Mathématique ECS 1 8 oct. 2018
Travaux dirigés.
Exercice 1. Soitnun entier non nul. Calculer la sommeS = 1 + 11 + 111 +· · ·+ 11111. . .11
| {z }
nchiffres
Exercice 2. Soitnun entier non nul etx∈R. Simplifier la sommeS=
n
X
k=1
kxk−1.La formule obtenue est-elle valable pour x∈C?
Exercice 3(Suite de Fibonacci). La suite de Fibonacci est définie paru0= 0, u1= 1et pour toutn∈N, un+2=un+1+un. Montrer, pour tout entiern≥1, les égalités suivantes :
(1) un+2=
n
X
k=0
uk
! + 1;
(2) u2n+2=
n
X
k=1
u2k+1
!
;
(3) u2n−2+ 1 =
2n−1
X
k=1
(−1)k−1uk;
(4) unun+1=
n
X
k=1
u2k.
(5) Simplifier la somme
n+1
X
k=1
uk+1
ukuk+2
.
Exercice 4 ( Transformation d’Abel). Soient (an)n∈N et (bn)n∈N deux suites réelles. Pour tout entier n ∈ N, on pose An=
n
X
k=0
ak. Montrer que
n
X
k=0
akbk=
n−1
X
k=0
Ak(bk−bk+1)
!
+Anbn.
Exercice 5(Inégalité arithmético-géométrique). Soientn∈N∗ etx1, x2, . . . , xn des réels strictement positifs. L’objectif de l’exercice est de démontrerl’inégalité arithmético-géométrique :
n
Y
k=1
xk
!n1
≤ 1 n
n
X
k=1
xk
(1) Montrer que pour tout réelx >0,lnx≤x−1.
(2) On posem= 1 n
n
X
k=1
xk. Montrer que
n
X
k=1
xk
m −1
= 0.
(3) En déduire que
n
X
k=1
lnxk
m
≤0 et conclure.
1
