Orsay 2008-2009 IFIPS S2 Math´ematiques (M160).
Fiche de TD num´ero 5bis. Th´eor`eme Noyau-Image. Matrices inversibles.
Exercice 1
On consid`ere l’application lin´eairef :R4 →R4 d´efinie parf(x, y, z, t) = (3x+ 4y+ 2z+t, x+ 2y−z− t,−x−y+ 3z+ 2t,2x−y+t). Soit Ala matrice def dans la base canonique.
(a) D´eterminer A.
(b) Montrer que l’image de la suite ((1,0,1,−1),(0,−1,1,−2)) est li´ee. En d´eduire que f n’est pas injective. L’application f est-elle surjective ?
(c) Le deuxi`eme vecteur-colonne est-il combinaison lin´eaire des troisi`eme et quatri`eme vecteurs-colonnes
? En d´eduire rg(f). Le premier vecteur colonne est-il combinaison lin´eaire des trois suivants ?
(d) Trouver une matrice ligne Ltelle que LA= 0, et en d´eduire une ´equation cart´esienne de Im(f).
Exercice 2
Soitf :R4 →R3l’application lin´eaire d´efinie parf(x, y, z, t) = (x+2y+3z+4t,−2x−y+t, x−y−3z−5t).
(a) Donner une base de Im(f). Quelle est la dimension de Ker(f) ? En donner une base.
(b) Donner une ´equation lianta, b, cqui soit satisfaite si et seulement si l’´equation f(x, y, z, t) = (a, b, c) admet une solution. Combien l’´equationf(u) = (1,1,2) a t-elle de solution? et l’´equationf(u) = (1,1,−2)?
(c) Soit E = Vect(u1 = (1,0,1,0), u2 = (0,1,0,1). V´erifier que E∩Ker(f) = {0} et en d´eduire que E⊕Ker(f) =R4. Comparerf(E) et Im(f).
(d) Lorsque (a, b, c)∈Im(f) montrer que le probl`eme f(x, y, z, t) = (a, b, c),(x, y, z, t)∈E
admet une unique solution. R´esoudre le probl`eme f(x, y, z, t) = (1,1,−2),(x, y, z, t)∈E
Exercice 3 Matrice inversible, calcul de l’inverse.
On consid`ere les matrice :
A=
1 −1 1 0
1 2 0 −1
0 1 −1 2
2 −1 1 0
, X=
x y z t
, Y =
a b c d
En r´esolvant l’´equation matricielle AX = Y (`a l’inconnue X, et pour n’importe quelle valeur des param`etresa, b, c, d), montrer que la matrice carr´eeAde taille 4 est inversible et donner son inverse.
En trouvant des combinaisons lin´eaires des vecteurs colonnes qui donnent les vecteurs de base canonique, retrouverA−1.
Exercice 4 Matrices de passage.
On note Bla base canonique de R3.
(a) Montrer queB0= (u1 = (−1,2,3), u2= (1,−1,1), u3= (−1,1,−2)) est une base deR3. D´eterminer la matrice de passageP deB `a B0.
(b) Soitu= 2u1−3u2+ 5u3. Quel calcul matriciel permet de d´eterminer les composantes x, y, z de u? Donnerx, y, z.
(c) On poseE = Vect(u1, u2). A quelle condition sury1, y2, y3le vecteury1u1+y2u2+y3u3appartient-il
`
a E ? Donner une ´equation cart´esienne deE.
(d) Soit f :R3 →R3 l’application lin´eaire dont la matrice dans la base canonique est
A=
6 4 −1
−5 −3 1
10 8 −1
On poseA0 = Mat(f,B0).
Quelle formule utilisantP, P−1 etApermet de calculer A0 ? D´eterminerA0 puis calculer A×A.
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