Douala Mathematical Society : www.doualamaths.net

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2017

1 Douala Mathematical Society : www.doualamaths.net Baccalauréat C 1985 – Cameroun

Ministère des Enseignements Secondaires Examen : Baccalauréat Session : 1985 Office du Baccalauréat du Cameroun Série : C

Epreuve : Mathématiques Durée : 4 heures

Coefficient : 4

Exercice 1 :

1. On considère la fonction g de ^ℝ dans ^ℝ définie par :

( )

^{1 1}

g x Log x

= +x +

a) Etudier la variation deg. (on ne demande pas de tracer sa courbe représentative)

b) Montrer que l’équation ^{g x}

( )

⁼⁰ admet dans ^ℝ une solution unique l’on déterminera.

2. Soit la fonction f de ^ℝ dans ^ℝ définie par :

( ) (

¹

)

^x

f x = +Log x e , Et

( )

^C sa courbe représentative dans un plan rapporté a un repère

(

^{o i j, ,}

)

, (unité sur les axes = 2cm)

a) Etudier les variations de f

b) Déterminer les points d’intersection de

( )

^C avec l’axe x ox'

c) Donner une équation cartésienne de la tangente

( )

^{T à}

( )

^C au point d’abscisse 1 et tracer

( )

^{T .}

d) Tracer avec soin la courbe

( )

^C

Exercice N°2

Soit _a un entier naturel et X un nombre qui s’écrit 1335dans la base _a. 1. Donner son écriture dans la base

(

^a+1

)

2. Déterminer a sachant que ce nombre écrit dans la base dix est inférieur ou égal à 500

Problème

Dans ce problème, E est espace affine associé à un espace vectoriel Ede dimension 2 ou 3, et ρ est une application affine de Edans E dont

l’endomorphisme associé est f

On pose^{F =}

{

^{u∈E f u;}

( )

^=u

}

^{. Si h}est un endomorphisme deE, kerhet Imh désignent le noyau et l’image de h

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PREMIERE PARTIE

Soit g un endomorphisme deE

Img Définie par : ^{∀ ∈u G,θ}

( )

^{u =g u}

( )

a) Montrer queθ est une application linéaire bijective de G dans Img b) En déduire une relation entre dim

(

^Img

)

^{et dimG} ? et conclure que

( ) ( )

dim kerh +dim Img =dimE

2. a) montrer que : ^ker

(

gog

)

⊂^kerg ⇔^Img∩^kerg=

{ }

oE

b) Montrer que : ^ker

(

^gog

)

^{⊂kerg ⇔ =E kerg⊕Img}

(On rappelle que si U et V sont deux sous-espaces d’un même espace vectoriel réel E de dimension finie, alors ^{dimU +dimV −dim}

(

^{U ∩V}

)

^=dim

(

^{U +V}

)

DEUXIEME PARTIE

On poseg = −f Id_E et on suppose que^ker

(

^gog

)

^⊂kerg.

A. On se propose de démontrer qu’il existe une application affine ψ et E dans E admettant à au moins un point invariant, et une translation de vecteur W W, appartenant àF, telles que ρ =t_w ψ = Ψ t_w soit A un point de E

1. a) montrer que ^∃

(

^{u x,}

)

^{∈ ×E E/ p A A u}

( )

^{= + f x}

( )

^−x

b) montrer que : ^∃!

(

^{u v,}

)

^{∈ker Im /g x g p A A u}

( )

^{= +v}

c) montrer que u∈F

2. un tel couple

(

^{u x,}

)

étant choisi, on pose

( )

B→x A où

x

B→ est la translation de E de vecteur x

a) montrer que^Bρ

( )

^{B = Aρ}

( )

^{A + f AB}

( )

^{− AB}

En déduire que ^Bρ

( )

^{B = −u est que Bρ}

( )

^B appartient àF.

b) Montrer que l’application affine ψ ^{de E dans E} telle que ψ =t_u ρ admet un point B comme invariant et que son endomorphisme associé est £

c) Montrer que^ρ

( )

^B appartient à l’ensemble des point invariants par ψ . d) On poseW = −u. Montrer que ρ=t_W ψ ψ= t_W

B. On se propose de démontrer que cette décomposition est unique. Soit S₁ et S₂ deux vecteurs deF, ψ et ψ' deux applications affines de E dans E admettent au moins un point invariant et telle que

1 2

S S

t t

ρ = ψ = ψ′. On pose a=S₁−S₂

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1. Montrer que a∈F,ψ'=t_a ψ et que ψ ^et ψ^' ont même endomorphisme associé F

2. a) soit P un point invariant par ψ on pose Q=ta

( )

p Montrer que Q est invariant par ψ'

b) montrer que ^{ψ '}

( )

^{P =Q}

3. on désigne par K un point invariable par ψ' a) montrer que ^{f KP}

( )

^{= KQ et g KP}

( )

^=a

b) en déduire que a∈kerg∩Img ; S₁ =S₂. Et ψ ψ= ' Troisième partie

Soit E un plan affine euclidien, associé au plan vectoriel ^{E o j,}

( )

^, un repère

orthonormé de E et ρ l’application de E dans E dans qui à tout^{M x y}

(

^,

)

^associe

le ^{M '}

(

^{x y', '}

)

^{tel que}

3 4 8

' 5 5 5

4 3 9

' 5 5 5

x x y

y x y

 = + +



 = − +



1. montrer que ρ n’admet pas de point invariant.

2. On désigne par f l’endomorphisme associé à ρ et on pose g = −f Id_E et

{

^;

( ) }

f u∈E f u =u .

a) Montrer queE=kerg⊕Img.

b) En déduire qu’il existe un unique W appartenant à F est une unique application affine ψ de E dans E , admettant a moins un point invariant, tels que

W W

t t

ρ = ψ ψ= .

c) DéterminerW . (on exprimera ^ρ

( )

^{O O} comme somme de deux vecteurs dont l’un appartient à ker f et l’autre àImg)

d) Montrer que ψ est un symétrique orthogonal dont on précisera l’axe.

NB : chacune des parties peut être traitée en admettant les résultats des parties précédentes.