BA  5;5 AA  

ov 1 / 2 Probabilités

(1) Evénements

La théorie des probabilités est une modélisation des expériences aléatoires (situation dont le résultat dépend du hasard). Dans la suite nous considérerons l’exemple de l’expérience aléatoire consistant à lancer deux dès à 6 faces, le premier bleu et le second rouge.

L’univers, généralement noté Ώ, est l’ensemble de tous les résultats possibles (appelés issues ou éventualités) pour une réalisation de l’expérience aléatoire.

Dans notre exemple, l’univers peut se représenter par l’ensemble des 36 couples d’entiers compris entre 1 et 6.

La description de l’univers se fait souvent à l’aide d’arbres ou de tableaux (voir feuille) Un événement est une partie de l’univers.

Dire que l’événement « se produit » ou « se réalise » signifie qu’on a tenté une fois l’expérience aléatoire et que l’issue obtenue à cet essai est dans la partie constituée par l’événement.

Par exemple l’événement A « le dé bleu affiche un 5 » est la partie de l’univers constituée par tous les couples commençant par un 5 c'est-à-dire {(5;1) ; (5;2) ; (5;3) ; (5;4) ; (5;5) ; (5;6)} (en bleu sur la feuille).

L’événement B « le dé rouge affiche un 5 » est la partie constituée par les couples finissant par 5 (en rouge)

La réunion AB des événements A et B est l’ensemble des issues qui sont dans A ou dans B

Remarque : en mathématiques le « ou » n’est jamais exclusif (sauf précision explicite).

Les issues qui sont dans A ou dans B sont donc les issues qui sont dans A ou dans B ou dans les deux.

Dans notre exemple AB est l’ensemble des couples coloriés en bleu ou en rouge. En effet, AB est l’événement « le dé bleu affiche 5 ou le dé rouge affiche 5 », ce qu’on reformule sous la forme « au moins un des dés affiche 5 »

L’intersection AB des événements A et B est l’ensemble des issues qui sont à la fois dans A et dans B.

Dans notre exemple, AB est une partie ne contenant qu’un seul élément : le singleton {(5;5)}, la seule issue à être coloriée en bleu et en rouge. En effet, AB est l’événement « le dé bleu affiche 5 et le dé rouge affiche 5 » ; ce qu’on reformule en « les deux dés affichent 5 ».

Un événement élémentaire est un événement ne comportant qu’une seule issue.

L’événement C « le dé bleu affiche 4 et le dé rouge affiche 1 » est élémentaire, c’est le singleton {(4 ; 1)}.

Deux événements sont dit incompatibles ou disjoints lorsqu’ils n’ont aucune issue en commun

(autrement dit, lorsqu’ils ne peuvent pas se produire en même temps). Leur intersection ne contient rien, c’est donc l’ensemble vide 

Dans notre exemple, les événements A et C sont incompatibles :AC . Les événements A et B sont compatibles car AB

   

Ώ est appelé l’événement certain (puisqu’il est réalisé à chaque tentative).

 est appelé l’événement impossible (puisqu’il ne peut jamais être réalisé).

L’événement contraire (ou complémentaire) de A, noté A, est l’ensemble des issues de Ώ qui ne sont pas dans A. On a toujours AA et AA.

Dans notre exemple A est l’événement « le dé bleu n’affiche pas un 5 » constitué par les couples qui ne sont pas coloriés en bleu.

ov 2 / 2 (2) Loi de probabilité

Considérons l’expérience aléatoire consistant à tirer au hasard une boule dans une urne contenant 2 boules bleues, 5 boules blanches et 3 boules rouges. Il y a donc 10 boules au total.

L’univers peut être représenté par l’ensemble des trois couleurs {bleue, blanche, rouge}.

Intuitivement, l’événement B « la boule tirée est bleue ou blanche » doit se produire 7 fois sur 10, soit avec une fréquence théorique de 7/10. Cette fréquence théorique est appelée la probabilité de réalisation de l’événement B, on la note P(B). Ainsi on a P(B)=0,7.

La loi de probabilité P est ainsi une fonction qui a tout événement associe le nombre de l’intervalle [0 ; 1] correspondant à sa fréquence théorique de réalisation.

Pour définir une loi de probabilité il suffit de connaître la fréquence de chaque issue, la fréquence de réalisation d’un événement étant alors la somme des fréquences des issues qui le compose.

Ainsi le tableau

Evénement élémentaire {bleue} {blanche} {rouge}

Probabilité 0,2 0,5 0,3

définit la loi de probabilité de notre exemple.

L’événement B étant réalisé lorsque l’issue est « bleue » ou « blanche », on trouve bien sa probabilité par P(B)=0,2+0,5=0,7.

L’événement certain Ώ se produit avec une fréquence 1, c’est aussi la somme des probabilités de toutes les issues. En effet 0,2+0,5+0,3=1.

Plus généralement, une loi de probabilité P sur un ensemble fini 





Evénement élémentaire

 

 

 

probabilité p1 p2 pn

Où les nombres p1 ; … pn sont tous dans l’intervalle [0 ;1] et sont tels que p1+p2+…+pn=1

Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dit qu’ils sont équiprobables et qu’on est dans une situation d’équiprobabilité.

Théorème

Si P est une loi de probabilité sur l’univers Ώ alors :

 

P

 

Pour tout événement A, ^0P

 

Pour tous événements incompatibles A et B, P





   





    



Pour tout événement A, ^P

 

^{ }

Propriété

Si P est la loi de probabilité correspondant à la situation d’équiprobabilité sur l’univers fini Ώ comportant n issues alors pour tout événement A comportant m issues (avec mn) on a

total issues d nombre

A dans issues d nombre n

A m

P _ ' _

_ _ '

) _

(  

.

LOI DES GRANDS NOMBRES (énoncé empirique)

Si on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un événement élémentaire tend vers la probabilité de réalisation de cet événement élémentaire.