Projet : asservissement num´erique d’un oscillateur `a quartz

(1)

asservissement num´erique d’un oscillateur `a

quartz J.-M Friedt & al D´eveloppement microcontroleur P.I.D.

Simulation SPICE Tirage de l’oscillateur SPICE pour l’optimisation

Projet : asservissement num´ erique d’un oscillateur ` a quartz

E. Carry, J.-M Friedt´

jmfriedt@femto-st.fr transparents `ajmfriedt.free.fr

5 mars 2021

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(2)

quartz J.-M Friedt & al

D´eveloppement microcontroleur P.I.D.

Programmation du circuit

• Divers protocoles de communication pour flasher le microcontrˆoleur

• Carte Olimex Atmega32U4 : protocole AVR 109¹

• Par d´efaut, Atmel commercialise ses Atmega32U4 avec le

bootloader DFU (Device Firmware Upgrade)²qui communique par le port USB

• Nouvel outil de configuration du microcontrˆoleur en replacement de avrdude:

MCU=atmega32u4 DFU=dfu-programmer install: $(EXEC).hex

$(DFU) $(MCU) erase

$(DFU) $(MCU) flash $(EXEC).hex

$(DFU) $(MCU) reset

1. www.atmel.com/images/doc1644.pdf 2. http://www.atmel.com/Images/doc7618.pdf

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(3)

D´ ecoupage du programme : communiquer

r´ ecepteur GPS

1.57 GHz Atmega

projet

1 PPS

1 s

32u{2,4}

(Thal`es AC12, Motorola Oncore) IC

PWM USB

RS232

correction fr´ equence

• Communication : bus USB v.s RS232

• RS232 est simple (protocole asynchrone sym´etrique) mais lent et n’est plus support´e sur PC

• USB est asym´etrique et n´ecessite des transactions complexes : LUFA³

3. http://jmfriedt.free.fr/LUFA_light_EEA.tar.gz

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(4)

D´ ecoupage du programme : compter

• Fonctioninput-capturedu compteur

• M´emorisation du compteur `a chaque front montant de 1 PPS

• Oscillateur 16 MHz : 16·10⁶2¹⁶ donc le compteuroverflow

• L’oscillateur pr´esente une d´erive maximum de 100 ppm ...

• `a 16 MHz, 1600 Hz qui tiennent sur 11 bits donc un compteur 16 bits suffit

⇒second programme de démonstration : mesurer la fréquence du quartzet observer sa dérive en le chauffant.

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(5)

D´ ecoupage du programme : compter

• Fonctioninput-capturedu compteur

• M´emorisation du compteur `a chaque front montant de 1 PPS

• Oscillateur 16 MHz : 16·10⁶2¹⁶ donc le compteuroverflow

• L’oscillateur pr´esente une d´erive maximum de 100 ppm ...

• `a 16 MHz, 1600 Hz qui tiennent sur 11 bits donc un compteur 16 bits suffit

9700 9800 9900 10000 10100 10200

0 100 200 300 400 500 600 700

ecart de frequence (Hz)

temps (s)

’temperature_mode_normal.dat’ u 4

fer a souder

bombe givrante

⇒second programme de démonstration : mesurer la fréquence du quartzet observer sa dérive en le chauffant.

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(6)

D´ ecoupage du programme : commander

• Utilisation de la PWM pour générer un signal périodique de rapport cyclique ajustable

• Fréquence de PWM déterminée en accord avec filtre passe bas de lissage (fréquence élevée⇒temps de réaction court)

• Mesurer la gamme de tensionspour lesquelles le quartz continue

`

a osciller et la fréquence du quartz en fonction de la tension Bonus: implémenter lewatchdog pour réinitialiser le microcontrôleur en cas de perte de l’oscillation du quartz

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(7)

D´ ecoupage du programme : commander

Analyse statique et dynamique en boucle ouverte

• déterminer la plage de tensions de fréquences commandées par la tension de PWM

• d´eterminer la constante de temps et gain de la commande

x1

Xout

10 pF

Xin

20 pF

16 MHz

440 nF

PWM

33 k 33 k

Ω Ω 1 nF 82 kΩ mesure

commande localement lineaire

0 9900+/−0

9400 9600 9800 10000 10200 10400 10600

0 200 400 600 800 1000

variation frequence (Hz)

PWM (x100/1024 %) ^{7 / 27}

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D´ ecoupage du programme : asservir (1)

• Mise en œuvre d’une PID num´erique en temps discret (quantification) : ^dx_dt → ^xⁿ^−x_Tⁿ⁻¹

e etX =R

x·dt →X+ =xn·Te

• c(t) =Kp·e(t) +KiR

e(t) +Kdde(t)

• choix des param`etres :Kd etKi nuls,dt Kp croˆıt jusqu’`a osciller.

• Ki pour rendre l’erreur statique nulle

• Kd pour augmenter la dynamique et réduire les dépassements à la consigne

erreur=0;

integrale=0;

erreur_avant=0;

while(1) {

mesure(&freq_mesure); // prend un temps dt erreur=consigne-freq_mesure;

integrale+=erreur; // *dt

sature_integrale(&integrale); // anti-windup derivee=(erreur-erreur_avant); // /dt

commande_pwm=Kp*erreur+Ki*integrale+Kd*derivee; // PID

sature_commande(commande_pwm); // rester dans la gamme erreur_avant=erreur;

} 8 / 27

(9)

D´ ecoupage du programme : asservir (2)

• évolution dec(t) et en considérant (temps discret) la différence cn+1−cn

• loi r´ecursive de commande ...

• ... la somme infinie de l’intégrale se réduit àKi·εn+1

• les termes proportionnel et int´egral sont Kp·(εn+1−εn)·Te et Kd· ^(εⁿ⁺¹^−εⁿ^)−(ε_T ⁿ^−εⁿ⁻¹⁾

e =Kd· ^(εⁿ⁺¹^−2ε_Tⁿ^+εⁿ⁻¹⁾

e .

• équation récursive qui exprime la transformée en Z de la PID :

C(z)(z−1)

| {z }

c_n+1−c_n

=E(z)

Kp·(z−1) +Ki·Te+Kd

z−2 +z⁻¹ Te

⇔C(z)

E(z)= αz+β+γz⁻¹

z−1 = α+βz⁻¹+γz⁻² 1−z⁻¹ err=0;

err_1=0;

err_2=0;

commande_pwm=0;

while(1) {

mesure(&freq_mesure); // prend un temps dt err_2=err_1;

err_1=err;

err=consigne-freq_mesure;

commande_pwm+=Kp*(err-err_1)+Ki*err+Kd*(err+err_2-2*err_1);

sature_commande_et_integrale(&commande_pwm);

} _{9 / 27}

(10)

De la th´ eorie ` a la pratique

9000 9500 10000 10500 11000 11500 12000

0 50 100 150 200 250 300 350-200 -100 0 100 200 300 400 500

frequence % 65536 (Hz) error v.s 9500 (Hz)

time (s)

no PID control PID output frequency PID error signal no feedback

error v.s 9500

soldering iron controlled frequency

Fr´equence de l’oscillateur apr`es chauffe puis refroidissement du quartz.

• Saturation de la commande

• Divergence de l’intégrale⇒saturation de l’intégrateur ou stratégie d’anti-windup

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(11)

Cas particulier de l’asservissement num´ erique

Caract´erisation en boucle ouverte (gainaet retardL) pour en d´eduire les coefficients de la boucle d’asservissement⁴

4. A. Besan¸con-Voda & S. Gentil,Régulateurs PID analogiques et numériques, Tech. de l’ingénieur R7416 (1999), ou sans les fautes, le cours de Gonzalo Cabodevila disponible àhttp://jmfriedt.free.fr/Gonzalo_cours1A.pdf

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(12)

Simulation SPICE

• Composant sp´ecifique SPICE (Add→pspice→VSOURCE)

• Définition des propriétés de la source dans sa valeur

• D´esactiver les composants qui ne font pas partie de la simulation (Edit →Edit Spice Model →Disable symbol for simulation)

• Tools→Simulator→Simulation →Settings

• Run/Stop Simulation→Probe pour s´electionner le point de mesure

• Simulation→Show SPICE Netlist pour r´ecup´erer le fichier ngspice

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(13)

Mod´ elisation de l’amplificateur op´ erationnel

Utilisation de SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis – Univ. Berkeley, CA) et sa version opensourcengspice⁵

• filtre passe-bas : modélisation d’un amplificateur opérationnel idéal

• ampli-op idéal : source de tension commandée en tensionavec fort gain, suivi de passe bas pour une bande passante finie (éviter oscillations)

* +in (=1) -in (=2) out (=3) -- 100k=gain, rbw.cbw=LPF, eout=suiveur .subckt opamp 1 2 3

e 3 0 1 2 100k .ends opamp

e1

-

+ OUT

β= 10⁵

5. J.-M Friedt,Introduction à SPICE3 : simulation de circuits électroniques, et au-delà, OpenSilicum 1 (Janvier-Mars 2011) àjmfriedt.free.fr/lm_spice.pdfet cours de Rémy Brendel àhttp://jmfriedt.free.fr/Spice3.pdf

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Mod´ elisation de l’amplificateur op´ erationnel

Utilisation de SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis – Univ. Berkeley, CA) et sa version opensourcengspice⁶

rin 1 2 2meg e 3 0 1 2 100k .ends opamp

e1

-

+ OUT

β= 10⁵ Rin=2MΩ

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Mod´ elisation de l’amplificateur op´ erationnel

Utilisation de SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis – Univ. Berkeley, CA) et sa version opensourcengspice⁷

rin 1 2 2meg e 4 0 1 2 100k rbw 4 3 0.5meg cbw 3 0 31.85nf .ends opamp

-

+ OUT

e1 β= 10⁵ Rin=2MΩ

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Mod´ elisation de l’amplificateur op´ erationnel

Utilisation de SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis – Univ. Berkeley, CA) et sa version opensourcengspice⁸

-

+ OUT

β= 1 e1

β= 10⁵ Rin=2MΩ1

2

4 5 6 3

eout

XAlternate node sequence: 3 2 6 pour faire correspondre le mod`ele SPICE avec notre assignation de broches

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(17)

Simulation SPICE (ngspice)

• Charger un modèle :Edit Spice Model→Model→Libraryet charger fichier du sous-circuit (.librédigé avec son éditeur favori), sélectionner leModeletType=Subcircuit

• Possibilité de charger des modèles “complexes”, e.g. pour le TL081 (mais polynôme de LTSpice)

http://www.ti.com/product/TL081/toolssoftware

• Alternate Node Sequence pour faire correspondre broches du modèle et du composant (3 2 7 4 6 avec modèle TL081, 3 2 6 avec modèle idéal sans alim.)

• Tunepour balayer la valeur d’un composant et voir son impact sur la fonction de transfert

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Simulation SPICE (ngspice)

• Charger un modèle :Edit Spice Model→Model→Libraryet charger fichier du sous-circuit (.librédigé avec son éditeur favori), sélectionner leModeletType=Subcircuit

• Possibilité de charger des modèles “complexes”, e.g. pour le TL081 (mais polynôme de LTSpice)

http://www.ti.com/product/TL081/toolssoftware

• Alternate Node Sequence pour faire correspondre broches du modèle et du composant (3 2 7 4 6 avec modèle TL081, 3 2 6 avec modèle idéal sans alim.)

• Tunepour balayer la valeur d’un composant et voir son impact sur la fonction de transfert

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Passif command´ e en tension

* resistance

.subckt varres 1 2 CTRL r1 1 2 1e6

b1 1 2 I=V(1,2)/(V(CTRL)+1) .ends

V1 1 0 ac 1 dc 1 sin(1 1 100k) V2 6 0 sin(5 1 10k)

R1 1 2 1000 X1 2 0 6 varres .control tran 1u 200u plot v(2) .endc

• une résistance est déterminée par un courant variant linéairement avec la tension (I =U/R)

• facteur de proportionnalité déterminé par une tension (sourceB n+ n-: Nonlinear dependent source)

2 1

X1 V2 V1

R1 6

0

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014

0 5e-05 0.0001 0.00015 0.0002

tension2 (V)

temps (s) 19 / 27

(20)

Mod´ elisation du comportement de l’oscillateur

• Mod´eliser le tirage en tension en faisant varier lavaricap(varactor)

• varactor⁹:VC(t) =_C¹ R

i(t)·dt⇔C = _V¹

C

Ri(t)·dt et R i est la charge d’un condensanteur de 1 F

* varactor demonstration

* (RC circuit with C: varactor)

* V=1/C \int i(t)dt

* => C=1/V \int i(t)dt .SUBCKT VARICAP 1 2 R1 1 3 1 VC 3 4

BC 4 2 V=(1/(v(1)*10e-9))*v(int) BINT 0 INT I=I(VC)

CINT INT 0 1 .ENDS

Ve 1 0 AC 1 DC 2 sin(1.5 1 1k) R1 1 2 1k

C1 2 0 20n X1 2 0 VARICAP Coff 2 4 1u Ro 4 0 100 .control destroy all set units = degrees

R1 3 4

2 1

VC

1F BINT

B2

INT

alter @ve[dc]=0 ac lin 10001 2k 100k alter @ve[dc]=1 ac lin 10001 2k 100k alter @ve[dc]=2 ac lin 10001 2k 100k alter @ve[dc]=3 ac lin 10001 2k 100k set hcopydevtype=postscript set hcopypscolor=1 set color0=rgb:0/0/0 set color1=rgb:f/f/f

plot db(ac1.v(4)) db(ac2.v(4)) db(ac3.v(4)) db(ac4.v(4)) xlabel f[Hz] ylabel |mag(V)|[dB]

plot ph(ac1.v(4)) ph(ac2.v(4)) ph(ac3.v(4)) ph(ac4.v(4)) xlabel f[Hz] ylabel phase[deg]

hardcopy varicap_abs.ps abs(ac1.v(4)) abs(ac2.v(4)) abs(ac3.v(4)) abs(ac4.v(4)) xlabel f[Hz]

hardcopy varicap_pha.ps ph(ac2.v(4)) ph(ac3.v(4)) ph(ac4.v(4)) xlabel f[Hz] ylabel phase[deg]

unset units .endc

9. C. Basso,SPICE Analog Behavioral Modeling of Variable Passives, Power Electronics Technology (April 2005)

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(21)

Mod´ elisation du comportement de l’oscillateur

• Validation du comportement de la varicap en l’ins´erant dans un filtreRC (τ= 1/(RC))

• variation de la valeur de la varicap en modifiant la polarisation DC

f[hz]

phase[deg]

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0

kHz -1.4

-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2

V ph(ac3.v(4)) ph(ac2.v(4))

ph(ac4.v(4))

f[hz]

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0

kHz 10.0

20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0

mV abs(ac2.v(4)) abs(ac1.v(4))

abs(ac3.v(4)) abs(ac4.v(4))

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(22)

Mod´ elisation du comportement de l’oscillateur

• Capacité de tirage d’un résonateur à quartz : on peut aller de la résonance à l’antirésonance (différence donnée par le coefficient de couplage électromécanique du substrat piézoélectrique)

• conditions de Barkhausen :ϕ= 2nπ,n∈N& gain>pertes,

• r´esonateur oscille sur sa condition de phase nulle, compte tenu des condensateurs dans la r´etroaction.

1 Statek CX-1-03 CRYSTAL 8 MHz to 160 MHz Miniature AT-Cut Quartz Crystal

2 J.R. Vig,Quartz Crystal Resonators and Oscillators, tutorial UFFC, New Orleans (2000),http://www.am1.us/

Local_Papers/U11625%20VIG- TUTORIAL.pdfslide 73

R1

L1

C0

C1

• fr =_2π¹q

1 L1·C1

• Q =_2π·f¹

r·R1·C1

• ^dϕ

df =³⁶⁰_π ·^Q_f

r

• C₁=C₀_ω2 a−ω²_r

ω²_r

=C₀·k²

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Mod´ elisation du comportement de l’oscillateur

• Capacité de tirage d’un résonateur à quartz : on peut aller de la résonance à l’antirésonance (différence donnée par le coefficient de couplage électromécanique du substrat piézoélectrique)

• ⇒mod´eliser le signal oscillant, le filtre passe bas, la varicap et le tirage en tension

f[hz]

phase[deg]

15.9960 15.9970 15.9980 15.9990 16.0000

MHz -180.0

-160.0 -140.0 -120.0 -100.0 -80.0 -60.0 -40.0 -20.0 0.0

V ph(ac3.v(4)) ph(ac2.v(4))

ph(ac4.v(4)) ph(ac5.v(4))

ph(ac6.v(4))

f[hz]

15.9960 15.9970 15.9980 15.9990 16.0000

MHz 0.0

5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

V abs(ac2.v(4)) abs(ac1.v(4))

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(24)

Exploitation de ngspice depuis octave

• ngspicepour la simulation de circuits

´

electroniques, mais peu de fonctions de

traitement

• octavepermet de traiter les fichiers textes (print) générés parngspice

• ⇒générer lanetlist (fichier texte) depuis octave, simuler, puis exploiter les résultats (e.g. optimisation par fminsearch())

n =1;

f o r d = 1 : 1 : 2 0 m=1;

f o r c = 1 : 1 : 2 0

f=f o p e n(’ r c o c t a v e . cir ’,’ w ’) ; % n e t l i s t f p r i n t f( f ," * t i r a g e r e s o n a t e u r \ n ") ; f p r i n t f( f ," V1 99 0 1.0 ac 1 . 0 \ n ") ;% s o u r c e f p r i n t f( f ," rs 99 1 100 k \ n ") ; % s r c Z f p r i n t f( f ," R1 1 2 2 2 . 8 \ n ") ; % BVD m o t i o n a l f p r i n t f( f ," L1 2 3 7 0 . 3 m \ n ") ;

f p r i n t f( f ," C1 3 4 1.4 f \ n ") ;

f p r i n t f( f ," C0 1 4 0 . 6 5 p \ n ") ; % BVD e l e c f p r i n t f( f ," Cp1 1 0 % fp \ n ", d ) ; % c a p a f p r i n t f( f ," Cp2 4 0 % fp \ n ", c ) ; % c a p a f p r i n t f( f ," RL 4 0 100 k \ n ") ; % l o a d i m p e d a n c e f p r i n t f( f ," . c o n t r o l \ n ") ;

f p r i n t f( f ," ac lin 5 0 0 0 1 6 . 0 2 meg 1 6 . 0 8 meg \ n ") ; f p r i n t f( f ," p r i n t vdb (4) vp (4) > t \ n ") ;

f p r i n t f( f ," q u i t \ n ") ; % 1= l i n e , 2= f r e q , 3=dB , 4=ph f p r i n t f( f ," . e n d c \ n ") ;

f c l o s e( f ) ;

s y s t e m(’ n g s p i c e r c o c t a v e . cir > / dev / n u l l ’) ; s y s t e m(’ cat t | g r e p ^[0 -9] t > tt ’) ; s y s t e m(’ rm t ’) ;

l o a d t t

[ a , b ]=max( t t ( : , 3 ) ) ; % r e c h e r c h e max d ’ a d m i t t a n c e s o l u t i o n (m, n )=t t ( b , 2 ) ;% 2eme c o l o n n e = f r e q u e n c e m=m+1;

end n=n+1 end

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Exploitation de ngspice depuis octave

• ngspicepour la simulation de circuits ´electroniques, mais peu de fonctions de traitement

• octavepermet de traiter les fichiers textes (print) générés parngspice

• ⇒générer lanetlist (fichier texte) depuis octave, simuler, puis exploiter les résultats (e.g. optimisation par fminsearch())

0 5 10 15 20

16.0495 16.05 16.0505 16.051 16.0515 16.052 16.0525 16.053

C1 (pF)

freq (MHz)

0 5 10 15 20

2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000

Cp1 (pF)

fmax-fmin (Hz)

Cp2 (pF)

Cp1 (pF) 16.042

16.044 16.046 f (MHz) 16.048 16.05 16.052 16.054 16.056

0 5 0

10 5

15 10

15 20

20

16.02 16.03 16.04 16.05 16.06 16.07 16.08 16.09

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0

freq (MHz)

|Y| (a.u.)

16.02 16.03 16.04 16.05 16.06 16.07 16.08 16.09

-4 -2 0 2 4

freq (MHz)

ph(Y) (rad)

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(26)

Optimisation de filtre

• fonctionfminsearch()de Matlab/Octave pour la descente de gradient,

• fonction de coˆut exploite ngspicepour calculer la fonction de transfert d’un filtreLC coupe-bande dont on visef_c= 500 kHz

0 200000 400000 600000 800000 1e+06

-200 -150 -100 -50 0

frequency (Hz)

|S21| (dB)

• Solution :L= 0.175µH, C= 0.579µH

⇒fc= 5.03e+ 05 Hz

L =.1 e−6;% c o n d i t i o n s i n i t i a l e s ( L , C g r o s s i e r s ) C=1e−6;

X0=[L C ] ;

Xopt=f m i n s e a r c h (’ c o u t _ f i l t r e ’, X0 ) ;

% o p t i m f i l t r e ( [ 1 e−6,1e−6])

p r i n t f(" s o l u t i o n =% f % f \ n ", Xopt ( 1 ) , Xopt ( 2 ) ) ; 1/2/p i/s q r t( L∗C )

1/2/p i/s q r t( Xopt ( 1 )∗Xopt ( 2 ) ) f u n c t i o n e r r e u r= c o u t f i l t r e ( param ) L=param ( 1 )

C=param ( 2 )

i f ( ( L<=0) | | ( C<=0)) e r r e u r =1e 9 ; e l s e

f=f o p e n(’ o p t i m _ f i l . cir ’,’ w ’) ; f p r i n t f( f ," * f i l t r e passe - b a n d e \ n ") ; f p r i n t f( f ," V1 99 0 1.0 ac 1 . 0 \ n ") ; f p r i n t f( f ," rs 99 1 10 k \ n ") ; f p r i n t f( f ," L1 1 2 % fu \ n ", L ) ; f p r i n t f( f ," C1 2 0 % fu \ n ", C ) ; f p r i n t f( f ," RL 1 0 10 k \ n ") ; f p r i n t f( f ," . c o n t r o l \ n ") ;

f p r i n t f( f ," ac lin 5 0 0 0 100 1 meg \ n ") ; f p r i n t f( f ," p r i n t vdb (1) vp (1) > t \ n ") ; f p r i n t f( f ," q u i t \ n ") ;

f p r i n t f( f ," . e n d c \ n ") ; f c l o s e( f ) ;

s y s t e m(’ n g s p i c e o p t i m _ f i l . cir > / dev / n u l l ’) ; s y s t e m(’ cat t | g r e p ^[0 -9] t > tt ’) ; s y s t e m(’ rm t ’) ;

l o a d t t ;

p l o t( t t ( : , 2 ) , t t ( : , 3 ) ) ;h o l d on [ a , b ]=min( t t ( : , 3 ) ) ; f r e q=t t ( b , 2 ) e r r e u r=a b s( f r e q−5e 5 ) ; end

end

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(27)

Conclusion (et questions)

1 Reproduire les simulations de la varicap,

2 Reproduire les simulation de tirage de fréquence du résonateur, compte tenu des informations fournies dans la documentation d’un résonateur, par exemple

http://www.andhraelec.com/app_quartz_crystals.html.

3 Etendre la plage de fr´´ equences de simulation : commenter sur l’évolution de la phase. Comment se compare-t-elle à la phase d’un circuit RLC série ?

4 Quel est le comportement asymptotique (en basse et haute fr´equence) d’un circuitRLC? d’un circuit Butterworth-van Dyke ? Est-ce coh´erent avec les simulations ?

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