I-Généralités I.1-Définitions Unoutillocal:lesdéveloppementslimités

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Un outil local : les développements limités

On observe avec Geogebra que lorsque n grandit la courbe de la fonction polynomiale P_n(x) = 1 +x+ ^x_2!² +^x_3!² +. . .+^x_n!ⁿ est très proche de la courbe de exp.

Nous allons voir comment approximer localement une fonction par une fonction polynomiale, ce qui nous fournira un outil très efficace de calculs de limites, ou d’équivalents...

Dans tout le chapitreIdésigne un intervalle non vide et non réduit à un point etIl’intervalle I auquel on ajouté éventuellement ses bornes (on dit que I est l’adhérence de I).

I - Généralités

I.1 - Définitions

Définition 1 (Voisinage de a) Si a est un réel, on appelle voisinage de a, toute partie de R qui contient un intervalle ouvert centré en a, i.e. un intervalle du type ]a−r, a+r[ avec r > 0. Si a est infini, on appelle voisinage de +∞ (resp. −∞) toute partie de R qui contient un intervalle de la forme ]c,+∞[ (resp. ]− ∞, c[).

Soit f :I →R et a ∈I ∪ {±∞}. Une propriété concernant la fonction f est dite vraie au voisinage de a si elle est vraie sur l’intersection de I et d’un voisinage de a.

Définition 2 Soit f et g deux fonctions réelles définies sur I et a∈ I∪ {±∞}. On dit que f est négligeable devant g au voisinage de a, sig ne s’annule pas au voisinage dea et limaf

g = 0.

On note alors f =

x→ao(g) ou f =o(g). Cela revient à dire qu’il existe une fonction ε telle que au voisinage de a :

f(x) =g(x)ε(x) et lim

x−aε(x) = 0.

Exemples :

• limx→af(x) = 0 ⇐⇒ f(x) =_x→ao(1)

• Au voisinage de +∞, x² =o(x³) mais au voisinage de 0, x³ =o(x²).

• les limites de croissances comparées limx→+∞ lnx

x = 0 et limx→+∞xe^−x = 0, s’interprètent ainsi comme lnx =

x→+∞o(x) et x =

x→+∞o(e^x)

• Sif(x) =g(x) +o(g(x)), alorsf(x)∼g(x).

Si f est une fonction dérivable en a, alors au voisinage de a, on a f(x) = f(a) + (x−a)f^′(a) +o(x−a).

Cela consiste à approximerf au voisinage dea, par la fonction affinex7→f(a)+(x−a)f^′(a).

Nous allons généraliser ce concept en essayant d’écrire localement une fonction comme un polynôme plus un terme d’erreur «négligeable».

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-2021 2 Définition 3 Soit f :I →R et x₀ ∈I. On dit que f admet un développement limité à l’ordre n ∈N (en abrégé DL_n) en x₀ s’il existe des réels a₀, . . . , a_n tels que au voisinage de x₀ :

f(x) = ^Xn

k=0

a_k(x−x₀)^k+o((x−x₀)ⁿ).

Le polynôme P =^Pn_k=0a_k(X−x₀)^k est appelé partie régulière du DL_n. Exemples : (⋆) DL en 0 de x7→ 1

1−x etx7→ 1 1 +x²

I.2 - Propriétés

Proposition 4 (Unicité des coefficients et troncature) Soitf une fonction qui admet un DL_n en x₀. Alors

1. la partie régulière du DL_n est unique.

2. f admet aussi un DLp pour tout entier p 6 n. De plus, la partie régulière du DLp est obtenue en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à p de la partie régulière du DL_n.

La réciproque est fausse, la fonction serpent x7→x²sin1

x admet un DL₁ en 0 mais pas de DL₂ en 0.

Proposition 5 La partie régulière d’un DL en 0 d’une fonction paire (resp. impaire) ne com- porte que des puissances paires (resp. impaires).

Proposition 6 (Lien entre DL et équivalent) (⋆) Sif(x) =

n

X

k=p

ak(x−x₀)^k+o((x−x₀)ⁿ) avec a_p 6= 0, alors

f(x)_x→∼_x

0

a_p(x−x₀)^p.

II - Développements limités usuels en 0

Nous allons établir et retenir les DL des fonctions usuelles au voisinage de 0. Ce sera notre voisinage favori, on pourra s’y ramener en «changeant de variable» : six est au voisinage de a, alors h=x−a est au voisinage de 0.

Exemple : DL₂ en 1 dex7→ _1+x¹ .

II.1 - On peut intégrer les DL

Proposition 7 (Intégration des DL) : Soit f :I →R une fonction dérivable et x₀ ∈ I. Si f^′ admet un DL_n enx₀ avec f^′(x) = ^Pn_k=0a_k(x−x₀)^k+o((x−x₀)ⁿ), alors f admet unDL_n+1 en x₀ avec

f(x)−f(x0) =

n

X

k=0

ak

k+ 1(x−x₀)^k+1+o(x−x₀)ⁿ⁺¹.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-2021 3 Ce résultat que nous démontrerons plus tard exprime que l’on peut intégrer unDL, attention toutefois à ne pas oublier la constante d’intégration représentée par f(x₀) (on rappelle que f(x)−f(x0) =^R_x^x₀f^′(t) dt).

Application : on en déduit les DL en 0 de(⋆) ln(1 +x) et arctanx.

II.2 - Cas des fonctions de classe Cⁿ

Lorsque la fonction est de classeCⁿ, c’est-à-dire dérivablen-fois et que sa dérivéen-ième est continue, nous serons assuré de l’existence d’un DL_n grâce au théorème fondamental suivant : Théorème 8 (Formule de Taylor-Young) : Soit f : I → R une fonction de classe Cⁿ et a∈I. Alors f admet un DL_n en a donné par :

f(x) = ^Xn

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k+o((x−a)ⁿ.

On obtient ainsi la plupart des développements limités usuels en a. Pour les retenir, il est utile de regarder la parité et l’alternance de signe dans la partie régulière :

e^x, chx, shx, cosx, sinx, (1 +x)^α, (⋆)√

1 +x, 1

√1 +x . Exercice :

• établir de deux façons différentes leDL₃ en 2 de ln.

• (⋆) déterminer le DL₅ en 0 de arccos.

La réciproque du théorème de Taylor-Young est fausse : la fonction serpent x 7→ x³sin1 admet un DL₂ en 0 mais n’est pas deux fois-dérivable en 0. x

Nous avons toutefois les résultats suivants pour l’ordre 0 et 1.

Proposition 9 (Lien entre DL et régularité) Soit f :I →R et a ∈I. Alors :

• f admet un DL₀ en a ssi f est continue en a, et dans ce cas f(x) =f(a) +o(1).

• f admet un DL₁ en a ssi f est dérivable en a, et dans ce cas f(x) = f(a) +f^′(a)(x− a) +o(x−a).

Exemples :

• La fonctionx7→ _x¹² n’admet pas deDLen 0 car admet une limite infinie en 0. La fonction racine carrée admet un DL₀ en 0 mais n’admet pas de DL₁ car elle n’est pas dérivable en 0.

• La fonctionx7→ ^ln(1+x)_x se prolonge en une fonction dérivable en 0.

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III - Opérations sur les DL

Un des inconvénients des équivalents était que l’on ne pouvait pas en général les ajouter ou les composer. Pour les DL, nous n’aurons plus ce souci. Voici quelques points à retenir :

• Somme : si f et g admettent unDL_n, alors f+g admet un DL_n.

• Produit : si f etg admettent un DL_n, alorsf×g admet unDL_n. Pour obtenir sa partie régulière, on multiplie les parties principales de f etg en ne gardant que les monômes de degré 6n.

Remarque : parfois pour obtenir unDL_ndef g, on peut utiliser des DLdef oug d’ordre inférieur à n. Par exemple pour le DL₄ en 0 de x 7→sin(x²) ln(1 +x), il suffit d’un DL₃ de sin(x²) et d’un DL₂ de ln(1 +x).

• Composition : comprendre par exemple pourquoi on obtient sans calcul leDL₅(0) suivant : sin(x²) = x²+o(x⁵).

• Quotient : dans la pratique, on utilise le DL de 1

1−x et on est ramené à un produit de DL.

Attention, pour le DL_n de ^f_g, parfois il ne suffit pas d’avoir un DL_n de f et de g. En effet, par exemple si le terme de plus bas degré de la partie principale de f est de 2, notre quotient se simplifie parx², et on aura besoin de DL_n+2 pourf et g. Par exemple, entraînez vous au DL₅ en 0 de tan .

IV - Applications des DL

• Calcul de limites, recherche d’équivalents

• Étude locale d’une fonction : prolongement, dérivabilité, position de la tangente par rap- port à la courbe (à ce sujet on rappelle que si f(x)∼g(x) au voisinage dex₀, alors f(x) etg(x) sont de même signe au voisinage de x₀).

• Étude des branches infinies, recherche d’asymptotes obliques et position. Exemple (⋆) x 7→ ^qx^x−³1 admet en +∞ une asymptote oblique d’équation y = x+ ¹₂ et sa courbe est au-dessus de l’asymptote.

Conseils:

• Les développements limités usuels sont à connaître par coeur et à savoir retrouver rapi- dement (c’est un «par coeur intelligent»).

• Vérifiez que vous êtes bien au voisinage de 0 si vous utilisez unDL usuel en 0.

• Avant de se lancer dans les calculs, essayez de prévoir les termes qui vont vraiment inter- venir et donc l’ordre des DL.

• Entraînez-vous !