DOUALA MATHEMATICAL SOCIETY
EXERCICE CORRIGE : Isométries
EXERCICE N◦8
Soit ABCD un trapèze isocèle de grande base [AB],H etK les projetés orthogonaux de D etC sur(AB), J le milieu de [AB]etI le milieu de[AK]. On désigne par∆la médiatrice de[AB]et pat ∆0 la médiatrice de [AK]
❶
Montrer que −→ IJ= 12
−−→AH. En déduire que t−−→
AH =S∆◦S∆0
❷
On pose f =S∆◦t−−→AD. Déterminer la narure et la forme réduite de f.CORRIGE
❶
On a :−→AJ = 1 2
−−→AB (1)
−→AI = 1 2
−−→AK ⇒−→
IA= 1 2
−−→KA (2)
En faisant la somme (1) et (2), on a−→
IA+−→
AJ = 1 2(−−→
KA+−−→
AB) = 1 2
−−→KB c'est à dire−→
IJ = 1 2
−−→KB = 1 2
−−→AH Déduisons quet−−→
AH =S∆◦S∆0
∆ =t−→
IJ(∆0)⇒S∆◦S∆0 =t2−→ IJ =t−−→
AH
❷
On pose f =S∆◦t−−→AD
On a : −−→
AD=−−→
AH+−−→
HD ⇒t−−→
AD =t−−→
AH+−−→
HD=t−−→
AH◦t−−→
HD =S∆◦S∆0◦t−−→
Donc HD
f =S∆◦t−−→
AD = S∆◦S∆◦S∆0◦t−−→
HD
= S∆0◦t−−→
HD
Conclusionf est la symétrie glissée d'axe∆0 et de vecteur−−→
HD
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