Sur la synthèse de commandes prédictives tolérantes aux défauts à base de modèles T-S flous

THÈSE EN CO-TUTELLE INTERNATIONALE

Pour obtenir le grade de Docteur

opéré par l’Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis et l’Université de Rouen

Spécialité Génie Electrique et

Physique

Sur la synthèse de commandes prédictives tolérantes aux défauts à base de modèles T-S flous

Présentée et soutenue publiquement par

Lamia BEN HAMOUDA

Thèse dirigée par : Mounir AYADI, LAboratoire de Recherche en Automatique LA.R.A- Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis ENIT

et Nicolas LANGLOIS, Pôle Automatique et Systèmes - Institut de Recherche en Systèmes Électroniques Embarqués IRSEEM- ESIGELEC

Thèse soutenue publiquement le (28/09/2015) devant le jury composé de

M. Mohamed BENREJEB Professeur, ENI de Tunis Président M. Didier GEORGES Professeur, INP de Grenoble Rapporteur M. Naceur BENHADJ BRAIEK Professeur, ENSI de Tunis Rapporteur M. Didier DUMUR Professeur, SUPELEC de Paris Examinateur M. Thierry PAQUET Professeur, Université de Rouen Examinateur M. Mounir AYADI Maître de Conférences, ENI de Tunis Directeur de Thèse M. Nicolas LANGLOIS DR (HDR), IRSEEM, ESIGELEC de Rouen Directeur de Thèse

Les travaux pr´ esent´ es dans ce m´ emoire de th` ese en co-tutelle internationale ont ´ et´ e ef- fectu´ es au sein du LAboratoire de Recherche en Automatique (LA.R.A) de l’ENI de Tunis en Tunisie et du Pˆ ole Automatique et Syst` emes de l’Institut de Recherche en Syst` emes Electroniques Embarqu´ ´ es (IRSEEM) de l’ESIGELEC Rouen, France.

Je voudrais saisir cette occasion pour exprimer ma gratitude envers mes directeurs de th` ese, Messieurs Mounir AYADI et Nicolas LANGLOIS qui m’ont accueilli au sein de leurs ´ equipes de recherche et qui m’ont offert la possibilit´ e d’´ evoluer dans mes trauvaux de recherche. Je les remercie pour la confiance et la libert´ e qu’ils m’ont t´ emoign´ es durant ces ann´ ees dans un climat convivial. Je les remercie pour le temps qu’ils m’ont consacr´ e, pour leur encouragement, leur soutien et leur appui. Je tiens ` a remercier ´ egalement mon co-encadreur de th` ese Monsieur Ouadie Bennouna pour ces conseils et son suivi.

Je remercie Monsieur Mohamed BENREJEB, Professeur ` a l’ENI de Tunis et directeur du Laboratoire de Recherche en Automatique, d’avoir accepter de pr´ esider le jury de cette th` ese et de participer ` a l’examen de ce travail et en avoir assur´ e la critique. Je suis tr` es redevable envers Monsieur BENREJEB pour l’accueil qu’il m’a r´ eserv´ e au sein de son

´ equipe de recherche. Qu’il trouve ici l’expression de ma profonde gratitude pour l’interˆ et qu’il a port´ e ` a mes travaux et les conseils ´ eclair´ es qu’il m’a prodigu´ es avec le s´ erieux et la comp´ etence qui le cart´ erisent.

J’adresse toute ma reconnaissance ` a Monsieur Didier GEORGES, Professeur ` a l’INP

de Grenoble et Monsieur Naceur BENHADJ BRAIEK, Professeur ` a ENSI de Tunis pour

avoir accept´ e d’ˆ etre rapporteurs de mes travaux. Je les remercie vivement de leur lecture

approfondie et leurs remarques enrichissantes et constructives.

Je remercie ´ egalement Monsieur Didier DUMUR, Professeur ` a SUPELEC de Paris et Monsieur Thierry PAQUET, Professeur ` a l’Universit´ e de Rouen, d’avoir accept´ e avec grand plaisir de participer ` a ce jury et d’examiner ce travail.

Je tiens ` a remercier l’´ Ecole Doctorale Sciences et Techniques de l’Ing´ enieur de Tunis (EDSTI) ainsi que le Minist` ere de l’Enseignement Sup´ erieur et de la Recherche Scienti- fique de Tunisie (MESRS) qui ont financ´ e mes s´ ejours scientifiques ` a Rouen pendant trois ann´ ees. Je remercie ´ egalement la r´ egion Haute Normandie, le Fond Europ´ een de DEve- loppement R´ egional FEDER et le LAboratoire de Recherche en Automatique (LA.R.A) pour leur participation au bon d´ eroulement de mes s´ ejours scientifiques en France.

Je suis reconnaissante envers mes amis et coll` egues du laboratoire LA.R.A et de l’Insti- tut IRSEEM/ESIGELEC pour qui j’ai beaucoup d’amiti´ e et de sympathie. Je les remercie pour leur amicale pr´ esence et pour leur sympathie qu’ils m’ont constamment t´ emoign´ ees.

Je leur exprime ici toute ma gratitude.

Table des figures viii

Liste des tableaux xii

Table de notations xv

Liste des publications xxi

Introduction g´ en´ erale 1

I Etat de l’art sur la stabilit´ ´ e des syst` emes non lin´ eaires repr´ esent´ es par

des mod` eles T-S 5

I.1 Introduction . . . . 5

I.2 G´ en´ eralit´ es sur le FTC . . . . 6

I.2.1 Les techniques passives . . . . 7

I.2.2 Les techniques actives . . . . 7

I.2.2.1 Accommodation . . . . 8

I.2.2.2 Reconfiguration de lois de commande . . . . 8

I.2.3 G´ en´ eralit´ es sur le diagnostic . . . . 10

I.2.3.1 D´ efinitions et terminologies . . . . 10

I.2.3.2 Classification des d´ efauts . . . . 11

I.2.3.3 M´ ethodes de diagnostic bas´ ees sur les observateurs lin´ eaires 13 I.3 Mod´ elisation T-S des syst` emes non lin´ eaires . . . . 16

I.3.1 Forme quasi-lin´ eaire ` a param` etres variables . . . . 17

I.3.2 Repr´ esentation d’´ etat d’un mod` ele T-S . . . . 17

I.3.3 Approches d’obtention d’un mod` ele T-S . . . . 18

I.3.3.1 Mod` eles obtenus par identification . . . . 19

I.3.3.2 Mod` eles obtenus par lin´ earisation . . . . 19

I.3.3.3 Mod` eles obtenus par secteur non lin´ eaire . . . . 19

I.3.4 Crit` eres de choix des variables de pr´ emisse . . . . 20

I.4 Stabilisation et observation des syst` emes non lin´ eaires repr´ esent´ es par des mod` eles T-S . . . . 22

I.4.1 Etude de la stabilit´ e d’un syst` eme non lin´ eaire repr´ esent´ e par un mod` ele T-S autonome . . . . 23

I.4.2 Stabilisation par une commande de type PDC . . . . 25

I.4.3 Analyse de la stabilit´ e : relaxation des conditions de stabilisation . 26 I.4.4 Stabilisation par observateurs T-S . . . . 28

I.4.4.1 Observateurs non lin´ eaires . . . . 28

I.4.4.2 Observateurs T-S ` a VPM . . . . 29

I.4.4.3 Observateurs T-S ` a VPNM . . . . 30

I.4.5 Stabilisation des syst` emes non lin´ eaires repr´ esent´ es par des mod` eles T-S incertains . . . . 31

I.4.5.1 Stabilisation robuste par retour d’´ etat : cas incertain . . . 31

I.4.5.2 Commande bas´ ee sur un mod` ele de r´ ef´ erence : cas incer- tain perturb´ e . . . . 33

I.4.5.3 Stabilisation par observateurs des syst` emes non lin´ eaires repr´ esent´ es par des mod` eles T-S incertains . . . . 34

I.4.6 Stabilisation H

. . . . 35

I.4.7 Stabilisation par poursuite de trajectoires selon la norme L

. . . . 37

I.5 FTC pour la poursuite de trajectoires . . . . 38

I.5.1 Cas VPM . . . . 39

I.5.2 Cas VPNM : m´ ethode par perturbations . . . . 40

I.5.3 FTC robuste pour la poursuite de trajectoires . . . . 43

I.6 Position du probl` eme . . . . 45

I.7 Solutions envisag´ ees . . . . 46

I.8 Conclusion . . . . 47

II Synth` ese de commandes pr´ edictives tol´ erantes aux d´ efauts ` a base de

mod` eles T-S 49

II.1 Introduction . . . . 49

II.2 Synth` ese de la commande pr´ edictive . . . . 50

II.2.1 Principe et conception de la commande pr´ edictive . . . . 50

II.2.2 Fonction coˆ ut . . . . 52

II.2.3 Formes quadratiques . . . . 53

II.2.4 Optimisation convexe et probl` eme QP . . . . 53

II.2.5 Choix des param` etres de la MPC . . . . 54

II.3 Lin´ earisation globale non stationnaire . . . . 55

II.4 Proposition d’une strat´ egie de contrˆ ole tol´ erant aux d´ efauts bas´ ee sur des mod` eles T-S flous . . . . 57

II.4.1 Commande pr´ edictive ` a base de mod` ele quasi-LPV . . . . 58

II.4.1.1 Pr´ edictions stabilis´ ees . . . . 59

II.4.1.2 Commande pr´ edictive bas´ ee sur mod` ele T-S flou . . . . 60

II.4.2 FMPC et observateur non lin´ eaire . . . . 67

II.4.3 FMPC et observateur T-S ` a VPM . . . . 74

II.4.4 FMPC et observateur T-S ` a VPNM . . . . 83

II.4.5 FMPC bas´ e sur un mod` ele T-S incertain ` a VPM . . . . 90

II.5 Conclusion . . . . 97

III Application au circuit d’air du moteur Diesel 99 III.1 Introduction . . . . 99

III.2 Sur le moteur Diesel . . . 100

III.2.1 Constitution du moteur Diesel . . . 101

III.2.2 Principe de fonctionnement du moteur ` a quatre temps . . . 102

III.2.3 Normes Europ´ eennes anti-pollutions . . . 103

III.2.4 M´ ecanisme d’admission d’air . . . 104

III.2.5 Vanne de recyclage des gaz d’´ echappement . . . 106

III.2.6 Turbocompresseur ` a g´ eom´ etrie variable . . . 107

III.3 Mod` ele de repr´ esentation du syst` eme DEAP . . . 108

III.3.1 Collecteur d’admission . . . 108

III.3.2 Collecteur d’´ echappement . . . 109

III.3.3 Turbocompresseur . . . 110

III.3.4 Mod` ele orient´ e commande du syst` eme DEAP . . . 111

III.3.5 Mod´ elisation r´ eduite du DEAP . . . 112

III.4 ´ Etat de l’art sur les lois de commande pour le contrˆ ole moteur . . . 113

III.4.1 Commande par modes glissants . . . 114

III.4.2 Commande optimale . . . 115

III.4.2.1 Commande robuste . . . 115

III.4.2.2 Commande pr´ edictive . . . 116

III.4.3 R´ eseaux de neurones . . . 117

III.4.4 Commande par logique floue . . . 117

III.5 FTC propos´ e pour le syst` eme DEAP . . . 118

III.5.1 Probl` eme de contrˆ ole du DEAP . . . 118

III.5.2 Mod´ elisation du syst` eme DEAP pour un contrˆ ole T-S . . . 119

III.5.2.1 Repr´ esentation d’´ etat affine en la commande du syst` eme DEAP . . . 119

III.5.2.2 Description T-S du DEAP . . . 121

III.5.2.3 Mod´ elisation du syst` eme DEAP en pr´ esence d’une fuite d’air . . . 125

III.5.3 Commande pr´ edictive ` a base de mod` eles T-S . . . 127

III.5.3.1 Structure de la strat´ egie de contrˆ ole propos´ ee . . . 127

III.5.3.2 FMPC propos´ ee pour le syst` eme DEAP . . . 128

III.5.3.3 R´ esultats de simulation . . . 129

III.6 Conclusion . . . 134

Conclusion G´ en´ erale 135

Bibliographie 155

Annexe A 157

Annexe B 159

I.1 Classification des techniques de le FTC . . . . 6

I.2 Architecture du FTC . . . . 9

I.3 D´ efaut additif . . . 12

I.4 D´ efaut multiplicatif . . . 12

I.5 Structure d’un observateur de Luenberger . . . 15

II.1 Sch´ ema fonctionnel du principe de la MPC . . . 50

II.2 Principe de l’horizon fuyant [Maciejowski (2002)] . . . 51

II.3 Principe du contrˆ oleur par interpolation utilisant un mod` ele T-S flou [Ben Hamouda et al. (2013)] . . . 61

II.4 Sch´ ema de simulation simulink : FMPC . . . 63

II.5 Sch´ ema de simulation simulink (sous-mod` ele) : bloc FMPC . . . 63

II.6 R´ eponse du syst` eme en fonctionnement nominal . . . 64

II.7 Signaux de commande appliqu´ es au syst` eme en fonctionnement nominal . . . . 64

II.8 Evolution des fonctions d’activation obtenues en fonction du temps . . . 65

II.9 Premier sc´ enario du d´ efaut actionneur en fonction du temps . . . 65

II.10 R´ eponse du syst` eme en pr´ esence du premier d´ efaut. . . 65

II.11 Signaux de commande appliqu´ es au syst` eme en pr´ esence du premier d´ efaut . . 65

II.12 Evolution des fonctions d’activation : cas du premier d´ efaut . . . 65

II.13 Second sc´ enario du d´ efaut actionneur en fonction du temps . . . 65

II.14 R´ eponse du syst` eme en pr´ esence du second d´ efaut . . . 66

II.15 Signaux de commande appliqu´ es au syst` eme en pr´ esence du second d´ efaut. . . 66

II.16 Evolution des fonctions d’activation : cas du second d´ efaut . . . 66

II.17 Structure de commande tol´ erante aux d´ efauts bas´ e sur un mod` ele T-S avec

VPNM [Ben Hamouda et al. (2014a)] . . . 69

II.18 Sch´ ema de simulation simulink : commande pr´ edictive bas´ ee sur mod` ele T-S avec observateur non lin´ eaire . . . 71

II.19 Sch´ ema de simulation simulink (sous-mod` ele) : FMPC bas´ ee sur les VPNM . . 71

II.20 R´ eponse du syst` eme en fonctionnement nominal . . . 72

II.21 Signaux de commande appliqu´ es au syst` eme en fonctionnement nominal . . . . 72

II.22 Sc´ enario du d´ efaut actionneur en fonction du temps . . . 72

II.23 R´ eponse du syst` eme en pr´ esence du d´ efaut actionneur . . . 72

II.24 Signaux de commande appliqu´ es au syst` eme en pr´ esence du d´ efaut actionneur 73 II.25 Dynamique de l’erreur d’estimation du vecteur d’´ etat . . . 73

II.26 Evolution des fonctions d’activation bas´ ees sur les VPM et les VPNM . . . 73

II.27 Strat´ egie de contrˆ ole tol´ erant aux d´ efauts bas´ ee sur un observateur T-S avec des VPM [Ben Hamouda et al. (2014c)] . . . 76

II.28 Sch´ ema de simulation simulink : contrˆ ole tol´ erant aux d´ efauts bas´ e sur un diagnostic T-S avec des VPM . . . 80

II.29 Sc´ enario du d´ efaut actionneur et son estim´ e en fonction du temps . . . 81

II.30 Signaux de commande appliqu´ es au syst` eme en pr´ esence du d´ efaut actionneur 81 II.31 R´ eponse du syst` eme en pr´ esence du d´ efaut actionneur . . . 81

II.32 Dynamique de l’erreur d’estimation des ´ etats en pr´ esence du d´ efaut actionneur 81 II.33 Dynamique de l’erreur de poursuite en pr´ esence du d´ efaut actionneur . . . 81

II.34 Sc´ enario du d´ efaut capteur et son estim´ e en fonction du temps . . . 81

II.35 Signaux de commande appliqu´ es au syst` eme . . . 82

II.36 R´ eponse du syst` eme en pr´ esence du d´ efaut capteur. . . 82

II.37 Dynamique de l’erreur d’estimation des ´ etats . . . 82

II.38 Dynamique de l’erreur de poursuite en pr´ esence du d´ efaut capteur . . . 82

II.39 Strat´ egie de FTC bas´ ee sur un observateur T-S avec des VPNM [Ben Ha- mouda et al. (2014b)] . . . 83

II.40 Sch´ ema de simulation simulink : contrˆ ole tol´ erant aux d´ efauts bas´ e sur un

diagnostic T-S avec des VPNM . . . 87

II.41 Sc´ enario du d´ efaut actionneur et son estim´ e en fonction du temps . . . 88 II.42 Signaux de commande appliqu´ es au syst` eme en pr´ esence du d´ efaut actionneur 88 II.43 R´ eponse du syst` eme en pr´ esence du d´ efaut actionneur . . . 88 II.44 Dynamique de l’erreur d’estimation des ´ etats en pr´ esence du d´ efaut actionneur

88

II.45 Dynamique de l’erreur de poursuite en pr´ esence du d´ efaut actionneur . . . 89 II.46 Sc´ enario du d´ efaut capteur et son estim´ e en fonction du temps . . . 89 II.47 Signaux de commande appliqu´ es au syst` eme en pr´ esence du d´ efaut actionneur 89 II.48 R´ eponse du syst` eme en pr´ esence du d´ efaut capteur. . . 89 II.49 Dynamique de l’erreur d’estimation des ´ etats en pr´ esence du d´ efaut actionneur

89

II.50 Dynamique de l’erreur de poursuite en pr´ esence du d´ efaut actionneur . . . 89 II.51 Evolution des fonctions d’activation bas´ ees sur les VPNM . . . 90 II.52 FMPC tol´ erante aux d´ efauts bas´ ee sur un mod` ele T-S incertain . . . 91 II.53 Les d´ efauts et leur estim´ es (` a gauche : d´ efaut actionneur, ` a droite : d´ efaut

capteur) . . . 94 II.54 Signaux de commande appliqu´ es au syst` eme (` a gauche : d´ efaut actionneur, ` a

droite : d´ efaut capteur) . . . 95 II.55 R´ eponse du mod` ele T-S avec et sans incertitudes(` a gauche : d´ efaut action-

neur, ` a droite : d´ efaut capteur) . . . 95 II.56 Dynamique de l’erreur d’estimation des ´ etats (` a gauche : d´ efaut actionneur,

`

a droite : d´ efaut capteur) . . . 95 II.57 Dynamique de l’erreur de poursuite (` a gauche : d´ efaut actionneur, ` a droite :

d´ efaut capteur) . . . 96

II.58 Evolution des fonctions d’activation bas´ ees sur de VPNM . . . 96

II.59 Etude comparative : R´ eponses du syst` eme SISO . . . 96

II.60 Etude comparative : Signaux de commande appliqu´ es au syst` eme SISO . . . . 97

III.1 Architecture du moteur Diesel (source : IFP Energies nouvelles) . . . .101

III.2 Cycle de fonctionnement d’un moteur Diesel (source : IFP Energies nouvelles) 102

III.3 Evolution des normes anti-pollution europ´ ´ eennes pour les moteurs Diesel de- puis 1993 (source : Comit´ e des Constructeurs Fran¸cais d’Automobiles (CCFA)) 104

III.4 Sch´ ema fonctionnel d’un turbocompresseur (source : IFP Energies nouvelles) .105 III.5 Repr´ esentation d’un circuit de recyclage externe des gaz d’´ echappement ` a

haute pression (source : IFP Energies nouvelles) . . . .106

III.6 Position des ailettes du VGT (source : IFP Energies nouvelles) . . . .107

III.7 Principe de contrˆ ole du moteur Diesel . . . .113

III.8 Sch´ ema du circuit d’air [Djemili et al. (2012a)] . . . .118

III.9 Espace polytopique avec quatre sommets . . . .122

III.10 Structure de la strat´ egie FTC propos´ ee pour le syst` eme DEAP [Ben Hamouda et al. (2016)] . . . .127

III.11 Zone de fonctionnement convexe du syst` eme DEAP . . . .130

III.12 Signal du d´ efaut et son estim´ ee . . . .131

III.13 Evolution des fonctions d’activation en pr´ esence de la fuite . . . .131

III.14 Signaux de sortie en pr´ esence de la fuite . . . .132

III.15 Signaux de commande en pr´ esence de la fuite . . . .132

III.16 Dynamique des erreurs de poursuite en pr´ esence de la fuite . . . .132

III.17 Signal du d´ efaut capteur et son estim´ ee . . . .132

III.18 Evolution des fonctions d’activation en pr´ esence du d´ efaut capteur . . . .132

III.19 Signaux de sortie en pr´ esence du d´ efaut capteur . . . .133

III.20 Dynamique des erreurs de poursuite en pr´ esence du d´ efaut capteur . . . .133

II.1 Param` etres de r´ eglage du contrˆ oleur . . . . 64

III.1 Nomenclature des variables du mod` ele DEAP . . . 111

III.2 Tableau de partitionnement des variables de pr´ emisse . . . 125

III.3 Les valeurs num´ eriques des param` etres du syst` eme DEAP . . . 129

III.4 Points de fonctionnement du mod` ele de r´ ef´ erence [Ndoye et al. (2013)] . . . 130

III.5 Param` etres de r´ eglage du FMPC . . . 130

Acronymes

FDI D´ etection et isolation de d´ efaut (Fault Detection and Isolation) FD D´ etection de d´ efaut (Fault Detection)

FTC Contrˆ ole tol´ erant aux d´ efauts (Fault Tolerant Control)

AFTC Contrˆ ole actif tol´ erant aux d´ efauts (Active Fault Tolerant Control) FMPC Contrˆ oleur tol´ erant aux d´ efauts bas´ e sur la commande pr´ edictive floue de

type T-S (fault tolerant Fuzzy-Model-Predictive Control)

T-S Takagi-Sugeno

VPM Variables de Pr´ emisse Mesurables VPNM Variables de Pr´ emisse Non Mesurables

MPC Commande pr´ edictive ` a base de mod´ ele (Model Predictive Control) PDC Parallel Distributed Compensation

SISO Mono-entr´ ee mono-sortie (Single Input Single Output) MIMO Multi-entr´ ees multi-sorties (Multi Input Multi Output) LTI Lin´ eaire invariant dans le temps (Linear Time Invariant) LPV Lin´ eaire ` a param´ etres variables (Linear Parameter Varying)

Quasi-LPV Quasi lin´ eaire ` a param´ etres variables (quasi-Linear Parameter Varying) LTV Lin´ eaire variant dans le temps (Linear Time Variant)

PI Proportionnel int´ egral (Proportional Integral) PID Proportionnel Integral D´ erivateur

PMI Proportionnel multi int´ egral (Proportional Multi Integral)

UIO Observateur ` a entr´ ees inconnues (Unknown Input Observer) TPC Transformation Polytopique Convexe

QP Programmation quadratique (Quadratic Programming) LP Programmation lin´ eaire (Linear Programming)

LQR R´ egulateur lin´ eaire quadratic (Linear Quadratic Regulator) LQG Linear Quadratic Gaussian

LMI(s) In´ egalit´ e(s) matricielle(s) lin´ eaire(s) (Linear Matrix(ces) Inequality(ies)) DEAP Circuit d’air du moteur Diesel (Diesel Engine Air Path)

Nox Oxyde d’azote CO

Dioxyde de carbone FAP Filtre A Particules PMH Point Mort Haut PMB Point Mort Bas

EGR Vanne de recirculation des gaz d’´ echappement (Exhaust Gas Recirculation) VGT Turbocompresseur ` a g´ eom´ etrie variable (Variable Geometry Turbine)

Notations

x(.) ∈ <

Vecteur d’´ etat

u(.) ∈ <

Vecteur de commande y(.) ∈ <

Vecteur de sortie ˆ

x ∈ <

Vecteur d’´ etat estim´ e ˆ

y ∈ <

Vecteur de sortie estim´ ee

e(.) Vecteur d’erreur d’estimation d’´ etat

e

(.) Vecteur d’erreur de poursuite de trajectoire de r´ eference e

(.) Vecteur d’erreur de poursuite en d´ efaut

˜

y(.) Vecteur d’erreur de reconstruction de la sortie e

(.) Vecteur d’erreur de sortie

d(.) Vecteur des perturbations ext´ erieures

u

(.) Vecteur de r´ ef´ erence d’entr´ ee suppos´ ee born´ ee

y

(.) Vecteur des trajectoires de sortie d´ esir´ ees q(.) Vecteur de commande calcul´ e par la MPC f(.) ∈ R

Vecteur de d´ efaut

f(.) ˆ ∈ R

Vecteur de d´ efaut estim´ e

x

(.) ∈ <

Vecteur d’´ etat en pr´ esence de d´ efaut u

(.) ∈ <

Vecteur de contrˆ ole tol´ erant aux d´ efauts u

(.) Vecteur de commande nominale

u

(.) Vecteur de commande de compensation y

(.) ∈ <

Vecteur de sortie en pr´ esence de d´ efaut A ∈ <

Matrice d’´ etat

B ∈ <

Matrice d’entr´ ee C ∈ <

Matrice de sortie

M s Matrice sommet

P > 0 Matrice sym´ etrique, d´ efinie positive X1 Matrice sym´ etrique, d´ efinie positive P 2 Matrice sym´ etrique, d´ efinie positive P 3 Matrice sym´ etrique, d´ efinie positive P

Transpos´ e d’une matrice P

P

Inverse d’une matrice P E

Matrice de d´ efaut actionneur E

Matrice de d´ efaut capteur L Matrice gain d’observation

K Matrice gain de retour d’´ etat PDC K

Matrice gain de l’action int´ egrale G Matice gain d’estimation de d´ efauts N Nombre de sous-mod` eles LTI

r Nombre des variables de pr´ emisse θ(.) Variable de pr´ emisse

θ(.) ˆ Variable de pr´ emisse estim´ ee θ

(.) Variable de pr´ emisse en d´ efaut

ρ Taux d’att´ enuation des perturbations ext´ erieures

γ Scalaire positif

Q Pond´ eration sur l’erreur de sortie R Pond´ eration sur la commande H

Horizon de pr´ ediction

H

Horizon de commande T

P´ eriode d’´ echantillonnage h(.) Fonction non lin´ eaire g(.) Fonction non lin´ eaire f

(.) Fonction non lineaire µ(.) Fonction d’activation

V (.) Fonction de Lyapunov Candidate J (.) Fonction coˆ ut

K

Gain proportionnel K

Gain int´ egral

Notations relatives au syst` eme DEAP

p

Pression de gaz dans le collecteur d’admission p

Pression de gaz dans le collecteur d’´ echappement P

Puissance du compresseur

P

Puissance de la turbine

W

D´ ebit d’air ` a travers le compresseur W

D´ ebit d’air aspir´ e par les cylindres W

D´ ebit de gaz ` a travers la turbine

W

D´ ebit de gaz recycl´ e provenant de l’EGR W

D´ ebit de carburant

η

Rendement isentropique du compresseur η

Rendement isentropique de la turbine

η

Rendement m´ ecanique du turbocompresseur

T

Temp´ erature ambiante

T

Temp´ erature dans le collecteur d’admission

T

Temp´ erature dans le collecteur d’´ echappement

c

Coefficient de chaleur sp´ ecifique ` a pression constante

c

Coefficient de chaleur sp´ ecifique ` a volume constant

– Articles de revues internationales et nationales avec comit´ e de lecture

1. L. Ben Hamouda, M. Ayadi and N. Langlois, ”Fuzzy Fault Tolerant Predictive Control for a Diesel Engine Air Path”, International Journal of Control, Au- tomation, and Systems IJCAS, ISSN 1598-6446, IF = 1.065, ind´ ex´ e dans ISI THOMSON, Springer (accept´ e, vol 14, num 2, Avril 2016).

2. L. Ben Hamouda, M. Ayadi and N. Langlois, ”Takagi-Sugeno Fuzzy Observer and Predictive Control for a Diesel Engine Air Path”, International Journal of Automation and Control IJAAC, ISSN 1740-7524, ind´ ex´ e dans SCOPUS, Inderscience Publishers (accept´ e).

3. L. Ben Hamouda, M. Ayadi and N. Langlois, ”Fuzzy fault tolerant predictive control for a class of nonlinear uncertain systems”, Systems Science and Control Engineering tSSC, ISSN 2164-2583, an open access journal, Taylor and Francis (soumis).

– Articles de conf´ erences internationales avec comit´ e de lecture

1. L. Ben Hamouda, O. Bennouna, M. Ayadi and N. Langlois, ”Quais-LPV Model Predictive Reconfigurable Control for Constrained Nonlinear Systems”, IEEE International Conference on Control and Fault-Tolerant Systems SYSTOL’13, Nice, France, 09-11 Octobre 2013.

2. L. Ben Hamouda, O. Bennouna, M. Ayadi and N. Langlois, ”Fuzzy Model

Predictive Reconfigurable Control for Nonlinear Systems Subject to Actua-

tors Faults”, International Conference on Automation and Computing ICAC’14, Bedfordshire, Royaume-Uni, 12-13 Septembre 2014.

3. L. Ben Hamouda, O. Bennouna, M. Ayadi and N. Langlois, ”Fuzzy Fault To- lerant Control based on Unmeasurable Premise variables : Quadratic Stability and LMIs”, IFAC Congreso Latinoamericano de Control Autom´ atico CLCA’14, Canc` un, Mexique, 14-17 Octobre 2014.

4. L. Ben Hamouda, O. Bennouna, M. Ayadi and N. Langlois, ”Quadratic Stability and LMIs for Tolerance to Faults : Fuzzy Model predictive Control”, IEEE In- ternational Conference on System Theory, Control and Computing ICSTCC’14, Sinaia, Roumanie, 17-19 Octobre 2014.

– Communications Orales

1. L. Ben Hamouda, M. Ayadi and N. Langlois, ”Fault tolerant control : a Takagi- Sugeno (T-S) model based predictive approach”, Groupe de Travail Commande Pr´ edictive Nonlineaire, 03 avril 2014, Paris.

2. L. Ben Hamouda, M. Ayadi and N. Langlois, ”Fault tolerant control : a Takagi- Sugeno (T-S) model based predictive approach”, Communication orale interne IRSEEM, Rouen, France, 04 avril 2014.

– Posters

1. L. Ben Hamouda, M. Ayadi and N. Langlois, ”Fuzzy fault tolerant predic-

tive control based on unmeasurable premise variables : quadratic stability and

LMIs”, 6 ` eme Journ´ ee des Doctorants de l’Ecole Doctorale SPMII, Rouen,

France, 05 Juin 2014.

Dans l’industrie, les ´ evolutions technologiques apportent une meilleure qualit´ e des pro- duits, des services et de la productivit´ e mais aussi une vuln´ erabilit´ e face aux d´ efauts de type actionneur, capteur ou encore syst` eme. En pr´ esence de d´ efauts, la sortie d’un proces- sus industriel peut d´ evier de la trajectoire de r´ ef´ erence vis´ ee. Cette d´ eviation peut conduire

`

a des performances d´ egrad´ ees, voire amener ` a une instabilit´ e de l’´ etat du syst` eme provo- quant ainsi des d´ egˆ ats mat´ eriels et mˆ eme ´ ecologiques. Par exemples de syst` emes industriels sensibles, nous citons les syst` emes de navigation, les trains et les centrales nucl´ eaires. Afin d’assurer la fiabilit´ e de ces syst` emes et la s´ ecurit´ e des humains, certains industriels se tournent g´ en´ eralement vers la redondance mat´ erielle. Cette technique est fiable en pr´ e- sence de d´ efauts capteurs mais encombrante et engendre un surcoˆ ut. D’autres techniques de diagnostic ont ´ et´ e misent en œuvre par la suite pour d´ etecter tout type de d´ efauts.

En automatique, le contrˆ ole actif tol´ erant aux d´ efauts (en anglais, Active Fault Tolerant Control ou AFTC) a comme priorit´ e le maintien de la stabilit´ e du syst` eme consid´ er´ e et ses performances nominales en pr´ esence de perturbations et/ou de d´ efauts. En absence de d´ efauts, la commande nominale appliqu´ ee au syst` eme en boucle ferm´ ee assure la stabilit´ e de ce dernier. Dans ce cas, les r´ esidus g´ en´ er´ es par le bloc d´ etection et isolation de d´ efauts (en anglais Fault Detection and Isolation ou FDI) constitu´ e par des observateurs, sont nuls. Aucun d´ efaut n’est donc d´ etect´ e. Par contre, en pr´ esence de d´ efaut, le bloc FDI d´ e- tecte, isole et identifie le d´ efaut intervenant, apr` es un temps de r´ eponse de l’observateur.

Des informations concernant le d´ efaut, telles que l’instant de son apparition, son type,

son amplitude et sa localisation, sont fournis au bloc de contrˆ ole tol´ erant aux d´ efauts (en

anglais, Fault Tolerant Control ou FTC). Le rˆ ole de l’observateur est d’estimer avec pr´ eci-

sion les d´ efauts et les ´ etats du syst` eme consid´ er´ e. L’observateur a comme entr´ ee le signal

de commande appliqu´ e au syst` eme et les sorties mesur´ ees de ce dernier. La commande

tol´ erante aux d´ efauts d´ epend des estimations obtenues par le bloc FDI. Avant de g´ en´ erer cette commande, il est important de consid´ erer la phase de mod´ elisation des syst` emes non lin´ eaires. Cette phase est cruciale pour l’´ etude de la stabilit´ e du syst` eme et choix de la structure du contrˆ oleur.

L’´ etude de la stabilit´ e d’un syst` eme industriel commence par une phase de mod´ elisation visant ` a obtenir une repr´ esentation math´ ematique permettant de d´ ecrire son comporte- ment dynamique. Comme syst` emes industriels consid´ er´ es dans la litt´ erature, nous citons les automobiles, les avions, les centrales nucl´ eaires, les r´ eacteurs chimiques, etc. Dans la litt´ erature, le cas lin´ eaire a ´ et´ e pleinement explor´ e. La mod´ elisation lin´ eaire est consid´ er´ ee dans divers contextes comme l’identification, l’estimation et la commande. Par ailleurs, ce type de mod` ele permet la description du comportement du syst` eme autour d’un seul point de fonctionnement donn´ e, l’hypoth` ese de lin´ earit´ e n’´ etant v´ erifi´ ee que dans une zone restreinte de l’espace de fonctionnement. Dans l’industrie, vu que les syst` emes r´ eels sont de nature non lin´ eaire, les techniques lin´ eaires de commande et de diagnostic d´ evelopp´ ees fournissent donc des performances d´ egrad´ ees d` es qu’on s’´ eloigne du point de fonction- nement. Dans le but d’am´ eliorer les performances des syst` emes, il est indispensable de consid´ erer les non-lin´ earit´ es dans la phase de mod´ elisation, de fa¸con ` a ce que le com- portement du syst` eme r´ eel soit d´ ecrit sur une large plage de fonctionnement. Il est donc envisageable de consid´ erer une mod´ elisation bas´ ee sur le concept de la logique floue. Ceci permettra d’´ elaborer des syst` emes de commande tol´ erants aux d´ efauts plus performants que ceux d´ evelopp´ es ` a partir de mod` eles lin´ eaires.

Organisation du m´ emoire Le m´ emoire est structur´ e en trois chapitres : 1. Un ´ etat de l’art sur la stabilit´ e des mod` eles T-S soumis ` a des d´ efauts.

2. Une synth` ese de commandes pr´ edictives tol´ erantes aux d´ efauts ` a base de mod` eles T-S.

3. Une application de la strat´ egie propos´ ee au circuit d’air du moteur Diesel.

Dans le premier chapitre, nous commen¸cons par exposer des g´ eneralit´ es sur le FTC

et le diagnostic ` a base d’observateurs lin´ eaires. Ensuite, nous pr´ esentons un ´ etat de l’art

sur la mod´ elisation floue de type Takagi-Sugeno (T-S) ´ etudi´ ee. La structure de mod´ eli-

sation T-S choisie dans nos travaux, tient compte des non lin´ earit´ es du syst` eme. Cette structure s’appuie sur l’utilisation d’un ensemble de sous-mod` eles de structure lin´ eaire.

Chaque sous-mod` ele d´ ecrit le comportement du syst` eme dans une zone de fonctionnement particuli` ere. Ces sous-mod` eles servent alors ` a la description du comportement dynamique global du syst` eme en utilisant des fonctions non lin´ eaires (fonctions d’activation) d´ efi- nissant la contribution de chaque sous-mod` ele. Trois approches peuvent ˆ etre employ´ ees pour l’obtention des mod` eles T-S : par identification, par lin´ earisation autour de diff´ e- rents points de fonctionnement (dans ce cas il s’agit de mod` eles locaux affines dˆ u ` a la pr´ esence de la constante de lin´ earisation) ou par l’approche des secteurs non lin´ eaires.

La premi` ere approche consiste ` a identifier les param` etres du mod` ele local correspondant aux diff´ erents points de fonctionnement ` a partir de donn´ ees sur les entr´ ees et les sor- ties. Pour la deuxi` eme et la troisi` eme approche, nous supposons disposer d’un mod` ele math´ ematique non lin´ eaire. La capacit´ e des mod` eles T-S ` a repr´ esenter ou ` a approcher le comportement dynamique d’un syst` eme r´ eel a ´ et´ e largement reconnue. Les mod` eles T-S sont d´ ecrits par un ensemble de sous-mod` eles partageant un vecteur d’´ etat unique [Takagi et Sugeno (1985)]. Les mod` eles T-S obtenus inclus le vecteur des ´ etats dans les variables de pr´ emisse appel´ ees aussi variables de d´ ecision. Dans nos travaux, deux cat´ egories sont consid´ er´ ees selon la nature des variables intervenant dans les fonctions d’activation. En effet, ces variables de pr´ emisse peuvent ˆ etre connues (entr´ ee et/ou ´ etat du syst` eme, etc.) ou inconnues (´ etat du syst` eme, etc.). La premi` ere cat´ egorie consid` ere les mod` eles T-S ` a Variables de Pr´ emisse Mesurables (VPM). Ce type de mod´ elisation a fait l’objet de nom- breux d´ eveloppements touchant la commande, la stabilisation comme dans [Tanaka et al.

(2001)], l’estimation d’´ etat et le diagnostic. Par contre, la seconde cat´ egorie ` a Variables de Pr´ emisse Non Mesurables (VPNM) est tr` es peu explor´ ee dans le domaine de la conception d’observateurs. Parmi les avantages de la mod´ elisation T-S, le mod` ele ` a VPNM permet d’avoir une repr´ esentation approximatif du mod` ele non lin´ eaire exprim´ e sous sa forme g´ en´ erale. Un ´ etat de l’art sur la stabilisation et l’observation des mod` eles T-S ` a VPM et

`

a VPNM est expos´ e.

Le deuxi` eme chapitre pr´ esente l’essentiel de nos contributions : La premi` ere contri-

bution consiste ` a proposer une m´ ethode d’obtention de mod` eles T-S pour une classe de

syst` emes non lin´ eaires affines en la commande. La deuxi` eme contribution est la synth` ese

de lois de commande stabilisantes et tol´ erantes aux d´ efauts. Les trois derni` eres lois de commande propos´ ees sont bas´ ees sur la conception d’observateurs T-S. La commande consid´ er´ ee est la commande pr´ edictive ` a base de mod` ele (en anglais Model Predictive Control ou MPC). Pour un syst` eme dynamique, la commande bas´ ee sur la pr´ ediction vise essentiellement deux objectifs : la poursuite de trajectoires d´ esir´ ees au cours du temps et la stabilisation autour de ces trajectoires par rejet de perturbations ext´ erieurs. L’ob- jectif du travail pr´ esent´ e dans ce m´ emoire est d’explorer la structure T-S ` a VPM et ` a VPNM. Nous proposons une strat´ egie de commande pr´ edictive T-S tol´ erante aux d´ efauts et robuste face aux perturbations et aux incertitudes de mod´ elisation pour les mod` eles T-S.

Le troisi` eme chapitre pr´ esente l’application de la strat´ egie propos´ ee de reconfiguration au circuit d’air du moteur Diesel (en anglais Diesel Engine Air Path ou DEAP). Les moteurs Diesel sont les syst` emes d’entraˆınement les plus utilis´ es dans l’industrie, grˆ ace

`

a leur faible consommation du carburant et ` a leur fiabilit´ e. En contrepartie, le moteur Diesel compte parmi les syst` emes fortement polluants en raison d’un haut niveau d’´ emis- sion d’oxydes d’azote (NO

). Ces derniers sont form´ es ` a tr` es hautes pressions et hautes temp´ eratures. Il est souhaitable d’att´ enuer la formation de ces polluants ` a la source c’est

`

a dire durant la combustion. Le fait de diluer de l’oxyg` ene de combustion avec des gaz d’´ echappement, contribue ` a un abaissement de la temp´ erature dans la chambre de com- bustion r´ eduisant ainsi consid´ erablement la formation des NO

. Dans ce m´ emoire, une strat´ egie de contrˆ ole bas´ ee sur la mod´ elisation T-S du syst` eme DEAP en pr´ esence de fuite d’air et d’un d´ efaut capteur est propos´ ee. Des observateurs T-S sont con¸cu permettant d’estimer les ´ etats du syst` eme DEAP et la fuite d’air. Des conditions suffisantes mais non n´ ecessaires de suivi de r´ ef´ erence sont ´ etablies et mises sous forme d’in´ egalit´ es matricielles lin´ eaires (en anglais, Linear Matrix Inequalities ou LMIs). L’ensemble des r´ esultats est valid´ e en simulation num´ erique sur les mod` eles T-S du syst` eme DEAP.

Ce m´ emoire se termine par une conclusion g´ en´ erale et quelques perspectives de nos

travaux de recherche.

Etat de l’art sur la stabilit´ ´ e des syst` emes non lin´ eaires repr´ esent´ es par des mod` eles T-S

I.1 Introduction

Pour la plupart des processus r´ eels, un mod` ele non lin´ eaire est le plus indiqu´ e pour

apporter une bonne repr´ esentation. Cependant, dans des contextes comme l’estimation et

la commande, une mod´ elisation non lin´ eaire est plus d´ elicate qu’une mod´ elisation lin´ eaire

valable sur une zone restreinte de fonctionnement. Dans la litt´ erature, cette repr´ esentation

est adopt´ ee pour l’analyse de la stabilit´ e et la synth` ese de lois de commande de processus

non lin´ eaires par des mod` eles T-S, de mˆ eme que pour la conception d’observateurs pour

les syst` emes non lin´ eaires. Par cons´ equent, la structure floue de type Takagi-Sugeno (T-S)

est introduite en tant que approche de mod´ elisation permettant la repr´ esentation d’un

syst` eme non lin´ eaire ainsi que la consid´ eration des techniques actives de contrˆ ole adap-

t´ ees aux mod` eles lin´ eaires. Les mod` eles T-S repr´ esentent les syst` emes non lin´ eaires sous

forme d’une interpolation entre des mod` eles lin´ eaires locaux. Chaque mod` ele local est un

syst` eme dynamique LTI valide autour d’un point de fonctionnement. Dans nos travaux de

recherche, la strat´ egie de contrˆ ole tol´ erant aux d´ efauts (en anglais, Fault Tolerant Control

ou FTC) est entam´ ee par une phase de mod´ elisation T-S ayant comme objectif l’obten-

tion d’une repr´ esentation fid` ele du comportement du processus consid´ er´ e. Les travaux de

th` ese, expos´ es dans le pr´ esent m´ emoire, concernent en grande partie la synth` ese de lois de commande stabilisantes et tol´ erantes aux d´ efauts. Bien ´ evidement, le contrˆ ole et la stabi- lit´ e du syst` eme en fonctionnement nominal (en absence de d´ efauts) doivent ˆ etre garantis.

Dans ce premier chapitre, un ´ etat de l’art sur le FTC est expos´ e avant que soit pr´ esent´ ee la structure de la loi de commande choisie. Ensuite, un ´ etat de l’art sur l’analyse de la stabilit´ e et la stabilisation des syst` emes non lin´ eaires repr´ esent´ es par des mod` eles T-S est pr´ esent´ e. La stabilisation d’un syst` eme en boucle ferm´ ee revient ` a concevoir une loi de commande stabilisante bas´ ee sur les th´ eories de Lyapunov.

I.2 G´ en´ eralit´ es sur le FTC

Pour ´ eviter des cons´ equences n´ efastes suite ` a un d´ efaut, il est important de consid´ erer ce dernier et d’agir sur la loi de commande afin de compenser l’effet du d´ efaut et permettre au syst` eme de continuer ` a accomplir sa mission. En automatique, cette strat´ egie de contrˆ ole dite commande tol´ erante aux d´ efauts, a ´ et´ e appliqu´ ee ` a plusieurs domaines cit´ es selon la litt´ erature : syst` emes de commande d’avion, syst` emes de commande embarqu´ e dans les v´ ehicules, les turbines ` a gaz, etc.

Commande robuste Techniques passives Techniques ac!ves

Commande tolérante aux défauts

Accommoda!on Reconfigura!on Restructura!on

Lois de commande synthé!sées en ligne Lois de commande

pré-calculées

Figure I.1 – Classification des techniques de le FTC

Les techniques existantes concernant la tol´ erance aux d´ efauts sont class´ ees selon deux

cat´ egories : passives et actives [Montoya et al. (1983)], [Blanke et al. (2000)], [Patton

(1997)], [Noura et al. (1994)], [Steinberg (2005)], [Maciejowski et Jones (2003)], [Theilliol

(2003a)], [Gehin et Staroswiecki (2001)], [Zhang et Jiang (2008)] et [Jiang et al. (2005)].

La classification des deux techniques est illustr´ ee dans la figure I.1.

I.2.1 Les techniques passives

Les techniques passives emploient des lois de commandes consid´ er´ ees comme robustes.

Dans ce cas, les d´ efauts sont trait´ es autant que perturbations (exemples : incertitudes param´ etriques et perturbations ext´ erieures). En effet, la commande est con¸cue de fa¸con ` a ce que le syst` eme en boucle ferm´ ee soit insensible ` a un ensemble de d´ efauts suppos´ e connu.

Une base de donn´ ees est donc requise pour la synth` ese de ces techniques de contrˆ ole. Dans la litt´ erature, nous citons les techniques passives de la commande tol´ erante aux d´ efauts developp´ ees dans [Patton (1997)] et [Niemann et Stoustrup (2005)].

I.2.2 Les techniques actives

Dans le cas des techniques actives, la loi de commande est adapt´ ee selon les informa- tions fournies par l’algorithme de diagnostic [Eterno et al. (1985)], [Niemann et Stoustrup (1992)] et [Liao et al. (2002)]. Ces techniques r´ eagissent suivant les mesures prises suite

`

a l’apparition du d´ efaut. Cette r´ eaction active vise ` a maintenir la stabilit´ e et si possible

les performances nominales du syst` eme en temps r´ eel. En pr´ esence de d´ efauts, le but des

techniques actives est de ramener le syst` eme aux trajectoires de r´ ef´ erence. A la diff´ erence

des techniques passives, les techniques actives ne se focalisent pas sur une base de don-

n´ ees d´ efinissant les d´ efauts pouvant apparaˆıtre. Une m´ ethode de diagnostic est n´ ecessaire

pour d´ etecter et isoler les d´ efauts intervenant. Cette tˆ ache alarmante est accomplie g´ e-

n´ eralement par un observateur permettant d’estimer les ´ etats du syst` eme et le d´ efaut

intervenant. Un bloc de d´ etection et d’isolation de d´ efauts est indispensable pour obtenir

une commande active tol´ erante aux d´ efauts. Les techniques actives sont d´ ecompos´ ees en

deux types selon leur fa¸con d’agir sur le syst` eme et selon le type de d´ efaut intervenant :

l’accommodation au d´ efaut et la reconfiguration du syst` eme de commande.

I.2.2.1 Accommodation

L’accommodation par rejet de perturbation repr´ esente une technique d’accommoda- tion aux d´ efauts par le principe de compensation. La compensation est ´ etablie soit par la s´ election d’une loi de commande pr´ ed´ efinie, soit par la synth` ese en ligne d’une nouvelle loi de commande. Lorsque le d´ efaut se manifeste, la structure de la loi de commande ne change pas. Par cons´ equent, l’adaptation se traduit par le recalcule des gains du syst` eme de commande par rapport ` a la perte de l’efficacit´ e soit par compensation de l’effet des d´ efauts de faibles amplitude dans le but de garantir des performances acceptables. En pr´ esence de d´ efaut ` a forte amplitude, deux choix se pr´ esentent, soit changer la trajec- toire du syst` eme soit augmenter le temps de r´ eponse. En fait, le bloc de FDI est cruciale pour l’accommodation par le principe de compensation et pour l’analyse de la stabilit´ e du syst` eme tol´ erant aux d´ efauts. Dans la litt´ erature, les techniques actives d’accommo- dation sont consacr´ ees particuli´ erement au domaine de l’a´ eronautique. Nous citons les techniques de commande ´ etudi´ ees dans le but d’accommodation depuis les ann´ ees 1980, la commande lin´ eaire quadratique [Eterno et al. (1985)], la m´ ethode de la pseudo-inverse [Gao et Antsaklis (1991)], la commande pr´ edictive [Maciejowski et Jones (2003)], la com- mande adaptative, la commande par mod` ele de r´ ef´ erence, la commande par mode glissant, la commande par placement de structure propre, la lin´ earisation entr´ ee/sortie, etc. Dans [Theilliol (2003b)], l’auteur propose une loi de commande capable de r´ eduire, voire mˆ eme annuler l’effet des d´ efauts intervenants, bas´ ee sur le principe du rejet de perturbations.

L’objectif de l’auteur est de mener le syst` eme ` a ses performances nominales initiales afin de maintenir sa stabilit´ e. Dans le cas d´ efaut de type capteur, la m´ ethode de compensation fait appel ` a un banc d’observateurs g´ en´ eralis´ es insensibles aux d´ efauts. Concernant les d´ efauts actionneurs et d´ efauts syst` eme, la m´ ethode d’accommodation r´ einjecte l’erreur d’estimation dans la loi de commande.

I.2.2.2 Reconfiguration de lois de commande

La reconfiguration de lois de commande consiste ` a calculer une nouvelle loi de com-

mande en tenant compte des d´ efauts. A cause de contraintes ´ economiques et techniques,

il n’est pas toujours possible de changer la structure du syst` eme ou de la commande pour

compenser l’effet des d´ efauts. Dans cette situation particuli` ere, une commande tol´ erante aux d´ efauts est d´ eriv´ ee de la loi de commande calcul´ ee pour le cas nominal. La solution re- vient ` a estimer le d´ efaut grˆ ace ` a un bloc de d´ etection et d’isolation de d´ efauts (en anglais, Faults Detection and Isolation FDI) pour transmettre ensuite les informations obtenues

`

a un deuxi` eme bloc dit FTC. Une nouvelle loi de commande est d´ eduite r´ esultant du rajout d’un terme relatif au d´ efaut d´ etect´ e au niveau de la commande nominale. Dans ce contexte, nous citons la loi de commande re-s´ equenc´ ee (Control law re-scheduling) [Oud- ghiri (2008)], [Leithead (1999)] et [Stilwell et Rugh (1999)], la commande par la m´ ethode du pseudo-inverse propos´ ee par [Gao et Antsaklis (1991)]. Le but consiste ` a minimiser l’erreur de poursuite de trajectoire poussant le syst` eme en d´ efaut ` a avoir approximati- vement le mˆ eme comportement que le syst` eme de r´ ef´ erence sans d´ efaut. L’inconv´ enient est que cette commande n´ ecessite un module FDI suffisamment robuste, pour ´ eviter une d´ egradation des performances ou une instabilit´ e du syst` eme suite ` a une fausse alarme ou

`

a un d´ efaut non d´ etect´ e.

Aconneurs Système Capteurs

y

f

f

Geson des Réferences FDI

y

résidus

Figure I.2 – Architecture du FTC

Afin d’atteindre une reconfiguration de lois de commande effective, la connaissance

du vecteur d’´ etats du syst` eme en fonctionnements normal et d´ efaillant est requise. La

d´ etection, l’isolation et le diagnostic de d´ efauts permettent d’atteindre ces objectifs.

I.2.3 G´ en´ eralit´ es sur le diagnostic

Deux grandes cat´ egories de m´ ethodes de diagnostic sont identifiables dans la litt´ era- ture. La premi` ere cat´ egorie est celle bas´ ee sur la redondance mat´ erielle. Ces m´ ethodes sont consid´ er´ es fiables mais encombrantes et coˆ uteuses. La redondance mat´ erielle consiste

`

a multiplier le nombre de capteurs mesurant une mˆ eme grandeur. La redondance mat´ e- rielle est tr` es utilis´ ee dans le cas o` u les cons´ equences de s´ ecurit´ e des humains et du proc´ ed´ e sont plus importantes que les contraintes ´ economiques. Ces m´ ethodes sont employ´ ees dans des domaines comme l’automobile, l’a´ eronautique ou l’a´ erospatial. La seconde cat´ egorie se base sur des algorithmes de diagnostic qui fournissent des informations concernant l’´ etat du syst` eme [Patton (1997)]. Sur le plan pratique, l’hypoth` ese selon laquelle le vecteur d’´ etat est accessible ` a la mesure n’est pas toujours v´ erifi´ ee. En r´ ealit´ e, pour des raisons techniques et ´ economiques, l’inconv´ enient principal est de ne pas pouvoir mesurer la to- talit´ e des variables d’´ etat du syst` eme, d’ici vient le besoin d’estimer ces derni` eres ` a partir de donn´ ees entr´ ees-sorties [Noura et al. (2000)].

I.2.3.1 D´ efinitions et terminologies

Nous reprenons dans la liste ci-dessous, les d´ efinitions propos´ ees par le comit´ e technique SAFEPROCESS de l’IFAC (International Federation of Automatic Control) et reprises dans [Isermann et Balle (1997)].

Faute : cause ou origine d’une erreur. La faute est d´ efinie par la cause que l’on veut pr´ evenir ou tol´ erer.

Erreur : diff´ erence entre une mesure (r´ ealit´ e) et une observation (r´ esultat de calcul). Une erreur est caus´ ee par une ou plusieurs fautes.

D´ efaut : d´ eviation non acceptable d’au moins une caract´ eristique d’un syst` eme (action- neur(s) - syst` eme - capteur(s)) par rapport ` a sa valeur nominale.

D´ efaillance : interruption permanente de la capacit´ e du syst` eme ` a accomplir sa mission dans des conditions de fonctionnements op´ erationnelles sp´ ecifi´ ees, cons´ equence d’un ou plusieurs d´ efauts.

Panne : ´ etat d’un syst` eme incapable d’assurer sa fonction ` a la suite d’une d´ efaillance.

R´ esidu : indicateur d’anomalie fonctionnelle ou comportementale. Un r´ esidu est un si- gnal issu des relations de redondance analytique du mod` ele du syst` eme. Il a pour objectif de mettre en ´ evidence, dans le cadre de diagnostic, l’apparition d’une ou plusieurs fautes, Noura (2005).

D´ etection de d´ efaut : (en anglais Fault Detection ou FD) : fonction consistant ` a d´ e- terminer l’apparition et l’instant d’occurrence d’un d´ efaut. Cette fonction peut ˆ etre obtenue en utilisant le r´ esidu g´ en´ er´ e en comparant le comportement du mod` ele du syst` eme ` a celui du syst` eme r´ eel. Id´ ealement, un r´ esidu est nul lorsque le syst` eme est en fonctionnement normal et il diff` ere de 0 en cas de d´ efaut.

Isolation de d´ efaut : d´ etermination du type, de la localisation et de l’instant d’occur- rence d’un d´ efaut.

Identification : d´ etermination de la taille et du comportement temporel d’un d´ efaut.

Diagnostic : d´ etermination du type, de la taille, de la localisation et de l’instant d’oc- currence d’un d´ efaut. Il inclut la d´ etection, l’isolation et l’identification des d´ efauts.

Redondance analytique : d´ etermination d’une variable par la mesure ou par l’utilisa- tion d’un mod` ele math´ ematique du processus consid´ er´ e.

Mod´ elisation du d´ efaut : d´ etermination d’un mod` ele math´ ematique pour d´ ecrire un effet sp´ ecifique du d´ efaut.

I.2.3.2 Classification des d´ efauts

D´ efaut actionneur : cette d´ efaillance affecte l’actionneur totalement ou partiellement et conduit ` a la perte d’une action de commande sur le syst` eme. Soit l’exemple du v´ erin bloqu´ e ne r´ epondant plus au signal de commande qui lui est appliqu´ e. Dans ce cas, il est question d’une perte totale de l’actionneur. Un d´ efaut partiel du v´ erin peut ˆ etre la cons´ equence d’une baisse d’efficacit´ e ` a cause d’un probl` eme hydraulique (fuite), d’un vieillissement ou d’une saturation. Suite ` a de tels d´ efauts, il est d´ eduit un fonctionnement d´ egrad´ e du syst` eme causant son instabilit´ e.

D´ efaut capteur : ce type de d´ efaut se manifeste par une erreur au niveau de la mesure

d’une grandeur physique. La perte totale d’un capteur peut ˆ etre caus´ ee par une

perte de connexion physique (´ electrique par exemple) entre la source d’information

et le capteur, ou ´ egalement un dysfonctionnement du capteur (usure m´ ecanique, probl` eme logiciel, etc.). Si le d´ efaut est partiel, c’est qu’il se pr´ esente sous la forme d’un biais, d’une d´ erive, d’une baisse d’efficacit´ e, d’un d´ efaut de calibrage, etc.

D´ efaut syst` eme : ce type de d´ efaut est celui qui affecte les composants du syst` eme, comme par exemple la masse, les coefficients a´ erodynamiques, etc. Ce d´ efaut est g´ en´ eralement pr´ esent´ e par des incertitudes ou des erreurs de mod´ elisation.

Consid´ erons le cas des syst` emes ` a multi-entr´ ees multi-sorties (en anglais, Multi-Input Multi-Output ou MIMO). Lors de l’apparition d’un d´ efaut actionneur, il est n´ ecessaire de v´ erifier la commandabilit´ e du syst` eme avec les actionneurs encore en bon ´ etat. Cette

´

etude est importante avant de re-calculer une nouvelle loi de commande. Dans le cas d’une perte d’efficacit´ e d’un actionneur r´ esultant d’un vieillissement, il s’agit d’une com- mande tol´ erante aux d´ efauts vu que l’actionneur fonctionne toujours. Les d´ efauts peuvent ˆ

etres additifs ou multiplicatifs. Les d´ efauts multiplicatifs sont g´ en´ eralement transform´ es en d´ efauts additifs comme consid´ er´ e dans [Noura et al. (2000)] et [Rodrigues (2005)]. Ce- pendant, les d´ efauts multiplicatifs sont repr´ esent´ es par des changements dans la matrice d’´ etats du syst` eme. Les d´ efauts affectant le syst` eme se d´ efinissent sous la forme d’une variation de param` etres des matrices repr´ esentant le mod` ele du syst` eme. Les figures I.3 et I.4 montrent les d´ efauts additifs qui influencent une variable Y par l’ajout du d´ efaut f au signal d’entr´ ee Y

. Cette premi` ere mod´ elisation est appropri´ ee aux d´ efauts capteurs et actionneurs ou encore aux bruits de mesures. Les d´ efauts multiplicatifs peuvent ˆ etre consid´ er´ es ´ egalement comme des incertitudes param` etriques ∆A du proc´ ed´ e.

Σ

f

Y Y = +

f Y

Figure I.3 – D´ efaut additif

U f = ∆ a

a Y = + ∆ ( a a U )

Figure I.4 – D´ efaut multiplicatif

Dans ce qui suit, nous consid´ erons le diagnostic ` a base d’observateur permettant d’ob-

tenir les estimations des mesures disponibles et indisponibles.

I.2.3.3 M´ ethodes de diagnostic bas´ ees sur les observateurs lin´ eaires

Dans le cas de nombreux proc´ ed´ es industriels, il est difficile voire mˆ eme impossible de r´ ealiser les mesures de certaines de ses grandeurs physiques pouvant constitu´ ees les va- riables d’´ etat. De ce fait, pour assurer un contrˆ ole satisfaisant de ces proc´ ed´ es en l’absence de capteurs physiques ad´ equats, il est n´ ecessaire d’avoir les valeurs des variables non ac- cessibles. La solution dans ce cas est d’employer les m´ ethodes ` a base d’observateur d’´ etat.

La conception d’un observateur est r´ ealis´ ee en deux ´ etapes : une premi` ere phase de syn- th` ese de l’observateur et une seconde d’analyse de la convergence de l’´ etat de l’observateur vers l’´ etat r´ eel du syst` eme. La synth` ese de l’observateur se base sur les informations dis- ponibles concernant le syst` eme (le mod` ele dynamique), les signaux d’entr´ ees et les sorties mesurables. Il existe dans la litt´ erature un observateur adapt´ e ` a chaque repr´ esentation du syst` eme : lin´ eaire, non lin´ eaire, d´ eterministe, stochastique, etc. [Corriou (1996)] et [Borne et al. (1990)]. La reconstruction d’´ etat d’un syst` eme LTI a ´ et´ e propos´ ee initialement dans [Luenberger (1971)], l’observateur est dit de Luenberger. Nombreux sont les observateurs propos´ es dans la litt´ erature : observateur ` a entr´ ees inconnues par d´ ecouplage [Koenig et Mammar (2001)], observateur proportionnel int´ egral (en anglais Proportional Integral ou PI) [Hamdi et al. (2011)], observateur ` a modes glissants [Young et Ozguner (1999)], ob- servateur adaptatif, observateur par apprentissage it´ eratif et estimateur direct de sortie, etc. L’observateur ` a entr´ ees inconnues (en anglais Unknown Input Observer ou UIO) a attir´ e l’attention de nombreux chercheurs [Akhenak et al. (2004)], [Luenberger (1971)] et [Chen et Saif (2004)]. En pr´ esence d’incertitudes, le syst` eme de diagnostic est construit ` a partir d’UIO pour g´ en´ erer des r´ esidus sensibles aux d´ efauts et insensibles aux incertitudes consid´ er´ ees comme des entr´ ees inconnues.

Observateur de Luenberger :

Le principe de l’observateur de Luenberger est donn´ e dans [Luenberger (1964)], [Luen-

berger (1966)] et [Luenberger (2000)]. Le bloc de FDI permet la d´ etection et l’isolation

des d´ efauts affectant le proc´ ed´ e. L’observateurs de Luenberger pour les syst` emes lin´ eaires

invariants dans le temps (en anglais Linear Time Invariant LTI), comme il est d´ etaill´ e

dans [Join (2002)]. Soit la repr´ esentation d’´ etat suivante d’un mod` ele LTI :



 

 

 

 

˙

x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t)

x(0) = x

(I.1)

avec x ∈ R

le vecteur d’´ etat, u ∈ R

le vecteur des commandes (entr´ ees externes connues) et y ∈ R

le vecteur des sorties mesur´ ees et o` u A ∈ R

, B ∈ R

et C ∈ R

repr´ esentent les matrices d’´ etat. La structure et les param` etres sont suppos´ es connus.

Th´ eor` eme I.2.1 Consid´ erons un syst` eme de la forme (I.1). Son observateur est donn´ e par un mod` ele de la forme :







˙ˆ

x(t) = Aˆ x(t) + Bu(t) + L(y(t) − y(t)) ˆ ˆ

y(t) = C x(t) ˆ

(I.2)

o` u ˆ x repr´ esente l’´ etat estim´ e, ˆ y la sortie estim´ ee et L le gain de l’observateur ` a d´ eterminer.

Th´ eor` eme I.2.2 Les valeurs propres de (A − LC) sont fix´ ees arbitrairement, si et seule- ment si la paire (A, C) est observable :

rang











































 C CA CA

.. . CA













































= n (I.3)

Si le syst` eme LTI (I.1) satisfait la condition du rang d’observabilit´ e (I.3), alors il existe un observateur de la forme (I.2).

La dynamique de cet observateur d´ epend de la matrice (A − LC) dont les valeurs propres

sont ` a fixer sous condition que le syst` eme lin´ eaire soit observable.

L’erreur de reconstruction de la sortie est :

˜

y(t) = y(t) − y(t) ˆ (I.4)

L’erreur d’estimation de l’´ etat est :

e(t) = x(t) − x(t) ˆ (I.5)

L’erreur de reconstruction de la sortie peut ˆ etre r´ e´ ecrite en fonction de celle d’estimation de l’´ etat :

˜

y(t) = Ce(t) (I.6)

Un observateur de Luenberger pour un syst` eme LTI est repr´ esent´ e par la figure (I.5).

+ - + +

+ +

+ + + +

+

u

y x ɺ x

x

ˆ

x x ˆ ɺ

y ˆ B

B

A

A

C

C L

∫

∫

( ) e t

ˆ x

Figure I.5 – Structure d’un observateur de Luenberger

La repr´ esentation d’´ etat (I.2) de l’observateur de Luenberger peut ˆ etre r´ eecrite sous la forme commune suivante :



 

 

 

 

˙ˆ

x(t) = (A − LC)ˆ x(t) + Bu(t) + Ly(t) ˆ

y(t) = C x(t) ˆ ˆ

x(0) = ˆ x

(I.7)

La dynamique de l’erreur de reconstruction d’´ etat devient :

˙

e(t) = (A − LC)e(t) (I.8)

La matrice L est d´ etermin´ ee de telle sorte que le syst` eme LTI soit stable impliquant que l’´ etat reconstruit tende asymptotiquement vers l’´ etat r´ eel du syst` eme. La vitesse de convergence est choisie arbitrairement et d´ epend de la matrice gain L qui sera d´ etermin´ ee par placement de pˆ oles de mani` ere optimale (filtre de Kalman) telle que :

t→∞

lim e(t) = 0 (I.9)

Si le syst` eme est compl` etement stable, nous pouvons toujours trouver la matrice L telle que l’erreur de reconstruction de sortie e(t) soit asymptotiquement stable.

Cependant, en employant des repr´ esentations math´ ematiques lin´ eaires pour le diagnostic et le contrˆ ole de syst` emes complexes non lin´ eaires, des r´ esultats peu concluants on ´ et´ e obtenus [Ichalal (2009)]. Pour cela dans la section suivante, nous expliquons qu’une mo- d´ elisation T-S est bas´ ee sur une d´ ecomposition du comportement dynamique du syst` eme non lin´ eaire autour de diff´ erentes zones de fonctionnement. En fait, la structure T-S est introduite en tant qu’approche de mod´ elisation permettant de consid´ erer des techniques actives de contrˆ ole adapt´ ees aux mod` eles lin´ eaires.

I.3 Mod´ elisation T-S des syst` emes non lin´ eaires

Un syst` eme non lin´ eaire peut ˆ etre repr´ esent´ e par des mod` eles T-S [Takagi et Sugeno (1985)] dont la structure est simple. Celle-ci est constitu´ ee de mod` eles lin´ eaires interpol´ es par des fonctions non lin´ eaires born´ ees. Les mod` eles T-S sont bas´ es sur des r` egles telles que :

SI pr´ emisse ALORS cons´ equence.

Les cons´ equences correspondent ` a des sous-mod` eles. Les variables de pr´ emisse sont ob- tenu ` a partir de propositions linguistiques permettant l’´ evolution des fonctions d’activation (pond´ eration). La mod´ elisation consid´ er´ ee au cours de ce travail est bas´ ee sur une interpo- lation entre les mod` eles lin´ eaires locaux. Les N sous-mod` eles d´ ecrivent le comportement dynamique du syst` eme non lin´ eaire dans diff´ erentes zones de fonctionnement.

Soient h et g deux fonctions non lin´ eaires. La repr´ esentation d’´ etat du syst` eme est donn´ ee

par (I.10) :







˙

x(t) = h(x(t), u(t)) y(t) = g(x(t))

(I.10)

I.3.1 Forme quasi-lin´ eaire ` a param` etres variables

Afin d’obtenir une repr´ esentation T-S du syst` eme non lin´ eaire (I.10), ce dernier est r´ e´ ecrit sous une forme quasi-lin´ eaire ` a param` etres variables (en anglais quasi-Linear Pa- rameter Varying ou quasi-LPV) selon une forme polytopique :







˙

x(t) = A(θ)x(t) + B(θ)u(t) y(t) = C(θ)x(t)

(I.11)

o` u A, B et C sont des matrices repr´ esentant l’espace d’´ etat continu avec des param` etres variables. θ repr´ esente le vecteur des variables de pr´ emisse d´ ependant des ´ etats du syst` emes et des entr´ ees de commande [Orjuela (2008)], [Orjuela et al. (2009)], [Nagy et al. (2010)], [Rodrigues et al. (2008)], [Leith et Leithead (2002)] et [Huang et Jadbabaie (1999)]. Ce- pendant, la forme d’un mod` ele quasi-LPV n’est pas unique. A chaque repr´ esentation quasi-LPV correspond un ensemble particulier de variables de pr´ emisse. Le choix de ces variables de pr´ emisse se base sur un ensemble de crit` eres mis au point selon l’analyse de stabilit´ e et/ou les objectifs d’observabilit´ e [Nagy et al. (2009)].

I.3.2 Repr´ esentation d’´ etat d’un mod` ele T-S

Le mod` ele flou obtenu est constitu´ e de deux ensembles de sous-mod` eles LTI repr´ esen- tant les bornes inf´ erieures et sup´ erieures, (θ

, θ), comme il est d´ ¯ ecrit dans [Tanaka et al.

(2001)], [Aouaouda et al. (2013)], [Ichalal et al. (2012a)], [Ichalal (2009)], [Ben Hamouda et al. (2014a)], [Ben Hamouda et al. (2014c)], [Djemili et al. (2012a)] et [Djemili et al.

(2012c)]. La repr´ esentation d’´ etat du mod` ele T-S est donn´ ee par la relation suivante :



 

 

 

 

 

 

˙ x(t) =

N

X

i=1

µ

(θ) (A

x(t) + B

u(t))

y(t) =

N

X

i=1

µ

(θ)C

x(t)

(I.12)