secrétaire perpétuel en 1822 pour la section des sciences

Ernst Chladni (1756-1827)

Avec Lord Rayleigh, Ernst Chladni est le fondateur de l’acoustique moderne. C’est un physicien allemand né à Wittemberg et décédé à Breslau. Comme s’était courant à l’époque, il eut une formation initiale et une carrière dans le domaine juridique. Très jeune intéressé par les sciences il étudia aussi la musique. Issu d’une bonne famille il eut très tôt le goût voyages qui le menèrent à travers toute l’Europe. C’est en 1809 en visite à Paris, qu’il put effectuer la démonstration des figures qui portent dorénavant son nom, en présence de l’Empereur Napoléon Bonaparte, devant un aéropage des plus grands scientifiques français de cette époque (dont Laplace, Bertholet, Savart, Biot), consistant à faire vibrer avec un archet de violon une plaque en métal saupoudrée de sable. Suite à cet événement, Napoléon demanda à Chladni contre rémunération une traduction en français de son ouvrage Die Akustik. Chladni est aussi connu pour avoir effectué des travaux sur l’origine des météorites.

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

Ce mathématicien et physicien français né à Auxerre et mort à Paris est connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes appelées séries de Fourier, et de leur application notamment pour divers problèmes relatifs à la propagation de la chaleur. En 1798, il fit partie de la campagne d’Egypte, puis devint préfet de l’Isère à son retour en France. Il créa la Faculté Impériale de Grenoble, université qui porte aujourd’hui son nom, et il mit en œuvre de grands travaux (construction de la route entre Grenoble et Briançon, asséchement de marais, etc.).

Il devint l’ami de Jean-François Champollion. En 1817, il

fut élu à l’Académie des Sciences, avant d’en devenir

secrétaire perpétuel en 1822 pour la section des sciences

mathématiques. On lui doit l’ouvrage « Théorie analytique

de la chaleur », paru à Paris en 1822.

Chapitre 3- Vibrations des systèmes continus

I. Vibrations des cordes

On considère une corde alignée le long d’un axe Ox arbitraire (par exemple horizontal).

Sa masse linéique est notée µ (exprimée en kg/m), sa longueur L. Elle est assujettie à une force de tension notée T

e

, indépendante de la position au niveau de la corde.

Figure 3.1 : Élément de corde infinitésimal de longueur dx.

La Figure 3.1 représente un élément infinitésimal de longueur dx de la corde.

L’application du principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton), projeté le long de l’axe vertical pour cet élément de corde s’écrit :

µdx !

²

u

!t

²

= T

_e

(x + dx)sin ! " T

_e

(x )sin! = T

_e

( sin ! " sin" ) , (3.1) sachant que la tension de la corde est constante, c’est-à-dire :

T_e(x+dx)=T_e(x)=T_e

. Par ailleurs, les quantités

sin!

et sin ! peuvent s’exprimer aisément, lorsque les angles ! ^et ! sont petits sous la forme :

sin

!

!tan

!

! "u

"x

#

$% &

'(

x=x

;

sin

!

!tan

!

! "u

"x

#

$% &

'(

x=x+dx

, (3.2) x u(x)

u(x+dx)

x = x x = x + dx dx

T

e

T

e

β α

O

si bien qu’au final on obtient : µ

dx!²u

!t² =T_e !u

!x

"

#$ %

&

'

x=x+dx

( !u

!x

"

#$ %

&

'

x=x

"

#

$$

%

&

''=T_e!²u

!x²dx

, (3.3) suite à l’utilisation du théorème des accroissements finis pour la fonction

!u

!x

. Après simplification dans l’équation (3.3) par l’élément de longueur dx, on obtient finalement une simple équation d’onde, sous la forme :

!

²

u

!x

²

= 1 c

²

!

²

u

!t

²

^{, avec :} c = T

_e

/ µ , qui représente la vitesse de propagation des oscillations dans la corde. Bien entendu, comme les ondes font des aller et retours dans la corde, ce sont finalement des ondes stationnaires qui s’installent de manière un peu similaire aux ondes stationnaires dans les tuyaux sonores, en fonction des conditions aux limites. À ce stade, on peut remarquer que le champ de déplacement u est en fait une fonction de la coordonnée spatiale x et du temps t, comme d’ailleurs cela ressort clairement de l’équation d’onde où les deux coordonnées interviennent. De fait, on écrira donc le champ de déplacement sous la forme d’une fonction des deux variables, u(x,t). L’étape suivante tout à fait classique consiste à supposer qu’il est possible d’utiliser pour ce problème la méthode de séparation des variables, en écrivant par exemple : u(x, t) = ! (x) f (t) . Dans cette expression, ! (x) représente la dépendance spatiale (ou déformée modale), alors que : f (t) n’est rien d’autre que la dépendance ou fonction temporelle. Le plus souvent f (t) est prise comme une fonction harmonique, écrite sous la forme simple

sin!t

, (ou bien cos ! t ) avec ! = 2 " f , où ! représente la pulsation, et f la fréquence. Ce résultat est très général, et il s’appuie sur les notions de période spatiale (ou longueur d’onde ! ), et de période temporelle T (notée T = 1 / f = ! / c ), reliées entre elles par la relation de dispersion. La méthode de séparation des variables est donc basée sur le concept d’ondes stationnaires s’établissant le long de la corde, aboutissant à la création de ventres et de nœuds de vibrations. Cette approche permet alors de transformer l’équation d’onde, qui au départ est une équation aux dérivées partielles, en simple équation différentielle du second ordre (dérivées droites au lieu de dérivées rondes), sous la forme :

1

!(x)

d

²

!(x ) dx

²

= 1

c

²

1 f (t)

d

²

f (t)

dt

²

= cte = !k

²

. (3.4) Dans ce résultat, on note donc juste l’égalité entre les deux termes issus de l’équation aux dérivées partielles de départ (ou équation d’onde), et l’on reconnaît a priori le noyau de l’équation différentielle sur le premier terme, en notant que la valeur commune, notée, cte = !k

²

< 0 , ce qui permet d’écrire le premier morceau de l’équation (3.4), sous la forme :

1

!(x)

d

²

! (x)

dx

²

= !k

²

" d

²

! (x)

dx

²

+ k

²

!(x ) = 0 , (3.5)

équation différentielle ordinaire du second ordre à coefficient constant admettant les solutions triviales habituelles pour la déformée modale : ! (x) = A cos kx + B sin kx . Il reste alors à résoudre la deuxième partie de l’équation (3.4), sous la forme :

1 c

²

1 f (t)

d

²

f (t)

dt

²

= !k

²

" d

²

f (t)

dt

²

+ k

²

c

²

f (t) = 0 , (3.6) de solution : f (t) = C cos ! t + D sin ! t , avec : !

=kc

, relation de dispersion qui est très simple ici puisqu’elle traduit la dépendance linéaire entre la pulsation ! , et le nombre d’onde

k

, justement par l’intermédiaire de la vitesse de propagation

c

. Cette relation de dispersion s’obtient aisément aussi dans ce cas, soit en utilisant la définition de la pulsation

!=2" /T

( ^(où T représente ici la période temporelle) et celle du nombre d’onde

k=2!/"

, (où ! ou représente la longueur d’onde), ou bien encore simplement en injectant les solutions obtenues pour la déformée modale ! (x) = A cos kx + B sin kx et pour la fonction temporelle f (t) dans l’équation d’onde de départ. De fait, le champ de déplacement s’écrit au final sous la forme :

u(x, t) = ( A cos kx + B sin kx ) ( ^{C cos ! t + Dsin ! t} ) ^.

En principe, il y a deux conditions aux limites, une pour chaque extrémité de la corde, soit en x = 0 et l’autre en x = + L. Il existe aussi a priori une condition initiale (en t = 0), à la fois sur le champ de déplacement, mais aussi sur la vitesse de déplacement. Dès lors, Il s’agit d’un problème bien posé, car il existe 4 termes d’amplitude inconnues pour 4 relations supplémentaires. Il existera toutefois un terme d‘amplitude arbitraire qui correspond quelque part à la force (ou à l’amplitude) appliquée à l’instant initial.

Pour les conditions initiales, sachant que la corde est fixée en x = 0 et en x = + L, on obtient tout de suite : ! (x = 0) = 0 ! A = 0 , et ! (x = +L) = 0 ! sinkL = 0 . Finalement, cette dernière relation se traduit par la quantification du nombre d’onde :

k

_n

L = n! ! "

_n

= n ! L

T

_e

µ ^{, avec :} n = 1, 2, ..., ! .

Les pulsations propres, !

_n

, sont donc toutes harmoniques puisque n est entier. C’est bien naturel et c’est ce qui permet de faire de la musique avec les instruments à cordes.

On peut aussi raisonner en terme de longueur d’onde en relation avec la longueur de la corde. La relation obtenue est simplement : k

_n

L = n! ! 2!

"

_n

L = n! ! "

_n

= 2 L

n ^{. Pour}

le mode fondamental, on note n = 1. Dans ce cas, la longueur de la corde correspond à

une demi-longueur d’onde, c’est-à-dire à un seul ventre de vibrations, encadré par les

deux nœuds de vibrations, justement en x = 0 et en x = + L. Pour le mode suivant

(n = 2), la longueur d’onde est identique à la longueur de la corde, et il y a ainsi deux

ventres de vibrations, avec un nœud situé juste au milieu de la corde, et ainsi de suite

pour les modes suivants, avec davantage de ventres dont le nombre est justement fixé

par l’ordre du mode de vibrations.

Au final pour le mode n, il reste : u

_n

(x, t) = !

_n

(x) f

_n

(t) , avec : !

_n(x)=Bsinn

"

L x

, et : f

_n

(x) = C cos n !

L T

_e

µ t + Dsin n ! L

T

_e

µ t . (3.7) Pour une corde de guitare, en général on considère des conditions initiales, avec absence de vitesse de déplacement en t = 0. Cela traduit quelque part la nature causale des phénomènes. Il ne se passe rien pour t < 0, et même en t = 0, on suppose qu’il n’y a pas de vitesse initiale, et à la place qu’il existe juste le profil spatial initial de la corde. En bref, on considère la condition initiale suivante :

u(x, 0)! =0! f!_n(0)=0!D=0

. À ce stade, pour le mode d’ordre n, il ne reste alors que le profil temporel suivant :

f

_n

(t) = C

_n^'

cos n!

L T

_e

µ t , si bien que pour ce mode n, le champ de déplacement se met finalement sous la forme classique : u

_n

(x, t) = C

_n

sin n !

L x cos n ! L

T

_e

µ t ,

(avec : C

_n

= B C

_n^'

). Dans cette expression, l’amplitude arbitraire restante est fonction de l’ordre n du mode considéré. Bien entendu, le résultat final est une combinaison linéaire des solutions modales, et le théorème de superposition permet d’écrire la solution générale sous la forme :

u(x, t) = u

_n

(x, t)

n=1 n=!

" = C

_n

sin n !

L x cos n ! L

T

_e

µ t

n=1 n=!

" . (3.8)

L’amplitude inconnue restante C

_n

sera simplement déterminée en utilisant le profil spatial de la corde en t = 0, soit

u_n(x, 0)=C_nsinn

!

L x=C_n

"

_n(x)

. Pour fixer les idées, reprenons le cas d’un calcul tout à fait classique, à savoir celui élémentaire d’une corde pincée en son milieu, pour une amplitude H en t = 0, voir Figure 3.2 pour les notations.

Figure 3.2 : Profil spatial de la corde pincée en son milieu (en t = 0).

x O

H

O x = L

u(x,0)

x = L/2

Le profil spatial de la corde peut s’écrire :

u(x, 0)= 2H

L x

, si x ! [ 0, L / 2 ] ^{, et}

u(x, 0)= 2H

L

(

L!x

) ^{, si x !} [ ^{L / 2, L} ] . Le calcul des coefficients

C_n

est effectué en utilisant une technique de normalisation, en notant :

u_n(x, 0)=C_nsinn

!

L x

, puis en multipliant cette identité par

sinn

!

L x

, et enfin en intégrant sur la longueur de la corde, c’est-à-dire en écrivant :

u_n(x, 0)sinn

!

L x

0 L

! dx= C_n sinn

!

L x

"

#$ %

&

'

2 0

L

! dx

. (3.9) Dans l’équation (3.9), il faut décomposer l’intégrale du premier membre, à partir du profil initial de la corde u

_n

(x, 0) fourni, c’est-à-dire ici en décomposant l’intégrale en deux termes différents, sur l’intervalle x ! [ 0, L / 2 ] d’une part, et sur l’intervalle d’autre part x ! [ L / 2, L ] . L’intégrale du deuxième membre de l’équation (3.9) est triviale à calculer. On obtient finalement :

2H

L xsin n!

L x

0 L/2

! dx + ( L " x ) ^{sin n!} _L ^x

L/2 L

! dx

#

$ % &

' ( = C

_n

L

2 . (3.10)

Les deux intégrales se calculent à l’aide de la méthode d’intégration par parties ( ^! u dv = [ ] uv ^{" ! v du ), avec}

^u=x!du=dx

^{, et}

^dv=sinn_L

^!

^xdx!v="_n^L

_!

^cosn_L

^!

^x

^.

On obtient dès lors : x sin n !

L x

0 L/2

! dx = " L

²

2n! cos n ! 2 + L

²

n

²

!

²

sin n ! 2 ^,

L!x

( )

^sinn_L^!x

L/2 L

" dx=!L²

n!cosn!+L² n!cosn!

2 + x L n!cosn!

L x

#

$%

&

'(_L/2

L

! L

n! cosn! L x

L/2 L

" dx

,

soit en terminant les calculs pour cette deuxième intégrale :

L!x

( )

^sinn_L^{! x}

L/2 L

" dx= L²

2n!cosn! 2 + L²

n²!²sinn!

2

. (3.11) Au final, en combinant les résultats, on obtient donc :

u_n(x, 0)sinn

!

L x

0 L

! dx= 2H

L 2 L² n²

!

²

"

#

$$

%

&

''sinn

!

2 (C_n= 8H n²

!

^2sin

n

!

2

. (3.12)

Il s’agit d’un résultat tout à fait classique. Seuls les modes impairs (n = 1, 3, 5, …)

contribuent, car ils présentent tous un déplacement maximal en

x=L / 2

, compatible

avec la forme initiale de la corde (en t = 0). Les modes pairs présentent une amplitude

nulle, du fait que n = 2 p ! sin ( n! / 2 ) ^{= sin p! = 0} . Ce résultat est tout à fait en accord

avec le profil spatial initial (en t = 0), car les modes pairs présentent un nœud de vibrations en L/2 qui n’est donc pas compatible avec cette condition initiale.

Le résultat obtenu, à savoir l’expression de l’amplitude modale pour le mode d’ordre n, fournie par l’équation (3.12), indique que : C

_n

= 8H / n

²

!

²

, pour les modes impairs uniquement. Il s’agit simplement du développement en série de Fourier de la fonction créneau triangulaire, !(t) , dont la caractéristique est justement de présenter uniquement les termes impairs, sous la forme d’une série alternée (au niveau des signes) et dont les amplitudes sont inversement proportionnelles au carré de l’ordre du mode (terme en 1/n

²

) dans le résultat de l’équation (3.12).

D’autres calculs pour des conditions initiales différentes sont discutés dans les exercices 1 et 2. L’exercice 3 discute le cas d’une corde composite décrite à l’aide d’un formalisme basé sur la propagation d’ondes progressives dans la corde, alors que l’exercice 4, propose de discuter des conditions aux limites différentes aux points de fixation de la corde, soit de type « inertielle » (c’est-à-dire « massique ») ou bien de type « potentielle » (c’est-à-dire de « raideur »).

II. Vibrations longitudinales des barres

On considère une barre (ou une poutre) élastique homogène, de longueur L , de section

S

, de masse volumique ! , de module d’Young E . La barre est encastrée à l’une des extrémités (en x = 0), et elle est libre à l’autre extrémité (en x = L), cf. Figure 3.3 pour les notations. Un élément infinitésimal de longueur dx est dessiné, ayant une masse élémentaire ! Sdx . Il existe une force longitudinale F(x ) s’appliquant en

x=x

, et une force F (x + dx) , en sens opposé appliquée en

x=x+dx

. Ces forces sont à l’origine de mouvements longitudinaux s’exerçant le long de l’axe Ox.

Figure 3.3 : Configuration de base pour les vibrations longitudinales dans un barreau.

Le principe fondamental de la dynamique (ou deuxième loi de Newton) pour cette configuration s’applique donc pour le champ de déplacement u(x, t) , évalué au niveau

x

x = 0 x = x x = x+dx x = L

F(x) dx F(x+dx)

O

du petit élément de surface grisé de la Figure 3.4, le long de l’axe horizontal Ox, sous la forme :

! Sdx !

²

u

!t

²

= F (x + dx) " F(x) . (3.13) Pour évaluer la force d’origine élastique F(x ) , il faut utiliser la loi de Hooke de l’élasticité linéaire, sous la forme habituelle :

F=ES!u

!x

, qui est écrite de chaque côté de l’élément infinitésimal, c’est-à-dire en

x=x

, et de sens opposé en

x=x+dx

. On peut alors réécrire le deuxième terme de l’équation (3 .13) sous la forme :

F(x+dx)!F(x)=ES "u

"x

#

$% &

'(

x=x+dx

! "u

"x

#

$% &

'(

x=x

)

* + +

, - .

./F(x)+"F

"xdx!F(x)="F

"x dx

, (3.14) en utilisant le théorème des accroissements finis pour la fonction

!u

!x

, qui n’est rien d’autre que la déformation mécanique longitudinale, alors que le rapport

F/S

est la contrainte longitudinale de la loi de Hooke. Il reste finalement pour l’équation (3.13) :

! Sdx !

²

u

!t

²

= !F

!x dx , soit en revenant à la définition de la force

F=ES!u

!x

, et après simplification par l’élément de longueur infinitésimale dx :

! S !

²

u

!t

²

= ES !

²

u

!x

²

. Il s’agit d’une simple équation d’onde, du type : !

²

u

!x

²

= 1 c

²

!

²

u

!t

²

^, avec : c = E / ! , vitesse de propagation (ou vitesse des « barres »). Cette vitesse peut être assez élevée du fait de la valeur très grande du module d’Young en général dans les matériaux. Pour l’acier par exemple, le module d’Young est de l’ordre de 2,1.10

¹¹

N/m

²

, tandis que la masse volumique est de l’ordre de 7,8.10

³

kg/m

³

, ce qui aboutit à une vitesse de propagation de l’ordre de :

c! 210.10⁸/ 7,8= 26, 9.10⁴ !5200 m/s

. La forte valeur du module d’Young influe directement sur la valeur des contraintes mécaniques (et donc des forces à mettre en jeu), en relation avec les valeurs qui restent assez faibles, en mécanique linéaire tout du moins, pour les déformations longitudinales lorsque des vibrations parcourent un barreau. Pour des déformations usuelles pour ce type de configuration, de l’ordre de 10

^-3

(grandeur sans unité), il faut tout de même des contraintes de l’ordre de 10

⁸

Pa (ou bien N/m

²

) mettant en jeu des forces de l’ordre de 100 N/mm

²

(soit environ 10 kg/mm

²

) ce qui est loin d’être négligeable.

L’écriture de l’équation d’onde, sous la forme simple obtenue n’est possible que lorsque

l’on considère une poutre de section constante S, homogène (c’est-à-dire de module

d’Young constant E). Dans le cas contraire, lorsque la poutre est inhomogène, et de

section variable, il convient de remplacer S par S(x) et E par E(x), dans les expressions

déjà calculées, et ce depuis le début. Dans ce cas, l’équation du mouvement devient :

! S(x) !

²

u

!t

²

= E(x) !

!x S(x) !u

!x = E(x) !S(x)

!x

"

# $ %

&

' !u

!x

"

# $ %

&

' + E (x)S(x) !

²

u

!x

²

. (3.15) Ce cas est manifestement déjà plus compliqué, nécessitant de connaître les profils de variation de la section S(x), et/ou bien celui du module d’Young E(x), et il ne sera pas abordé plus avant dans cet ouvrage.

L’étape suivante pour résoudre la simple équation d’onde : !

²

u

!x

²

= 1 c

²

!

²

u

!t

²

= !

E

"

# $ %

&

' !

²

u

!t

²

^, consiste à utiliser une nouvelle fois la méthode de séparation des variables, en notant :

u(x, t) = ! (x) f (t) , avec par exemple : f (t) = C cos ! t + D sin ! t = C coskct + D sin kct , et

! (x) = A cos kx + B sin kx .

Pour les conditions aux limites où le barreau est encastré en x = 0, soit : ! (0) = A = 0 , si bien qu’il ne reste que le terme ! (x) = Bsin kx , soit en notant :

k = ! / c = ! "

E ! # (x) = B sin ! "

E x . (3.16) Si la barre est encastrée en x = L, alors : B sin! "

E L = 0 . Dans ce cas, on obtient :

!

_n

"

E L = n# ! !

_n

= n#

L E

" . (3.17) Tout comme pour les vibrations transversales des cordes, les vibrations longitudinales des barres présentent des fréquences propres qui sont harmoniques. Pour le cas

« encastré - encastré», la déformée modale pour le mode d’ordre n s’écrit finalement :

!

_n

(x) = B

_n

sin"

_n

#

E x = B

_n

sin n $ x

L . (3.18) Pour le mode fondamental, on retrouve bien des nœuds de vibration aux points d’encastrement, en x = 0 et en x = L, et un ventre de vibrations au milieu de la barre, en x = L/2. Pour le cas où l’extrémité située en x = L est cette fois-ci libre, alors c’est la force élastique qui doit être nulle. Il faut alors écrire:

F(x=L)=0!ES "u

"x

#

$% &

'(

x=L

=0

,

d’où : !t, B f (t) ! "

E cos! "

E L = 0 . (3.19)

Pour ce cas, a priori

B!0

(car sinon il ne reste plus de champ de déplacement), et par

ailleurs la fonction f (t) ! 0 (du moins cette fonction ne peut pas être nulle tout le

temps). Finalement, il ne reste que la possibilité :

cos! "

E L = 0 ! !

_p

= 2 p "1 2 L

#

$ % &

' ( # E

" ^{, avec :} p = 1, 2, 3, ..., ! . (3.20) Il est aussi possible de traiter un autre cas, celui où la barre est libre en ses deux extrémités. En repartant de l’expression générale de la déformée modale, écrite comme :

!(x) = A cos" #

E x + Bsin " #

E x , (3.21) ce qui se traduit pour la force élastique

F=ES!u

!x

par l’expression générale :

d

!

(x)

dx =

" #

E !Asin

" #

Ex+Bcos

" #

Ex

"

#$

%$

&

'$ ($

, (3.22) sachant que :

u(x,t)=

!

(x)f(t)!"u

"x= f(t)d

!

dx

, d’où finalement :

F=ES f(t) d

!

dx

. Pour traduire le fait que l’extrémité située en x = 0, est libre, il suffit donc d’écrire :

d

!

dx

!

"

# $

%&

x=0

=0

, puisqu’à priori le module d’Young E , la section S et la fonction temporelle f(t) sont différents de zéro. Au final :

d

!

dx

!

"

# $

%&

x=0

=0'B=0

. De même pour l’autre extrémité libre située en x = L, on obtient :

d

!

dx

!

"

# $

%&

x=L

=0'sin

" #

EL=0'

" #

EL=n

$ . (3.23) On retrouve dans ce cas « libre - libre » la même série de fréquences de résonance que pour le cas « encastré - encastré », à savoir le résultat de l’équation (3.17) :

!

_n

"

E L = n# ! !

_n

= n # L

E

" . Par contre, dans ce cas, la déformée modale est différente, s’écrivant pour le mode d’ordre n sous la forme :

!

_n

(x) = A

_n

cos "

_n

#

E x = A

_n

cos n$ x

L . (3.24) Il est bien clair que ce profil est symétrique, admettant une valeur nulle en x = L/2, et des valeurs maximales de part et d’autre en x = 0 et en x = L.

Au final, il existe donc 3 cas différents, à savoir : « encastré –encastré », « encastré –

libre » et « libre –libre ». Les résultats correspondants sont rassemblés dans le tableau

3.1, pour les différents cas, où sont présentées les expressions générales pour les

fréquences de résonance, et celles pour les déformées modales. Dans les expressions

obtenues, l’ordre du mode (n ou p) est pris égal à : 1, 2, 3, ..., ! . De fait, pour la

configuration « encastrée – encastrée », on observe la totalité des modes n, à savoir : n = 1, 2, 3, ..., ! . Par contre, pour la configuration « encastrée – libre », pour laquelle : p = 1, 2, 3, ..., ! , seuls finalement les modes impairs sont possibles :

2 p ! 1

( ) ^{/ 2 =} 1, 3, 5, ..., " . Cette contrainte vient du profil dissymétrique de la déformée modale pour la configuration « encastrée – libre », imposant un déplacement nul au centre du barreau.

Conditions aux limites

Configuration Fréquences de résonance

Déformée modale Encastré -

Encastré !

_n

= n"

L E

#

!

_n(x)=sinn

"

x L

Encastré -

Libre !

^'_p

= (2 p !1) "

2 L E

#

!

_n(x)=sin(2p!1)

"

x 2L

Libre -

Libre !

_n(x)=cosn

"

x

L

Tableau 3.1 : Résultats principaux pour les vibrations longitudinales d’un barreau.

Bien entendu, il est aussi possible de traiter plusieurs cas « classiques », correspondant à des conditions aux limites différentes, de type « massique » (ou inertielle), ou bien de type « raideur » (ou potentielle). Commençons par étudier le cas d’un barreau qui est attaché en x = L à un ressort de constante de raideur K prise arbitrairement égale à ES/L, cf. Figure 3.4. A l’autre extrémité en x = 0, le barreau est encastré. Pour ce cas, nous savons qu’il ne subsiste dans l’expression de la déformée modale que le terme :

! (x) = Bsin " #

E x . Par ailleurs, en x = L, il faut écrire une relation de continuité de la force élastique, sous la forme :

F(x=L)=ES f(t) d

!

dx

!

"

# $

%&

x=L

='Ku(x=L)

,

! ES f (t) B! "

E cos! "

E L = " ES L

#

$ % &

' ( f (t) B sin! "

E L , (3.25)

! tan ! "

E L = " ! "

E L . (3.26)

!

_n

= n "

L E

#

L’équation obtenue est une équation transcendante du type :

tanX=!X

, avec X = ! "

E L admettant une infinité de solutions pour les diverses branches de la fonction tangente, cf. Figure 3.5 pour une résolution graphique.

Figure 3.5 : Résolution graphique de l’équation aux fréquences tanX=-0,1 X.

Cette Figure représente en fait ici l’équation tan X = ! 0,1 X , pour des commodités de tracé, et notamment d’échelle. En fait les solutions forment une série en notant : X

₁

= ( ! / 2 ) ^+!

1

; X

₂

= ( 3 ! / 2 ) ^{+ !}

2

; X

₃

= ( 5 ! / 2 ) ^{+ !}

3

, etc., avec : !

₁

>> !

₂

>> !

₃

^, etc. Seuls les modes impairs contribuent dans cette série, ce qui est normal car il s’agit de conditions aux limites « mixtes » imposant une résonance fondamentale en quart d’onde, puis un deuxième harmonique en quart d’onde plus une demi-onde, etc. Pour le mode d’ordre p, il faut écrire : X

_p

= ( (2 p !1)! / 2 ) ^+!

^p

^.

Pour résoudre complétement le problème, il suffit d’écrire le développement de la solution, par exemple ici pour l’équation de départ pour le mode d’ordre 1 :

tan X

₁

= !X

₁

" tan ! 2 + "

₁

#

$ % &

' ( = ! ! 2 + "

₁

#

$ % &

' ( . (3.27) Or,

tan

!

2+

"

₁

!

"

# $

%&= tan

( !

/ 2

)

^+tan

^"

1

1'tan

( !

/ 2

)

^tan

^"

1

( ' 1

tan

"

₁ ^{( '} 1

"

₁ ^{) '}

!

2+

"

₁

!

"

# $

%&=' 1

"

₁

, (3.28) d’où l’équation du second degré : !

₁²+

"

2

!

₁!1=0

, de solution : -­‐1  

-­‐0,5   0   0,5   1  

1   9   17   25   33   41   49   57   65   73   81   89   97  

tan(X)   -­‐1/X  

!

₁=1 2 !

"

2±

"

² 4 +4

"

#

$$

%

&

''

, soit : !

₁

! 0, 49 " X

₁

! 1, 57+ 0, 49 ! 2, 06 . Les autres solutions se calculent de manière tout à fait similaire, en écrivant par exemple pour le mode d’ordre 2 : !

₂=1

2 !3

"

2 ± 9

"

² 4 +4

"

#

$$

%

&

''=0, 204<<

!

₁

, etc.

Un autre exemple classique est celui qui considère une poutre encastrée en x = 0, à laquelle une masse M est attachée à l’autre extrémité (en x = L), cf. Figure 3.6. Ici encore, il est possible de repartir simplement de la déformée modale pour la poutre encastrée en x = 0, !(x) = B sin" #

E x . Par ailleurs, en x = L, il faut écrire une relation de continuité de la force élastique, sous la forme :

F(x=L)=ES !u

!x

"

#$ %

&

'

x=L

=(

(

M!!u

)

_x=L⁼

(

^M!2u

)

x=L

, (3.29)

! ES f (t) B ! "

E cos ! "

E L = M f (t) !

²

B sin ! "

E L , (3.30)

!

!

LS ES

"

^E

!

^tan

" !

EL=

!

LS

M =m_barre

M !

" !

ELtan

" !

EL=m_barre

M

. (3.31) Si de plus, la masse attachée M est très grande, alors : M >> m

barre

. Dans ce cas, le rapport entre les deux masses tend vers zéro, et le terme de la tangente devient très petit, à la limite nul : tan ! "

E L ! 0 . Dans ce cas, il est possible d’approximer la valeur de cette tangente par son argument, tan! "

E L ! ! "

E L , si bien que finalement la deuxième partie de l’équation (3.31) s’écrit :

! "

E L

!

"

## $

% &&

2

' m

_barre

M = " LS

M ( !

²

' ES

LM ( ! ' K

M , (3.32)

avec :

K=ES/L

. Finalement, le cas d’une masse M très grande attachée à un barreau

fait apparaître le mode fondamental qui correspond à une simple résonance quart

d’onde, où la constante de raideur de la barre n’est rien d’autre que la quantité

K=ES/L

. Il s‘agit ici d’un résultat physique très simple illustrant ce comportement de

type « masse – ressort » de la poutre.

III. Vibrations transversales des barres minces

Intéressons-nous dorénavant au cas des vibrations transversales d’un barreau (ou d’une poutre) élastique homogène, de longueur L , de section

S

, de masse volumique ! ^{, de} module d’Young E . De nouveau ici, toutes ces quantités sont supposées être constantes. La barre est encastrée à l’une des extrémités (en x = 0), et elle est libre à l’autre extrémité (en x = L), cf. Figure 3.6 pour les notations.

Figure 3.6 : Configuration de base pour les vibrations transversales dans un barreau.

Un élément infinitésimal de longueur dx est dessiné, avec une masse élémentaire ! Sdx . Il existe une force longitudinale F(x) s’appliquant en

x=x

, et une force F (x + dx ) , en sens opposé appliquée en

x=x+dx

. Ces forces sont à l’origine de mouvements longitudinaux s’exerçant le long de l’axe Ox, comme pour la section précédente sur les vibrations longitudinales. Par contre, ici il existe aussi des forces transversales (ou efforts tranchants), notées T (x) s’appliquant en

x=x

, et T ( x + dx ) , appliquée en

x=x+dx

, ainsi que des moments fléchissant notés M (x) en

x=x

, et M (x + dx) , en

x=x+dx

. La Figure 3.7 présente un agrandissement de la zone centrale de la Figure 3.6, avec les notations principales pour les efforts s’appliquant à l’élément de longueur

dx

.

Figure 3.7 : Élément infinitésimal de longueur dx pour les vibrations transversales dans un barreau, avec notations des forces appliquées.

x

x = 0 x = L

x z

x = x

x = x+dx

F(x) dx F(x+dx)

T(x)

T(x+dx)

O

x = x x = x +dx dx

O

M(x) M(x+dx)

Pour ce problème, il faut considérer deux champs de déplacement, l’un u(x, t) qui correspond au mouvement longitudinal le long de l’axe horizontal Ox, et l’autre w(x, t) qui correspond au mouvement transversal (ou de flexion) le long de l’axe vertical Oz.

Les deux champs de déplacement sont couplés par la nature du problème mécanique considéré. Tout d’abord, il faut faire référence à la loi de l’élasticité linéaire (ou loi de Hooke) à la fois pour le mouvement longitudinal (comme pour le cas de la section précédente), mais aussi pour la composante en cisaillement du mouvement, c’est-à-dire pour les contraintes et pour les déformations. La loi de Hooke pour le mouvement longitudinal s‘écrit comme dans la section précédente : !

_xx= F

S =E!u

!x

, alors que celle pour la contrainte de cisaillement se met ici sous la forme :

!

_xz

= E

1+ "

!

"

# $

% &#

_xz

= 1 2

E 1 + "

!

"

# $

% & 'u

'z + 'w

'x

!

"

# $

% & , (3.33) où ! représente le coefficient de Poisson (ou coefficient de contraction latérale). Dans cette équation (3.33), la déformation de cisaillement est a priori très petite devant la déformation longitudinale ( !

_xz

<< !

_xx

). Ceci vient de ce qu’une poutre mince, comme par exemple un réglet métallique, est flexible en flexion, une force très faible étant largement suffisante pour la mettre en mouvement transversal. À la limite, on peut écrire que dans ce cas :

!

_xz

= 1 2

!u

!z + !w

!x

"

# $ %

&

' ( 0 ) !u

!z = * !w

!x ) u(x, t) = *z !w

!x + cte . (3.34) La constante d’intégration s’obtient aisément en considérant la « ligne neutre » passant au milieu de l’épaisseur de la poutre, c’est-à-dire située en z = 0, pour une lame d’épaisseur h, s’étendant de z = - h/2 à z = + h/2. Sur la ligne neutre, il n’y a pas de déplacement longitudinal, alors que ce déplacement existe au-dessus en en dessous de cette ligne, étant opposé en signe de part et d’autre. En bref, on peut écrire :

u(x, t)

_(z=0)

= 0 ! cte = 0 , si bien qu’il ne reste plus que le premier terme de l’expression de u(x,t), ce qui constitue l’équation dite de Bernoulli (pour l’élasticité) :

u(x,t)=!z"w

"x

, relation qui permet d’assurer le couplage entre les deux composantes, longitudinale et transversale du champ de déplacement. L’équation du mouvement pour la composante transversale du champ de déplacement, w(x, t) , se met sous la forme :

! Sdx !

²

w

!t

²

= T (x + dx) " T (x) = !T

!x dx # !S !

²

w

!t

²

= !T

!x . (3.35) Par ailleurs, les expressions du moment fléchissant fournissent aisément :

M(x+dx)!M(x)="M

"x dx=T(x)dx#T(x)="M

"x

. (3.36)

Il ne s’agit de rien d’autre que de la définition d’un couple. A chaque étape, on obtient

donc une dérivation spatiale supplémentaire, une première fois dans l’équation de

Bernoulli, puis une deuxième dans l’équation du mouvement et enfin une troisième ici

dans la relation entre force de cisaillement et moment fléchissant. Il reste finalement à revenir à l’expression de la force longitudinale, et à définir le moment fléchissant à partir de cette force dans sa notation différentielle. Repartons de l’expression de la force longitudinale :

F(x, t) = ES !u

!x = "Ez !

²

w

!x

²

S , soit sous sa forme différentielle : dF(x, t) = !Ez "

²

w

"x

²

dS . Or, par définition, le moment fléchissant s’exprime ici par : dM = zdF ! dM = "Ez

²

#

²

w

#x

²

dS . (3.37) Le moment fléchissant se calcule donc par une simple intégrale surfacique sur la section

de la poutre, sous la forme : M = ! Ez

²

"

²

w

"x

²

dS

# = !E "

²

w

"x

²

# z

²

dS = !EI "

²

w

"x

²

, (3.38) avec : I = ! z

²

dS , quantité géométrique appelée moment quadratique moyen. En réinjectant le résultat de l’équation (3.38) dans les équations (3.35) et (3.36), on obtient finalement pour l’équation du mouvement en flexion de la poutre :

! S !

²

w

!t

²

+ EI !

⁴

w

!x

⁴

= 0 . (3.39) Lorsque la poutre (ou le barreau) n’est pas mince (ou n’est pas flexible au sens de l’élasticité), l’équation (3.39) n’est pas suffisante. On peut montrer dans ce cas là qu’il existe un terme supplémentaire dans l’équation du mouvement qui apparaît au second membre traduisant la rigidité en cisaillement de la poutre, et l’on obtient dans ce cas l’équation des poutres épaisses, ou équation de Timoshenko, sous la forme :

! S !

²

w

!t

²

+ EI !

⁴

w

!x

⁴

= !I !

⁴

w

!x

²

!t

²

. (3.40) En se limitant au cas du mouvement des poutres fines, l’équation (3.39) pour le mouvement de flexion est assez différente de celle établie à la section précédente, pour décrire leur mouvement longitudinal, à savoir une simple équation d’onde :

!S !

²

u

!t

²

= ES !

²

u

!x

²

. (3.41) On retrouve quelque part des résultats assez similaires entre les deux équations. Il existe toutefois, au moins 3 différences majeures entre les deux résultats, à savoir :

1- L’équation des vibrations transversales d’une poutre n’est pas une équation

d’onde. À la place, il intervient un opérateur spatial bi-harmonique (de dérivée

spatiale d’ordre 4) ;

2- Le terme potentiel (avec le module d’Young) se retrouve au premier membre avec un signe plus au lieu d’être de l’autre côté de l’égalité.

3- Le terme ES de l’équation d’onde est transformé en un nouveau terme EI dans l’équation (3.39), avec I qui a bien la dimension d’une surface mais multipliée par une longueur au carré, par sa définition dans le terme : I = ! z

²

dS . Ceci est tout à fait normal, puisque l’opérateur bi-harmonique sur la coordonnée spatiale fait apparaître justement deux dérivations spatiales supplémentaires (opérateur de degré 4, au lieu de 2).

En fait, tout vient ici du couplage existant entre mouvement longitudinal et mouvement de flexion, par le truchement de l’équation de Bernoulli, de celle de définition de l’effort tranchant en liaison avec le moment fléchissant (notion de couple), de la définition du moment fléchissant lui-même à partir du champ de déplacement longitudinal, et in fine de l’équation du mouvement qui assure donc l’apparition de 4 dérivées partielles autour de la coordonnée spatiale x le long de la poutre. Ce sont ces étapes là qui aboutissent aux différences majeures existantes, d’un côté entre l’équation du mouvement transversal de la poutre (équation (3.39)), et de l’autre la simple équation d’onde (3.41) pour le mouvement longitudinal, établie dans la section précédente.

L’étape suivante, consiste une fois encore à utiliser la méthode de séparation des variables, en notant : w(x, t) = ! (x) f (t) . L’équation (3.39) est alors réécrite sous la forme d’une équation différentielle ordinaire, à coefficients constants, d’ordre 4 :

! S"(x) d

²

f (t)

dt

²

= !EI f (t) d

⁴

"(x)

dx

⁴

, (3.42) soit après avoir tout divisé par la quantité : ! S " (x ) f (t) , on obtient finalement :

1 f(t)

d²f(t)

dt² =! EI

!

S

"

#$ %

&

' 1

"

(x)

d⁴

"

(x)

dx⁴ =cte=!

#

²

. (3.43) On reconnaît dans le début de l’équation (3.43), le noyau d’une équation différentielle élémentaire traduisant la solution pour la fonction temporelle f (t) , sous la forme :

d

²

f (t)

dt

²

+!

²

f (t) = 0 ! f (t) " cos( ! t + " ) . (3.44) Il reste finalement dans l’équation différentielle (3.43) de départ :

d

⁴

!(x) dx

⁴

! "S

EI

"

# $ %

&

' #

²

!(x) = 0 ( d

⁴

!(x)

dx

⁴

! $

⁴

!(x) = 0 , (3.45) avec : !

⁴

= "S

EI

!

"

# $

% & #

²

' ! = "S EI

!

"

# $

% &

1/4

# . (3.46)

La relation de définition du paramètre ! , indique qu’il est quelque part analogue à un nombre d’onde. Si tel est le cas, alors il existe une relation de dispersion qui n’est plus linéaire du tout. Au lieu d’écrire

k=!/c

, on se retrouve ici avec une relation du type :

! = " / c , avec :

c=

(

EI/

!

S

)

^1/4

. Bien entendu, c’est de nouveau la nature

bi-harmonique de l’opérateur spatial qui vient modifier les caractéristiques de la relation de dispersion, mettant en lumière une dépendance du « nombre d’onde » avec la racine carrée de la pulsation, et une relation sur la vitesse de propagation qui fait intervenir non plus une racine carrée du rapport des paramètres physiques, mais à la place une racine quatrième. Tout s’explique de nouveau en relation avec l’équation du mouvement de départ d’ordre 4 pour la coordonnée spatiale.

A partir de l’équation différentielle (3.45) pour la déformée modale ! (x) , il est possible

d’utiliser la méthode de l’équation caractéristique en prenant ! (x) = A exp(rx) , d’où :, d

⁴

! (x )

dx

⁴

! "

⁴

! (x) = 0 " ( r

⁴

! "

⁴

) ^{A exp(rx) = 0} (3.47) Soit finalement les solutions :

r

⁴

= !

⁴

! r = ±! ; r = ± j! , (3.48)

avec :

j= !1

. Il y a donc 4 racines pour l’équation caractéristique, et les solutions de

l’équation différentielle de départ (3.47) s’écrivent finalement sous l’une des deux formes usuelles habituelles :

! (x) = A

^*

exp ( j ! x ) ^{+ B}

^*

^exp ( ^{! j ! x} ) ^{+ C}

^*

^exp ( ) ^{! x + D}

^*

^exp ( ^{! ! x} ) , (3.49)

! (x) = A cos ( ) ! x ^{+ B sin} ( ) ^{! x + C cosh} ( ) ^{! x + D sinh} ( ) ^{! x} , (3.50) Ces expressions sont génériques pour traiter les calculs détaillés sur les vibrations de flexion des poutres minces. Il y a donc 4 termes d’amplitude inconnus, et il faut donc disposer de 4 conditions aux limites pour que le problème soit bien posé. Sachant que la poutre dispose de deux extrémités, cela indique que pour chacune d’entre elles, il faut pouvoir écrire deux conditions aux limites, au lieu d’une seule pour le cas du mouvement longitudinal d’une barre (ou d’une poutre).

Pour une poutre en flexion, ou distingue effectivement 4 cas différents, à savoir : 1- Poutre encastrée (E) : Il n’y a ni déplacement, ni contrainte de cisaillement

à l’encastrement ;

2- Poutre appuyée (A) : Il n’y a ni déplacement, ni moment fléchissant au niveau de l’appui ;

3- Poutre guidée (G) : Il n’y a ni contrainte de cisaillement, ni effort tranchant au niveau du guide ;

4- Poutre libre (L) : Il n’y a ni moment fléchissant, ni effort tranchant au

niveau de l’extrémité libre.

Sachant que l’absence de moment fléchissant correspond à avoir la dérivée seconde du champ de déplacement transversal nul, et que l’absence d’effort tranchant correspond à considérer la dérivée troisième de ce même champ égale à zéro, il est alors possible d’établir le tableau 3.2 de correspondances formelles.

Configuration (en x = 0)

Déplacement Déformation cisaillement

Moment fléchissant

Effort tranchant Encastrée (E) ! (x) = 0 d ! (x) / dx = 0

Appuyée (A) ! (x) = 0 d

²

!(x) / dx

²

= 0

Guidée (G) d ! (x) / dx = 0 d

³

!(x) / dx

³

= 0

Libre (L) d

²

! (x) / dx

²

= 0 d

³

! (x) / dx

³

= 0

Table 3.2 : Différentes configurations pour les conditions aux limites des poutres en flexion.

La justification des résultats de la Table 3.2, est souvent assez simple. C’est par exemple le cas des configurations « encastrée » ou « libre ». Par contre, pour les deux autres configurations, « guidée » et « appuyée », ces résultats sont moins aisés à justifier. C’est en fait grâce au travail pionnier sur le sujet de Gustav Kirchhoff, puis un peu plus tard de Lord Strutt Rayleigh, que ces conditions aux limites ont pu être définitivement adoptées. En les reprenant ici en détail, il faut juste noter pour les 4 différents cas :

•

Poutre encastrée : Il n’y a aucun déplacement vertical possible (

w=0

), et pas davantage de contrainte de cisaillement (

!w/!x=0

).

•

Poutre libre : Il n’y a pas de moment fléchissant ( M = 0 ! "

²

w / "x

²

= 0 ), et non plus pas d’effort tranchant ( T = 0 ! "M /"x = 0 = "

³

w / "x

³

).

•

Poutre guidée : La poutre peut se déplacer librement le long de l’axe vertical (

w!0

), et il peut aussi exister un moment fléchissant ( M ! 0 " #

²

w / #x

²

! 0 ).

Dans ces conditions, on peut comprendre que ce sont les deux autres conditions aux limites qui sont ici vérifiées, à savoir : absence de contrainte de cisaillement (

!w/!x=0

), et absence d’effort tranchant ( !

³

w / !x

³

= 0 ).

•

Poutre appuyée : La poutre ne peut pas se déplacer le long de l’axe vertical

(

w=0

), et il ne peut pas y avoir de moment fléchissant ( M = 0 ! "

²

w / "x

²

= 0 ). Par contre, il peut exister une contrainte de

cisaillement (

!w /!x"0

), ainsi qu’un effort tranchant ( !

³

w / !x

³

" 0 ).

Le cas le plus simple est celui où les deux extrémités de la poutre (ou du barreau) sont

appuyées. Il est alors aisé de calculer l’équation aux fréquences propres pour ce cas. En

repartant de l’équation générique (3.50) fournissant l’expression générale du champ de déplacement pour la déformée modale ! (x) , il suffit alors d’écrire les 4 conditions aux limites de la Table 3.2 pour cette configuration :

! (x)

_x=0

= 0 ! A + C = 0 , (3.51a)

! (x)

_x=L

= 0 ! A cos " L + B sin " L + C cosh " L + D sinh " L = 0 , (3.51b)

d²!(x) /dx²

( )

x=0=0! "A+C=0

, (3.51c)

d²

!

(x) /dx²

( )

_x=L^{=0! "Acos}

^"

^L"Bsin

^"

^L+Ccosh

^"

^L+Dsinh

^"

^L=0

. (3.51d) Ces 4 équations constituent un système homogène du fait que tous les seconds membres sont nuls. En fait, les 4 équations sont linéairement dépendantes, et elles sont donc combinaisons linéaires les unes des autres. La condition de compatibilité est simplement d’écrire que le déterminant associé soit nul. Cela s’écrit ici simplement sous la forme du déterminant associé au système des 4 équations à 4 inconnues, qui est nul, soit le résultat suivant :

1 0 1 0

cos

!

L sin

!

L cosh

!

L sinh

!

L

!1 0 1 0

!cos

!

L !sin

!

L cosh

!

L sinh

!

L

"

#

$$

$$$

%

&

'' '''

A B C D

"

#

$$

$

$

%

&

'' ' '

= 0 0 0 0

"

#

$$

$$

%

&

'' ''

, (3.52a)

!det

1 0 1 0

cos

!

L sin

!

L cosh

!

L sinh

!

L

"1 0 1 0

"cos

!

L "sin

!

L cosh

!

L sinh

!

L

=0

. (3.52b)

Le développement de ce déterminant 4x4 s’effectue aisément en utilisant la méthode des pivots. On obtient ainsi :

sin

!

L cosh

!

L sinh

!

L

0 1 0

!sin

!

L cosh

!

L sinh

!

L +

cos

!

L sin

!

L sinh

!

L

!1 0 0

!cos

!

L !sin

!

L sinh

!

L

=0

, (3.53a)

! sin

!

L sinh

!

L

"sin

!

L sinh

!

L + sin

!

L sinh

!

L

"sin

!

L sinh

!

L =4sin

!

Lsinh

!

L=0

. (3.53b)

Il est bien clair que le terme sinh ! L a priori ne peut pas être nul du fait que ! L ! 0 . Dès lors, la seule solution admissible pour le cas de la poutre « appuyée – appuyée » est simplement d’écrire : sin ! L = 0 , soit une solution pour la déformée modale qui s’écrit simplement pour le mode d’ordre n : !(x) = sin ( n! x / L ) ^.

Pour obtenir ce dernier résultat sur la déformée modale admissible, il faut en fait revenir en détail sur le système des 4 équations (3.51). Les deux équations (3.51a) et (3.51c) sont incompatibles, et elles indiquent simplement que :

C=A=0

. Il faut de plus combiner les deux autres équations (3.51b) et (3.51d), en en faisant soit la somme ou bien la différence :

(3.51b)+(3.51d)!Ccosh!L+Dsinh!L=0

, (3.54a) (3.51b) ! (3.51d ) " A cos ! L + B sin ! L = 0 . (3.54b) Sachant que

C=A=0

, il ne reste alors dans l’équation (3.54a) que le terme :

Dsinh!L=0

, avec a priori

sinh!L!0

, soit finalement :

D=0

. En résumé, 3 des 4 coefficients en amplitude sont nuls, et il ne reste donc que le terme :

! (x) = B sin ( ) ! x ^{= B sin} ( ^{n ! x / L} ) dans l’expression de la solution générique fournie par l’équation (3.50).

Ce calcul est particulièrement simple pour ce cas, et il se généralise pour d’autres jeux de conditions aux limites. De fait, en combinant les différents cas possibles, on peut montrer qu’il existe 10 combinaisons au total, notées : EE, EA, EG, EL, AA, AG, AL, GG, GL, et LL, cf. détails de la Table 3.3.

Configuration Conditions aux limites

Équation aux fréquences

Déformée modale

!

(x)=

EE

! (0) = 0 ; ! ! (0) = 0

! (L) = 0 ; ! ! (L) = 0 cos ! L cosh ! L = 1 J(! x )! " H (! x)

EA

! (0) = 0 ; ! ! (0) = 0

! (L) = 0 ; ! !! (L) = 0 tan ! L = tanh ! L J(! x )! " H (! x)

EG

! (0) = 0 ; ! ! (0) = 0

! ! (L) = 0 ; !!! ! (L) = 0 tan ! L = ! tanh ! L J ( ! x) ! " H ( ! x)

EL

! (0) = 0 ; !(0) ! = 0

! !! (L) = 0 ; !!! ! (L) = 0 cos ! L cosh ! L = !1 J( ! x) ! " H ( ! x)

AA

! (0) = 0 ; !(0) !! = 0

! (L) = 0 ; ! !! (L) = 0

sin ! L = 0 sin ( n! x / L )

AG

! (0) = 0 ;

! ! (L) = 0 ; !!! ! (L) = 0

cos ! L = 0

AL

;

; tan ! L = tanh ! L G( ! x )! " F( ! x)

GG

! ! (0) = 0 ; !!! ! (0) = 0

! ! (L) = 0 ; !!! ! (L) = 0 sin ! L = 0 cos(n! x / L)

GL

! ! (0) = 0 ; !!! ! (0) = 0

! !! (L) = 0 ; !!! ! (L) = 0 tan ! L = ! tanh ! L G( ! x )! " F( ! x)

LL

! !! (0) = 0 ; !!! ! (0) = 0

! !! (L) = 0 ; !!! ! (L) = 0 cos ! L cosh ! L = 1 G( ! x )! " F( ! x)

Table 3.3 : Différentes configurations pour les conditions aux limites des poutres en flexion aux deux extrémités, équations aux fréquences et déformées modales. Les 4 cas : encastré (E), appuyé (A), guidé (G) et libre (L) sont décrits. Les fonctions F, G, H et J sont fournies par les relations : F( ! x) = sinh ! x + sin ! x , G( ! x) = cosh ! x + cos ! x ,

H ( ! x) = sinh ! x ! sin ! x , J( ! x) = cosh ! x ! cos ! x . Les constantes ! ^{, ,}

!

, et sont les suivantes : ! = J( " L) / H ( " L) ^, !

=G(

"

L) /F(

"

L)

, ! = F( " L ) / J ( " L) ^,

!

=H(

"

L) /F(

"

L)

.

Les différentes configurations peuvent être traitées de la même manière que pour le cas d’une poutre « appuyée – appuyée ». Traitons ici à titre d’exemple le cas d’une poutre

« encastrée – encastrée », soit la première ligne de la Table 3.3. Les calculs sont très similaires à ceux déjà effectués. Il faut commencer par écrire les 4 conditions aux limites de la Table 3.3 pour cette configuration :

!(0) !! = 0

^{sin (2n}

(

^!1)

!

x/ 2L

)

! !! (0) = 0 ! !!! (0) = 0

! (L) = 0 ! !! (L) = 0

! !