Chapitre 11
Probabilités
Les savoir-faire
110. Dénombrer à l’aide d’un arbre ou d’un tableau.
111. Etablir et utiliser une loi de probabilité.
112. Calculer des probabilités dans des cas simples.
113. Exploiter la formuleP(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).
114. Utiliser un programme pour simuler.
I. Le vocabulaire des probabilités
— On appelle expérience aléatoire une expérience renouvelable dont on ne peut pas connaître à l’avance le résultat obtenu. Ce résultat n’est pas toujours le même à chaque tentative.
— Au cours d’une expérience aléatoire, l’ensemble de tous les résultats possibles, appelé univers, est noté généralement Ω.
Définition : expérience aléatoire et univers
On appelle évènement E tout sous-ensemble de l’univers Ω, c’est à dire un ensemble constitué de certains éléments de Ω. On dit également que l’évènement E est réalisé par ces éventualités.
Définition : événements
Il existe plusieurs types d’évènements :
• Un événement élémentaire est un ensemble constitué d’un seul élément de Ω ;
• Un événement impossible est l’ensemble constitué d’aucun élément de Ω, c’est l’ensemble vide ∅;
• Un événement certain est l’ensemble constitué de tous les éléments de Ω, c’est-à-dire Ω lui-même.
• L’événement contraire d’un évènement A, noté A et prononcé « A barre », est l’ensemble de tous les éléments de Ω ne se trouvant pas dans l’ensemble A.
Définition : événements particuliers
II. Définir une loi de probabilité
Lorsque l’on répète un « très grand »nombre de fois la même expérience aléatoire sur Ω, la distribution de fréquences obtenues se stabilise autour d’une distribution de fréquences théoriques appelée loi de probabilité sur Ω.
Loi des grands nombres
SoitE={e1, e2, . . . , en}l’univers d’une expérience aléatoire.
Définir une loi de probabilité surE, c’est associer à chaque issueei un nombrepi appelé probabilité de{ei} tel que :
— Pour tout entieriavec 16i6n, 06pi61 ;
— p1+p2+. . .+pn = 1 Loi de probabilité
III. Calculs de probabilités
1. Probabilité
La probabilité d’un événementA est la somme des probabilitéspi des issues qui le réalisent.
Propriété : probabilité d’un événement
2. Cas d’équiprobabilité
Une loi est équirépartie lorsque toutes les issues ont la même probabilité.
Définition : loi équirépartie
Remarque :
On dit aussi qu’on est en situation d’équiprobabilité.
— Lesnévénements élémentaires d’un univers Ω liés à une expérience aléatoire sont ditséquiprobablessi et seulement si la probabilité de chacun d’eux est 1
n.
— Si l’événementA comportekissues, alors la probabilité de l’événementA est : p(A) = nombre d’issues de A
nombre total d’issues = k n Propriétés : probabilité dans une situation d’équiprobabilité
Exemples :
1.On considère l’expérience aléatoire suivante : On tire une carte dans un jeu de 30 cartes.
SoitE l’événement : " On tire le poisson Némo ".
SoitF l’événement : "On tire un poisson".
Calculer les probabilités des événementsE et F. Vidéo
2. On tire une carte deux fois de suite.
SoitGl’événement : "on obtient au moins une fois Némo".
CalculerP(G). Vidéo
3. Intersection de deux événements
L’intersection de deux ensemblesAet B est l’ensemble des éléments qui sont communs àAetB.
On la noteA∩B.
Définition : intersection
A B
×e
Ainsie∈A∩B signifiee∈Aete∈B.
LorsqueA∩B=∅, on dit que les ensemblesAetB sont disjoints.
4. Réunion de deux événements
Laréunion de deux ensemblesAetB est l’ensemble des éléments qui sont dansAou dansB.
On la noteA∪B.
Définition : réunion
A B
×e
Ainsie∈A∪B signifiee∈Aoue∈B.
5. Relation entre union et intersection
Soit Ω un univers lié à une expérience aléatoire, etP une loi de probabilité sur Ω.
SoitAet B deux événements de Ω. Alors on a :
p(A∪B) =p(A) +p(B)−p(A∩B) Propriété
Ω A
B
Exemples :
1. Dans une classe de 35 élèves, 16 élèves pratiquent l’anglais, 11 élèves pratiquent l’espagnol et 4 élèves pra- tiquent les deux.
Calculer la probabilité qu’un élève choisi au hasard ne pratique aucune des deux langues. Vidéo
2. L’expérience consiste à lancer un dé à six faces.
SoitAl’événement : "on obtient un nombre pair".
SoitB l’événement : "On obtient un multiple de 5".
CalculerP(A∪B). Vidéo
IV. Echantillon et simulation
1. Simulation
Certaines expériences aléatoires sont particulièrement longues à réaliser. Grâce à la calculatrice ou à l’ordinateur, il est souvent possible de les remplacer par des expériences « équivalentes », beaucoup plus rapides à effectuer.
Définition : simulation
2. Echantillon
Quand on étudie un caractère dans une population, il est très difficile d’examiner tous les individus : cela né- cessiterait trop de temps, trop d’argent ....
On travaille alors sur une partie bien choisie de cette population, qu’on appelle échantillon. Ainsi, on peut calculer, dans cette partie de la population, le pourcentagef d’individus ayant une certaine propriété. Si cette partie n’est pas « trop petite » on conçoit intuitivement que le pourcentage réelp, relatif à toute la population, devrait être « voisin def ».
Un échantillon de taillenest formé des résultats denrépétitions indépendantes de la même expérience aléatoire.
Définition : échantillon
V. Fluctuation
1. Fluctuation d’échantillonnage
On considère le lancer d’une pièce équilibrée : on s’intéresse au nombre de « pile ». La proportion théorique de
« pile » est 0,5.
On réalise 20 échantillons de taille 50, puis on représente graphiquement les résultats : chaque point représente un échantillon de taille 50. Son ordonnée correspond à la fréquence des « pile » observée dans l’échantillon.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
−1
20 échantillons de taille 50 Fréquence de « pile ».
Numéro de l’échantillon.
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
0
Par exemple, dans le troisième échantillon de taille 50, on a obtenu 20 « pile » ce qui représente une fréquence de 0,4.
On observe ici la fluctuation d’échantillonnage. Les fréquences observées fluctuent autour de la proportionpqui vaut 0,5.
Soit plusieurs échantillons de même taille d’une expérience aléatoire. La distribution des fréquences varie d’un échantillon à l’autre : c’est la fluctuation d’échantillonnage.
Définition : fluctuation d’échantillonnage
Si on réalise dans les mêmes conditions 20 échantillons de tailles 500, on obtient le nuage de points suivant :
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
−1
20 échantillons de taille 500 Fréquence de « pile ».
Numéro de l’échantillon.
b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
0
Plus la taille de l’échantillon est grande, moins il y a de fluctuation de la fréquence observée autour de la proportion théoriquep.
Lorsquenest grand, sauf exception, la fréquence observéef est proche de la proportionp.
Propriété : loi des grands nombres
2. Estimation
Dans une population, la proportionpd’individus présentant un certain caractère est inconnue.
On prélève dans cette population un échantillon aléatoire de taille n. On notef la fréquence d’apparition du caractère dans l’échantillon.
La fréquence observéef est appelée uneestimation de la proportionp.
Définition : estimation
Remarque :
L’estimation trouvée dépend de l’échantillon considéré, donc il y a plusieurs estimations possibles d’une même proportionp.
Vidéo
