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Exercice 1 Plans et droites
1. Soit A(4; 9; 4) et B(13;−3; 7). La droite (AB) rencontre-t-elle la droite définie par (x−5)/5 = (y+ 4)/9 = (z−1)/4?
2. Calculer la distance deO au plan passant parA(2; 1; 0),B(1; 3; 0)et C(1; 1; 4).
3. Calculer la distance deA(1; 0;−2) au plan d’équations paramétriques(x, y, z) = (1 +t+u;−1 + t−u; 1 + 2t+ 3u).
4. SoitD1 etD2 les droites d’équations respectivesx−z+ 1 =y−2z−1 = 0et 3x−y=z−1 = 0.
Montrer qu’il existe un unique couple de plans parallèles contenant respectivement chacune des droites. Le déterminer.
5. Déterminer la perpendiculaire commune à la droite passant parA(2; 3;−1)et dirigée par−→v (−1; 6; 2) et à celle passant par A0(1; 1;−2)et dirigée par−→v 0(2; 1;−4).
6. On donne les droites Det D0 d’équations respectivesx−y=z= 1etx−1 =y−z= 0. Montrer queD etD0 ne sont pas coplanaires et donner des équations de leur perpendiculaire commune.
7. Soit M(1; 1;a). Donner une condition nécessaire et suffisante pour que les symétriques de M par rapport aux plans d’équationsx+y= 1,y+z= 1,z+x= 1etx+ 3y+z= 0soient coplanaires.
8. SoientP1etP2les plans d’équations respectivesx+y+ 2z−3 = 0etx−y−z−1 = 0. Former des équations cartésiennes des plansΠ1etΠ2bissecteurs deP1etP2. Déterminer le point appartenant à P1∩P2 d’abscisse 3. Déterminer l’angle entre les deux plansP1 etP2.
9. SoitP etP0 les plans d’équations respectivesx+y+z= 3etx−3y+ 2z= 3. Que valentd(O;P) et d(O;P0)? Montrer queP∩P0 est une droiteD. Déduired(O;D)et le retrouver directement.
10. Donner des équations cartésiennes des plansP contenantD, donnée par les équationsx−3z−2 = y+ 5z−1 = 0, et situés à la distance 1 du pointA(1;−1; 0).
Exercice 2 Sphères
1. Soit A(1; 2; 3), B(2; 3; 1), C(3; 1; 2) et D(1; 0;−1). Déterminer le centre et le rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre(ABCD), ainsi qu’une équation cartésienne du plan(ABC).
2. Former les équations cartésiennes des sphères contenant le cercleCd’équationz=x2+y2−2y−1 = 0 et tangentes à la droiteD d’équations x−(z+ 4) =y−(2z+ 3) = 0.
3. Former une équation cartésienne de la sphère tangente en A(1,2,1) à la droite D d’équations x+y−2z−1 = 2x−y−3z+ 3 = 0 et tangente en A0(1,−1,−2) à la droite D0 d’équations 2x+y+ 2z+ 3 =x−y−z−4 = 0.
4. SoientA,B,C,D,E cinq points de l’espace etk∈R. Déterminer le lieu des pointsM de l’espace tels que ||−−→
M A+ 2−−→
M B+k−−→
M C||=
−−→M D+−−→
M E . Exercice 3 Produit vectoriel
1. Formule du double produit vectoriel. Soitu,vetwdes vecteurs de l’espace. Montreru∧(v∧w) = (u.w)v−(u.v)wet en déduire l’identité de Jacobi :u∧(v∧w) +v∧(w∧u) +w∧(u∧v) =−→
0 . 2. Soit u, v, w et xdes vecteurs de l’espace. Montrer det(u, v, w) = 0⇔(u∧v)∧(u∧w) =−→
0 et (u∧v).(w∧x) =
u.w v.w u.x v.x
. 3. Soit−→a ,−→
b ,−→c et −→
d quatre vecteurs de l’espace, déterminerdet(−→a ∧−→
b ,−→a ∧ −→c ,−→a ∧−→ d ).
4. Soit a, b, c trois vecteurs indépendants de l’espace, résoudre dansE3 : y∧z = a, z∧x= b et x∧y=c.
5. Pour aetbdonnés dansR3, chercher lesxdeR3 tels quex+a∧x=b.
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Exercice 4 Matrices grassmanniennes (*)
On noteS2={−→x ∈R3 tels que||−→x ||= 1} et l’on considère les déterminants :
G(−→x ,−→y ) =
−
→x · −→x −→x · −→y
−
→y · −→x −→y · −→y
et G(−→x ,−→y ,−→z ) =
−
→x · −→x −→x · −→y −→x · −→z
−
→y · −→x −→y · −→y −→y · −→z
−
→z · −→x −→z · −→y −→z · −→z .
1. Montrer G(−→x ,−→y ) =||−→x ∧ −→y ||2 et interpréter ce nombre.
2. On note−→
Z , le projeté orthogonal de−→z surR−→x +R−→y , le plan (ou la droite) contenant−→x et−→y . On écrit alors−→
Z =a−→x +b−→y . Montrer
G(−→x ,−→y ,−→z ) =
−
→x · −→x −→x · −→y −→x ·(−→z −−→ Z )
−
→y · −→x −→y · −→y −→y ·(−→z −−→ Z )
−
→z · −→x −→z · −→y (−→z −−→
Z )·(−→z −−→ Z )
.
3. En déduireG(−→x ,−→y ,−→z ) =||−→z −−→
Z ||2G(−→x ,−→y ) = (det(−→x ,−→y ,−→z ))2. InterpréterG(−→x ,−→y ,−→z ).
4. En déduire queG(−→x ,−→y ,−→z )est un réel positif et est nul si et seulement si les vecteurs −→x ,−→y et
−
→z sont coplanaires.
5. Soit a, b, c∈R, on considèreGe=
1 cosb cosc cosb 1 cosa cosc cosa 1
et l’on pose p= 12(a+b+c). Montrer Ge= (1−cos2b)(1−cos2c)−(cosa−cosbcosc)2= 4 sin(p) sin(p−a) sin(p−b) sin(p−c).
6. On considère −→x, −→y et −→z ∈ S2 , non coplanaires. On note a = dS(−→y ,−→z ) = arccos(−→y · −→z ) et de même b et c. Interpréter ces nombres. Montrer 0 < p < π. Montrer l’inégalité triangulaire : a < b+c.
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