Formulaire – Primitives

FORMULAIRE ALPHABET GREC

Formulaire – Alphabet grec

Nom Minuscule Majuscule

alpha _α A

beta _β B

gamma _γ Γ

delta _δ ∆

epsilon _ε E

zéta _ζ Z

éta _η H

théta _θ Θ

iota _ι I

kappa _κ K

lambda _λ Λ

mu _µ M

nu _ν N

xi _ξ Ξ

omicron o O

pi _π Π

rho _ρ P

sigma _σ Σ

tau _τ T

upsilon _υ Υ

phi _ϕ(ou_ϕ) Φ

khi _χ X

psi _ψ Ψ

omega _ω Ω

PUISSANCES FORMULAIRE

Formulaire – Puissances

Définitions

x _α Définition Exemple

C N ^xα=x×x× · · · ×x

| {z }

αfois

(1+i)³=(1+i)×(1+i)×(1+i)

C^? Z^?₋ ^xα= 1 x^−α=1

x×1

x× · · · ×1 x

| {z }

−αfois

(1+i)⁻³= 1 1+i× 1

1+i× 1 1+i

R^?₊ R ^xα=e^α×ln(x) 3^π=e^π×ln(3)

Par convention, pour toutx∈R^,x0=1 et 0⁰=1.

Remarque: On pourrait étendre la notationx^αavec_α∈C^etx∈R^?₊^{en posantxα}=e^α×ln(x).

Opérations

Soient (x,y)∈C^{2 et (}α,_β)∈R². Sous réserve d’existence des expressions suivantes, on a : (x×y)^α = x^α×y^α,

x^−α = 1 x^α, µx

y

¶_α

= x^α y^α,

x^α×x^β = x^α+β, x^α

x^β = x^α−β,

¡x^α¢_β

= x^α×β.

FORMULAIRE TRIGONOMÉTRIE

Formulaire – Trigonométrie

Angles associés

½ cos (−θ)=cos(_θ) sin (−θ)= −sin(_θ)

½ cos (π+θ)= −cos(_θ) sin (π+θ)= −sin(_θ)

½ cos (_π−θ)= −cos(_θ) sin (π−θ)=sin(_θ)









 cos³_π

2+θ´

= −sin(_θ) sin³_π

2+θ´

=cos(_θ)









 cos³_π

2−θ´

=sin(_θ) sin³_π

2−θ´

=cos(_θ) Remarque :Il faut savoir retrouver ces formules à l’aide du cercle trigonométrique.

Valeurs usuelles

0 ^π

6 π 4

π 3

π

2 ^π

sin 0 1

2

p2 2

p3

2 1 0

cos 1 p3

2

p2 2

1

2 0 −1

tan 0 p3

3 1 p

3 0

π

−π cos

sin

0 0

1 -1

1

-1 π 2

−^π₂

0 +

π 4

−^π₄

3π 4

−^3π₄

π 6

−^π₆

π 3

−^π₃

2π 3

−^2π₃

5π 6

−^5π₆

1

−¹2 2

√2

−^√2² 2

√3

−^√2³ 2

1 2

−¹2

√2 2

−^√2²

√3 2

−^√2³

TRIGONOMÉTRIE FORMULAIRE

Relations entrecos,sinettan

¡cos(x)¢2

+¡

sin(x)¢2

=1 Six.^π

2[_π], tan(x)=sin(x)

cos(x) et 1+¡

tan(x)¢2

= 1

¡cos(x)¢2

Formules d’addition

cos(a+b)=cos(a)×cos(b)−sin(a)×sin(b) sin(a+b)=sin(a)×cos(b)+cos(a)×sin(b) tan(a+b)= tan(a)+tan(b)

1−tan(a)×tan(b)

cos(a−b)=cos(a)×cos(b)+sin(a)×sin(b) sin(a−b)=sin(a)×cos(b)−cos(a)×sin(b) tan(a−b)= tan(a)−tan(b)

1+tan(a)×tan(b) Formules de duplication (se déduisent des formule d’addition)

cos(2a) = ¡

cos(a)¢2

−¡

sin(a)¢2

= 2¡

cos(a)¢2

−1

= 1−2¡

sin(a)¢2

sin(2a)=2 sin(a)×cos(a) tan(2a)= 2 tan(a)

1−¡

tan(a)¢2

Formules de linéarisation (se déduisent des formules d’addition et de linéarisation)

sin(a)×cos(b)=1 2ס

sin(a+b)+sin(a−b)¢ cos(a)×cos(b)=1

2ס

cos(a+b)+cos(a−b)¢

sin(a)×sin(b)= −1 2ס

cos(a+b)−cos(a−b)¢

Cas particulier :

¡cos(a)¢2

=1+cos(2a) 2

¡sin(a)¢2

=1−cos(2a) 2

¡tan(a)¢2

=1−cos(2a) 1+cos(2a) Formules de factorisation (se déduisent des formules d’addition)

cos(p)+cos(q)=2 cos³p+q 2

´

×cos³p−q 2

´

sin(p)+sin(q)=2 sin³p+q 2

´

×cos³p−q 2

´

cos(p)−cos(q)= −2 sin³p+q 2

´

×sin³p−q 2

´

sin(p)−sin(q)=2 cos³p+q 2

´

×sin³p−q 2

´

Formules de l’angle moitié

Sit=tan µ_θ

2

¶

, alors : cos(_θ)=1−t²

1+t²

sin(_θ)= 2t

1+t² tan(_θ)= 2t

1−t²

FORMULAIRE TRIGONOMÉTRIE

Équations trigonométriques

cos(x)=cos(y) ⇐⇒ x≡y[2_π] oux≡ −y[2_π]

cos(x)=cos(y) O

Mx=My

M_−x=M_y x

cos(x)=cos(y)

sin(x)=sin(y) ⇐⇒ x≡y[2_π] oux≡π−y[2_π]

sin(x)

=sin(y)

O

M_x=M_y M_π−x=M_y

x sin(x)=sin(y)

tan(x)=tan(y) ⇐⇒ x≡y[_π]

tan(x)=tan(y)

O

M_x=M_y

M_x+π=M_y

N_x

~ x

~ı tan(x)=tan(y)

DÉRIVATION FORMULAIRE

Formulaire – Dérivation

Dérivées usuelles

Dans le tableau suivant,f⁰ est la dérivée de la fonction f sur l’intervalleI

f(x) I f⁰(x)

λ∈R R ⁰

x R ¹

xⁿ (n∈N⁾ R ⁿ×xⁿ⁻¹

1

x ]− ∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1

x² 1

xⁿ (n∈N^{∗) ]}− ∞, 0[ ou ]0,+∞[ − n xⁿ⁺¹

px ]0,+∞[ 1

2p x

x^α (_α∈R^\Z^{) ]0,}+∞[ _α×x^α−1

ln(x) ]0,+∞[ 1

x

e^x R ^ex

sin(x) R ^cos(x)

cos(x) R −sin(x)

tan(x) i

−^π

2+k×π,^π

2+k×πh

(k∈Z⁾ _¡ ¹

cos(x)¢2 =1+¡

tan(x)¢2

Arcsin(x) ]−1, 1[ 1

p1−x²

Arccos(x) ]−1, 1[ −1

p1−x²

Arctan(x) R ¹

1+x²

ch(x) R ^sh(x)

sh(x) R ^ch(x)

FORMULAIRE DÉRIVATION

Opérations et dérivation

ÏSoientuetvdeux fonctions dérivables sur un intervalleI. (u+v)⁰ = u⁰+v⁰

(u×v)⁰ = u⁰×v+u×v⁰

³u v

´0

= u⁰×v−u×v⁰

v² (on suppose quevne s’annule pas surI)

ÏSoientuune fonction dérivable sur un intervalleI etvune fonction dérivable sur l’intervalleu(I).

(v◦u)⁰ = (v⁰◦u)×u⁰ (ln(u))⁰ = u⁰

u (on suppose queuest à valeurs dansR^?₊⁾ (e^u)⁰ = u⁰×e^u

(cos(u))⁰ = −u⁰×sin(u) (sin(u))⁰ = u⁰×cos(u)

(ch(u))⁰ = u⁰×sh(u) (sh(u))⁰ = u⁰×ch(u) (Arcsin(u))⁰ = u⁰

p1−u²

(on suppose queuest à valeurs dans ]−1, 1[)

(Arccos(u))⁰ = − u⁰ p1−u²

(on suppose queuest à valeurs dans ]−1, 1[)

(Arctan(u))⁰ = u⁰ 1+u²

(u^α)⁰ = α.u⁰×u^α−1 (on suppose que_α∈R^etuest à valeurs dansR^∗₊⁾ (uⁿ)⁰ = n.u⁰×uⁿ⁻¹ (on suppose quen∈N⁾

µ 1 uⁿ

¶₀

= −n× u⁰

uⁿ⁺¹ (on suppose quen∈N^{∗ et queu}ne s’annule pas surI) ÏPour dériver une fonction de la formeu^v, on passe sous forme exponentiellee^v×ln◦u.

Théorème de la bijection

Soitf une fonctionstrictement monotone,continueetdérivablesur un intervalleI deR^{. Alors :} Ï l’image de l’intervalle Ipar f est un intervalle noté f(I).

Ï f réalise une bijection deI sur f(I). On note f⁻¹ sa bijection réciproque.

Ï f⁻¹ est continue surf(I).

Ï f⁻¹ est strictement monotone sur f(I) et de même sens de variation quef. De plus, pour toutx∈f(I), f⁻¹est dérivable enxsi, et seulement si, f⁰(f⁻¹(x)),^0.

Si f⁰(f⁻¹(x)),^{0, alors}

(f⁻¹)⁰(x)= 1 f⁰(f⁻¹(x)).

Remarque: pour déterminer l’intervalle f(I), on peut dresser le tableau de variations de f et « suivre la flèche ».

PRIMITIVES FORMULAIRE

Formulaire – Primitives

Primitives usuelles

Dans le tableau suivant,F désigne une primitive de la fonction f sur l’intervalleIetC∈Kest une constante (K=R ouC^).

f(x) I F(x)+C

xⁿ (n∈N⁾ R ^x

n+1

n+1+C 1

xⁿ (n∈N^{∗\ {1}) ]}− ∞, 0[ ou ]0,+∞[ −1 n−1× 1

xⁿ⁻¹+C 1

x ]− ∞, 0[ ou ]0,+∞[ ln(|x|)+C

x^α (_α∈R^\Z^{) ]0,}+∞[ x^α+1

α+1+C

e^a×x (a∈C^∗) R ^e

a×x

a +C

ch(x) R ^sh(x)+C

sh(x) R ^ch(x)+C

sin(x) R −cos(x)+C

cos(x) R ^sin(x)+C

tan(x) i

−^π

2+k×π,^π

2+k×πh

(k∈Z⁾ −ln¡

|cos(x)|¢ +C 1

¡cos(x)¢2 =1+¡

tan(x)¢2 i

−^π

2+k×π,^π

2+k×πh

(k∈Z^{) tan(x)}+C p 1

1−x² ]−1, 1[ Arcsin(x)+C

p 1 1−x²

]−1, 1[ −Arccos(x)+C

1

1+x² R ^Arctan(x)+C

1

x²+a² (a,⁰⁾ R ¹

a×Arctan³x a

´ +C p 1

a²−x²

(a>0) ]−a,a[ Arcsin³x

a

´ +C

ln(x) ]0,+∞[ x×ln(x)−x+C

FORMULAIRE PRIMITIVES

Existence de primitives

Toute fonction continue sur un intervalleIpossède des primitives surI.

Opérations et primitives

Soituune fonction dérivable sur un intervalleI deR^.

• Soitn∈N^∗. Une primitive deu⁰×uⁿsurI est uⁿ⁺¹ n+1.

• Soitn∈N^∗\ {1}. On suppose queune s’annule pas surI. Une primitive de u⁰

uⁿ surIest

− 1

n−1× 1 uⁿ⁻¹.

• Soitn∈N^∗\ {1}. On suppose queune s’annule pas surI. Une primitive de u⁰

u sur Iest ln◦ |u|.

• On suppose queuest strictement positive surI. Une primitive de u⁰

pu sur Iest 2p u.

• Soit_α∈R^{\ {}−1}. On suppose queuest strictement positive surI. Une primitive deu⁰×u^αsurI est u^α+1 α+1.

• Une primitive deu⁰×e^usur Ieste^u. Théorème fondamental de l’analyse SoitI un intervalle deR^.

ÏSoit f:I→Kune fonction continue surI. Pour tout (a,b)∈I² etFprimitive de f surI, on a : Z b

a

f(t) dt=F(b)−F(a)^notation= £ F(t)¤b

a

En particulier, pour touta∈I, la fonction

I → K

x 7→

Z x a

f(t) dt est l’unique primitive de f surI qui s’annule ena.

ÏSoit f:I→Kune fonction de classeC¹surI. Pour tout (a,b)∈I, on a : Z b

a

f⁰(t) dt=f(b)−f(a).

Intégration par parties

SoitI un intervalle deR^{, (a,b)}∈I² etuetvdeux fonctions de classeC¹ surI. On a : Z b

a

u(t)×v⁰(t) dt=£

u(t)×v(t)¤b a−

Z b a

u⁰(t)×v(t) dt

Changement de variable

SoitI un intervalle deR^etf une fonction continue surI.

SoitJun intervalle deR^etϕune fonction de classeC¹ surJet à valeurs dans I.

Pour tout (a,b)∈J², on a :

Z b

f¡ ϕ(x)¢

×ϕ⁰(x) dx= Z _ϕ(b)

f(t) dt.

PRIMITIVES FORMULAIRE

Primitive de f:x7→ 1

a×x²+b×x+c avec a,b,c des réels eta,⁰

On calcule le discriminant∆=b²−4a×c. Il y a alors trois cas :

Ï Cas 1:∆>0. Dans ce cas, il exister₁<r₂réelsdistincts tels que, pour toutx∈R^{\ {r}1,r₂}, 1

a×x²+b×x+c= 1

a×(x−r₁)×(x−r₂). On cherche alors_αet_βréels tels que, pour toutx∈R^{\ {r}1,r₂},

1

a×x²+b×x+c=1 a×

µ _α

x−r₁+ ^β x−r₂

¶ .

Remarque: on trouve_α= −β= 1 r₁−r₂.

Les primitives de f sur chacun des intervalles ]− ∞,r₁[, ]r₁,r₂[ et ]r₂,+∞[ sont de la forme : x7→1

aס

α×ln(|x−r₁|)+β×ln(|x−r₂|)¢ +C oùCest une constante réelle quelconque.

Remarque: ne pas oublier les valeurs absolues !

Ï Cas 2:∆=0. Dans ce cas, il existerréeltel que, pour tout x∈R^{\ {r},} 1

a×x²+b×x+c= 1 a×(x−r)².

Donc, les primitives de f sur chacun des intervalles ]− ∞,r[ et ]r,+∞[ sont de la forme : x7→ −1

a× 1 x−r+C oùCest une constante réelle quelconque.

Ï Cas 3:∆<0. Dans ce cas, on écrit le trinôme sousforme canonique: pour toutx∈R^, 1

a×x²+b×x+c= 1 a×

µ³

x+₂^b_a´2

+₄^−∆_a2

¶=1 a× 1

−∆

4a²

× 1

Ã

x+_2a^b q_−∆

4a2

!2

+1 .

Notez bien que −∆

4a² >0.

Les primitives de f surRsont de la forme :

x7→1 a× 1

q_−∆

4a²

×Arctan





 x+₂^b_a

q_−∆

4a²





+C= 2

p−∆×Arctan

µ2a×x+b p−∆

¶ +C

oùCest une constante réelle quelconque.

Remarque: il est bien entendu hors de question d’apprendre ces formules par cœur. Il suffit de refaire ce raisonnement à chaque fois.

FORMULAIRE RELATIONS DE COMPARAISON

Formulaire – Relations de comparaison

Définitions : relations de comparaison

ÏCas des suites: soient (u_n) et (v_n) deux suites. On suppose que les termes de la suite (v_n) ne s’annule pas à partir d’un certain rangn₀.

• La suite (u_n) est dominée par (v_n) et on noteu_n=O(v_n) lorsque la suite µu_n

v_n

¶

nÊn₀

est bornée.

• la suite (u_n) est négligeable devant (v_n) et on noteu_n=o(v_n) lorsque u_n

v_n −−−−−→

n→+∞ 0.

• On dit que la suite (u_n) est équivalente à (v_n) et on noteu_n∼v_nlorsque u_n

v_n −−−−−→

n→+∞ 1.

ÏCas des fonctions : soient f et g deux fonctions définies sur I ou I\ {a}(avec aun point ou une extrémité de l’intervalleI). On suppose que la fonctiongne s’annule pas au voisinage dea, sauf éventuellement ena.

• La fonction f est dominée par g au voisinage de aet on note f =O_a(g) lorsque la fonction f

g est bornée au voisinage dea.

• La fonction f est négligeable devant gau voisinage deaet on note f =o_a(g) lorsque f(x) g(x)−−−→

x→a 0.

• La fonction f est équivalente àgau voisinage deaet on note f ∼aglorsque f(x) g(x)−−−→_x

→a 1.

Équivalents usuels

Ï sin(x) ∼

x→0 x tan(x) ∼

x→0 x cos(x) ∼

x→0 1 1−cos(x) ∼

x→0

x² 2 Arcsin(x) ∼

x→0 x Arctan(x) ∼

x→0 x

sh(x) ∼

x→0 x 1−ch(x) ∼

x→0 −x² 2 e^x−1 ∼

x→0 x ln(1+x) ∼

x→0 x ln(x) ∼

x→1 x−1 (1+x)^α−1 ∼

x→0 α×xoù (_α∈R^?).

Formule générale: Soit f une fonction dérivable enatelle que f⁰(a),^{0, alors,} f(x)−f(a)_x∼

→af⁰(a)×(x−a).

ÏSoit f unefonction polynomialedéfinie, pour tout x∈R^{, parf(x)}=a_p×x^p+a_p+1×x^p+1+ · · · +a_n×xⁿaveca_p,^0, a_n,^{0 et p}Én. Alors :

f(x) ∼

x→0a_p×x^p, f(x)_x ∼

→+∞a_n×xⁿ et f(x)_x ∼

→−∞a_n×xⁿ.

ÏSoit f unefonction rationnelledéfinie, pour toutx∈R^{, par f(x)}= a_p×x^p+a_p+1×x^p+1+ · · · +a_n×xⁿ

b_q×x^q+b_q+1×x^q+1+ · · · +b_m×x^m aveca_p,^0, a_n,^{0, p}Én,b_q,^0,bm,^{0 etq}Ém. Alors :

f(x) ∼ a_p

×x^p−q, f(x) ∼ a_n

×x^n−m et f(x) ∼ a_n

×x^n−m.

RELATIONS DE COMPARAISON FORMULAIRE

Croissances comparées

ÏCas des suites: Soitq>1,_β>0 et_α>0 des réels.

• Version « limites »:

nlim→+∞

¡ln(n)¢_β

n^α =0, lim

n→+∞

n^α

qⁿ =0 et lim

n→+∞

qⁿ n! =0

• Version « relations de comparaison »:

¡ln(n)¢_β

= o

n→+∞

¡n^α¢

, n^α= o

n→+∞

¡qⁿ¢

et qⁿ= o

n→+∞(n!) . ÏCas des fonctions: Soit_α>0 et_β>0 des réels.

• Version « limites »:

x→+∞lim e^α×x

x^β = +∞, lim

x→−∞|x|^β×e^α×x=0, lim

x→+∞

¡ln(x)¢_β

x^α =0 et lim

x→0⁺x^α× |ln(x)|^β=0

• Version « relations de comparaison »: x^β= o

x→+∞

¡e^α×x¢

, x^β= o

x→−∞

¡e^−α×x¢ , ¡

ln(x)¢_β

= o

x→+∞

¡x^α¢

et ¡ ln(x)¢_β

= o

x→+∞

µ 1

|x|^α

¶ .

Opérations sur les relations de comparaison

Relations de domination et de négligeabilité ÏCas des suites:

u_n=o(v_n) =⇒ u_n=O(v_n)

u_n=O(v_n) et w_n=O(x_n) =⇒ u_n×w_n=O(v_n×x_n) u_n=O(v_n) et w_n=o(x_n) =⇒ u_n×w_n=o(v_n×x_n) u_n=o(v_n) et w_n=O(x_n) =⇒ u_n×w_n=o(v_n×x_n) u_n=o(v_n) et w_n=o(x_n) =⇒ u_n×w_n=o(v_n×x_n) u_n=O(w_n) et v_n=O(w_n) =⇒ u_n+v_n=O(w_n) u_n=o(w_n) et v_n=o(w_n) =⇒ u_n+v_n=o(w_n) u_n=O(v_n) et v_n=O(w_n) =⇒ u_n=O(w_n) u_n=O(v_n) et v_n=o(w_n) =⇒ u_n=o(w_n) u_n=o(v_n) et v_n=O(w_n) =⇒ u_n=o(w_n) u_n=o(v_n) et v_n=o(w_n) =⇒ u_n=o(w_n) ÏCas des fonctions:

f =o_a(g) =⇒ f =O_a(g) f =O_a(g) et h=O_a(_ϕ) =⇒ f×h=O_a(g×ϕ) f =O_a(g) et h=o_a(_ϕ) =⇒ f×h=o_a(g×ϕ) f =o_a(g) et h=O_a(_ϕ) =⇒ f×h=o_a(g×ϕ) f =o_a(g) et h=o_a(_ϕ) =⇒ f×h=o_a(g×ϕ) f =O_a(h) et g=O_a(h) =⇒ f+g=O_a(h) f =o_a(h) et g=o_a(h) =⇒ f+g=o_a(h) f =O_a(g) et g=O_a(h) =⇒ f =O_a(h) f =O_a(g) et g=o_a(h) =⇒ f =o_a(h) f =o_a(g) et g=O_a(h) =⇒ f =o_a(h) f =o_a(g) et g=o_a(h) =⇒ f =o_a(h) f =o_a(g) et _ϕ(t)−−−→

t→b a =⇒ f(_ϕ(t))= O

t→b

¡g(_ϕ(t))¢ f =O_a(g) et u_n−−−−−→_n

→+∞ a =⇒ f(u_n)=O(g(u_n)) f =o_a(g) et _ϕ(t)−−−→

t→b a =⇒ f(_ϕ(t))= o

t→b

¡g(_ϕ(t))¢

FORMULAIRE RELATIONS DE COMPARAISON

Relation d’équivalence ÏCas des suites:

u_n∼v_n ⇐⇒ u_n=v_n+o(v_n) u_n∼v_n et v_n∼w_n =⇒ u_n∼w_n

u_n∼v_n et w_n∼x_n =⇒ u_n×w_n∼v_n×x_n u_n∼v_n et w_n∼x_n =⇒ u_n

w_n ∼v_n x_n

ÏCas des fonctions:

f ∼ag ⇐⇒ f=ag+o(g) f ∼ag et g∼ah =⇒ f∼ah

f ∼ag et h∼aϕ =⇒ f×h∼ag×ϕ f ∼ag et h∼aϕ =⇒ f

h∼a

g ϕ f ∼ag et _ϕ(t)−−−→

t→b a =⇒ f(_ϕ(t)) ∼

t→bg(_ϕ(t)) f ∼ag et u_n−−−−−→_n

→+∞ a =⇒ f(u_n)∼g(u_n) Attention !!!

• On ne somme pas les équivalents. Contre-exemple :n+1∼n+2 et−n∼ −nmais 1/^2.

• On ne compose pas les équivalents. Contre-exemple :n∼n+1 maiseⁿ/^en+1.

• Quand on met à la puissance un équivalent, l’exposant doit êtreconstant.

Contre-exemple : 1+1

n∼1 mais µ

1+1 n

¶n

/^1.

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS FORMULAIRE

Formulaire – Développements limités usuels

Ï« Cœur ! » « Cœur ! » « Cœur ! » e^x =

x→0 1+ x 1!+x²

2!+ · · · +xⁿ

n!+o(xⁿ) cos(x) =

x→0 1−x² 2!+x⁴

4!+ · · · +(−1)ⁿ× x²ⁿ

(2n)!+o(x²ⁿ⁺¹) sin(x) =

x→0 x−x³

3!+ · · · +(−1)ⁿ× x²ⁿ⁺¹

(2n+1)!+o(x²ⁿ⁺²) ch(x) =

x→0 1+x²

2!+ · · · + x²ⁿ

(2n)!+o(x²ⁿ⁺¹) sh(x) =

x→0 x+x³

3!+ · · · + x²ⁿ⁺¹

(2n+1)!+o(x²ⁿ⁺²) 1

1−x =

x→0 1+x+x²+ · · · +xⁿ+o(xⁿ) ln(1−x) =

x→0 −x−x² 2 −x³

3 − · · · −xⁿ

n +o(xⁿ) 1

1+x =

x→0 1−x+x²−x³+ · · · +(−1)ⁿ×xⁿ+o(xⁿ) ln(1+x) =

x→0 x−x² 2 +x³

3 −x⁴

4 + · · · +(−1)ⁿ⁻¹×xⁿ

n +o(xⁿ) Arctan(x) =

x→0 x−x³

3 + · · · +(−1)ⁿ× x²ⁿ⁺¹

2n+1+o(x²ⁿ⁺²) (1+x)^α =

x→0 1+α×x+^α×(_α−1)

2! ×x²+ · · · +^α×(_α−1)× · · · ×(_α−n+1)

n! ×xⁿ+o(xⁿ) tan(x) =

x→0 x+1

3×x³+ 2

15×x⁵+o(x⁶)

ÏFormule de Taylor-Young: soientf une fonction de classeCⁿ, oùn∈N, sur un intervalleIeta∈I. Alorsf possède un développement limité à l’ordrenen tout pointadeI et, de plus :

f(x)_x=

→af(a)+f⁰(a)

1! ×(x−a)+ f⁽²⁾(a)

2! ×(x−a)²+ · · · + f⁽ⁿ⁾(a)

n! ×(x−a)ⁿ+o¡

(x−a)ⁿ¢ ou encore :

f(a+h) =

h→0f(a)+f⁰(a)

1! ×h+f⁽²⁾(a)

2! ×h²+ · · · + f⁽ⁿ⁾(a)

n! ×hⁿ+o(hⁿ).

FORMULAIRE DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE ENTIÈRE USUELS

Formulaire – Développements en série entière usuels

Ï« Cœur ! » « Cœur ! » « Cœur ! »

∀z∈C^{, ez} =

+∞X

n=0

zⁿ n!

∀x∈R^{, cos(x)} =

+∞X

n=0

(−1)ⁿ× x²ⁿ (2n)!

∀x∈R^{, sin(x)} =

+∞X

n=0

(−1)ⁿ× x²ⁿ⁺¹ (2n+1)!

∀x∈R^{, ch(x)} =

+∞X

n=0

x²ⁿ (2n)!

∀x∈R^{, sh(x)} =

+∞X

n=0

x²ⁿ⁺¹ (2n+1)!

∀z∈C^avec|z| <1, 1 1−z =

+∞X

n=0

zⁿ

∀x∈]−1, 1[, ln(1+x) =

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹×xⁿ n

∀x∈]−1, 1[, Arctan(x) =

+∞X

n=0

(−1)ⁿ× x²ⁿ⁺¹ 2n+1

∀x∈]−1, 1[, (1+x)^α = 1+

+∞X

n=1

α×(_α−1)× · · · ×(_α−n+1)

n! ×xⁿ (_α∈R⁾