Lois générales d'évolution d'un système physique

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Lois générales d’évolution d’un système physique

Jean-Louis Destouches

To cite this version:

LOIS

GÉNÉRALES D’ÉVOLUTION

D’UN

_{SYSTÈME PHYSIQUE}

Par M. JEAN-LOUIS DESTOUCHES. Institut Henri-Poincaré. Paris.

Sommaire. 2014 Ce travail est un préliminaire à l’édification de la mécanique quantique relativiste des systèmes. Il a pour but de mettre en évidence les conditions _auxquelles doit satisfaire toute théorie de l’évolution d’un _{système physique, puis} d’examiner des conditions supplémentaires qu’on peut adjoindre. Si des conditions très _simples et très naturelles sont _imposées aux résultats des mesures, elles entrainent des conséquences importantes parmi lesquelles l’existence d’un _{groupe de} transformations et une _équation

différentielle d’évolution. Dans tout ceci n’intervient _qu’un seul observateur Ce n’est que dans un pro-chain travail _que nous en _{ferons intervenir plusieurs.}

Il est un

_problème

fort

_{important qui}

n’a pu encore

être abordé : c’est celui de la

_{Mécanique quantique}

rela-tiviste des

_systèmes.

_Depuis

la théorie des

_photons

de Louis de

_Broglie,

où

chaque

photon

constitue un

sys-tème de deux

_corpuscules,

la nécessité de sa solution se

fait sentir avec encore

_plus

d’acuité.

Mais une

_question

_{préliminaire}

se _{pose :} cetle

méca-nique peut-elle

être une

_mécanique

ondulatoire ou au

contraire doit-elle être construite au _{moyen d’un}

for-malisme différente C’est à ce

_{premier point}

_qu’il

faut t

d’abord

_répondre.

Pour cela il nous faut construire en

premier

lieu la théorie

_générale

de l’évolution d’un

système physique :

tel est le but de ce travail..

Nous mettrons d’abord en évidence les conditions

auxquelles

doit satisfaire toute théorie de l’évolution d’un

_{système physique, puis}

nous montrerons

_quelles

propriétés

fondamentales sont satisfaites si l’on

_impose

des conditions très

_simples

aux résultats des mesures

physiques,

en nous bornant à la _{science que}

_peut

acquérir

un observateur

_unique.

Dans un

_prochain

travail nous nous _occuperons d’un ensemble d’observateurs et des résultats

_qu’ils

_peuvent

échanger. Leprincipe

de relativité interviendra alors et

nous _{pourrons démontrer que la}

_{Mécanique quantique}

relativiste doit être une

_mécanique

ondulatoire. Cette

fois sa construction

_complète

ne sera

_{plus éloignée.}

D’autre

_{part, récemment,}

M. Dirac

_(’)

a émis

l’hypo-thèse que l’on

pouvait

s’affranchir de la condition de conservation de

_{l’énergie.}

Cette étude nous

_permettra

de voir sous

_quelles

formes

précises

cet

affranchisse-ment

_pourrait

être

_envisagé.

1. Observation d’un

_{système physique. -}

Con-sidérons un observateur

_qui

étudie un

_système

physi-que déterminé. Nous le supposerons muni de tous les instruments nécessaires pour ses observations et en

particulier

d’une

_horloge.

Par

_système

«

_physique

déterminé » nous entendrons un ensemble d’éléments

physiques

dont on

_peut

_préciser

la constitution.

Si l’on admet

_{l’hypothèse}

_{atomique,un système}

phy-sique

sera un _{ensemble d’un nombre fini de}

corpuscu-les ainsi

_{qu’éventuellement}

un ensemble de

_photons

et

nous _{dirons que l’ensemble} est déterminé si nous

con-naissons le nombre et la nature des

_corpuscules

_qui

le

composent.

Dans le cas où il y a des

_photons

ou d’autres

corpuscules

susceptibles

de

_{s’annihiler,}

la définition de

système

déterminé est

_plus

délicate. lVlais

_parla

considé-ration de l’état zéro on

_peut

se ramener au cas

_précédent

en

_prenant

un certain nombre de

_corpuscules

en cet

état,

de _{manière que le nombre total soit constant.} Toutefois cette extension

_{ne peut}

se faire sans certaines réserves. Pour l’instant nous nous bornerons à envi-sager des «

_systèmes

déterminés » sans en

_préciser

la

signification,

en nous

_rappelant

_{toutefois que} ce terme

a un sens bien défini pour les

_{systèmes composés}

d’un

nombre invariable de

_corpuscules

de

_chaque

sorte. Si ultérieurement ou

_peut

_{étendre cette notion à des}

sys-tèmes

_plus

généraux,

les raisonnements

_qui

suivent

s’appliqueront

d’eux-mêmes,

étant basés

_uniquement

sur la notion de

_système

déterminé sans

_préciser

en

quoi

elle consiste.

2. Mesures

_complètes

et

_{incomplètes. -}

Nous supposerons que les mesures _que

_peut

faire

l’observa-teur à un certain

instant,

se divisent en deux classes. Celles dont les résultats viennent fournir le maximum de connaissances

_qu’il

est

_{possible d’acquérir}

à la fois

sur le

_système

et celles

qui

ne _{donnent que des}

con-naissances

_partielles.

Les

premières

seront dites des

mesures

_{cOJ1lplètes,}

les secondes des niesures

_{inconlplètes.}

Dans toate théorie

_physique

construite

_jusqu’à

maintenant on a

_toujours

_supposé

qu’il

existait des

mesures

_complètes

et des mesures

_{incomplètes,}

et

la,

différence entre les théories

_classiques

et

quantique

se _{traduit par} une différence entre les mesures

com-plètes.

Une mesure

_complète

au sens

_quantique

est

incomplète

au sens

_classique.

Une mesure

_complète

au

sens

_classique

est

_impossible

en

_physique

_quantique.

Si pour une mesure

_complète

on trouve un certain

résultat,

par un

_prolongement

de raisonnement

méta-physique,

on en attribue la cazcse au

_système

en disant que le

système

était dans un état tel que la mesure

devait donner ce résultat. Mais on

_peut

renverser ce

raisonnement verbal pour obtenir une définition

implicite

de l’état. Par convention le résultat d’une

mesure

_complète

sera dit « caractériser l’état du

système

». En somme, on donne un sens

_objectif

au

résultat des mesures en considérant

_qu’elles

ne sont

pas dues

uniquement

à

l’appareil

de mesures mais

qu’elles

proviennent

de l’action du

_système

sur

l’appareil

et,

comme on ne _pourra

_jamais

connaître

3C6

autre chose du

_système

_{que les résultats des} mesures,

on

_peut

_{considérer que} ce sont ces résultats

_qui

caractérisent pour nous le

_système.

On

_peut

alors

employer

le mot état et _{dire que le résultat d’une}

mesure

_complète

caractérise un état du

_{système. A}

un

« état _», c’est-à-dire au résultat d’une mesure

_complète

faite à un

_{instant to}

on

_peut

associer d’une

façon

biunivoque

un certain élément

_Xo

_{qu’on appellera}

élément

_figuratif

de l’état. L’ensemble des états

possibles

à to

sera alors

_représenté

par l’ensemble

aeto

des éléments

_V,).

3. Résultat d’une mesure. - Une mesure faite à

l’instant t.

se _{traduit par} une variation d’une

_grandeur

physique

de

_l’appareil

de mesure, ou par une

photo-graphie. L’appareil

étant

_{macroscopique,}

toute mesure

s’exprimera

alors par un nombre associé à une

_grandeur

de la

_{physique macroscopique.}

Le nombre de sortes de

mesures sera au

_{plus égal}

au nombre de

_grandeurs

de la

_{physique classique :}

Soit

A,

13... celles

_qui

_parmi

ces

grandeurs

seront

_complètes.

Parmi les éléments

_Xo

nous devons

_distinguer

ceux

_qui

ont _{été obtenus par}

une mesure

_portant

sur la

_{grandeur A,}

ceux

_portant

sur

B,

sur

C,...

Leur ensemble sera

_désigné

_{respectivement}

par

~~’~o, ~,

B,

~~’co, C,...

et leur réunion constituera l’ensemble

_~~~~o.

_{C’est parce que les} mesures sur des

systèmes

microscopiques

se font avec des

_appareils

macroscopiques

que les diverses

grandeurs

de la

méca-nique classique

interviennent alors dans l’étude de ces

systèmes.

De ce

_fait,

on ne

_peut

attribuer à ces

_grandeurs

un caractère

_intrinsèque

du

_système;

elles n’existent que par

l’appareil

de mesure. C’est bien ce _{que traduit}

le formalisme des

_opérateurs

en

_mécanique

ondulatoire. Une mesure _{effectuée pour} une

_{grandeur A}

se traduit par certains nombre a,, a2,.. a,, ... an

appartenant

à des

_{enselubles ALtO, A2,}

_{to, ... to, ...}

_An,

_to. Un élément

_~’o

sera _{alors caractérisé par} ces _{nombres ai.}

_{L’élément A"o}

appartenant

à A est donc une fonction de n variables

numériques;

to, ...

Ai,

i~ , ...

An,

to sont les enseln-bles des valeurs que

peuvent

prendre les

variables ;

A

est l’ensemble des valeurs de la

fonction,

c’est-à-dire l’ensemble des

_~)’

_{Nous supposerons que l’observateur}

dispose

d’appareils

tels que les intervalles dans

lesquels

peuvent

être trouvés les nombres ai sont aussi

_grands

qu’on

veut et _{que les}

_Ai

sont _{déterminés par}

_{expérience :}

Ai

est l’ensemble des

_{nombres ai qui}

ont été trouvés au

moins une fois comme résultat des mesures sur la

grandeur Ai

après

un très

_grand

nombre de _mesures; de

_plus

à

_chaque

nombre trouvé on

_adjoint

un inter-valle dans

_lequel

il est contenu et de

_largeur

de l’ordre des erreurs

_{d’expériences}

_lorsqu’au

moins un autre nombre

_appartient

à cet intervalle. Par ce _moyen un

ensemble Ai

sera une somme d’un nombre fini d’intervalles et d’un ensemble fini de nombres. Si l’on fait croître le nombre

_{d’expériences}

on

_adjoint

de

nouveaux nombres et de nouveaux intervalles. Le passage à la limite nous montre _que

_{tout Al}

se

compo-sera au

_plus

d’une somme finie ou infinie dénombrable

d’intervalles,

d’une somme finie ou dénombrable de

- - -- - .-- - ’),(;. - - , ..

nombres et éventuellement des nombres

_supérieurs

à un

nombre a1 et des nombres inférieurs à un nombre a2. Nous considérerons comme non _{distincte deux}

gran-deurs A et l3 dont les résultats de mesures, c’est-à-dire

les nombres ai, a2,... a,,... an et

bi, b2,...

bi... bn,

pour-ront être mis en

_{correspondance biunivoque}

et bicon-tinue.

4. Prévisions concernant l’évolution d’un

système. -

S’il existe des lois

_physiques,

c’est-à-dire des

_{régularités}

_{pour révolution d’un}

système,

à

partir

du résultat d’une mesure

_complète,

on doit

pouvoir

faire des

_prévisions

_{pour le résultat d’une}

mesure que l’on effectuera à un instant

_postérieur.

Ce sera

_{l’expression}

détaillée des lois

_physiques

_qui

permettra

de

_préciser

d’une

façon

complète

la manière dont

_{s’exprimeront}

les

_prévisions.

Nous _{n’aurons pas} besoin de ces

_précisions,

il nous suffit de savoir

_qu’il

est

_possible

de les

_représenter

_par un élément X

_(t,

_to)

qui

sera

_[déterminé

_{par l’élément}

_Xo

et _{par les lois}

d’évolution du

_système.

Si Xest déterminé à

_partir

de

Xa,

il existe une transformation

_figurée

_par

_{l’opérateur}

’iL

_{(to, t)}

_qui

transforme l’élément

_Xo

déterminé

_{par les}

mesures faites à

_{l’instant t,}

en X

_(/)

caractérisant les

prévisions

pour l’instant 1 :

Si le

_système

_{n’est pas soumis à des actions extérieures}

dépendant

du

_temps,

la condition

_{d’homogénéité}

du

temps

conduit à ce _{que les}

_prévisions

ne

_dépendent

que de t

- to

et non _pas

_{de ta}

et t

_{séparément,}

d’où dans ce cas

Réciproquement

si cette condition est satisfaite on

_dira,

par

définition,

que le «

_système

n’est pas soumis â

des actions extérieures

_dépendant

du

_temps

».

L’opérateur

11 étant

_indépendant

de

_Xo

traduit la

loi physique

d’évolution. Commeâl’instant des mesures,

on connaît le résultat d’une mesure

_complète,

c’est-à-dire le maximum que l’on

peut savoir,

ce _que nous avons

appelé

exactement l’état du

_système,

la

_prévision

doit

se borner à ce _{que l’on vient}

_{d’apprendre. L’opérateur}

%1

_{(/0’ to)}

devra donc se réduire à la transformation

iden-tique

1.

A tout élément

a ô

de

_{aeto’ l’opérateur}

11

_{(to, t)}

fait

correspondre

à

_{l’instant t,}

un élémént

_{X (to, t).}

Mais

un élément

_peut

éventuellement

provenir

de

plusieurs

éléments

Xo,

car

_jusqu’à

maintenant rien

n’impose

à la transformation d’être

_biunivoque.

Par

cette transformation à tout

_ensemble,

_{El., 4}

corres-pondra

à t un ensemble

_{~Zro ~ ;}

leur réunion pour les diverses

_grandeurs

constituera un ensemble A.

La réunion des ensembles _pour l’ensemble des instants t > to constituera un ensemble

(conte-nant en

_{particulier ~~ro,A).}

De même la réunion pour

t > to des constituera un ensemble

_{£(I,,) qui}

est

d’ailleurs la réunion des

_{aeA(toJ puisque}

l’on

_peut

307

L‘~(to)~

ainsi que l’ensemble

opérable

de

_{l’opérateur}

l et les ensembles des valeurs

_{’IL (t., 1)}

dont la réunion sera

D+

OnOn

aura évidemment.

On _{pourra ainsi considérer la réunion de} ces ensembles

pour l’ensemble des ta : d’où les ensembles

c’est

_Di,

réunion des

_qui

_{pour l’instant} nous

servira d’ensemble fondamental.

5. Intervention des erreurs

_{expérimentales.}

-Par suite des erreurs

_{expérimentales}

nous devons faire intervenir des considérations de stabilité. En

effet,

les

erreurs

_{expérimentales peuvent}

conduire à des erreurs

dans la détermination de l’état

_initial,

c’est-à-dire dans la détermination de si au moins une des valeurs

ai .... , an, soit ai,

qui

caractérisent cet élément appar-tient à un intervalle de l’ensemble

~1~.

Il faut donc se fixer une

_topologie

dans tout ensemble

aetoA

telle

_qu’à

des résultats de mesure voisins

corres-pondent

des éléments voisins. Cette

_topologie

ne

peut

être

_quelconque

_puisqu’une

_ûmesure

se traduit

par l’ensemble fini de nombres a1, a2,..., an lus sur un

appareil,

et _que ces nombres déterminent l’élément

Xo :

La

_proximité

de deux résultats pour la mesure de la

grandeur

est nécessairement une fonction croissante des

écarts des nombres trouvés et

_qui

caractérisent les

résul-tats,

soit,

f(lo,A)

(1 al-bi 1,1

1 a2-b2B

1

,..., ~

un-bn

1)

Cette fonction sera un écart caractérisant la

_proximité

des éléments

Xo

et

Xi

caractérisant les états initiaux. A cet

_écart,

on

_peut

sans inconvénient

_imposer

la

con-dition de

_{l’inégalité triangulaire,}

de

façon

à ce

_qu’il

de-vienne une distance : c’est-à-dire que :

dist

_~

_dist

_{( Xo,1,}

_{Xa~~ ~}

+

dist

XO,2,

~0,3

{

avec

dist

₍₁

ai,, -

ai,~ ~,

La condition est

_remplie

d’elle-même dans le cas où

~c = ~ 1 où il

_n’y

a

_qu’un

seul nombre. Dans le cas où

it _> 1 cette condition ne fait que

_préciser

ce

qu’on

ap-pellera

résultats de mesure voisins. D’ailleurs

fréquem-ment les nombres _{a,,..., an traduiron des coordonnées} Tun

_point

_{d’un espace cartésien à ît}

dimensions,

là

encore la condition sera

_remplie

d’elle-même.

Ainsi tout ensemble est un _{espace distancié.}

Ceci

ne nous définit t la

_proximité

_{que pour des}

élé-ments d’un même enscmble _{c’est-à dire pour}

ceux

_{correspondant}

aux divers résultats

_possibles

_pour

des mesures _{effectuées pour} la même

_grandeur

com-plète

A,

mais il

_n’y

a aucune

_proximité

établie encore

entre les éléments

Xo

provenant

de mesures _de

gran-deurs

_physiques

différentes. L’ensemble ::’1:lo des

réunion des différents ensembles

_{~~’co ~, ~~,.. ,}

corres-pondant

aux résultats des mesures

_possibles

_{pour les}

différentes

_{grandeurs physiques}

_complètes

A,

1~...,

sera en vertu de ce

_qui

_précède

une réunion

_{d’espaces 10}

c’est-à-dire une réunion

_d’espaces

où la

_proximité

est

définie par une distance, mais il

_n’y

a aucune relation établie

_jusqu’à

maintenant entre les

_topologies

de ces

différents ensembles ~~~ I~J;,...,

~~.4,...

Si deux de ces ensembles ont au moins deux éléments com-muns ils

_posséderont

deux

_distances,

celles-ci étant

sans relations elles

_pourront

donner lieu à des

_points

d’accumulation différents. Pour éviter cette difficulté il est _{naturel de supposer que si deux ensembles} et ont

_plus

d’un élément commun les

_points

d’ac-cumulation définis au _moyen de l’une ou l’autre

topo-logie

sont les

mêmes,

c’est-à-dire que dans l’ensemble

4‘~r~A.~‘~cy B, (to

et

_l’o,

A et B étant différents ou

_non),

les deux distances sont

_{équivalentes.}

6. Conditions de stabilité. - Pour

que

l’évolu-tion du

_système

soit

déterminée,

tout au moins

ap-proximativement malgré

les erreurs

_{expérimentales,}

il

faut

ait stabilité

₍₁₎

des élé»rents LY

_{to,t;

carac-té1’isant les

_prévisions

_par

_rapport

aux éléJJlents

_{X o}

caractérisant les résultats des mesures. Pour que cette

condition soit

_remplie

il faut se fixer une

_topologie

dans l’en,.zemble T et _{que les éléments X}

_{(to, t)}

soient des fonctions continues de

.Xo.

Il s’ensuit que la trans-formation it doit être une transformation continue

dans

_l’espace

~‘~~. _{Bien que les}

_LBO

soient des

_t)

par-ticuliers,

la

_topologie

de

_l’espace

~’ ne se _{réduit pas}

nécessairement dans les ensembles

_{‘‘~’,rp,~,}

~~o~,... à celles que nous avons définies

_plus

haut,

car le rôle des

Xo

est différent

_lorsqu’on

les considère comme des résultats ou comme des éléments de

_prévisions

parti-culiers. Ceci

_n’empêche

_{que les conditions de stabilité} doivent être satisfaites.

Mais d’autre

_part,

l’instant où l’on effectue une

expé-rience se mesure

_{expérimentalement.}

Il faut donc que l’on ait encore stabilité de

_LB’(

to,

t)

par aux iiis-tanis to et t. Ceci nous

_oblige

à ce _{que la transformation}

(to,t)

soit une fonction continue de to et de t. Ceci

nous montre _{que la}

_topologie

de

_{l’espace (~~)}

est telle que si deux

points X,,

X,

sont sur une mème

trajec-toire,

c’est-à-dire

_{correspondant}

à deux

valeurs t,

et 12 d’un X

_{(to, t),}

leur

_{proximitépeut s’exprimer}

au _moyen

d’une distance

_qui

est une fonction

_due

_{t t2}

. En

somme

_{l’espace (~r)}

est un _{espace tel que}

_{l’opération}

de fermeture des ensembles satisfait à des conditions

rap-pelant,

mais en

_{plus générales,}

celles des

_Espaces

topo-logiquement

affines,

les

_longueurs

sur les droites étant

remplacées

par des abscisses

curvilignes

sur les

tra-jectoires.

L’espace

a contient : 1° _pour

_chaque

valeur de to une

famille finie d’ensembles

_{~co ~,}

telle que dans

cha-cun de ces ensembles une certaine

proximité s’exprime

au _{moyen d’une}

_{distance; 2°}

une famille de

demi-courbes

de Jordan,

ouvertEs ou

_fermées,

_pouvant

conte-nir des

_{points multiples,}

dites

_trajectoires

dont la

puis-(1) G. BOULICAND. Rendus, 1935, t. _{200, p. 1509,} Rull. Acad. Ro,y Sc., BruxeUes, t. 21, no 3, 1935, p. 21’7. - J. L. DESTOUCHES.

308

sance est la même _{que celle de} l’ensemble réunion des

~4,

les

_points

de aeo étant dits

_origine

de ces courbes. Sur une de ces courbes la

_proximité

a,u sens de

_l’espace

s’exprime

au _{moyen d’une}

_distance,

fonction;croissante

des différences des

_paramètres

_1, soit

_tc

_{( 1 t’!. - t, ~}

_).

7.

_Concepts

et Postulats

_{généraux. -}

Les

rai-sonnements inductifs

_qui

_précèdent

nous conduisent à

placer

à la base de toute théorie de l’évolution les

concepts

et

_postulats

suivants :

11

_{Concept :}

«

_Temps

de l’observateur ».

2’

_{Concept :}

c( d’une

_{grarcdeur physique}

à

un

_{instarct ta}

».

Postulat 1. -

Il y

a plusieurs

types

de « ntesure d’une

.qrandeur

qu’on peut

figurer

par une lettre

et

_{qu’on peut}

_désigner

_{abréviativement par} «

_grandeur

physique

». Certaines sont dites «

_grandeurs

_{complètes ».}

Postulat 2. - A « ucce mesure d’une

à un instant to dont le

_type

est A » est ailaclaé un

e>iseniôle ordonné

_fini

de réels ai a2,,,., an,

appelé

« résultat la mesure

_{d’une grandeur physique}

A _», ces nornhres ai, a2’.’, (l/1

appartenant

à des enseniô les

Ai’t’,

A",to

constitués par des intervalles et un

ensemble

_fini

ou dénombrable de nombres. Par

con-vention deux

_types

de

_grandeurs

_{physique A}

et 13 dont les résultats ai, ai ... a n et

b1, b2,...,

bn

sont fonction

biunivoque

et bicontinue l’une de l’autre

bl

-

fl ~a~)~·.., lli

=

fi

(al)~

...,

bn

=

1:1 an

sont considérées comme non distincts.

Pour

_abréger

nous

_emploierons

le mot « observation

à to comme _{synonyme de} mesure d’une

grandeur

physique complète

à un instant to ». Une « mesure

d’une

_grandeur

_{physique » qui}

ne sera _pas une « obser-vation » sera dite « mesure d’une

_{grandeur physique}

incomplète

».

On

_pourrait

introduire d’abord le

_concept

de « gran-deur

_physique

»

_puis

celui de « mesure _», mais on aurait deux

_concepts

au lieu d’un. Or dans une théorie on

doit chercher à réduire le nombre de

_{concepts :}

il faut avoir le minimum de notions

_primitives.

Définition 1. - On

_appellera

« élément

_figuratif

du rési(Itat d’une observation de

_type

A

_faite

_{il to} un

éléîiîent

_appartenant

à un ensemble d éléments abstraits

_{f’o?iction biurtivoque}

des « résultats d’une

observation à _to » c’est-à-dire la

_puissance

de l’ensemble est _{la même que celle de la famille des ensembles}

ordonnés finis ai, a9,..., an. La réunion des ensembles

,Tt,,,,4

pour les différents

types

A sera

_désignée

_par

_ae,o

et _{les réunions pour les différents} to par et Postulat 3. -

a)

L’ensemble un _espace

disfanc1’é et la distance de deux éléments

Xo

(a,,

...,

an)

el

_~~ô

_(b,,

...,

b,2)

est une

l’onction

croissante

...,

1 a /1

-

b)

Si deux ensembles et

_(avec

to

_~

t’o

ou

B,

ozc â la

_fois

ta

.~-

et

_{A ~}

_B)

ont une

_partie

cowi>iittiae les deîix distances

_qui

_y sont

_définies

sont

équival,entes,

c"est-à-dire sont

_infininlent

_petites

sirnul-tanéJ1le/:t ou encore donnectt lieu aux mërrces

_points

d’acettaiulation.

3°

_{Concept :}

-. cc Prévision concernant une observations

à l’instant t o.

Postulat 4. -

a)

Si on a

_effectué

une observation à l’instattt to, les

prévisions

concernant le

_système

à l’instant t

_postérieur

à to sont

_fiy2crées

_Far urt élél1lent

abstrait

X,

qui

est de t, de to et de r élément

figuralil’

du résultat de l’observation

_Xo,

soit doiic X

_(to,

t,

Xo).

b)

L’enseîïible des éléments X

_(to,

_t,

_Xo)

_pour tout t > to et

Xo

apparteoant

à l’ensernble des tf) conslitue un _{espace abstrait}

_(3:).

Postulat 5.

_-.A

l’instant a’une obcervalioii les

prévi-sions concernant le

_système

à cet instant sont

_figurées

par l’élément

figurati f

du résultat de l’observation

_Xo.

Il s’ensuit que

l’espace

(3:)

contient les ensembles. cCl(,Â. Nous admettrons alors :

Postulat 6. - La

(ollc/ion

t,

X)

est une

_fonctions

continue de

_tn,

de t et de

Xo,

la

_{1)1-oxiïîïité}

_{ho2tr les} élé-ments

_Xo

étant

_fixée

_{par la distance}

_définie

_{par le}

postu-lat 3

_(et

non _{par la}

_toj)ologle

de

l’esjJace

_(,-L».

Définition 2. -

Lorsque

X

_(to,

t,

Xo) appartiendra

à un ensemble on dira que la

prévlsioft

est certaine pour la

gr°artdeur

A à l’instartt t1.

Définition 3. -- Le

point

.-:B0

étant

_fi.re,

l’ensemble des

points

X

_(to,

t

_.L¥ù)

_pour t _{> to} sera dit «

trajectoire-d’origine

Xo

à l’instant to » c’est une courbe de Jordan

ayant

un

_{premier point.}

Postulat 7. -

a)

Sur toule

_trajectoirP

la

_prox£fnité

s’exiarime

au _{moyen d’une distance.}

b)

La distance de deux

_points

XI -

X

_(1,,

/1’

Xo)

et

X2

= X

(to,

_t2,

Xo)

est urte

_fonctiort

croissante de

t2 ti 1

-Définition 4. -

a)

L’instant t étant fixe l’ensemble des

_{points X (to,}

t,

Xo)

pour

Xo appartenant

à

3:toA

sera

désigné

par A.

b)

Si

_Xo

_appartient

à l’ensemble des

_points

X(to,

t,

-.,Vo)

sera

_désigné

_par

_L’ensemble

_3:to,t

est la réunion des A

-c)

La réunion des _t,,4 pour t _{> to} sera

_désignée.

par

Cet

ensemble est la réunion des

_trajectoires

dont

_l’origine

_appartient

à réunion de pour les différents A par

d)

La _{réunion pour l’ensemble des} to de sera

désignée

par 3:0, A, de par T,4 ~to~, de Ci (to) par de _par ~-r,.

L’espace

est

la réunion de toutes les

_{trajectoires,}

la réunion de tous les i _pour t> to et tous

réunion de tous les ~~:~.

Donc tout

_poin

t de est au moins un élément

figuratif

d’une

_prévision

pour au moins un instant t à

partir

d’au moins une observation à 10 d’au moins un

type A ;

tout..point

de

_{(&1) appartient}

à au moins un.e

trajec;toire,

à

_au.moins

un ensemble

_Ut,,

t, et à au moins,

L’intersection d’un

3:to.

t et d’un est l’ensemble

Toute

_{trajectoire d’origine}

en à

_au-moiiis

un

point

commun avec tout

_t

_{t pour to fixe. Toute}

trujec-toire

_appartient

à au moins un

_3:A.

309

un

_{X (io,}

t, on

_peut

définir un

_opérateur

tt

_{(to, t)}

.

figurant

t la transformation de tout

,Uo

en X :

t, ~~’) _ ~.~ (t~, t)

Xù

le domaine

_opérable

to de ILL

(io,

t)

contenant

’E,.

Cet

_opérateur

sera

_appelé

«

_opératenr

d’évolution du

système

à

_partir

d’une observation faite à l’instant to ».

De la définition

même,

il résulte

_qu’il

est

_indépendant

de Xo.

Nous

_désignerons

par

Di, q,l(t,

to) l’ensemble des

points

.Xo

tels

_{que X}

étant fixé on ait X = fli

_t)

_Xo.

8.

_Système

non soumis à des actions exté-rieures

_dépendant

du

_{temps. -}

_{Lorsque :}

1° les ensembles de

_{nombres A 1,}

ro,

...An,

to associés à

tout

_type

A de mesure seront

_{indépendants de to,}

et

2’lorsque X(to,

t, Xo)

ne sera fonction de t et Io que par l’intermédiaire de t _{- to,} c’est-à-dire se réduira à une

fonction X

_(t

-

to,

nous _{dirons que le}

_système

n’est pas soumis à des actions extérieures

dépendant

du

_temps.

Dans le cas contraire nous _{dirons que le}

_sçlstéme

est

sou-des actions extérieures

_dépendant

du

Lorsque

le

système

n’est pas soumis à des actions extérieures

_dépendant

du

_temps

des

_{simplifications}

importantes

se

_{produisent :}

a)

Les ensembles sont

_{indépendants}

_{de to :} 1 on a

_ae’oA.

= et _f£to - _~o.

b) Les

ensembles se réduisent à les

ensembles à to.

Il en _{résulte que}

_{=- -CA}

et

_ae(to)

_

~.

De

_plus

on aura : iL

_{(to, t)}

_ iL

(t

-

to).

9. Classifications des évolutions. - En somme

à un

_système

sont attachés des ensembles comme

’Ut. A,

-T-0 A,

£A (to)~

TA,

l’espace

abstrait

_(,cC)

et les

_opérateurs

lit

_{(to, t)}

_{ainsi que}

les domaines enfin les Suivant

les conditions

_qu’on

_imposera

à ces

_ensembles,

à la

topologie

de

_(~)

et à ces

_opérateurs,

on aura des évo-lutions de différentes classes. Dans le

_paragraphe

précédent

nous avons

déjà

classé en deux

_catégories

les évolutions. On

_peut

évidemment faire des distinc -tions

beaucoup

plus

nombreuses. Nous allons attribuer

un numéro d’ordre et des lettres à diverses conditions et les diverses évolutions se

_désigneront

_{par les}

nombres et lettres servant à

_désigner

les conditions

_qui

sont

_{remplies :}

1° _{Conditions pour} une

_grandeur

_physique

A ou

deux

_grandeurs

A et B.

9 A)

A _ ou l’ensemble des

_{;ésttltals »ossiôles}

d’une mesure _{ho?.cr la}

_grandeur

A est

_indépendant

de l’instant de la mesure. Une évolution satisfaisant à

cette condition

1,

sera dite à

_{possibilités}

constantes _pour la

_grandeur

A.

~A,

B, t,,,

tl) aeto A S

B ou : à t1 pour tout

Ao

_apl?artenant

à il existe au moins un

X’o

de

tel que

Au lieu de deux

grandeurs A

et B on

_peut

_supposer

que A et B sont

_identiques.

D’autre

_part

au lieu d’un

seul instant t1 où cette condition est satisfaite elle

_peut

l’être pour un ensemble d’instants

_1td

_(ce

sera la condi-tion

_{2 A,}

B, où pour tous les

ins tants t1

> to : 1

(condition

qui s’exprime

encore _par

_aetoA.

Elle

_peut

aussi être satisfaite non

_plus

_{pour to mais}

pour un ensemble

_itof

d’instants to ou pour tout instant to où l’on fait une mesure. D’où les conditions

2À, B, ., t),

>

1. 2 A,B,-,

tl

1’

2.4, B).

On voit de suite que la condition

1A) jointe

à entraîne

_2~~,2013,/.)

et de _{même pour les}

autres conditions

_{2,A, A, ...}

mais la

_réciproque

_{n’est pas} vraie.

3..1, B,

to, ti)

Au lieu du

_signe

ç

nous _{pouvons avoir} au

contraire -2

d’où par

exemple

et toutes les conditions

_qui

en dérivent. La

_dépendance

entre les conditions

_1A

et des

_3A,A

est la même

_qu’entre

9 A

et des

_~A,

A.

~~,

B,

t,)

ou : Si l’on

fait

llne mesure

de la

_grandeur

A à _{l’instant t1} une r7zes2cre

_faite

à t, de la

_grandeur

B aurait donné une

_prévision

certaine

pour la mesure

_faite

à t1. On doit

_adjoindre

à

4.A,.B,

to,

li)

les conditions

_qui

en dérivent. Des conditions dérivées

de 2

_peuvent

se confondre avec _{des dérivés de 4 pour}

des

_ensembles

_{( to )}

convenables,

par

exemple

2A, B)

et

_{4A, B)}

sont

_identiques.

ou toute

_{prévision faite}

pour l’instant t, à

_partir

d une mesure de la

_grandeur

A à l’instant _to est _{certaine pour la}

_grandeur

B. Comme pour la condition on en déduit des conditions dérivées. De même que

précédemment

des conditions

se confondent comme

_{3 ~, B)}

et

_{5A, B),}

ou sont entraînées

~° Conditions _{pour des ensembles de}

_grandeurs.

Au lieu de

_n’imposer

_{des conditions que} sur une

grandeur

A à la fois on

_peut

au contraire considérer des ensembles de

_grandeurs

A

_soit

_{A ~,}

ou toutes les

grandeurs

A,

dans ce cas nous

_{remplacerons ( A )}

_par un trait -. D’où par

exemple

la condition : i

2:A

(sans

avoir

_égalité

terme

à

_{terme) :}

« évolution à

possibilités globales

constantes

pour l’ensemble des

grandeurs

de

( A )

».

De même : pour les nombres

2,

3,

4,

~5,

on aura

~~A ~,

B,

t 0, t), l 2A

_{~B ~, to,}

t» ~~A f, ~B ~, 1 0, f) l

ainsi que les conditions dérivées. Parmi celles-ci :

_{4_,}

-, to’

t,)

ou : Si à t, on

_{e f fectue}

une _mesure, il existait au moirts une mesure

_faite

à t,

qui

aurait donné une

_prévision

_{certaine pour la} mesure

_faite

_{à t1.}

5-,

-, lo,

ti)

t, ou toute

prévision

pour

t, à

paî-tir

d’une rnesure

_{complète quelconque}

à to est certaine _pour au moins une

_{grandeur complète.}

Nous dirons

_qu’une

évolution est à

_prévisions

_simples

lorsque

les deux conditions

_{précédentes}

seront

rem-plies

pour tous

couples

to,ti avec t,1 > to, c’est-à-dire

lorsque

aetl _

pour tout to et _{tout li} > to. 10. Mesures virtuelles. -

Lorsqu’une

évolution

est à

_{prévisions simples,}

des

_{simplifications}

se

310

certaines classes d’évolution à

_prévisions

non

_simples.

Définissons alors les ensembles suivants

1

tl,

+ ,st

désignant

la réunion des

_pour

l’ensemble des

_{valeurs t,}

_{~ i1} et soit

_mro

_{la réunion pour} tout

t1 1 to des Pnsembles tels que

l’opérateur

’ll (tú,t1)

transforme ses éléments en _{~‘~ro, t1.} Nous ne _poserons ces _{définitions que si l’on}

_peut

_prolonger

le domaine de de

_façon

à contenir

iaeto.

Nous _pouvons

recommencer de tels

_{prolongements}

et nous _poserons

et

naet,

sera la réunion des ensembles transformés par

’11 en

:::r; t

_augmenté

de

Si à

_partir

d’un certain

_rang

fini ou transfini les suites d’ensembles ainsi définies sont

_{stationnaires,}

c’est-à-dire si à

_partir

_{d’un certain rang} on a des ensembles

_{aetl, t2}

et

aet2

_{tels que les formules}

précé-dentes soient

satisfaites,

c’est-à-dire que :

et enfin

aetl

es t transformé en

_(pour

tout t2 > il et tout

_ti),

ces ensembles accentués

_jouent

le même rôle _{que les} ensembles non accentués

_lorsqu’il

y a

_{prévisions simples.}

Des dernières formules il

résulte en _{effet que}

- - - , ,

:T;l = et est le transformé par ’IL

(tO,l1)

de

Nous dirons alors que

aet1

correspond

à des rnesures

virtuelles et si l’on

_décompose

les en somme

d’en-sembles nous _{dirons que} oc est un de

gran-deur virtuelle dont

_est

l’ensemble des résultats

possibles. Lorsque

nous serons dans ce cas nous dirons que l’évolution est à

_prévisions

virtuelles

_simples.

1t. Conditions sur les

opérateurs

fli. - On

peut

imposer

aux

_opérateurs

d’évolution des

condi-tions

_{supplémentaires.}

Citons en deux

_{importantes :}

L’ensernblp

_se

réduit à un seul

_élément,

ou tout élérnent

t,

figurant

une

_prévision

pour 1 ,instant 1

_{à partir}

d’une mesure

_faite

à to

_{ne peut}

provenir

que d’un

V,,

et un

seul,

ou encore la

_trans

for-mâtion ’li

_(to,

_t)

est

_{biuJt ivoq ue.}

Si cette condition est

_remplie

nous _{dirons que}

l’évo-lution est à caractère

_hiunivoque.

Dans ce cas un

opé-rateur inverse de IL

_(to,t)

se trouve défini. Nous dirons

qu’une

évolution est réversible si on

peut

prolonger

l’opérateur

pour tl

io et si

- ’Lt

(t1 ,to).

2-u).

prévision

t, obtenue à (/’u1le rnesure

_laite

à

_to

dUline une

_prévision

certaine

pour une A à _il, on ne _pas

l’évolution ultérieure du

_système

en

_effectuant

cette

mesure. Cette condition

_peut

_s’exprimer

par :

Su

X(to,

ti, à l’etiseiïible _3:r. alors on a _pour

t > t1 :

X(to, t, ~h) - _

=

_{lu (to,}

_11,

Xo)

ou

_{xo -}

_ti)

Lorsque

cette condition sera

_remplie

l’évolution sera

dite

_régulière.

Comme nous allons le

voir,

le rôle de

cette condition est très

_important.

9 ~. Théorème de

_{groupe. - Si}

urze évol2ctian est

régulière,

à caractère

_biu7civoque

et à

_prévision:;

s

Ï1n-ples

les

_opérateurs

‘1.t

_forment

un _grouj)e.

En effet la transformation

_identique

1

_{appartient à}

l’ensemble des ~Lt

_puisque

_pour tout _to

t 0)

= 1. s

Le caractère

_biunivoque

fixe l’existence de

l’inverse,

la condition des

_prévisions

_simples

fait

_{qu’à chaque}

instant la condition d’évolution

_{régulière s’applique}

et celle-ci établit la

_propriété

du

_produit.

On

_peut

étendre ce théorème au cas des

_prévisions

virtuelles

_simples

en

_remplaçant

la condition

_2’U)

par

2~lL,’,,)

obtenue en

_{remplaçant chaque}

ensemble ,U _par

l’enselnble ae

correspondant.

Ce

_qui

nous donnera la condition d’évolution virtuellenlent

_régulière,

le théorème

_{prolongé :}

ôi une évolution est à

_prévisions

virtuelles

_simj)les

à caractère

_biunivoque

et

_{virtuellementré,gulière,}

les

_opés

rateurs ’il

_forrnent

un _grouhe.

Théorème

_{réciproque :}

Si les

_opérateurs

’IL

un _groupe, l’évolution est à caractère

_biunivoque.

à

prévisions

virtuelles

_simhles

et virtuellenlent

_régulière.

En effet l’existence d’un inverse entraîne le

carac-tère

_biunivoque.

La condition du

_produit

entraîne

l’existence pour tout to et tout

t, > to tels que ti

- ~’~1

et

t. est

le transformé

de

_aeto,

ce

_qui

sont les conditions des

_prévisions

vir-tuelles

_simples.

Enfin la condition du

_produit

entraine alors l’évolution virtuellement

_régulière.

13.

_Espace

linéaire

_(~)

_adjoint

à

_(~3’).

-

Consi-dérons

_l’espace

_{(c:-r) , (ou lorsqu’il}

existe

_l’espace

_(-le».

Adjoignons

à cet espace des éléments de manière à constituer un espace linéaire, c’est-à-dire que nous

introduirons deux

_{opérations +}

et

_{multiJ]lication}

_par

un nonlbre _a, soit a, telles que :

1° Si

_~Y~

et

X2

appartiennent

à

_(3:),

_VI

~~- appar-tient à

_{l’espace (y) ;}

2° Si X

_appartient

à

_(,U)

et si a est un nombre

algé-brique,

réel ou

complexe

suivant les cas,

appar-tient à

_l’espace

et i >1°=

_X;

3° Si

Y,

et

Y~

_{appartiennent}

à

_l’espace

_(~),

_{Yi -~-- Y.}

et a.

_Yi

_y

_{appartiennent aussi;}

4° Il existe un élément 0 et un seul de

_l’espace

_(y)

tel que si Y

appartient

à

_l’jj)

et si a est un nombre :

1

a.0=0;

o.Y=0;

311

14. Condition de différentiation. - Les

opéra-teurs

_-~-

et

_{s’appliquent}

à

_n’importe

quel

élément de l’ensemble

_qui

est transformé

en

_{X(to, t}

_{+ 3 1 ,}

et

_{-,,B(/0, t,}

La différence de ces deux

_points

est un

_point

de

(~)

soit _{Nous pouvons définir} une

trans-formation par

ce _que nous conviendrons d’écrire

Les relations

_{précédentes}

_ayant

lieu

_quelque

soit l’élément

~’o

du domaine

_opérable

nous _pouvons

défi-nir par l’écriture

précédente

une

_opération

₊

et une

opération

multiplication

par un a,

applicables

aux

_opérateurs

’IL

_qui

forment ainsi une classe linéaire. Nous pouvons alors écrire

Q t) --

~l.t (to, t -~- ~ t)

- ’tt

(to,

t),

En nous

_inspirant

des définitions de M. Frechet nous dirons que

l’opérateur

11 est différen[iable s’il existe un

opérateur

11 fonction linéaire de A t

_qui

est une valeur

approchée

de

_{Faccroissement A’11;}

d’une

façon

plus

précise

3,’Iu = 4 11

_{--~ ~ t. ~ (to, t, ~ t)}

e étant une transformation pour

_laquelle

à tout

voi-sinage

donné à l’avance

Vo

du

_point

0 de

corres-pond

un nombre r, tel que tout

point

du

domaine

_opérable

est transformé en un

_point,du

voisi-nage

Vo.

La différentielle par

rapport

à t de A

_{(to, t, xo)}

_pourra être définie de la même manière ou _{par dX = dlt[.}

_{~ o.}

Si ’iL est

_{différentiable,}

comme la différentielle est

une fonction linéaire de 6. _t, nous _{pouvons écrire}

dit dit

en

remplaçant a t

par d t.

15.

Equations

différentielles. - La classe des

opérateurs

’lL et

_{l’espace (~)}

étant linéaires on

_peut

multiplier par - 1 ,

La différentielle étant une fonction

dt

linéaire de dt on a une dérivée

Si les

_opérateurs

LU forment un groupe, on a

Or

_{’lL(t, t+ dt)}

n’est autre que la transformation

identique augmentée

d’où

en

_remplaçant

_{les aecroissements par les}

_{différentielles,}

nous avons == 3e

_(t)

~LL dt

d’où

théorème fondamental.

Î

Lorsque

l’évolution est _{telle que les}

_opérateurs

sont

différentiables

et

_forment

un _groupe

l’équation

d’évolu-lion du est déterminée _par une

_équation

diffé-rentielle linéaire du

_premier

ordre sans seconde lnembre.

De cette

_équation

différentielle entre

_opérateurs

on

passe à une

_équation

en X dans

_laquelle

l’élément

Ao

ne

_figure

_{plus :}

-

--Si les

_opérateurs

IL sont

_{différentiables,}

mais ne

forment pas un _groupe on

_peut

écrire

la loi d’évolution se trouvera déterminée

lorsqu’on

donnera les

_{opérateurs Je}

et _{iF. Nous pouvons passer de}

là à une

_équation

_{pour les X :}

En

_posant

_{-"B0) -- 5 (t,,}

_{t) , ay.}

Lorsque

la classe des

_opérateurs

~Lt constitue un

espace distanciable tout

opérateur

il continu

_peut

en

vertu d’un théorème de M. Frechet être obtenu comme

la double limite d’une suite de

_polynômes,

c’est-à-dire de fonctions clifférentiables et dans un certain nombre

de cas cette double limite

peut

se ramener à une

_simple

limite. Par

conséquent

des

prévisions

faites pour un

intervalle de

_temps

fini

_peuvent

_{toujours s’approcher}

par des

prévisions

calculées avec un

_opérateur

diffé-rentiable.

_(Mais

_{la convergence n’est pas} en

_générale

uniforme).

La condition de différentiation n’introduira donc

pas le

_plus

souvent au

_point

de vue

_physique

de restrictions sensibles.

Conclusion. - Nous sommes _{donc parvenus} aux

résultats suivants :

1° Nous avons

_dégagé

les conditions

_auxquelles

toute théorie de l’évolution doit satisfaire et nous avons

mis sous une forme

_axiomatique

cette théorie

_générale

de

l’évolution

_qui

nous semble tout à fait convenable pour les discussions ultérieures.

~° Nous avons examiné des conditions

supplémen-taires

_qu’on

peut

imposer

aux lois d’évolution et les

conséquences

fondamentales

_qui

en résultent. C’est ainsi que si les

opérateurs

d’évolution sont

différen-tiables,

l’évolution est

régie

par une

_équation

différen-tielle abstraite du

_premier

ordre. D’autre

_part

si les évolutions sont à

_prévisions

virtuelles

_simples,

à

carac-tère

_biunivoque

et virtuellement

_{régulières,}

les

opéra-teurs 1.1 forment un groupe et

réciproquement: Indiquons

comme

exemple

_{que dans toute}

mécanique

_ondulatoire,

sauf dans les

_problèmes

de sources, ainsi que dans la théorie du mouvement

_Brownien,

les

_opérateurs

d’évo-lution forment un _{groupe et sont} différenciables. De

_plus

en

_mécanique

ondulatoire en l’absence d’actions exté-rieures

_dépendant

du

_temps

les évolutions sont réver-sibles. Ce travail nous servira de

base,

pour discuter dans un

_prochain

article la condition de conservation de

_l’énergie

et _{pour démontrer}

_qu’on

_peut

édifier une

mécanique

ondulatoire relativiste des

systèmes.