Epreuve 1

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Epreuve 1

^{M : Zribi}

4^ème Maths Révision

08/09

Révision

¹

Exercice 1:

le plan P est rapporté à un repère orthonormé; E l'ensemble des points M d'affixes z tels que

|z-i|+|z+1|=2.

1/ montrer que E est un ellipse dont on précisera les foyers et la longueur du grand axe.

2/ déterminer les coordonnées des sommets de l'ellipse E.

Exercice 2:

L'objectif est d'étudier la suite (u_n) définie pour tout entier n  0 par :

 

 ₀¹

0 2 dx

x 1

u 1 et, pour n  1, dx

x 1 u ₀¹ x

2 n

n 

  .

1/ a) Soit f la fonction numérique définie sur [ 0 ; 1 ] par : ).

x 1 x ln(

) x (

f    ² Calculer la dérivée f ' de f. En déduire u0 . b) Calculer u1.

2/ a) Prouver que la suite (u_n) est décroissante (on ne cherchera pas à calculer un).

En déduire que la suite (un) est convergente.

b) Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 ; 1], on a : 1 

1x2  2.

En déduire que, pour tout entier n  1, on a :

(1) n 1

u 1 2 ) 1 n (

1

n  

  .

Déterminer la limite de (un).

3/ Pour tout entier n  3, on pose : I_n ₀¹xⁿ^² 1x²dx. a) Vérifier que, pour tout entier n  3, on a : un + u_n2 = In.

Par une intégration par parties portant sur In, montrer que, pour tout entier n  3, on a : nun + (n  1) un 2 = 2 .

b) En déduire que, pour tout entier n  3, on a : (2) (2n  1)un  2.

c) À l'aide des inégalités (1) et (2), montrer que la suite (nu_n) est convergente et calculer sa limite.

Exercice 3:

soit ABC un triangle isocèle directe de sommet principal A; on construit à l'extérieur de ce triangle les carrés ACDE et ABFG de centres respectifs O et O'. R la rotation de centre A et d’angle

2



1/ a)déterminer R([CE])

démontrer que CG=BE; en déduire qu'il existe un unique déplacement f qui envoie C en B et G en E.

b) vérifier que f est une rotation et construisez son centre w.

2/ soit g= S(Aw) o f; déterminer la nature de g et donner sa forme réduite.

3/ a) vérifier que AD=AF; en déduire qu'il existe un unique antidéplacement h qui envoie A en F et D en A.

b) démontrer que h n'a pas de points fixes.

c) donner la forme réduite de h.

4/ soit S la similitude directe qui envoie C en D et G en F.

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²

a) déterminer l'angle de S.

b) déterminer S((AC)) et S((AG)).

c) En déduire la forme réduite de S.

5/ soit  la similitude indirecte de centre C qui envoie A en O et  =S o .

Déterminer la nature et les élément caractéristiques de .

Exercice 4

1/ soit f la fonction définie sur IR par f(x)=

e 1 e 1

x 2



 .

On désigne par  sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

a) montrer que f est impaire.

b) étudier les variations de f.

c) écrire une équations de la tangente ∆ à  au point d'abscisse 0.

d) montrer que pour tout réel t : 0< f '(t) ≤1.

déduire que pour tout réel positif x on a f(x) ≤ x; et que pour tout réel x négatif on a : f(x)

≥ x.

e) construire  et ∆.

f) calculer I=^Log²

0

dx ) x (

f .

2/ a) montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle que l'on précisera.

b) vérifier que pour tout réel x, on a f '(x)=1-(f(x))².

c) montrer que f ^-1 est dérivable sur ]-1,1[ et que (f ^-1)'(x)=

)² x 1 (

1

 . d) montrer que pour tout x]-1,1[ (f ^-1)(x)= )

x 1

x (1 2Log 1



 .

e) calculer alors J= 

2 1

0

² dx x 1

1 .

f) à l'aide d'une intégration par parties, calculer ² ^

1

0

1(x)dx

f .

Exercice 5:

le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct.

Soit f l'application du plan dans lui-même qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z'=(1+i)z+1-i.

Soit I le point d'affixe 1+i et r la rotation de centre I et d'angle 4

 . 1/ a) déterminer la nature de f et sa forme réduite.

b) soit J le point d'affixe 1, g la similitude directe de rapport 2 , d'angle 4 3

et de centre J. écrire la forme complexe de g.

a) Montrer que f o g est une homothétie que l'on caractérisera.

2/ soit s l'application de P dans P qui a tout point M d'affixe associe le point M' d'affixe z'=iz.

a) montrer que s est une isométrie.

b) Montrer que s est la symétrie orthogonale d'axe ∆: y=x.

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³

3/ soit  =s o f.

a) montrer que r= s o s' ou s' est une symétrie orthogonale d'axe ∆' que l'on précisera.

b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de .