K

1

t

⁻¹²

qui est int´ egrable sur ]0, T [ et ˜ F ∈ L

^∞

( R

²

), leur produit de convolution est donc une application continue. De plus, (x, t) 7→ G(·, t) ∗ u

0

(x) est continue ` a la fois en espace (car produit de convolution) et en temps (par th´ eor` eme de continuit´ e sous l’int´ egrale). ψ(u) est donc une application continue. Finalement, on a bien montr´ e que ψ(E) ⊂ E.

Soient R

⁰

> R > 0 et soit u

₀

∈ L

^∞

( R ) born´ ee par R. Si kuk

_E

≤ R

⁰

, l’estimation pr´ ec´ edente donne

|ψ(u)(x, t)| ≤ R + 2K

1

sup

[−R⁰,R⁰]

|f | √ t.

On peut alors prendre T > 0 tel que T <

R⁰−R 2K₁sup_[−R0,R0]|f|

2

(ou n’importe quelle valeur si sup

_[−R0,R⁰]

|f | = 0), le choix de T ne d´ ependant que de R

⁰

et R, et dans ce cas kψ(u)k

E

≤ R

⁰

donc ψ laisse stable la boule de rayon R

⁰

de E. On va maintenant estimer le caract` ere contractant de ψ : soient u et v born´ ees par R

⁰

, alors si (x, t) ∈ R ×]0, T [,

|ψ(u)(x, t) − ψ(v)(x, t)| =

Z

t 0

∂

x

G(·, t − s) ∗ f (u(·, s)) − f (v(·, s)) (x) ds

≤ Z

t

0

k∂

x

G(·, t − s)k

_L1(R)

kf (u(·, s)) − f (v(·, s))k

_L∞(R)

ds

≤ Z

t

0

k∂

x

G(·, t − s)k

_L1(R)

sup

[−R⁰,R⁰]

|f

⁰

|k(u(·, s)) − (v(·, s))k

_L^∞₍_R₎

ds

≤ K

₁

sup

[−R⁰,R⁰]

|f

⁰

|ku − vk

_E

Z

t

0

(t − s)

⁻¹²

ds

≤ 2K

1

sup

[−R⁰,R⁰]

|f

⁰

| √

tku − vk

E

.

Ainsi, si l’on prend de plus T <

1 2K1sup_[−R0,R0]|f⁰|

²

, choix qui ne d´ epend encore une fois que de R et R

⁰

, ψ est contractante de la boule de rayon R

⁰

dans la boule de rayon R

⁰

. L’espace E

´

etant complet, le th´ eor` eme du point fixe nous donne l’existence et l’unicit´ e d’un point fixe de ψ dans la boule de rayon R

⁰

, c’est ` a dire d’une solution de (6). Et cela reste vrai pour tout S ≤ T car les estimations restent v´ erifi´ ees.

En particulier, ce th´ eor` eme nous donne un r´ esultat d’unicit´ e :

Corollaire 3.2. Soit u

₀

∈ L

^∞

( R ). Pour tout T > 0, il existe au plus une solution de (6) sur ]0, T [.

D´ emonstration. Soit T > 0 et u, v deux solutions de (6) sur ]0, T [. Posons T

₀

= sup{t ∈]0, T [ | u(x, s) = v(x, s) ∀ (x, s) ∈ R ×]0, t[}

et T

₀

= 0 si cet ensemble est vide. Supposons donc T

₀

< T, car sinon le r´ esultat est d´ emontr´ e.

Par continuit´ e de u et v, u(x, T

0

) = v(x, T

0

) pour tout x ∈ R .

(18)

On va montrer que (x, t) 7→ u(x, T

0

+ t) et (x, t) 7→ v(x, T

0

+ t) sont solutions de (6) sur ]0, T − T

0

[. Cela est vrai en particulier grˆ ace aux propri´ et´ es de semi-groupe de la convolution par G : G(·, t) ∗ G(·, t

⁰

) = G(·, t + t

⁰

) pour tout t, t

⁰

∈ R , que l’on montre en passant par la transform´ ee de Fourier :

F(G(·, t) ∗ G(·, t

⁰

))(ξ) = F(G(·, t))F (G(·, t

⁰

))(ξ) = e

^−ξ²^t

e

^−ξ²^t⁰

= e

^−ξ²^(t+t⁰⁾

= F(G(·, t + t

⁰

))(ξ).

Ainsi, si t ∈]0, T − T

₀

[ et x ∈ R ,

u(x, T

0

+ t) = G(·, T

0

+ t) ∗ u

0

(x) − Z

T0+t

0

∂

x

G(·, T

0

+ t − s) ∗ f (u(·, s))(x) ds

= G(·, t) ∗ G(·, T

0

) ∗ u

0

(x) − Z

T₀

0

∂

x

G(·, T

0

− s) ∗ f(u(·, s))(x) ds

!

− Z

T0+t

T₀

∂

_x

G(·, T

0

+ t − s) ∗ f (u(·, s))(x) ds

= G(·, t) ∗ u(x, T

0

) − Z

t

0

∂

x

G(·, t − s) ∗ f (u(·, T

0

+ s))(x) ds

et donc (x, t) 7→ u(x, T

0

+ t), et de mˆ eme (x, t) 7→ v(x, T

0

+ t), sont toutes deux solution sur ]0, T − T

0

[, avec la mˆ eme condition initiale u(·, T

0

) = v(·, T

0

).

Prenons alors R = ku(·, T

0

)k et R

⁰

> max(R, kuk

L^∞(R×]0,T[)

, kvk

L^∞(R×]0,T[)

). On peut alors appliquer le th´ eor` eme 3.1 qui nous donne 0 < S < T − T

0

telle que la solution sur ]0, S[

born´ ee par R

⁰

est unique pour une condition initiale born´ ee par R donn´ ee, ce qui implique que (x, t) 7→ u(x, T

₀

+ t) et (x, t) 7→ v(x, T

₀

+ t) co¨ıncident sur ]0, S[, et ainsi u et v co¨ıncident sur ]0, T

₀

+ S[, ce qui contredit la d´ efinition de T

₀

.

3.3 R´ egularit´ e, existence globale, passage ` a la limite

Esquissons, sans entrer dans les d´ etails, la suite du raisonnement nous permettant de construire des solutions entropiques ` a la loi de conservation. Tout d’abord, il est possible de montrer que les solutions de l’´ equation parabolique ont en fait une r´ egularit´ e C

^∞

, mˆ eme pour une condition initiale seulement L

^∞

, du fait de l’effet r´ egularisant du noyau de la chaleur. Pour prouver cela, il faudrait appliquer un th´ eor` eme de point fixe de la mˆ eme mani` ere que dans le paragraphe pr´ ec´ edent, mais dans un espace plus restreint nous permettant de contrˆ oler la d´ eriv´ ee premi` ere en espace de u. On montrerait alors l’existence et l’unicit´ e, localement, de solutions C

¹

en espace et, en it´ erant le raisonnement sur les d´ eriv´ ees de u, de solutions C

^∞

. A partir de cela, on peut aussi montrer que u est C

^∞

en temps.

Le fait que les solutions de (6), au sens tel qu’on l’avait d´ efini, soient C

^∞

implique qu’elles sont aussi solutions de (6) au sens classique, c’est ` a dire qu’elles v´ erifient directement l’´ equation en temps qu’applications C

^∞

. En effet, les calculs formels effectu´ es pour passer de l’´ equation (6) ` a l’´ equation (7) sont exacts sous les hypoth` eses de r´ egularit´ e de u.

Reprenons alors l’´ equation parabolique avec le terme :

∂

t

u

(x, t) + ∂

x

(f (u

)(x, t) − ∆u

(x, t) = 0 (8)

(19)

On peut en d´ eduire une version entropique : si η : R → R est une fonction C

^∞

convexe, et φ C

^∞

telle que φ

⁰

= η

⁰

f

⁰

, on a

∆(η(u

)) = ∂

_xx

(η(u

)) = η

⁰⁰

(u

)(∂

_x

u

)

²

+ η

⁰

(u

)∆u

≥ η

⁰

(u

)∆u

.

D’o` u, si u

est solution de (8), en multipliant l’´ equation par η

⁰

(u

) et sachant que η

⁰

(u

)∂

t

(u

=

∂

t

η(u

)) et η

⁰

(u

)∂

x

(f (u

)) = η

⁰

(u

)f

⁰

(u

)∂

x

u

= ∂

x

(φ(u

)), on obtient :

∂

_t

η(u

)) + ∂

_x

(φ(u

)) − ∆(η(u

)) ≤ 0.

Cette in´ egalit´ e, dite in´ egalit´ e d’entropie, est ce qui nous servira ` a d´ efinir la bonne notion de solu- tion ` a la loi de conservation. Ici, sachant que les solutions de l’´ equation parabolique telles qu’on les a construites au paragraphe pr´ ec´ edent, en supposant quelconque, sont solutions classiques de (8) et v´ erifient donc l’in´ egalit´ e d’entropie. En choisissant une fonction η de mani` ere judi- cieuse, par des calculs que l’on ne d´ etaillera pas ici, on peut montrer, sous couvert d’hypoth` eses l´ eg` erement plus restrictives sur la r´ egularit´ e de u

0

, que les solutions v´ erifient un principe du maximum :

Th´ eor` eme 3.3. Si u

est solution de (8) sur R ×]0, T [, alors ku

k

L^∞(R×]0,T[)

≤ ku

0

k

L^∞(R)

.

Grˆ ace ` a cette estimation, on peut montrer l’existence globale d’une solution de l’´ equation parabolique (8) : en reprenant les notations du th´ eor` eme 3.1, si on pose R = ku

0

k

∞

et R

⁰

> R quelconque, on a une solution sur ]0, T [ pour un certain T > 0. Et comme ku(·, T /2)k ≤ ku

0

k

∞

= R par le th´ eor` eme 3.3, on a aussi une solution sur ]T /2, 3T /2[, car la borne T ne d´ epend que de R et de R

⁰

. Cette solution co¨ıncide avec la premi` ere sur ]T /2, T [ par unicit´ e, et on peut montrer facilement que le recollement des deux solutions sur ]0, 3T /2[ est encore solution, en utilisant les propri´ et´ es de G pour la convolution comme on l’a fait en montrant l’unicit´ e. On peut donc par ce raisonnement ind´ efiniment rallonger la solution sur des intervalles de longueur constante, ce qui permet d’avoir une solution d´ efinie sur ]0, +∞[.

Si u

₀

est une condition initiale suffisamment r´ eguli` ere, par exemple u

₀

∈ C

_b

( R ), on a donc pour tout > 0 une solution u

de l’´ equation parabolique (8) pour la condition initiale u

₀

. Il reste alors ` a passer ` a la limite quand tend vers 0. Il faudrait d’abord montrer que u

converge presque partout vers une fonction u quand tend vers 0, et ensuite on peut montrer que u est une solution faible de la loi de conservation (1) par convergence domin´ ee, en utilisant le principe du maximum v´ erifi´ e par u

.

4 Solutions entropiques

Finalement, on a construit, en passant par le probl` eme parabolique, une solution faible u

`

a la loi de conservation, ce qui montre d´ ej` a qu’il y a toujours existence globale de ce type de solutions. De plus, l’in´ egalit´ e entropique v´ erifi´ ee par les solutions u

passe ` a la limite, au moins dans un sens faible : on peut montrer que si η est une fonction convexe r´ eguli` ere, φ v´ erifie φ

⁰

= η

⁰

f

⁰

, et ϕ ∈ C

_c^∞

( R × [0, +∞[) positive, alors

Z Z

R×]0,+∞[

(η(u(x, t))∂

t

ϕ(x, t) + φ(u(x, t))∂

x

φ(x, t)) dx dt + Z

R

η(u

0

(x))ϕ(x, 0) dx ≥ 0 (9)

C’est cette condition qui va servir ` a d´ efinir le type de solutions que l’on souhaite :

(20)

D´ efinition 4.1. u est dite solution entropique au probl` eme de Cauchy associ´ e ` a (1) si u ∈ L

^∞

( R ×]0, +∞[) ∩ C([0, +∞[, L

¹_loc

( R )) et v´ erifie (9) pour tout η, φ, ϕ v´ erifiant les hypoth` eses donn´ ees plus haut.

En particulier, une solution entropique est une solution faible, ce qui peut se montrer en prenant η(s) = s et η(s) = −s. Les solutions entropiques repr´ esentent en fait les solutions de loi de conservation ayant un ”sens physique”, et constituent le bon cadre de solutions que l’on recherchait. On a montr´ e, en omettant certains d´ etails, qu’il y avait toujours existence de solutions entropiques, et il est aussi possible de montrer qu’il y a unicit´ e : c’est le th´ eor` eme de Kru˘ zkhov.

Annexe : la formule de Green-Riemann

Rappelons l’´ enonc´ e du th´ eor` eme de Green-Riemman : Th´ eor` eme. (Green-Riemann)

Si C est un chemin ferm´ e du plan C

¹

par morceaux orient´ ee dans le sens trigonom´ etrique et D le domaine compact d´ elimit´ e par cette courbe, si P et Q sont des fonctions d´ efinies sur D ayant des d´ eriv´ ees partielles continues sur D, alors :

Z Z

D

∂Q

∂x − ∂P

∂y

dx dy = Z

C

P dx + Q dy.

D´ emonstration. On peut d´ emontrer facilement ce th´ eor` eme dans un cas simple, o` u Q = 0 et le domaine D peut ˆ etre caract´ eris´ e sous la forme D = {(x, y) ∈ R

²

| a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x)}, o` u f et g sont des fonctions continues, ainsi que le montre le diagramme ci-dessous :

x y

C

1

: (x, f(x))

C

2

C

3

: (x, g(x))

C

4

a b

D

(21)

On a alors, d’apr` es Fubini : Z Z

D

∂P

∂y dx dy = Z

b

a

Z

g(x) f(x)

∂P

∂y dy

! dx =

Z

b a

(P (x, g(x)) − P (x, f (x)))dx.

La courbe C

1

pouvant directement ˆ etre param´ etr´ ee par (x, f(x)), on a : Z

C₁

P dx = Z

b

a

P (x, f(x))dx.

La courbe C

₃

peut aussi ˆ etre param´ etr´ ee par (x, g(x)), mais dans le sens inverse ` a son orienta- tion, on a donc :

Z

C₃

P dx = − Z

−C3

P dx = − Z

b

a

P (x, g(x))dx.

Et comme C

2

et C

4

ont une variation horizontale nulle, on a Z

C₂

P dx = Z

C₄

P dx = 0.

Finalement, en additionnant tout cela, on a bien le r´ esultat voulu : Z Z

D

∂P

∂y dx dy = − Z

C

P dx.

On peut montrer de la mˆ eme mani` ere que la formule de Green-Riemann est vraie pour P = 0 sur un domaine d´ elimit´ e par deux segments horizontaux et deux courbes. Pour montrer le r´ esultat dans le cadre g´ en´ eral, il faudrait montrer que cela implique que la formule est vrai pour P et Q quelconque dans tout domaine de l’un de ces deux types diff´ erents, puis montrer que l’on peut d´ ecomposer tout domaine suffisamment r´ egulier en sous-domaines de ce type.