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20171 Douala Mathematical Society : www.doualamaths.net Baccalauréat C 1986 – Cameroun
Ministère des Enseignements Secondaires Examen : Baccalauréat Session : 1986 Office du Baccalauréat du Cameroun Série : C
Epreuve : Mathématiques Durée : 4 heures
Coefficient : 4
Exercice 1 :
Calculer les intégrales suivantes
2 2 0
sin 1 cos
I x dx
x
π
=
∫
+ et 021 cosJ dx
x
π
=
∫
+En déduire la valeur de l’intégrale k :
2 2 0
cos 1 cos
x dx x
π
∫
+ Exercice 2Dans un plan affine euclidien orientéP, rapporté à un repère orthonormé direct
(
o i j, ,)
, on considère la courbe d’équation : 4x2 + y2 −8 2x=0( )
E1. Quelle est la nature de
( )
E ? Déterminer ses éléments caractéristiques (centre, axe, excentricité).2. Soit f l’application affine de P dans P qui, au point M de coordonnées
(
x y,)
Associe le point M′ de coordonnées
(
x y′ ′,)
telle que3 1
2 2
1 3
2 2
x x y
y x y
′ = −
′ = − +
Montrer que f est une application bijective et déterminer l’application réciproque f−1
3. a) soit
( )
C le cercle de centreI( )
1,1 , passant par 0 Déterminer une équation de l’image de( )
Γ de( )
C par fb) soit rla rotation de centre 0 et d’angle 4
−π
Déterminer une équation de l’image de
( )
Γ par rEn déduire la nature de
( )
Γ et ses éléments caractéristiques Faire une figure soignée des courbes( )
E ,( )
C et( )
Γ .Douala Mathematical Society : www.doualamaths.net
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Problème
n étant un entier naturel strictement positif, on considère la fonction fn de ℝ dans ℝ définie par :
( )
( ) (
1)
nn
f x Logx
x
= + , où Log désigne le logarithme népérien.
Soit
( )
Cn la courbe représentative de fn dans un plan rapporté à un repère orthonormé(
o i j, ,)
(unité = 4cm)A. 1- Etudier la fonction f1
2. Montrer que
( )
C1 admet un point d’inflexion et déterminer la tangente à( )
C1en ce point. Tracer la courbe
( )
C1On déterminera en particulier le point d’intersection de
( )
C1 avec l’axe des abscisses et on placera le point d’abscisse x=e et le point d’inflexion.B. 2 dans cette partie, on suppose n≥2
1. a) étudier en distinguant les cas n paire, n impaire, la limite à droite de fn en 0 b) démontrer que
( )
lim 0
n x
Log
→+∞ x = (on pourra poser
(
x=tn)
. En déduire la limite fn quandx→ +∞.2. Etudier les variations de fn . on distinguera les cas n pair et n impair
3. a) Montrer que les courbes
( )
Cn sont toute tangentes en un même point A à l’axe des abscisses, et passent toutes par un autre point B dont on déterminera les coordonnées.b) En utilisant les résultats de B-2, dresser les tableaux de variation de f2 et f3 préciser les positions relatives de
( )
C2 et de( )
C3 , puis tracer un autre graphique que( )
C1 , les arcs de( )
C2 et( )
C3 correspondant àx∈] [
0, 4 . On déterminera les tangentes B à( )
C2 et( )
C3 , et les points de ces courbe d’abscisse x=e4. Calculer l’aire du domaine plan défini par
( )
1 1
6
0 n
x
y f x
≤ ≤
≤ ≤
Quelle est la limite de cette aire quand n→ +∞ ?
C. Soit
( )
Un et( )
Vn les suites définies respectivement par :( )
0
1 9
, n n
U e
n U + f U
=
∀ ∈ =
ℝ et
( )
0
1 9
4
, n n
V
n V + f V
=
∀ ∈ =
ℝ
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1. En utilisant l’étude des variations de f9, montrer par récurrence que : 2. Pour tout entier n U, n et Vn appartiennent à e e, 2.
b)
( )
Un est une suite croissante et( )
Vn une suite décroissante.c) Pour tout entiern V, n >Un.
En déduire que les suites Un et
( )
Vn sont des Suites convergente, dont on donnera les limites respectives l et l′.2. a) montrer que, sure e, 2, f9′ est une fonction strictement décroissante. En déduire que∀ ∈n ℝe e, 2, 0≤ f9′
( )
x ≤4e−2b) démontrer que : 1
( )
1
, n 9
n
V
n n U
n V U − f t dt
−
∀ ∈ℝ − =
∫
′ En déduire que Vn −Un ≤(
4e−2)
n(
4−e)
.Que peut-on en déduire pour l et l′?
On donne les valeurs approchées suivantes :
x -0 -1 1
2
− 1
2
1 2
ex 0,14 0,37 0,61 1,65 2,72 7,39 2 0,70
Log ≅
