Devoir surveillé n°2

Devoir surveillé n°02 –1

S –Vendredi 04 novembre 2016

Nom : Prénom :

Compétences Acquis En cours

d’acquisition

Non acquis Etudier les variations d’une fonction

Déterminer l’équation d’une droite

Déterminer les coordonnées d’un point d’intersection de 2 droites Déterminer un vecteur directeur et un point à l’aide de l’équation cartésienne d’une droite.

étudier la colinéarité de deux vecteurs Décomposer un vecteur

Barème Ex 1 : 7 points Ex 2 : 3.5 points Ex 3 : 6.25 points Ex 4 : 3.25 points Total : 20 points Notes

SUJET A INSERER DANS LA COPIE

Exercice n°1 :

On considère la fonction g définie sur ℝ / {−1} par (𝑥) = ^2𝑥+3

𝑥+1 , dont la courbe 𝐶_𝑔 est représentée si dessous

Exercice n°4 :

Partie 3 :

Soit la droite D d’équation cartésienne−3𝑥 + 3𝑦 −⁹

2= 0

1. Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur et d’un point de D.

2. Tracer la droite D sur le graphique ci-dessus.

3.

Partie 1 :

1. Démontrer que pour tout réel de ℝ / {-1}

𝑔(𝑥) = 2 + ¹

𝑥+1 .

2. Etudier les variations de la fonction g sur ] − 1 ; +∞ [et sur] − ∞ ; −1[.

Partie 2 :

1. 𝐶_𝑔 coupe l’axe des ordonnées en A et l’axe des abscisses en B. Déterminer par calcul les coordonnées des points A et B.

2. Le point C est le point de 𝐶_𝑔 𝑑’𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑒 − 2.

Calculer son ordonnée.

3. Déterminer les coordonnées de E, milieu de [AC].

4. On note 𝐶_ℎ le point d’abscisse −1 − ℎ et et 𝐴_ℎ le point d’abscisse −1 + ℎ avec h un réel positif.

Démontrer que pour tout réel h, E est le milieu du segment [Ah ; Ch].

C

2 -1

-2 -3 -4

2 3 4 5 6

-1 -2 -3

0 1

1

x y

Exercice n°2 :

Exercice n°3

dans le repère (A, AB⃗⃗⃗⃗⃗ , AC⃗⃗⃗⃗⃗ )

Exercice n°4 :

ABCD est un carré de côté 4. Le point M appartient à [AB] et le segment [CM] coupe le cercle de centre C passant par B en M’.

On définit la fonction f qui à BM associe MM’.

1. On pose x=BM . Déterminer MC en fonction de x 2. Démontrer que 𝑓(𝑥) = √𝑥² + 16 − 4

3. Etudier le sens de variation de la fonction f sur [0 ;4].

4. Déterminer la position du point M pour que MM’ ≥ 1.

ABCD est un parallélogramme. Le point I est le milieu du segment [AB] et le point J est le milieu du segment [AD].

Les droites (DI) et (BJ) se coupent en un point K.

Vous compléterez la figure ci-contre au fur et à mesure.

On se place dans le repère (A, AB⃗⃗⃗⃗⃗ , AD⃗⃗⃗⃗⃗ )

1. Déterminez les coordonnées des points A, B, C, D, I et J dans le repère (A, AB⃗⃗⃗⃗⃗ , AD⃗⃗⃗⃗⃗ ).

2. Déterminer une équation de chacune des droites (DI) et (BJ) .

3. En déduire les coordonnées du point K.

4. On admet que 𝐾( ¹

3 ; ¹

3 ).

Que peut-on dire des points A , K et C ? Démontrer votre conjecture.

5. Soit F le point tel que AF⃗⃗⃗⃗⃗ = −2AD⃗⃗⃗⃗⃗ + AK⃗⃗⃗⃗⃗

a) Placer le point F

b) Déterminer les coordonnées du point F.

c) Démontrer que les droites (AD) et (FK) sont parallèles.

On considère un triangle ABC non aplati. Le point I est le milieu du segment [AC] et les point G et H sont définis par :

AG⃗⃗⃗⃗⃗ = 2AB⃗⃗⃗⃗⃗ − ¹

2 AC⃗⃗⃗⃗⃗ et BH⃗⃗⃗⃗⃗ = − ¹

3 BC⃗⃗⃗⃗⃗ .

1. Placer les points I, G et H sur la figure ci-contre.

2. Quelle conjecture peut-on émettre quant aux points A, G et H ?

3. Exprimer les vecteurs GB⃗⃗⃗⃗⃗ et BI⃗⃗⃗ en fonction des vecteurs AB⃗⃗⃗⃗⃗ et AC⃗⃗⃗⃗⃗ .Que représente le point B pour le segment [IG] ?

4. Démontrer la conjecture émise dans la deuxième question.