Le corrigé de l’épreuve commune niveau troisième

(1)

Année Scolaire 2010-2011 Page 1

Le corrigé de l’épreuve commune niveau troisième

Exercice 1 : (4,5 points)

1. En faisant apparaître les différentes étapes de calcul, écrire A et B sous la forme d’une fraction irréductible. 1 pt + 1.5 pt

12 1

12 11 12 12

12 1 11

12 3 12 1 8













 



 



 A

12 5

6 5 2 1 5 6 2 1

5 1 5 5

2 5 2 6

5 1 1

2 3 5

















 B

2. Calculer les quatre cinquièmes de . 1 pt

On appellera C le résultat donné sous forme irréductible.

2 5

2 4 5

5 5 4

8 25 5 4















 



 C

3. Montrer que la somme A+B+C est un nombre entier. 1 pt

12 3 36 12 30 12

6

2 5 12

5 12

1













B C A

Exercice 2 : (4 points)

1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible : 1.5 pt

(2)

Année Scolaire 2010-2011 Page 2 5

9 5 3

9 3 15 27

15 50 81 4

15 50 15 81 15

4

3 10 5 27 15

4

3 10 5 3 9 15

4



 















 



















 A

2. Donner l’écriture décimale, puis l’écriture scientifique de C. 1 pt + 0.5

ue scientifiq écriture

décimale écriture

C















 



 



 

 

 



 

 



 



 



 







2 3

3 1

2

1 1 1

1 1

3 2

3 4 1 1

3 2

3 4

10 6 , 1

016 , 0

10 16

17 10 13

4 17 4 13

10 1 10 17 13

68 52

10 10 10

17 13

10 10 68 52

10 10 170

13

10 68 10 52

10 10

10 10 170 13

8 , 6 2 , 5

3. Calculer D, PGCD des nombres 1995 et 418. 1 pt On utilise l’algorithme d’Euclide par exemple.

(3)

2 19 38

19 2 38 95

38 3 95 323

95 1 323 418

323 4 418 1995

































nul non reste dernier Le

D’après l’algorithme d’Euclide le PGCD (1995 ; 418)=19

Exercice 3 (4,5 points)

Compléter le tableau ci-après. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible. En particulier, les fractions seront irréductibles. 1.5 pt par ligne

a b c a+b-c a×(b+c)

-3 2 7 -8 -27 -17/14

-13/30 2/15 -37/18

0,001 0,01 0,1 -0,089 0,00011 0,2

Exercice 4 (2 points)

Montrer en détaillant les calculs, que B = C. 2 pts

(4)

20 1 4 3 5 4 1 3 5

4 1

3 1 3 6 2 1

3 2 1

2







 



 





  B

3 20

10 10 3 20

10 10 3

5 4

10 3

10 10 5 4

5 5

5 7 2







 





 





C

Donc A = B

1. Montrer que le PGCD des nombres 372 et 775 est égal à 31.

Ecrire les calculs. 1 pt

On utilise l’algorithme d’Euclide 0

12 31 372

31 2 372 775













 Ledernierrestenonnul

Donc le PGCD (775 ; 372)=31

2. Un chef d’orchestre fait répéter 372 choristes hommes et 775 choristes femmes pour un concert. Il veut faire des groupes de répétition de sorte que :

Le nombre de choristes femmes soit le même dans chaque groupe ; Le nombre de choristes hommes soit le même dans chaque groupe ; Chaque choriste appartienne à un groupe.

a) Quel nombre maximal de groupes pourra-t-il faire ? 1 pt

Le nombre de groupes que le chef d’orchestre peut former doit être un diviseur commun de 775 et 372.

Comme il est demandé le nombre maximal de groupes. Il suffit de prendre le PGCD (775 ; 372) = 31

Il peut former au maximum 31 groupes.

b) Combien y aura-t-il alors de choristes hommes et de choristes femmes dans chaque groupe ? 0.5 + 0.5

(5)

Année Scolaire 2010-2011 Page 5

 Le nombre de choristes femmes dans chaque groupe est : 25 25

31 775 

 Le nombre de choristes hommes dans chaque groupe est : 12 12

31 372 

Exercice 7 : (4 points)

Répondre aux questions en utilisant le tableau statistique ci-après sur la population.

Les effectifs de ce tableau sont arrondis au millier.

1. La population martiniquaise a-t-elle augmenté de 2001 à 2002 ? Et celle de femmes martiniquaises ? 1 pt (0.5 + 0.5)

Entre 2001 et 2002.

 La population martiniquaise a augmenté de 2000 individus

 Celle des femmes martiniquaises a diminuée de 1000 femmes.

2. Combien y avait-il de femmes de moins de 20 ans en Martinique en 2002 ? 0.5pt Combien y avait-il d’hommes de moins de 60 ans en Martinique en 2001 ? 0.5 pt

 En 2002 le nombre de femmes de moins de 20 ans en Martinique est : 58 000

 En 2001 le nombre d’hommes de moins de 60 ans en Martinique est : 57 000 + 53 000 + 43 000 = 153 000

3. Quel pourcentage de la population martiniquaise représentaient les personnes de 75 ans et plus en 2001 ? (Arrondir le résultat au dixième.) 1.5 pt + 0.5

L’effectif de la population

martiniquaise en 2001 386 000 100 L’effectif des personnes

qui ont 75 ans et plus 21 000 x

Il s’agit d’un tableau de proportionnalité.

Donc 5,4

386 100 2100 000

386 000

21   



x %

4. Peut-on dire que, en 2002, la population métropolitaine est plus de 150 fois plus importante que celle de la Martinique ? 0.5 pt

(6)

9 , 000 152

388 000 342

59  

La population métropolitaine est plus de 150 fois plus importante que celle de la Martinique.

Estimations de population par sexe et par âge au 1^er janvier

Martinique Martinique France

Métropolitaine

2001 2002 2002

Ensemble 386 388 59 342

0-19 ans 118 118 14 988

30-39 ans 112 110 16 371

40-59 ans 93 96 15 758

60-74 ans 42 43 7 727

75 ans et plus 21 22 4 499

Hommes 180 183 28 830

0-19 ans 57 59 7 666

20-39 ans 53 51 8 191

40-59 ans 43 45 7 796

60-74 ans 19 19 3 564

75 ans et plus 8 8 1 613

Femmes 206 205 30 512

0-19 ans 61 58 7 322

20-39 ans 59 58 8 179

40-59 ans 50 52 7 692

60-74 ans 23 23 4 163

75 ans et plus 13 13 2 886

Source : INSEE – Estimations localisées de population.

Les effectifs de ce tableau sont arrondis au millier.

Rappels :

Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.

Propriété : La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points situés à égale distance de ses extrémités.

1. Construction d’une figure géométrique :

Soit (C) un cercle de centre O et de rayon 4 cm.

(7)

Année Scolaire 2010-2011 Page 7 a) Construire le cercle (C). 0.5 pt

b) Placer un point B sur ce cercle. 0.25 pt c) Construire le segment [OB] 0.25 pt

d) Placer le point H milieu du segment [OB] 0.5 pt e) Construire la médiatrice du segment [OB]. 1 pt

f) Soit A un point d’intersection de la médiatrice avec le cercle (C). 0.5 pt

2. Démonstration :

Justifier les égalités suivantes : a) OA = OB 0.5 pt

A et B sont deux points du cercle C, ils sont situés à 4 cm du point O.

Donc OA = OB = 4 cm.

b) OA = AB 1 pt

A est un point de la médiatrice du segment [OB], d’après la propriété ci-dessus A est situé à égale distance des extrémités O et B.

H B

A

(8)

Année Scolaire 2010-2011 Page 8 Donc OA = AB.

c) En déduire OA = OB = AB 0.5 pt









) '

b après D AB

OA et

a après D OB

OA

Donc OBOA AB

d) Quelle est la nature du triangle OAB. 1 pt

OAB est un triangle équilatéral, car ses trois côtés ont la même longueur.

B A

H