Théorie `-adique globale du corps de classes

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Théorie `-adique globale du corps de classes

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Jean-François Jaulent

Résumé.Nous établissons les résultats fondamentaux de la théorie `-adique globale du corps de classes pour les corps de nombres.

Abstract.We establish the fundamental results of the`-adic class field theory for number fields.

Table des matières

0 Introduction et notations 1

0.1 Position du problème. . . 1 0.2 Index des principales notations . . . 2

1 Construction des Z`-modules fondamentaux 4

1.1 Le`-adifié du groupe des idèles. . . 4 1.2 Définition du`-groupe des classes d’idèles . . . 6 1.3 Valeurs absolues`-adiques principales et formule du produit . . . 8 2 Résultats fondamentaux du corps de classes `-adique 9 2.1 Isomorphisme du corps de classes`-adique . . . 9 2.2 Schéma général de la ramification abélienne . . . 12 2.3 Les conjectures de Leopoldt et de Gross . . . 17

3 Eléments de dualité `-adique 19

3.1 Pseudo-radicaux attachés aux groupes d’idèles . . . 19 3.2 Isomorphismes de dualité . . . 23 3.3 Corps coprincipaux et corps logarithmiquement principaux . . . 25

0 Introduction et notations

0.1 Position du problème

La théorie globale du corps de classes, telle qu’elle fut développée notamment par Takagi, Artin et Chevalley, a pour but principal la description arithmétique des extensions abéliennes d’un corps de nombres donné, à l’aide des seuls éléments de ce corps. Dans sa formulation la plus ancienne, celle de Takagi, elle interprète ainsi le groupe de Galois d’une extension abélienne finieL/K de corps de nombres comme groupe de congruences attaché à un diviseurf_L/Kconstruit sur les places ramifiées dans cette extension. Cette description, aujourd’hui encore la plus efficace pour apprécier numériquement une situation donnée, souffre cependant d’être limitée au seul cas des extensions finies. L’introduction par Chevalley des groupes d’idèles, qui relie de façon lumineuse point de vue local et point de vue global, permet de pallier agréablement cette difficulté. Mais d’autres problèmes surgissent alors :

∗J. Théor. Nombres Bordeaux10(1998), 355–397.

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- d’abord, l’application de réciprocité d’Artinψ, définie sur le groupe des classes d’idèlesCK = JK/K^×du corpsK, à valeurs dans le groupe de GaloisGK = Gal(K^ab/K)de l’extension abélienne maximaleK^ab deK, n’est jamais injective : si[K Q] =r+ 2cest la décomposition canonique du degré de K en ses contributions réelle et imaginaire, le noyau C_K⁰ de ψ est, en effet, le produit d’une droite réelleR, dec toresR/Z et der+c−1 solénoïdes(R⊕Zb)/Z, où bZdésigne comme d’ordinaire le complété profini de Z pour la topologie définie par ses sous-groupes d’indice fini.

L’existence de “normes universelles" est ainsi une première source de complications dans la théorie.

- ensuite, la décomposition canonique du groupe de Galois GK comme produit direct de ses p-composantes G^(p)_K = lim

←−GK/G^p_Kⁿ, pour tous les premiers p, ne se traduit pas immédiatement en termes de classes d’idèles, puisque ni le numérateur J_K ni le dénominateur K^× ne sont des Zb-modules ; ce qui est une deuxième source de difficultés en particulier dans l’étude des pro-p- extensions.

- enfin, siS est un ensemble d’au moins deux places finies deK, le produit K_S^× =Q

p∈SK_p^× des groupes multiplicatifs des complétés deKaux places contenues dansSs’injecte naturellement dans le groupeCK,mais la topologie induite sur l’image par la topologie usuelle deCK n’est pas le produit des topologie desK_p^×; ce qui constitue une troisième source de problèmes.

L’approche`-adique de la théorie globale du corps de classes vise précisément à remédier à l’ensemble de ces difficultés ensemblistes, algébriques ou topologiques par une modification convenable du groupe des classes d’idèles et de sa topologie conduisant in fine à un isomorphisme (algébrique et topologique) entre le groupeCK modifié et le groupe de GaloisGK pleinement compatible avec les opérations de semi-localisation. Quoiqu’il soit naturellement possible de mener cette construction pour tous les premiers simultanément, nous avons choisi, pour des raisons de simplicité, de faire choix une fois pour toutes d’un nombre premier ` et de ne travailler que sur les `-parties des groupes précédents : la théorie `-adique ainsi développée fournit donc un isomorphisme (de groupes topologiques) entre le `-adifiéC_K du groupe d’idèles et le groupe de Galois G_K = G^(`)_K de la pro-`-extension abélienne maximale deK. Bien entendu, il est toujours possible, en prenant tous les`ensemble, d’identifier le produitGK des diversGK avec celuiCbK desCK, ce qui revient dans les constructions précédentes à remplacer l’anneauZ` des entiers`-adiques par le produitbZ de tous lesZ`.

Mais cela a souvent pour conséquence de rendre moins visible les rôles très différents, dans les énoncés du corps de classes, de la ramification modérée et de celle sauvage ; de sorte que c’est la présentation`-adique qui nous parait traduire au mieux la réalité arithmétique.

L’exposé fondateur de la théorie `-adique globale du corps de classes est le chapitre I.1 d’un travail de thèse sur l’arithmétique des`-extensions soutenu en 1986 (cf. [J0]) qui, contrairement à d’autres sections de la thèse, n’avait jamais fait jusqu’ici l’objet d’une publication spécifique.

Compte tenu de l’intérêt propre de l’approche`-adique de la théorie du corps de classes, il nous a donc semblé important d’endonner ici une présentation complète en liaison avec quelques déve- loppements plus récents.

Notre point de départ est la théorie de Chevalley telle qu’elle est exposée, par exemple, dans le livre d’Artin et Tate [AT]. Nous construisons d’abord lesZ`-modules fondamentaux (section 1) et établissons ensuite les principaux résultats de la théorie`-adique (section 2). Dans une dernière partie, nous abordons enfin des questions de dualité liées notamment aux classes logarithmiques (section 3). Les notations utilisées sont rassemblées dans un index. Un appendice récapitule les groupes de normes attachés à quelques unes des principales pro-`-extensions abéliennes d’un corps de nombres donné.

0.2 Index des principales notations

De façon générale, les objets standard sont représentés par un caractère latin ; leurs `-adifiés respectifs (par exemple leur tensorisé par Z`) par un caractère anglais ; leurs co-`-adifiés le sont par un caractère gothique.

Notations latines :

K^× le groupe multiplicatif d’un corps de nombresK;

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JK le groupe des idèles (au sens habituel) deK, UK le sous-groupe des idèles unités ;

DK =JK/UK le groupe des diviseurs ; PK le sous-groupe des diviseurs principaux ;

ClK =DK/PK le groupe des classes de diviseurs (i.e. des classes d’idéaux au sens restreint) ; EK (resp.E_K^ord) le groupe des unités au sens restreint (resp. ordinaire) ;

P l_K (resp.P l_K(∞), P lK(`)) l’ensemble des places deK (resp. à l’infini, divisant`) ; r, c, lles nombres respectifs de places réelles, complexes ou`-adiques deK;

S un ensemble fini de places deK etsson cardinal ; E_K^S le groupe desS-unités (au sens restreint) deK;

Cl_K^S le groupe desS-classes de diviseurs (ou d’idéaux au sens restreint) ; K_p le complété deK en la placep;

K_p^× le groupe multiplicatif deKp et Up son sous-groupe unité ; vp (resp.˜vp) la valuation (resp. la valuation logarithmique) surK_p^×. Notations anglaises :

R_K=Z`⊗_ZK^× le`-groupe des idèles principaux (le rayon) ; E_K =Z`⊗_ZE_K le`-groupe des unités (au sens restreint) ; D_K=Z`⊗_ZD_K le`-groupe des diviseurs ;

PK =Z^`⊗_ZPK son sous-groupe principal ;

C`K =DK/PK le`-groupe des classes de diviseurs deK; RK_p= lim

←− K_p^×/K_p^×`ⁿ le compactifié`-adique du groupe multiplicatifK_p^×; UK_p = lim

← Up/U_p^`ⁿ le sous-groupe unité deRK_p; JK =Q^resRK_p le`-groupe des idèles deK; CK =JK/RK le`-groupe des classes d’idèles ; UK =Q

UK_p le sous-groupe des idèles unités ; UeK =Q

Uep le sous-groupe des unités logarithmiques deJK;

JeK le noyau dansJK de la formule du produit pour les valeurs absolues ; DeK=JeK/eUK le`-groupe des diviseurs logarithmiques (de degré nul) ; PeK =RKUeK/UeK son sous-groupe principal ;

Ce`_K =DeK/PeK le`-groupe des classes logarithmiques ;

Ee_K =R_K∩ Ue_K le`-groupe des unités logarithmiques globales ; HK=JK/RKµeK le quotient deCK par l’image deµeK; TK =H^tor_K le sous-groupe de torsion deHK;

J_K^S =U^SRS =Q

p∈S/ UK_p Q

p∈S RK_p le`-groupe desS-idèles ; E_K^S =RK∩ J_K^S le`-groupe desS-unités globales ;

C`^S_K =JK/RKU_K^S le`-groupe desS-classes de diviseurs.

Notations grecques : πp une uniformisante deKp;

µ⁰_p (resp.µ¹_p) le sous-groupe des racines de l’unité d’ordre étranger àp (resp. d’ordrep-primaire) deKp;

µK =R^tor_K le`-groupe des racines de l’unité dansRK; µeK =Q

µp le sous-groupe fermé engendré par les racines de l’unité ; µ^loc_K =RK∩µe_K le sous-groupe deRK formé des racines locales de l’unité ; Notations gothiques :

JK = (Q`/Z`)⊗_Z_`JK le`-groupe des coïdèles deK; UK= (Q`/Z`)⊗_Z_`UK le sous-groupe des coïdèles unités ;

UeK= (Q`/Z`)⊗_Z_`UeK le sous-groupe des coïdèles unités logarithmiques ; DK = (Q`/Z`)⊗_Z_`DK le`-groupe des codiviseurs ;

DeK = (Q`/Z`)⊗_Z_`DeK le`-groupe des codiviseurs logarithmiques ; RK = (Q`/Z`)⊗_Z_`RK le pseudo-radical global ;

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PK = (Q`/Z`)⊗_Z_`PK le`-groupe des codiviseurs principaux ; PeK = (Q`/Z`)⊗_Z_`PeK son analogue logarithmique ;

E^ord_K = (Q`/Z`)⊗_Z_` E_K^ordle`-groupe des coünités (au sens ordinaire) ; EeK = (Q`/Z`)⊗_Z_` EeK le`-groupe des coünités logarithmiques ; E^loc_K = (Q`/Z`)⊗_Z_`µ^loc_K;

C_K = (Q`/Z`)⊗_Z_`C_K le`-groupe des classes de coïdèles ; Cl_K =Ker(R_K →J_K)le`-groupe des coclasses d’idèles ; H_K=Ker(R_K→De_K)le pseudo-radical hilbertien ;

TK =HK/H^div_K le quotient deHK par son sous-module divisible maximal.

1 Construction des Z

^`

-modules fondamentaux

Le nombre premier ` étant fixé, nous désignons par Z` = lim

←−Z/`^kZ l’anneau des entiers `- adiques.

D’autre part, pour chaque place non complexe pd’un corps de nombresK, nous notonsvp la valuation associée, à valeurs dansZpourp ultramétrique, dansZ/2Zpour préelle.

1.1 Le `-adifié du groupe des idèles

A chaque corps de nombresK (de degré fini surQ), nous allons associer deux Z`-modules : le premierRK global, défini à partir du groupe multiplicatifK^× des éléments non nuls deK; le se- condJK semi-local, construit à partir des groupes multiplicatifsK_p^×des complétés non complexes deK.

Définition 1.1. Etant donné un corps de nombresK, nous appelons`-groupe des idèles principaux deK et nous notonsRK le tensorisé`-adique du groupe multiplicatif de ses éléments non nuls :

RK =Z`⊗_ZK^×.

Le groupe RK est la réunion des `-groupes de S-unités E_K^S = Z` ⊗_ZE_K^S, lorsque S parcourt les ensembles finis de places de K. Chacun des E_K^S est compact pour sa topologie naturelle de Z`-module nœthérien et R_K est lui-même un Z`-module topologique pour la limite inductive des topologies des E_K^S.

Par définition de la topologie limite inductive, les sous-modules ouverts deRK sont exactement ceux qui intersectent chacun des E_K^S suivant un sous-module relatif ouvert, c’est à dire (puisque lesE_K^S sont de type fini sur Z`) suivant un sous-module d’indice fini. La topologie ainsi obtenue surRK est donc strictement plus fine que celle définie par ses sous-modules d’indice fini.

Remarques. (i) L’application canonique de K^× dans R_K n’est pas généralement injective. Plus précisément son noyau est le sous-groupeµ⁰_K deK^× formé des racines de l’unité dansK d’ordre étranger à `. Le quotient K^×/µ⁰_K, qui s’injecte dans R_K, s’identifie à un sous-groupe partout dense deRK.

(ii) Convenons d’ordonner les places de K en posant Sn = {p ∈ P lK|Np ≤ n} (avec la conventionNp=±1 pour les places archimédiennes). Nous avons évidemment K^× =S

n∈NE_K^Sⁿ et chacun desE_K^Sⁿ={x∈K^×|vp(x) = 0, ∀p∈/ Sn} est unZ-module de type fini. En particulier R_K=S

n∈NE_K^Sⁿ est réunion dénombrable deZ`-modules compacts.

(iii) Le groupeRKs’identifie à un sous-module strict de la limite projectiveK= lim

←−K^×/K^×`^k; cependant la topologie deRK n’est pas la restriction àRK de la topologie naturelle deKdéfinie par les sous-modulesK^`^k.

Définition et proposition 1.2. Pour chaque place pdu corps de nombresK, nous notons RK_p = lim

←−K_p^×/K_p^×`^k

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le `-adifié du groupe multiplicatif K_p^× du complété de K en p. Le groupe RK_p est un Z`-module nœthérien donc compact pour la topologie définie par ses sous-modules d’indice fini.

(i) Sipest archimédienne, deux cas se présentent : sipest réelle et`égal à 2, il est isomorphe àZ/2Z; il est nul dans tous les autres cas.

(ii) Sipest ultramétrique, le choix d’une informisanteπp permet d’écrire formellementRK_p = UKpπ_p^Z^` en notant encore π_p l’image de π_p dans RKp et en désignant par UKp = lim

←−U_p/U_p^`^k la limite projective des quotients d’exposant`-primaire du sous-groupe des unités du corps localK_p :

- lorsque p divise`, le groupeU_K_p n’est autre que le groupe des unités principales de K_p; - lorsquep ne divise pas`, il s’identifie au`-sous-groupe de Sylowµ_p du groupe des racines de l’unité dans Kp. Dans les deux cas nous disons que UK_p est le sous-groupe des unités de RK_p. Démonstration. (i) Sipest une place archimédienne, le groupe multiplicatifKp^× est soit divisible, lorsque p est complexe ; soit le produit de {±1} par un groupe divisible, lorsque p est réelle. La limite projectiveRKp est donc nulle dans le premier cas, isomorphe àZ`/2Z` dans le second.

(ii) Si pest une place ultramétrique, la décomposition du groupe multiplicatif du complété K_p^×=µ⁰_pU_p¹π_p^Z

fait intervenir le groupe µ⁰_p des racines de l’unité d’ordre étranger à p, le groupe U_p¹ des unités principales, et une uniformisanteπp deKp.

- Sipest au-dessus de`, le groupeµ⁰_pest`-divisible et le groupeU_p¹est unZ`-module nœthérien, isomorphe comme tel à la limite projective de ses quotients finis. Il vient donc dans ce cas :

UK_p = lim

←−U_p/U_p^`^k = lim

←−U_p¹/U_p^1`^k 'U_p¹,comme annoncé.

- Si p ne divise pas`, le groupe µ⁰_p est le produit direct de son `-sous-groupe de Sylow µp et de son sous-groupe `-divisibleµ⁰_p; tandis que le groupeU_p¹, qui est un Zp-module (avec p6=`), est donc`-divisible. Il suit alors :

UK_p = lim

←−Up/U_p^`^k 'µp,comme annoncé.

Dans les deux cas, le groupeRK_p est le produit direct deUK_p et duZ`-module libre de dimension 1 engendré par l’image de l’uniformisanteπp.

Remarques.(i) Contrairement àRK_p, le tensorisé`-adiqueZ`⊗_ZK_p^× n’est pas, lui, unZ`-module de type fini : la décomposition U_p¹ 'µ¹_pZ^dp^p du sous-groupe principal faisant apparaître un Zp- module libre de dimensiondp= [Kp:Qp], donc unZ-module sans torsion de rang infini, le produit tensorielZ`⊗_ZK_p^× est lui-même de rang infini sur Z`.

(ii) Il est commode de poser UK_p = 1 lorsque p est archimédienne réelle et, pour ` = 2, de prendreπp =−1, ce qui permet d’écrire

RK_p ' UK_pπ^Z_p^`^/2^Z^`, par analogie avec le cas ultramétrique.

Définition 1.3. Par `-groupe des idèles d’un corps de nombres K, nous entendons le produit JK=Y^res

p∈P lK

RK_p

des`-adifiés des groupes multiplicatifs des complétés de K, restreint aux familles (x_p)_{p∈P l}_K dont tous les éléments sont des unités à l’exception d’un nombre fini d’entre eux.

Le groupe J_K est la réunion des `-groupes J_K^S =Q

p∈SR_K_p Q

p∈S/ U_K_p, lorsque S parcourt les ensembles finis de places de K. Chacun desJ_K^S est compact pour sa topologie naturelle deZ`- module produit etJK est lui-même unZ`-module topologique pour la limite inductive des topologies desJ_K^S.

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Par définition de la topologie limite inductive, les sous-modules ouverts de JK sont ceux qui intersectent chacun des J_K^S suivant un sous-module relatif ouvert. De fait, il est possible d’exhiber une base de sous-modules ouverts deJK en procédant comme suit : pour chaque place ultramétrique p de K, faisons choix d’une uniformisante πp dans RK_p; si p est réelle prenons πp =−1; et, si p est complexe πp = 1. Cela posé, le groupe JK s’écrit comme somme directe topologique du sous-module compact UK = Q

p∈P lKUKp, formé des éléments unités, et du Z`- module multiplicatif ⊕

p∈P lK

π^Z_p^` construit sur les π_p, qui s’identifie au `-groupe DK = (⊕

p-∞

p^Z^`)⊕ ( ⊕

préel

p^Z^`^/2^Z^`) des diviseurs deK;

JK ' UK⊕ DK. Les produits (Q

p∈P lKU_p⁰)L (L

p∈P lKπ_p^`^np^Z^`) où, pour chaque place p de K, le facteur U_p⁰ désigne un sous-module d’indice fini de UKp égal à UKp pour presque tout p, et np un entier naturel arbitraire, forment une base de sous-modules ouverts deJK.

Remarques.(i) L’application canonique du groupe des idèles J_K dans le`-adifiéJK n’est jamais injective : son noyau est le produitQ

p|∞K_p^×2Q

p|`µ⁰_pQ

p-`∞µ⁰_pU_p¹; son image est un sous-groupe partout dense deJK.

(ii) Convenons d’ordonner les places de K en posant S_n = {p ∈ P l_K|Np ≤ n} (avec la conventionNp =±1pour les places archimédiennes). Nous avons évidemmentJ_K =S

n∈NJ_K^Sⁿ, ce qui montre queJK est réunion dénombrable deZ^`-modules compacts.

(iii) Le groupe JK s’identifie naturellement à un sous-module strict du produit Q

p∈P lKRK_p

des compactifiésRK_p. Cependant, la topologie deJK n’est pas la restriction àJK du produit des topologies desRK_p.

1.2 Définition du `-groupe des classes d’idèles

Théorème et définition 1.4. L’application naturelle du tensorisé`-adiqueRK =Z`⊗_ZK^× du groupe multiplicatif du corpsK dans le`-adifié JK du groupe des idèles deK, qui est induite par l’injection diagonale de K dans le produit de ses complétés Q

p∈P lKKp, est un monomorphisme continu. Le groupe topologique quotient

CK=JK/RK

est unZ`-module compact. Nous disons que c’est le`-groupe des classes d’idèles du corpsK.

Démonstration. Partons de l’injection diagonale K^× ,→ Q

p∈P lKK_p^× du groupe multiplicatif de K dans le produit de ceux de ses complétés. Par passage au quotient, nous en déduisons, pour chaque entierk, un morphisme naturel

K^×/K^×`^k → Y

p∈P l_K

K_p^×/K_p^×`^k,

qui est injectif lorsque`est impair, et dont le noyau est d’ordre 1 ou 2 dans tous les cas (cf. [AT], Ch. X,§1, th.1). Par passage à la limite projective, nous obtenons par conséquent un morphisme injectif :

K^×= lim

←−K^×/K^×`^k,→ Y

p∈P l_K

lim←−K_p^×/K_p^×`^k = Y

p∈P l_K

RK_p.

Sa restriction au départ àRK, à l’arrivée àJK, est leZ`-morphisme cherché. Comme il est injectif d’après ce qui précède, nous identifierons désormaisRK avec son image canonique dansJK. Cela étant, nous allons établir successivement :

(i) que l’application naturelle de RK dansJK est continue ; (ii) queRK est fermé dans JK;

(iii) que le quotientJK/RK est unZ`-module compact.

(i) Le premier point résulte de la définition de la topologie limite inductive : pour chaque ensemble fini S de places de K, le groupe E_K^S =R_K∩ J_K^S est unZ`-module de type fini donc,

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d’une façon et d’une seule, unZ`-module topologique. En particulier la topologie deE_K^S est induite par celle deJ_K^S. Si doncOK est un sous-module ouvert deJK, les sous-modulesOK∩ J_K^S étant ouverts dans les J_K^S, il en est de même des sous-modules OK∩ E_K^S dans lesE_K^S ; ce qui veut dire queOK∩ RK est un sous-module ouvert deRK. En particulier l’injection canonique deRK dans JK est bien continue.

(ii) Le second point s’établit comme suit : étant donné un idèle généralisé r deJK qui n’est pas dansRK, fixonsS assez grand contenant les places archimédiennes, pour avoirr∈ J_K^S; puis, pour chaque place p de K n’appartenant pas à S, choisissonsn_p assez grand, de telle sorte que le diviseurp^`^np soit principal (dans le`-groupeD_K=Z`⊗_ZD_K des diviseurs deK). Cela étant, commeE_K^S est fermé dans J_K^S, il existe un sous-module ouvertO_K^S deJ_K^S dont le translatérO^S_K ne rencontre pasE_K^S.LeZ`-moduleO_K engendré dansJ_K parE_K^S et les élémentsπ_p^`ⁿ^p pourp∈S est alors un sous-module ouvert deJK dont le translatérOK ne rencontre pasRK.

(iii) Pour établir le troisième point, nous allons montrer queUKRK/RK ' UK/EK, image dans CK du sous-module compact UK de JK formé des idèles unités, en est un sous-module d’indice fini (de sorte queCK sera compact comme réunion finie de compacts).

Or, cela résulte de la proposition :

Proposition 1.5. Le quotientJK/UKRK du`-groupe des classes d’idèles du corpsKpar le sous- groupe formé des classes des idèles unités s’identifie canoniquement au`-groupe fini des classes de diviseurs deK :

JK/UKRK' C`K.

Démonstration. Le groupe des diviseurs d’un corps de nombres est le groupe abélien libre construit sur ses valuations : Comme la valuationv_passociée à une place deKest triviale sipest complexe, à valeurs dansZ/2Z sipest réelle, et dansZsi pest ultramétrique, le groupeDK est le produit direct derK exemplaires deZ/2Zet du groupeIdKdes idéaux deK. Son quotientDK/PK par le sous-groupe des diviseurs principaux (i.e. par l’image canonique deK^× dansDK) est fini d’après la géométrie des nombres : dans la terminologie des idéaux, c’est le groupe des classes au sens restreint. Son`-sous-groupe de SylowC`K=Z`⊗_Z(DK/PK)est donc canoniquement le quotient DK/PK du tensorisé`-adiqueDK =Z`⊗_ZDK du groupe des diviseurs par celui PK =Z`⊗_ZPK

du sous-groupe principal PK. Maintenant, DK s’identifie canoniquement à JK/UK, et PK est l’image canonique deRK dansDK.

La correspondance entre`-groupes de classes d’idèles et de diviseurs peut ainsi se résumer par le diagramme commutatif exact (où toutes les flèches sont desZ`-morphismes) :

1 1 1



 y



 y



 y

1 −−−−−→ EK=Z`⊗_ZEK −−−−−→ UK =Q

p∈P l_KUKp −−−−−→ UK/EK −−−−−→ 1



 y



 y



 y

1 −−−−−→ RK =Z^`⊗_ZK^× −−−−−→ JK =Qres

p∈P l_KRK_p −−−−−→ CK −−−−−→ 1



 y



 y



 y

1 −−−−−→ PK =Z`⊗_ZPK −−−−−→ DK=Z`⊗_ZDK −−−−−→ C`K −−−−−→ 1



 y



 y



 y

1 1 1

Diagramme 1

Scolie 1.6. Pour tout ensemble fini de S de places de K, le quotient C`^S_K =JK/RKU_K^S du `- groupe des classes d’idèles CK par le sous-groupe CK(S)' J_K^S/E_K^S (des classes des idèles unités en dehors de S) s’identifie canoniquement au quotient C`_K/C`_K(S) du `-groupe des classes de

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diviseurs du corps K par le sous-groupe engendré par les classes des diviseurs construits sur les places deS. Nous disons queC`^S_K est le `-groupe desS-classes de diviseurs du corps K.

1.3 Valeurs absolues `-adiques principales et formule du produit

On pourrait craindre que la`-adification des groupes d’idèles fasse disparaître la classique formule du produit pour les valeurs absolues. Il n’en est rien, à condition naturellement de remplacer les valeurs absolues habituelles par des valeurs absolues`-adiques convenables.

Désignons pour cela par Z^×` le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau des nombres`-adiques, parU_`¹= 1 +`Z`le sous-groupe des unités principales deZ`, et paru7→< u >

la surjection canonique de Z^×` sur U_`¹ (de sorte que, pour ` impair, le quotient u/ < u > est l’unique racine de l’unité dansZ`qui est congrue àumodulo`; tandis que si`vaut 2,< u >est toujours égal àu). Cela étant nous avons :

Définition 1.7. Etant donnée une placepd’un corps de nombresK, nous appelons valeur absolue

`-adique principale d’un élément x_p du groupeRKp et nous notons|xp|p, l’élément du Z`-module multiplicatifU_`¹= 1 +`Z` défini par :

|xp|p= 1, sipest complexe ;

|xp|p=< sg(xp)>, sip est réelle ;

|xp|p=< Np^−v^p^(x^p⁾>, sip est ultramétrique et étrangère à`;

|xp|p=< NK_p/Qp(xp)Np^−v^p^(x^p⁾>, sip est au-dessus de`.

Enfin, nous appelons valeur absolue `-adique principale d’un élémentx deRK relativement à la place p, et nous notons|x|p la valeur absolue `-adique principale de l’élément s_p(x), où s_p est la surjection canonique de RK dansRKp, induite par l’injection naturelle de K^× dansK_p^×. Remarques.(i) La définition donnée ici diffère de celle de Tate (cf. [Ta], Ch. VI,§1, déf. 1.1), qui ne s’étend pas auxZ`-modules. Plus précisément, pour chaque placep deK, la quantité|x|p est le crochet de la valeur absolue de Tate ; c’est pourquoi nous parlons de valeur absolue principale.

(ii) L’applicationx_p7→ |xp|pest trivialement unZ`-morphisme deRKpdansU_`. En particulier, elle est continue et fermée pour la topologie naturelle de ces deux modules. Sipest ultramétrique, son image|R_K_p|_p est, en outre, un sous-module d’indice fini deU_`.

Proposition 1.8 (Formule du produit pour les valeurs absolues). L’application x= (xp)p−→ ||x|| =

déf

Y

p∈P lK

|xp|p

est un Z^`-morphisme continu du `-groupe JK des idèles du corps K sur le groupe U` des unités principales de l’anneauZ^`. Son noyauJeKest un sous-module fermé deJKqui contient le tensorisé

`-adique RK du groupe multiplicatifK^×.

Démonstration. Remarquons d’abord que la quantitéQ |xp|pest bien définie puisque, pour chaque idèlexdeJK, les composantesxpétant des unités pour presque toutp, le produit infini n’a en fait qu’un nombre fini de facteurs distincts de 1. Cela étant, pour montrer que l’application x7→ ||x||

est continue surJK, il nous suffit, d’après la propriété universelle de la topologie limite inductive, de vérifier la continuité de sa restriction au sous-module J_K^S, pour chaque ensemble fini S assez grand de places deK. Pour cela, nous pouvons supposer queS contient les places au-dessus de`, auquel cas nous avons||x||=Q

p∈S|xp|p, pour chaquexde J_K^S; et la continuité de || · ||résulte de celle des applications|| · ||p sur chacun des facteursRKp.

Enfin, pour établir la formule du produit, il suffit de noter qu’elle est trivialement vérifiée sur le corps des rationnels, puis d’écrire que l’on a, pour toutxdeRK :

||x||_K = Y

p∈P lK

|x|_p= Y

p∈P lQ

Y

p|p

|x|_p= Y

p∈P lQ

Y

p|p

|N_K_p_/_Q_p(x)|_p= Y

p∈P lQ

|N_K/_Q(x)| = ||N_K/_Q(x)||_Q= 1.

(9)

Corollaire 1.9. Le noyau JeK de la formule du produit pour les valeurs absolues `-adiques sur K est l’image réciproque par la norme arithmétiqueN_K/_Q du même noyau Je_Q pour le corps des rationnelsQ.

Démonstration. On a, en effet, ||x||_K = ||N_K/_Q(x)||_Q pour tout x de J_K, et par suite Je_K =

−1N_K/_Q(Je_Q).

Proposition 1.10. Soitpune place deK et | · |_p la valeur absolue`-adique principale associée.

(i) Sip ne divise pas`, le noyauUe_pde l’application| · |_p est le sous-module des unités deR_K_p :

|xp|p= 1⇔x_p∈ UKp.

(ii) Sip divise`, le noyauUep de l’application| · |p est caractérisé par la condition :

|xp|p= 1⇔Log_`N_K_p_/_Q_`(xp) =Tr_K_p_/_Q_`Log_p(xp) = 0.

Le groupe Uep est le produit direct du sous-groupe µp des racines de l’unité dans RK_p, et d’un Z`-module libre de rang [Kp :Q`].

Et, dans tous les cas, le groupeUep est l’image réciproque par la norme arithmétique localeNK_p/Qp

du noyau dansRp de la valeur absolue `-adique principale surQp.

Démonstration. (i) Lorsquepne divise pas`, la condition|xp|p= 1s’écrit tout aussi bienvp(xp) = 0; elle caractérise donc les unités de RK_p (on notera que, du fait des conventions utilisées, −1 n’est pas une unité dansRK_p, sip est réelle et` égal à2).

(ii) Lorsquepdivise`, la condition|xp|p= 1s’écrit encore< N_K_p_/_Q_`(xp)/ Np^v^p^(x^p⁾>= 1.Elle affirme donc que la norme dexps’écrit comme produit d’une puissance de`(qui est nécessairement Np^v^p^(x^p⁾) et d’une racine de l’unité. Mais cette propriété caractérise le noyau du logarithme d’Iwasawa dans Q`, ce qui conduit à l’équivalence annoncée. Enfin, comme |RK_p|p est d’indice fini dansU`, il vient immédiatement (avec la convention dim_Z_`X =

défdim_Q_`Q`⊗_Z_` X pour tout Z`-moduleX) :

dim_Z_`Uep= dim_Z_`RKp −1 = dim_Z_`UKp = [K_p :Q`].

Corollaire 1.11. Le noyau dansJK des valeurs absolues principales est le sous-module compact UeK = Q

p-`∞

µpQ

l|`

Uel composé direct du sous-groupe Q

p-∞µp des idèles unités qui sont localement des racines de l’unité, et d’unZ`-module libre de dimension P

l|`

[Kl:Q`] = [K:Q].

Définition 1.12. Le quotientDeK =JeK/UeK est, par définition, le`-groupe des diviseurs logarithmiques du corpsK. Nous disons que l’imagePeK deRK dans DeK est le sous-groupe principal de DeK. Le quotient

C`fK =

défDeK/PeK=JeK/eUKRK, est le`-groupe des classes logarithmiques du corpsK.

Nota. Comme expliqué plus loin, la conjecture du Gross généralisée postule précisément la finitude du groupeC`fK.

2 Résultats fondamentaux du corps de classes `-adique

2.1 Isomorphisme du corps de classes `-adique

Nous rappelons sans démonstration les résultats fondamentaux du corps classes local pour les

`-extensions, puisqu’ils sont essentiellement bien connus sous cette forme (cf. par exemple, [AT], Ch. VI,§4). Nous donnons en revanche la preuve des résultats globaux.

(10)

Théorème 2.1 (Corps de classes local). Étant donné un corps local Kp, l’application de réci- procité induit un isomorphisme de Z`-modules topologiques entre le compactifié profini RK_p = lim←−Kp^×/Kp^×`^k et le groupe de Galois Dp= Gal(K_p^ab/Kp)de la`-extension abélienne maximale du corpsK_p. Dans cet isomorphisme le groupe d’inertie I_p =In(K_p^ab/K_p)est l’image du sous-groupe UKp des unités deRKp.

- Sip ne divise pas`, la ramification est modérée et le groupeI_p est fini, isomorphe au`-Sylow µ_p du groupe des racines de l’unité dansK_p.

- Si p divise `, la ramification est sauvage et le groupeI_p est infini. Dans ce cas, la suite des sous-groupes supérieurs de ramification est l’image dans D_p de la filtration canonique (U_pⁱ)_i≥1 = (1 +pⁱ)i≥1 du groupe UK_p.

Remarques. (i) L’application de réciprocité locale établit une correspondance bijective entre les sous-modules fermés de R_K_p et les `-extensions abéliennes deK_p. Plus précisément toute sous- extension L_p de K_p^ab est le corps des points fixes d’un unique sous-module fermé de R_K_p. En particulier, siHest un sous-groupe quelconque deRK_p, etLpson corps des invariants, la fermeture deH dansRK_p est le sous-module deRK_p associé àLp.

(ii) Dans la correspondance obtenue, les`-extensions abéliennes finies deKpsont associées aux sous-modules fermés d’indice fini deRK_p, i.e. aux sous-modules ouverts deRK_p. Ces sous-modules sont donc caractérisés comme groupes de normes associés aux`-extensions finies de Kp :

Scolie 2.2. Si L_P est une `-extension finie quelconque de K_p, le sous-module ouvert de RKp

associé par le corps de classes local à la sous-extension maximaleL^ab_P deL_P qui est abélienne sur KP, est l’image deRK_p = lim

←−L^×_P/L^×`_P^k par la norme arithmétique. Il vient ainsi : D^ab_p(LP/Kp) = Gal(L^ab_P/Kp)' RK_p/N_L_P_/K_pRL_P

I_p^ab(LP/Kp) =In(L^ab_P/Kp) =UK_p/N_L_P_/K_pUK_p.

Ce résultat s’étend sans difficulté aux extensions infinies, si l’on convient de dire qu’un élément deR_K_pest norme dans une telle extension lorsqu’il est norme dans chacune de ses sous-extensions finies. Dans ce cas, le théorème d’existence du corps de classes local affirme que tout sous module fermé deRK_p est le groupe des normes d’une unique`-extension abélienne deKp.

Théorème 2.3 (Corps de classes global). Étant donné un corps de nombresK, l’application de réciprocité induit un isomorphisme continu du`-groupeJK des idèles deKsur le groupe de Galois Gâb_K = Gal(Kâb/K)de la`-extension abélienne maximale de K; le noyau de ce morphisme est le sous-groupe RK formé des idèles principaux. Dans la correspondance obtenue, le sous-groupe de décomposition Dp d’une place p de K est l’image dans Gâb_K du sous-groupe RK_p de JK; et son sous-groupe d’inertie Ip est celle du sous-groupe Up des unités de RK_p.

Démonstration. D’après Artin-Tate (cf. [AT], Ch. XIV, prop. 10), le morphisme surjectif du groupe des idèles deKsur le groupe de GaloisG_K de la`-extension abélienne maximale deKest nul sur le sous-groupe `-divisible J_K^div de JK. Comme le `-groupe généralisé JK contient canoniquement le quotientJK/J_K^div, il s’agit donc d’établir que le morphisme quotientJK/J_K^div →G^ab_K se prolonge de façon unique en un Z`-morphisme ψde JK surG^ab_K, que ce prolongement est continu, et que son noyau est le groupeRK des idèles principaux.

(i) existence du prolongement : Pour chaque place ultramétrique p de K faisons choix d’une uniformisanteπp; prenonsπp= 1, sipest complexe ;πp =−1, sipest réelle. Puisque le sous-groupe UK des unités deJK est contenu, par construction, dans celuiUK deJK, l’applicationψcherchée est bien définie sur le sous-groupe denseUK ⊕

p∈P lK

π^Z_p. Écrivant alorsψ(u·Q

p

πp^a^p) =ψ(u)Q

p

ψ(πp)^a^p, pour chaque famille (ap)p d’entiers `-adiques presque tous nuls, nous obtenons le prolongement cherché.

(ii) continuité de l’application obtenue : Si H est un sous-groupe ouvert de G^ab_K, le corps des points fixes qui lui correspond par la théorie de Galois est une`-extension abélienne finie deK;

(11)

elle est ramifiée en un nombre fini de places. Par suite, si S est la réunion des places ramifiées et de celles au-dessus de`, nous avons évidemment ψ(UK_p)⊂H pour chaquep ∈S. De plus, le quotientG^ab_K/H étant un`-groupe fini, il existe un sous-module ouvertU_`⁰ deU`=Q

l|`

Ul, et, pour chaque placep, un sous-module ouvertπ_p^`^np^Z^` deπ^Z_p^` dont l’image parψest contenue dansH. Le produit Q

p∈S

UKp· U_`⁰· Q

p∈P lK

πp^`ⁿ^p^Z^` est alors un sous-module ouvert deJK contenu dans⁻¹ψ(H); ce qui prouve queψ est continue.

(iii) noyau : nous savons déjà que le noyau de ψ est un sous-module fermé de J_K, lequel contient l’image de K^× donc la fermeture de cette image, qui est R_K. Pour voir qu’il n’a pas d’autres éléments, il suffit de remarquer que la construction des idèles généralisés a tué le sous- groupe des normes universelles, dont la structure est bien connue (cf. [AT], Ch. IX,§1), et qui est précisément le noyau dansJK/K^× de l’application de réciprocité.

Enfin, le lien entre le corps de classes global et le corps de classes local ne pose aucune difficulté particulière puisque, pour chaque place p de K, le Z`-module compact RK_p s’identifie (algébri- quement et topologiquement) avec son image canonique dans le quotientCK =JK/RK.

Plus généralement, siS est un ensemble fini de places deK : Lemme 2.4. La surjection naturelle ⊕

p∈SRK_p → (⊕

p∈SRK_pRK)/RK ⊂ CK est un isomorphisme deZ`-modules compacts.

Remarque 1. Ce résultat n’est pas vrai dans la théorie classique du corps de classes, puisque l’application ⊕

p∈SKp^×→( ⊕

p∈SKp^×)K^×/K^× ⊂JK/K^×n’est pas un homéomorphisme pour les topologies habituelles de ces deux groupes, dès queS contient plus d’une place.

Démonstration. Puisqu’un Z`-module de type fini est d’une façon et d’une seule un Z`-module topologique, il suffit de vérifier l’injectivité, c’est-à-dire le fait que RK rencontre trivialement chaque somme finie ⊕

p∈SRKp. Or cela résulte directement du fait que l’unité est le seul élément de hauteur infinie dansR. En effet, sir= (rp)p est un idèle principal contenu dans une somme finie

⊕

p∈SRKp, les conditions rp = 1 pour p 6∈ S, montrent que r, qui est puissance `^k-ième locale en dehors de S, pour toutk, est puissance `^k-ième globale pour toutk (cf. [AT], Ch. IX, §1, th.1), i.e. de hauteur infinie dansRK.

Remarques.(i) L’application de réciprocité globale établit un isomorphisme de Z`-modules topologiques du`-groupeC_K des idèles de K sur le groupe de GaloisG^ab_K de la`-extension abélienne maximale de K. Elle met ainsi en bijection les sous-modules fermés deJ_K qui contiennentR_K avec les`-extensions abéliennes deK, chaque sous-extension deK^abétant le corps des points fixes d’un unique sous-module fermé deJK contenantRK.

(ii) Dans la correspondance obtenue, les `-extensions abéliennes finies de K sont associées aux sous-modules fermés d’indice fini deJK contenantRK, c’est-à-dire aux sous-modules ouverts de JK qui contiennentRK. Ces sous-modules sont donc caractérisés comme groupes de normes attachés aux`-extensions finies de K:

Scolie 2.5. SiL est une`-extension finie quelconque de K, le sous-module ouvert deCK associé par le corps de classes global à la sous-extension maximale L^ab deL qui est abélienne sur K est l’image de CL par la norme arithmétique :

Gal(L^ab/K)' CK/N_L/K(CL) =JK/N_L/K(JL)RK.

Dans cette description, les sous-groupes de décomposition et d’inertie d’une place p dans l’extension abélienneL^ab/K sont donnés par les isomorphismes :

Dp(L^ab/K)' RK_p/RK_p∩N_L/K(JL)RK et Ip(L^ab/K)' UK_p/UK_p∩N_L/K(JL)RK.

(12)

Remarque 2. LorsqueLest une extension abélienne deK, les groupes de décomposition et d’inertie d’une place p dans L/K s’identifient respectivement aux groupes de Galois et d’inertie de l’extension abélienne localeLP/K.La correspondance entre le corps de classes local et le corps de classes global se traduit alors par les identités :

NL_P/K_pRP=RKp∩NL/K(JL)RK et NL_P/K_pUP=UKp∩NL/K(JL)RK. Dans le cas général, en revanche, il n’en est pas de même : siLest une`-extension quelconque deK, l’extension galoisienne locale qui lui correspond est l’intersectionL_p = ∩

P|pL_Pdes complétés de L pour les places au-dessus de p (pris dans une même clôture algébrique deK_p). D’après le corps de classes local, le groupe de GaloisDâb_p(L/K) = Gal(Lâb_p/K_p)de la sous-extension abélienne Lâb_p deL_p est donné par l’isomorphisme :

D^ab_p(L/K) = Gal(L^ab_p/K_p)' R_K_p/N_L_p_/K_pR_P=R_K_p/Y

P|p

N_L_P_/K_p(R_P).

Mais il peut arriver que l’on aitDâb_p(L/K)6=Dp(Lâb/K), puisque l’extension abélienne localeLâb_p peut contenir strictement la localisée de l’extension abélienne globaleLâb.

2.2 Schéma général de la ramification abélienne

Nous introduisons ici quelques unes des principales pro-`-extensions abéliennes d’un corps de nombres K et nous déterminons les groupes de normes qui leur correspondent. Le corpsK étant réputé fixé, nous omettons dans un but de simplification l’indiceKdans les notations.

Les extensions étudiées sont définies le plus souvent sous une condition maximale de plonge- ment, de décomposition ou de ramification. Précisons d’abord ce que nous entendons par là : Définition 2.6. Etant donnés deux ensembles finis (disjoints) S et T de places d’un corps de nombres, nous disons qu’une`-extensionLdeKestT-ramifiée etS-décomposée lorsqu’elle est non ramifiée aux places (finies) étrangères àT et complètement décomposée aux places deS; autrement dit, lorsque pour chaque place p de K et chaque place P deL au-dessus de p, l’extension locale L_P/K_p est non-ramifiée si p n’appartient pas à T et triviale sip appartient àS.

Convention : lorsquep est une place réelle, le groupe multiplicatifRK_p est égal à Z^`/2Z^`, et son sous-groupe des unitésUK_p est trivial d’après la définition 2. La placep peut donc sedécomposer dans une `-extension (abélienne) de K, mais non se ramifier, sans contredire le théorème 2.1.

Lorsqu’une place réelle n’est pas complètement décomposée dans une`-extension deK, nous disons qu’elle secomplexifie. Nous parlons donc decomplexificationlà où d’autres parlent deramification à l’infini, et nous réservons le concept de ramification aux seules places finies. En particulier, une extension est S-ramifiée dès qu’elle est non ramifiée aux places finies (i.e. ultramétriques) n’appartenant pas àS, quel que soit le comportement des places à l’infini (i.e. archimédiennes).

Exemple 2.7. Extensions maximales respectivement`-ramifiée, modérément ramifiée, non rami- fiée, séparément ramifiée.

(i) La `-extension abélienne `-ramifiée maximale K^`r de K est la plus grande `-extension abélienne deKqui est non ramifiée en dehors des places `-adiques ; son groupe de normes est ainsi le produit :

RU_`⁰ =RY

p-`

UKp=RY

p-`∞

µ_p.

(ii) La `-extension abélienne modérément ramifiéemaximaleK^mr deK est la plus grande`- extension abélienne deK qui est non ramifiée aux places`-adiques ; son groupe de normes est le produit :

RU`=RY

p|`

UK_p.

(13)

(iii) L’intersection K^`r∩K^mr est la `-extension abélienne maximalenon-ramifiée K^nr (aux places finies) deK; son groupe de normes est le produit deRpar le sous groupe unitéU deJ :

RU_`⁰ U`=RY

p-`

UK_p

Y

p|`

UK_p =RU.

(iv) Le compositum K^`rK^mr est la plus grande`-extension abélienneK^sr deK qui estsépa- rément ramifiée, i.e. composée d’une extension `-ramifiée et d’une extension modérément ramifiée ; son groupe de normes est ainsi l’intersection

RU_`⁰∩ RU_`=Rs⁰_`(E)s_`(E), oùs⁰_`(E)(resp.s_`(E)) est le projecté canonique dansU_`⁰=Q

p-`

U_K_p (resp. dansU_`=Q

p|`

U_K_p) du`-adifiéE du groupe des unités deK.

Examinons maintenant les groupes de Galois :

Nous avons immédiatement Gal(K^ab/K^`r) ' U_`⁰ R/R ' U_`⁰/U_`⁰∩ R et le dénominateur est constitué des unités globales (i.e. des éléments de E) qui sont localement triviales aux places `- adiques. Comme nous allons le voir plus loin, la conjecture de Leopoldt postulant précisément sa trivialité, nous obtenons ainsi

Gal(K^ab/K^`r)' U_`⁰=Y

p-`

UK_p(sous la conjecture de Leopoldt)

De façon semblable, nous avonsGal(K^ab/K^mr)' U`/U`∩ Ret le dénominateur est constitué ici des unités globales qui sont localement triviales aux places modérées donc presque partout. Le groupeU_`∩ Rest donc toujours trivial et il vient donc dans ce cas en toute généralité :

Gal(K^ab/K^mr)' U_`=Y

p|`

U_K_p

Considérons maintenant l’extension composée K^sr =K^`rK^mr. Il vient : Gal(K^ab/K^sr)'(U`R ∩ U_`⁰)/R=Rs`(E)s⁰_`(E)/R 's`(E)s⁰_`(E)/E.

Comme nous avonss`(E)' E (sous la conjecture de Leopoldt) ets⁰_`(E)' E (dans tous les cas), il suit :

Gal(K^ab/K^sr)' E,

ce qui permet d’identifier le tensorisé `-adiqueE du groupe des unités deK au groupe de Galois relatif d’une sous-extension abélienne deK^ab.

Enfin, le groupe de GaloisGal(K^nr/K)a déjà été calculé (cf. prop. 1.5) ; c’est tout simplement le`-groupe des classes de diviseurs du corpsK :

Gal(K^nr/K)' J/U_`U_`⁰R=J/U R ' D/P =C`.

En d’autres termes, le groupe des classes C` et le `-adifié E du groupe des unités peuvent ainsi s’interpréter comme les obstructions globales à ce que l’extension abélienne maximaleK^ab/K soit le compositum direct des sous-extensionsK^`r/K et K^mr/K.

L’ensemble de cette discussion peut ainsi se résumer (sous la conjecture de Leopoldt) par le diagramme (où sont représentés les corps et les groupes de Galois) :