beta-crusts locaux et reconstruction de courbes sans intersection

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beta-crusts locaux et reconstruction de courbes sans intersection

Sébastien Bougleux, Mahmoud Melkemi, Abderrahim Elmoataz

To cite this version:

Sébastien Bougleux, Mahmoud Melkemi, Abderrahim Elmoataz. beta-crusts locaux et reconstruction

de courbes sans intersection. Journées GTMG 2007, Mar 2007, Valenciennes, France. �hal-00333378�

β -crusts locaux et reconstruction de courbes sans intersection

S.BOUGLEUX¹, M. MELKEMI² & A. ELMOATAZ³

1GREYC CNRS UMR 6072 - Equipe Image [email protected]

2LMIA - Equipe MAGE [email protected]

3LUSAC - Equipe VAI [email protected]

R´esum´e

Dans cet article, nous consid´erons le probl`eme de la reconstruction de courbes `a partir d’un ensemble de points du plan. Pour r´esoudre ce probl`eme, nous proposons d’utiliser une famille de graphes de voisinage inclus dans le graphe de Gabriel. Le voisinage utilis´e est leβ-voisinage, initialement d´efini dans le contexte desβ-squelettes, mais appliqu´e aux arˆetes du diagramme de Vorono¨ı. Cette famille de graphes inclut le crust local. Cette formulation nous permet de concevoir des algorithmes efficaces pour reconstruire des courbes, en utilisant la connaissance a priori que les courbes `a reconstruire sont sans intersection. Nous montrons, `a travers plusieurs exemples, que les algorithmes propos´es am´eliorent les r´esultats obtenus avec le crust local lorsque l’ensemble de points est de faible densit´e.

Mots-cl´es :Interpolation, Reconstruction de courbes, Diagramme de Vorono¨ı.

1 Introduction

Reconstruire la forme d’objets `a partir d’un ensemble finiPde points mesur´es sur la fronti`ere de ces objets est une ´etape importante dans de nombreux domaines d’application, tels que la vision par ordina- teur, l’analyse d’images ou encore la mod´elisation de formes. Dans cet article, les objets consid´er´es sont des courbes deR²sans intersection, et la reconstruction consiste `a trouver une interpolation polygonale deP, topologiquement ´equivalente aux courbes.

Plusieurs m´ethodes ont ´et´e propos´ees pour r´esoudre ce probl`eme de reconstruction `a partir deP. Parmi elles, les m´ethodes bas´ees sur les graphes de voisinage, et plus particuli`erement sur la triangulation de Delaunay, fournissent une interpolation ad´equate autant en pratique qu’en th´eorie, siPest un ´echantillon suffisamment dense de courbes. Conceptuellement, les graphes de voisinage connectent des points deP si ces points sont voisins relativement `a une mesure d´efinie `a partir deP. Le voisinage, qui permet de g´en´erer les arˆetes, peut ˆetre interpr´et´e comme l’´el´ement structurant des graphes. Les premiers travaux de reconstruction de formes, bas´es sur des graphes de voisinage, sont issus des m´ethodes de regroupement et de description de nuages de points. Les principaux graphes utilis´es par ces m´ethodes sont le graphe de Gabriel, le graphe desk-plus proches voisins, l’arbre de recouvrement minimum ou encore le graphe de voisinage relatif [OT04].

Une cat´egorie importante de ces graphes consid`ere le voisinage des arˆetes comme l’union et/ou l’in- tersection de disques. L’arˆete appartient alors au graphe si l’int´erieur de son voisinage est vide de l’en- semble des points deP. Parmi ces graphes, on peut distinguer ceux d´efinis avec un param`etre, permettant ainsi de d´ecrireP`a plusieurs niveaux de d´etails. Lesα-formes [EKS83] sont g´en´er´ees avec des disques vides de rayonα. Lesβ-squelettes [KR85] sont form´es avec deux disques vides de mˆeme rayon. Des ex- tensions de ces deux descripteurs ont ´et´e propos´ees en utilisant lesγ-graphes de voisinage [Vel88]. Etant donn´e que la triangulation de Delaunay est g´en´er´ee avec les disques vides de rayon maximal, elle inclut la plupart des graphes d´ecrits ci-dessus. Tandis que le voisinage de ces graphes est d´efini en utilisant

Bougleux, Melkemi & Elmoataz β-Crusts Locaux

un param`etre global, celui desA-formes [MM95, Mel97], est d´efini `a partir d’un ensemble de points de contrˆoleA. Les arˆetes de cette famille de graphes sont g´en´er´ees par des disques vides de points deP∪A.

LesA-formes sont ´egalement des sous-graphes de la triangulation de Delaunay. Le choix des points de l’ensembleAest li´e `a l’axe m´edian des formes `a reconstruire. Comme l’axe m´edian peut ˆetre approxim´e par un sous-ensemble des arˆetes du diagramme de Vorono¨ı [BA92], les sommets de Vorono¨ı sont des bons candidats pour l’ensembleA.

Ind´ependamment, une notion similaire auxA-formes a ´et´e propos´ee pour d´efinir le crust deP[ABE98], dans le cas sp´ecifique de la reconstruction de courbes ferm´ees sans intersection. Le crust est un cas particulier des A-formes, o`u A correspond `a l’ensemble de tous les sommets du diagramme de Vo- rono¨ı deP. De plus, il a ´et´e montr´e que le crust donne toujours une reconstruction topologiquement

´equivalente aux courbes ´echantillonn´ees, siPest suffisamment dense et si les courbes sont deux fois diff´erentiables [ABE98]. Le calcul du crust n´ecessite d’utiliser le diagramme de Vorono¨ı deP, ainsi que la triangulation de Delaunay deP∪A. Afin d’am´eliorer la complexit´e de ce calcul, une version locale du crust, appel´ee le crust local, a ´et´e propos´ee dans [Gol99], et pr´ealablement ´etudi´ee sous une autre forme dans [Att97]. Elle ne n´ecessite de calculer que la triangulation de Delaunay deP, et fournit des r´esultats ´equivalents `a ceux obtenus avec le crust. De plus, les arˆetes de Vorono¨ı dont les arˆetes duales de Delaunay n’appartiennent pas au crust local permettent d’approximer l’axe m´edian des courbes re- construites [Gol99]. Ce sous-graphe du diagramme de Vorono¨ı est appel´e l’anti-crust.

D’autres m´ethodes de reconstruction de courbes utilisent des graphes de voisinage. C’est le cas des m´ethodes utilisant lesα-formes [BB97], lesβ-squelettes [ABE98] ou encore l’arbre de recouvrement minimum [FG95]. Dans [DK99], le crust des plus proches voisins est propos´e comme une alternative au crust et au crust local. Comme toutes les m´ethodes de reconstruction pr´ec´edentes ne permettent pas de garantir la reconstruction `a partir d’´echantillons de courbes ouvertes et/ou qui ne sont pas deux fois diff´erentiables, les id´ees propos´ees dans [DK99] ont ´et´e ´etendues en incorporant des param`etres li´es `a la densit´e locale et `a l’acuit´e [DMR00, DW01]. Le cas des courbes avec intersections a ´egalement ´et´e propos´e dans [Len06] en utilisant les mˆemes id´ees.

L’objectif principal de cet article est de d´ecrire une famille hi´erarchique de graphes dont le voisinage est d´efini sur les arˆetes du diagramme de Vorono¨ı. Notre travail s’inspire de deux propri´et´es du crust local et de l’anti-crust que nous d´emontrons. Premi`erement, le crust local est un sous-graphe du graphe de Ga- briel. Deuxi`emement, les arˆetes de l’anti-crust sont g´en´er´ees en utilisant des disques de Gabriel. Bas´es sur ces propri´et´es, nous ´etendons le voisinage de Gabriel des arˆetes de Vorono¨ı auβ-voisinage, initiale- ment d´efini pour lesβ-squelettes [KR85]. Lorsqueβest fix´e, ce voisinage nous permet de d´efinir deux types de graphes, l’un sous-graphe du diagramme de Vorono¨ı, et l’autre sous-graphe du graphe de Ga- briel. Nous appelons respectivement ces graphes leβ-axe m´edian et deβ-crust local. A partir de l`a, nous montrons que certaines propri´et´es duβ-voisinage permettent de concevoir des algorithmes, efficaces et sans param`etre, pour extraire des courbes de la triangulation de Delaunay. Ces algorithmes exploitent comme connaissance a priori que les courbes `a reconstruire sont sans intersection. Une hypoth`ese simi- laire a ´egalement ´et´e consid´er´ee dans [Hiy06]. Les graphes obtenus avec nos algorithmes sont des collec- tions de courbes polygonales ferm´ees ou ouvertes. Nous montrons exp´erimentalement qu’ils am´eliorent les r´esultats obtenus avec le crust local [Gol99] et le crust des plus proches voisins [DK99], lorsque l’ensemble de points n’est pas dense.

Le reste de cet article est organis´e de la fac¸on suivante. La prochaine section rappelle les concepts sur lesquels reposent les graphes et les algorithmes que nous proposons. La section 3 pr´esente leβ-voisinage des arˆetes de Vorono¨ı, lesβ-axes m´edians et lesβ-crusts locaux. Nous discutons ensuite des diff´erences avec le crust local. Dans la section 4 nous proposons un algorithme qui calcule la valeur maximum de βpour laquelle lesβ-crusts locaux reconstruisent des courbes sans intersection. Dans la section 5 nous proposons un deuxi`eme algorithme qui am´eliore les r´esultats obtenus avec le premier algorithme.

2 D´efinitions pr´eliminaires

SoitPun ensemble fini deN points distincts deR². Nous supposons quePest en position g´en´erale.

Dans cette section, nous rappelons quelques d´efinitions et propri´et´es n´ecessaires pour la compr´ehension des graphes et des algorithmes pr´esent´es `a la section 3, `a la section 4 et `a la section 5.

2.1 Diagramme de Vorono¨ı et Triangulation de Delaunay

Dans ce papier, le diagramme de Vorono¨ı et la triangulation de Delaunay de l’ensemblePsont les deux structures de donn´ees fondamentales utilis´ees pour calculer des interpolations polygonales deP.

Soitkp−qkla distance Euclidienne entre deux pointspetqdeR². Lepolygone de Vorono¨ıd’un point pi∈P, not´eV(pi,P), est l’ensemble des points p∈R²tels quekp−pik ≤ kp−pjk, pour tout point pj ∈P. Lediagramme de Vorono¨ıdeP est l’ensemble des polygonesV(P):={V(pi,P),∀pi∈P}.

Deux points sont voisins dansV(P)si l’intersection de leurs polygones est non vide.

La triangulation de Delaunay deP, not´eeD(P), est le dual topologique et g´eom´etrique du diagramme de Vorono¨ı deP. Trois points deP forment un triangle dansD(P)si il existe un cercle passant par ses sommets et dont l’int´erieur est vide de points deP. Un triangle deD(P)est le dual d’un sommet deV(P), une arˆete deD(P)est le dual d’une arˆete deV(P), et un sommet de D(P)est le dual d’un polygone deV(P).

Pour le d´etail de ces deux concepts, on peut se r´ef´erer `a [AK00]. En particulier, l’enveloppe convexe deP, not´eeconv(P), correspond `a la fronti`ere deD(P). C’est `a dire aux arˆetes deD(P)incidentes `a un seul triangle deD(P). Ces arˆetes sont duales d’une arˆete infinie deV(P). Pour simplifier les notations, nous supposons que toutes les arˆetes deV(P)sont finies. Le cas des arˆetes infinies sera d´evelopp´e `a la section 3.4.

2.2 Graphe de Gabriel et β-squelettes

Soient pi et pj deux point deP. Soit B(pipj)le disque ferm´e, de diam`etre pipj, circonscrit `a pi et pj. Legraphe de Gabriel[GS69] de l’ensembleP, not´eGG(P), connecte deux points pi et pj deP si le disqueB(pipj)est vide de point deP\ {pi,pj}. Le disqueB(pipj)est appel´edisque de Gabriel.

Alternativement, deux pointspietpjdePsont connect´es par une arˆete dansGG(P)si il n’existe pas de pointpk∈Ptel que∠pipkpj≥π/2, o`u∠pipkpjest l’angle entre les vecteurs−−→pkpiet−−→pkpj. Les arˆetes du graphe de Gabriel ont ´egalement la propri´et´e de couper leurs arˆetes duales de Vorono¨ı.

Egalement bas´es sur la notion de voisinage vide, lesβ-squelettesdeP[KR85] d´ecrivent une famille hi´erarchique de graphes index´es par une valeur r´eelle positiveβ. Leβ-voisinage d’une paire de pointspi

etpjdeP, not´eN_β(pipj), est d´efini comme l’union des deux disques de rayonβkpi−pjk/2, siβ≥1, circonscrits aux points pi et pj. Lorsqueβ≤1, N_β(pipj) est d´efini comme l’intersection des deux disques de rayonkpi−pjk/2β, circonscrits aux points pietpj. Etant donn´ee une valeur deβ, l’arˆete pipj est une arˆete duβ-squelette deP siN_β(pipj)est vide de points deP\ {pi,pj}. La famille des β-squelettes dePinclut le graphe de Gabriel dePpourβ=1. De plus, pour toutβ≥1, lesβ-squelettes dePsont des sous-graphes deD(P). Ce n’est pas n´ecessairement le cas lorsqueβ<1.

2.3 Axe m´edian

L’axe m´ediand’une collectionΓde courbes de R², est la fermeture de l’ensemble des points deR² situ´es `a ´egale distance d’au moins deux points deΓ. Il peut ˆetre interpr´et´e comme la version conti- nue du diagramme de Vorono¨ı. C’est un des concepts les plus importants pour d´ecrire et analyser les formes [Blu67]. Il peut ˆetre approxim´e par un sous-ensemble des arˆetes du diagramme de Vo- rono¨ı d’un ´echantillon dense des courbes [BA92]. Dans le cas des courbes sans intersection et deux fois diff´erentiables, l’axe m´edian n’intersecte jamais les courbes. Ce sont ces propri´et´es qui sont exploit´ees dans de nombreuses m´ethodes d’´echantillonnage et de reconstruction de courbes [Att97, ABE98, DK99].

2.4 Crust local et anti-crust

Soientpipjune arˆete deD(P)etvivjson arˆete duale de Vorono¨ı. L’arˆetepipjappartient aucrust local de P[Gol99, GS01], not´e LC(P), si pipj appartient `a D(P∪ {vi,vj}). Alternativement, l’arˆete pipj

appartient `aLC(P)si il existe un cercle circonscrit `apipjet dont l’int´erieur ne contient nivinivj. Ce test local peut ˆetre formalis´e en consid´erant les deux disques ouvertsb(pipjvi)etb(pipjvj)circonscrits

Bougleux, Melkemi & Elmoataz β-Crusts Locaux

V

₁

V

₂

p

3

p

4

V

₃

V

₄

V

₅

p

5

p

6

p

1

V

₆

p

2

FIG. 1 – Illustration de la preuve de l’observation 1 et de la preuve du lemme 1.

aux trianglespipjvietpipjvj:

pipj∈LC(P)⇔

b(pipjvi)∩ {vj}=/0, et

b(pipjvj)∩ {vi}=/0. (1) Du fait de la dualit´e entre les arˆetes pipj et vivj, les deux tests de l’´equation (1) sont ´equivalents : b(pipjvi)∩{vj}=/0⇔b(pipjvi)∩{vj}=/0. Ainsi, un seul des deux tests est n´ecessaire pour d´eterminer sipipjappartient `aLC(P)[GS01].

Les arˆetes de Vorono¨ı, duales des arˆetes de Delaunay qui n’appartiennent pas au crust local deP, consti- tuent l’anti-crustdeP[Gol99], not´eAC(P). Ce graphe fournit une approximation de l’axe m´edian des courbes reconstruites par le crust local.

3 β-crusts locaux et β-axes m´edians

Dans cette section, nous pr´esentons les familles de graphes qui sont `a la base des m´ethodes de recons- truction de courbes, et d’approximation de l’axe m´edian de ces courbes, pr´esent´ees aux sections 4 et 5.

3.1 Id´ee intuitive

Les graphes que nous proposons s’inspirent de deux propri´et´es du crust local et de l’anti-crust. Pre- mi`erement, le crust local est un sous-graphe du graphe de Gabriel. Cette propri´et´e, indirectement men- tionn´ee dans [Gol99], implique que les arˆetes deLC(P)ne coupent jamais les arˆetes deAC(P). Ainsi, le crust local et l’anti-crust sont consistents avec les d´efinitions d’une courbe deux fois diff´erentiable et de son axe m´edian. Ils le sont ´egalement pour n’importe quelle courbe qui ne coupe pas son axe m´edian.

Observation 1 LC(P)⊂GG(P).

Preuve :Soitpipjune arˆete qui n’appartient pas `aGG(P). Soitvivjl’arˆete duale depipj. Dans le but d’obtenir une contradiction, supposons quepipj∈LC(P). D’apr`es la d´efinition deGG(P), nous avons pipj∩vivj=/0(ou l’un des sommets devivj), i.e. les sommetsvietvjsont situ´es du mˆeme cˆot´e depipj.

V(P) 0.7-LC(P)et 0.7-AM(P)

1.03-LC(P)et 1.03-AM(P) 3-LC(P)et 3-AM(P)

FIG. 2 – Graphes de la famille desβ-crusts locaux (traits fonc´es) et desβ-axes m´edians (traits clairs).

Soitvi le plus proche sommet depiet de pj. Comme illustr´e `a la figure 1 (sommets p5,p6etv5,v6), ceci implique quevi∈b(pipjvj). Alors `a partir de l’´equation (1),pipj6∈LC(P).

La deuxi`eme propri´et´e que nous utilisons concerne les arˆetes du diagramme de Vorono¨ı. L’anti-crust de P peut ˆetre formalis´e en utilisant des disques de Gabriel d´efinis sur les arˆetes du diagramme de Vorono¨ı deP. En effet, une arˆetevivj∈V(P)est incluse dansAC(P)si et seulement si le disque ferm´e, de diam`etrevivj, est vide de points deP.

Lemme 1 vivj∈AC(P)⇔B(vivj)∩P=/0.

Preuve :Soitpipjl’arˆete de Delaunay duale devivj. D’apr`es la d´efinition de l’anti-crust et l’´equation (1), on avivj∈AC-(P)⇔vj∈b(pipjvi)(etvi∈b(pipjvj)). Comme illustr´e `a la figure 1 (pointsp1, p2, p3etp4), ceci est ´equivalent `aB(vivj)⊂b(pipjvi)(et respectivementB(vivj)⊂b(pipjvj)). Alors, les pointspietpjne sont pas dansB(vivj). Comme ce sont les deux plus proches points du milieu devivj, il n’existe pas d’autres points dePdansB(vivj).

A partir de l’observation 1 et du lemme 1, on peut en d´eduire qu’une arˆete deD(P)appartient au crust local si elle est enti`erement incluse dans le disque de Gabriel de son arˆete duale de Vorono¨ı. Bas´e sur cette propri´et´e, nous g´en´eralisons les d´efinitions du crust local et de l’anti-crust afin d’obtenir un ensemble de solutions au probl`eme de la reconstruction de courbes.

3.2 Principales d´efinitions et propri´et´es

Nous proposons d’´etendre les propri´et´es du crust local et de l’anti-crust (Observation 1 et Lemme 1) en utilisant desβ-disques¹pour d´efinir le voisinage des arˆetes de Vorono¨ı qui approximent l’axe m´edian.

Soientvivjune arˆete deV(P)etpipjson arˆete duale de Delaunay. SoitNβ(vivj)leβ-voisinage devivj, de rapport de tailleβ∈]0,+∞[(voir Section 2.2 pour la d´efinition deNβ). Afin de pr´eserver les propri´et´es li´ees au graphe de Gabriel, l’arˆete pipj doit se situer dans la partie deR²born´ee par les deux droites, parall`eles `a pipj, qui passent par les sommets devivj. Cette partie deR², not´eeH(vivj), peut s’´ecrire comme l’ensemble des pointsp∈R²tels que∠vivjp<π/2 et∠vjvip<π/2. Alors, nous d´efinissons le voisinage devivj comme l’intersection deN_β(vivj)et deH(vivj). Selon que cette intersection soit vide ou non depi(et depj), l’arˆetevivjappartient auβ-axe m´ediandeP, not´eβ-AM(P), ou l’arˆetepipj

1d’autres types de voisinage peuvent ´egalement fournir des r´esultats int´eressants

Bougleux, Melkemi & Elmoataz β-Crusts Locaux

D(P) spectre(P)

FIG. 3 – Illustration du spectre desβ-crusts locaux sur les arˆetes deD(P). Le niveau de gris d’une arˆete repr´esente son poids. L’ordre d’apparition des arˆetes dans la famille desβ-crusts locaux s’effectue du noir vers le blanc.

appartient auβ-crust localdeP, not´eβ-LC(P):

vivj∈β-AM(P) ⇔ N_β(vivj)∩H(vivj)∩ {pi,pj}=/0, (2) pipj∈β-LC(P) ⇔ Nβ(vivj)∩H(vivj)∩ {pi,pj} 6=/0. (3) Leβ-crust local dePest donc l’ensemble des arˆetes deD(P)enti`erement incluses dans leβ-voisinage de leurs duaux :

pipj∈β-LC(P)⇔pipj⊂Nβ(vivj). (4) Par construction du voisinage, lesβ-crusts locaux sont des sous-graphes du graphe de Gabriel.

Th´eor`eme 1 β-LC(P)⊆GG(P),∀β∈]0,+∞[.

Ainsi, on en d´eduit queβ-LC(P)est l’ensemble des arˆetes deGG(P)dont les sommets sont inclus dans leβ-voisinage de leurs duaux.

En faisant varierβ, lesβ-crusts locaux (et lesβ-axes m´edians) dePd´ecrivent une famille hi´erarchique de graphes. Ceci est dˆu `a la relation d’inclusion qui existe entre les diff´erentsβ-voisinages.

Th´eor`eme 2 ∀β,β⁰∈]0,+∞[, β<β⁰⇔β-LC(P)⊆β⁰-LC(P)⇔β⁰-MA(P)⊆β-AM(P).

Preuve :Soientpipjune arˆete deβ-LC(P)etvivjson arˆete duale de Vorono¨ı. A partir de l’´equation (4), on apipj⊂N_β(vivj). Soitβ⁰>β. Par d´efinition,N_β(vivj)⊂N_β⁰(vivj), et doncpipj⊂N_β⁰(vivj).

De plus, la famille desβ-crusts locaux de P, et celle desβ-axes m´edians, sont finies. Le nombre de graphes de ces deux familles est born´e par le nombre d’arˆetes du graphe de Gabriel deP. En effet, pour chaque arˆete pipj deGG(P), il existe une valeurβ>0 telle que pipj appartient `aβ-LC(P), et pipj

n’appartient pas `aβ<sup>0</sup>-LC(P), pour toutβ<sup>0</sup><β. Autrement dit, la valeur deβ`a partir de laquelle l’arˆete pipjest incluse dans la famille desβ-crusts locaux. Par dualit´e, c’est ´egalement la valeur deβ `a partir de laquelle l’arˆete duale depipjest exclue de la famille desβ-axes m´edians. Cela permet de d’associer un poids `a chaque arˆete deD(P). Lepoidsd’une arˆetepipj∈D(P), not´ew(pipj), est d´efini par :

w(pipj):=

β : {pi,pj} ⊂∂N_β(vivj) sipipj∈GG(P),

+∞ sinon. (5)

Bas´e sur la relation d’inclusion ´enonc´ee au th´eor`eme 2, les arˆetes deD(P)sont ordonn´ees selon l’ordre croissant de leurs poids : pipj ≤pkpl ⇔ w(pipj)≤w(pkpl)⇔ w(pipj)-LC(P)⊆w(pkpl)-LC(P).

Alors, nous d´efinissons le spectredes β-crusts locaux deP, not´e spectre(P), comme l’ensemble des arˆetes deD(P)ordonn´ees selon la relation pr´ec´edente. Soientβmin et βmax la valeur minimale et la valeur maximale des poids des arˆetes deGG(P). Etant donn´e une valeurβ∈[βmin,βmax], cette valeur s´epare le spectre dePen deux sous-ensembles disjoints d’arˆetes : celles qui ont un poids inf´erieur ou ´egal

`aβappartiennent `aβ-LC(P), et celles qui ont un poids sup´erieur `aβont leurs duaux qui appartiennent

`aβ-AM(P). Leβ-crust local co¨ıncide avec le graphe de Gabriel lorsqueβ≥βmax. Ceci montre que le nombre maximum deβ-crusts locaux construits `a partir dePcorrespond au nombre d’arˆetes deGG(P) (certaines arˆetes peuvent avoir des poids ´egaux). Un exemple de spectre est illustr´e `a la figure 3 en associant un niveau de gris `a chaque arˆete deD(P). Plus l’arˆete est fonc´ee, plus son poids est faible, et plus cette arˆete est pr´esente dans la famille desβ-crusts locaux.

3.3 D´efinitions alternatives

Afin de calculer efficacement le poids des arˆetes deD(P)et le spectre deP, nous montrons que les notions abord´ees dans la section pr´ec´edente peuvent se d´efinir alternativement en utilisant les angles des triangles deD(P).

Leβ-voisinage peut s’exprimer en utilisant l’angleθ∈]0,π[d´efinit par : θ(β):=

π−arcsin(β) siβ∈]0,1],

arcsin(1/β) siβ∈[1,+∞[. (6)

Soitvivj une arˆete deV(P). AlorsN_β(vivj)est l’ensemble des points p∈R²tels que∠vipvj≥θ(β) (voir Fig. 4(a)). Soitpipjl’arˆete duale devivj. On en d´eduit alors les trois lemmes suivants.

Lemme 2 ∀β∈]0,+∞[, pipj∈β-LC(P)⇔(i) pipj∈GG(P) et (ii)∠vipivj≥θ(β).

Preuve :Nous montrons l’´equivalence `a partir de l’´equation (3). La condition (i) assure queH(vivj)∩ {pi,pj} 6=/0. De plus, d’apr`es la d´efinition deN_β, on a∠vipivj≥θ(β)et∠vipjvj≥θ(β). Par cons´equent, N_β(vivj)∩ {pi,pj} 6=/0. Comme pi etpj sont situ´es `a ´egale distance devivj, on a∠vipivj≥θ(β)⇔

∠vipjvj≥θ(β), d’o`u la condition (ii).

θi

θ

pi

vj

vi

θl

θl

θk

θ_k pi

pj pk

pl

vj

vi

(a) (b)

FIG. 4 – Relations angulaires.

Lemme 3 ∀β∈]0,+∞[, pipj∈β-LC(P)si et seulement si : (i)∠pivivj<π/2et∠vivjpi<π/2, et

(ii)∠pivivj+∠vivjpi≤π−θ(β).

Preuve :La condition (i) assure queH(vivj)∩ {pi,pj} 6=/0. La condition (ii) est obtenue `a partir de la condition (ii) du lemme 2, en remarquant que∠pivivj+∠vivjpi=π−∠vipivj(voir Fig. 4(a)).

Le lemme 3 peut ˆetre utilis´e pour calculer efficacement leβ-crust local et leβ-axe m´edian deP, lorsque les coordonn´ees des sommets deV(P)sont connus. Dans le cas o`u la structure principale estD(P), il est plus efficace d’utiliser une expression qui ne d´epend que des coordonn´ees des points deP. Soient pipjpketpipjplles deux triangles deD(P)incidents `a l’arˆetepipj(voir Fig. 4(b)).

Lemme 4 ∀β∈]0,+∞[, pipj∈β-LC(P)si et seulement si : (i)∠pipkpj<π/2et∠pjplpi<π/2, et

(ii)∠pipkpj+∠pjplpi≤π−θ(β).

Preuve :Soitvivj l’arˆete duale de pipj. Par dualit´e, les sommetsvi etvj sont les centres des cercles circonscrits aux triangles pipkpj et piplpj. D’apr`es la formule de l’aire de pipkpj, on peut montrer que sin(∠pipkpj) =kpi−pjk/2kpi−vik. D’autre part, comme pipj est perpendiculaire `a vivj, on a sin(∠pivivj) =kpi−pjk/2kpi−vik. Donc ∠pivivj=∠pipkpj. De mˆeme, on obtient∠vivjpi =

∠pjplpi. Alors, la condition (ii) du lemme 3 est ´equivalente `a la condition (ii) du lemme 4.

Bougleux, Melkemi & Elmoataz β-Crusts Locaux

Les conditions (i) et (ii) du lemme 4 permettent de red´efinir les poids des arˆetes deD(P)en utilisant uniquement les angles des triangles deD(P). L’´equation (5) est alors remplac´ee par l’´equation suivante :

w(pipj):=

∠pipkpj+∠pjplpi si∠pipkpj<π/2 et∠pjplpi<π/2,

+∞ sinon. (7)

La valeur deβ, qui correspond au poids d’une arˆete, est obtenue par l’´equation inverse de l’´equation (6) : β(θ):=

1/sin(π−θ) siθ>π/2,

sin(π−θ) sinon. (8)

Les lemmes 3 et 4 permettent de traiter le cas des arˆetes de l’enveloppe convexe deP, sans modifier les concepts abord´es `a la section 3.2.

3.4 Cas des arˆetes de l’enveloppe convexe

Pour l’instant, nous avons suppos´e que toutes les arˆetes deV(P)sont finies, i.e. toutes les arˆetes deD(P) sont incidentes `a exactement deux triangles deD(P). Or, les arˆetes deconv(P)ne sont incidentes qu’`a un seul triangle deD(P). Leurs arˆetes duales ne poss`edent qu’un seul sommet dansV(P). Dans ce cas, leβ-voisinage des arˆetes de Vorono¨ı ne peut pas ˆetre directement d´efini `a partir deV(P).

Afin de d´efinir le β-voisinage des arˆetes infinies de V(P), nous consid´erons le diagramme de Vo- rono¨ı deP∪P⁰, o`uP<sup>0</sup> est un ensemble fini de points v´erifiant :D(P)⊂D(P∪P<sup>0</sup>). Les points deP<sup>0</sup> sont s´electionn´es sur les arˆetes infinies deV(P). Ainsi, pour prendre en compte le cas des arˆetes infinies deV(P), lesβ-crusts locaux et lesβ-axes m´edians dePsont d´efinis en utilisantV(P∪P<sup>0</sup>)etD(P∪P<sup>0</sup>), et en ne consid´erant que les arˆetes dont les sommets appartiennent `aP.

En utilisant les lemmes 3 et 4, lesβ-crusts locaux et lesβ-axes m´edians dePpeuvent ˆetre int´egralement calcul´es `a partir deD(P)et deV(P). Pour cela, un seul des deux angles est consid´er´e dans les condi- tions (i) et (ii) si l’arˆete de Delaunay appartient `aconv(P). Conceptuellement, ceci revient `a ajouter `aP⁰ un point `a l’infini sur chaque arˆete infinie deV(P).

3.5 Diff´erences avec le crust local et reconstruction

Etant donn´ee une valeur deβ, leβ-crust local est l’ensemble des arˆetes deD(P)qui sont compl`etement incluses dans leβ-voisinage de leurs duaux. Lorsqueβ=1, leβ-voisinage d’une arˆetevivjdeV(P)est le disque de GabrielB(vivj). D’apr`es le th´eor`eme 1, le 1-crust local dePcorrespond alors au crust local deP. De plus, la relation d’inclusion entre lesβ-crusts locaux (Th´eor`eme 2), lorsqueβvarie, permet d’´ecrire le th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme 3 Le crust local est reli´e `a la famille desβ-crusts locaux par les trois propri´et´es suivantes : (i) LC(P) =1-LC(P),

(ii)∀β∈]0,1],β-LC(P)⊆LC(P).

(iii)∀β∈[1,+∞[, LC(P)⊆β-LC(P).

La propri´et´e (ii) du th´eor`eme 3 montre que le crust local contient tous lesβ-crusts locaux pour lesquels β≤1. La propri´et´e (iii) montre que pourβ>1, lesβ-crusts locaux sont au moins constitu´es des arˆetes du crust local. Cela permet d’apporter un premier ´el´ement d’am´elioration des r´esultats obtenus avec le crust local.

SoitΓune collection de courbes deR²etPun ´echantillon quelconque deΓ. Comme illustr´e `a la figure 5, le crust local peut ne pas reconstruire correctementΓ`a partir deP. Dans ce cas, trois configurations sont rencontr´ees :

– Toutes les arˆetes correctes sont pr´esentes dansLC(P)et au moins une arˆete est incorrecte.

– Aucune arˆete incorrecte n’est pr´esente dansLC(P)et il manque au moins une arˆete correcte.

– LC(P)inclut `a la fois des arˆetes correctes et incorrectes.

V(P) LC(P) 0.97-LC(P)

V(P) LC(P) 1.01-LC(P)

FIG. 5 – La reconstruction avecβ-LC(P)est correcte, tandis que celle avecLC(P)ne l’est pas.

Dans les deux premi`eres configurations, il existe unβ-crust local capable de reconstruire correctementΓ si le poids de toutes les arˆetes correctes deD(P)est inf´erieur au poids des arˆetes incorrectes deD(P).

La section 4 pr´esente un algorithme qui permet de calculer un tel graphe dans le cas de courbes sans intersection. Dans la troisi`eme configuration, il ne peut pas exister deβ-crust local qui reconstruit cor- rectementΓ. Nous discuterons de ce probl`eme `a la section 5.

4 β-crust local optimal pour courbes sans intersection

Dans cette section, nous proposons une m´ethode pour calculer la valeur maximum deβpour laquelle il existe un graphe, de la famille des β-crusts locaux deP, qui reconstruit une collection de courbes ferm´ees ou ouvertes, sans intersection. Nous appelons cette valeur la valeur optimale deβ, not´eeβopt. D’apr`es la d´efinition du spectre deP,βopt-LC(P)correspond l’ensemble des arˆetes de D(P)qui ont un poids inf´erieur ou ´egal `aβopt. Pour calculerβopt-LC(P), l’id´ee est d’ajouter les arˆetes deD(P)`a un grapheG, initialement vide, dans l’ordre d´efini par le spectre deP. Les arˆetes sont ajout´ees tant que le degr´e de chacun de leurs sommets dansGest strictement inf´erieur `a deux. Dans le cas contraire, au moins un sommet deGaurait un degr´e ´egal `a trois `a l’issue de l’insertion de l’arˆete dansG. Ceci repr´esenterait donc une collection de courbes avec une intersection, ce qui contredit l’hypoth`ese concer- nant la topologie de la solution (courbes sans intersection). Au cours du parcours du spectre, plusieurs arˆetes deD(P)peuvent avoir le mˆeme poids. Dans ce cas, si l’une d’entre-elles a un degr´e ´egal `a deux, alors aucune de ces arˆetes n’est ajout´ee `aG.

Le calcul du spectre dePest r´esum´e par l’algorithme 1. Pour chaque arˆete deD(P), son poids est donn´e

Bougleux, Melkemi & Elmoataz β-Crusts Locaux

par l’´equation (7). Le spectre est alors repr´esent´e par un dictionnaireL dont la clef est le poids des arˆetes, et dont la valeur est la liste des arˆetes associ´ees `a un poids. Ins´erer une arˆete pipj∈D(P) `aL revient `a ins´erer la paire(w(pipj),pipj)si la clef n’existe pas, ou `a ajouter l’arˆete pipj `a la liste des arˆetes index´ees par la valeur dew(pipj)si cette clef existe. Les ´el´ements deLsont tri´es selon l’ordre croissant des poids.

Algorithme 1 spectre(P,D)

Entr´ee: la triangulation de DelaunayDde l’ensemble de pointsP⊂R².

Sortie: le dictionnaireL={(w1,E1), . . . ,(wm,Em)}ordonn´e tel quew1≤. . .≤wm. L←/0

pour chaquearˆetepipj∈Dfaire sipipj∈conv(P)alors

pk←p∈Ptel que le trianglepipjp∈D si ∠pipkpj<π/2alors

w←∠pipkpj

sinonw←+∞

sinon

pk,pl← {p∈Ptel que le trianglepipjp∈D}

si∠pipkpj<π/2 et∠pjplpi<π/2alors w←∠pipkpj+∠piplpi

sinonw←+∞

ins´ererpipjdansL`a la clefw retourner L

Le calcul complet deβopt-LC(P)est r´esum´e par l’algorithme 2. Le grapheβopt-AM(P)est ´egalement extrait deV(P)avec cet algorithme. Il correspond `a l’ensemble des arˆetes du sprectre dont le poids est strictement sup´erieur `aβopt.

Algorithme 2 βopt-LC(P)

Entr´ee: un ensemble fini de pointsP⊂R².

Sortie: le grapheG= (V,E) correspondant `a βopt-LC(P), le grapheG<sup>0</sup>= (V<sup>0</sup>,E<sup>0</sup>) correspondant `a βopt-MA(P), et le poids optimalβopt.

1: V←P

2: E,V⁰,E⁰←/0

3: w←0

4: D←D(P)

5: L← spectre(P,D)

6: k←0

7: pourk=1, . . . ,taille(L)faire

8: Ek←l’´el´ement deLayant la clefwk 9: pour chaquearˆetepipjdansEkfaire

10: si(deg(pi,G)<2)et(deg(pj,G)<2)alors

11: deg(pi,G)←deg(pi,G) +1

12: deg(pj,G)←deg(pj,G) +1

13: sinonaller `a la ligne 15

14: E←E∪Ek 15: w←wk

16: pourl=k, . . . ,taille(L)faire

17: Ek←l’´el´ement deLayant la clefwk 18: pour chaquearˆetepipjdansEkfaire

19: E⁰←E⁰∪ {dual(pipj)}

20: retourner G,G⁰etβ(w)(Eq. 8)

L’algorithme 2 peut ˆetre vu comme une m´ethode de seuillage, o`u le seuil est automatiquement calcul´e

en utilisant les propri´et´es topologiques de la solution souhait´ee. Des exemples de reconstruction sont illustr´es `a la figure 6 sur des ´echantillons quelconques de courbes ferm´ees sans intersection. Comme le βopt-crust local reconstruit correctement lorsque le crust local reconstruit correctement (Th´eor`eme 3), les exemples montrent les diff´erences entre ces deux graphes. Les r´esultats sont aussi compar´es `a ceux obtenus avec le crust des plus proches voisins deP[DK99], not´eNNC(P)dans les exemples.

5 Am´elioration des r´esultats

L’algorithme 2 permet de reconstruire des courbes sans intersection en utilisant la famille desβ-crusts locaux. En fonction de la r´epartition des points deP, il peut ne pas exister deβ-crust local qui reconstruit correctement les courbes. Comme illustr´e `a la figure 7, de nombreuses arˆetes correctes peuvent manquer.

Ceci provient du fait que le spectre ne peut pas ˆetre s´epar´e en deux sous-ensembles disjoints d’arˆetes tels que la reconstruction soit correcte. Au moins une arˆete deD(P)a un poids plus faible que la valeur maximum du poids des arˆetes correctes. Dans ce cas, on peut remarquer que le crust local ne reconstruit pas non plus correctement les courbes (Th´eor`eme 3).

La reconstruction peut ˆetre consid´erablement am´elior´ee en modifiant l´eg`erement l’algorithme 2. Au lieu d’arrˆeter l’ajout des arˆetes au grapheGlorsque l’une d’entre-elles a un degr´e deux (ligne 13), l’arˆete duale de l’arˆete courante est ajout´ee au grapheG<sup>0</sup>, et le spectre est parcouru jusqu’`a son dernier ´el´ement.

Ainsi, toutes les arˆetes deD(P)sont parcourues dans l’ordre croissant de leurs poids, et ajout´ees `a la re- construction si elles n’impliquent pas une intersection (sommet de degr´e trois). Le spectre est repr´esent´e par la listeLdes arˆetes deD(P), tri´ees dans l’ordre croissant de leurs poids :L:={e1, . . . ,em : ei∈ D(P), w(e1)≤. . .≤w(em)}.

Cette m´ethode est r´esum´ee par l’algorithme 3, dont la complexit´e est enO(NlogN). Les graphesGet G⁰, obtenus avec l’algorithme 3, ne correspondent pas n´ecessairement `a unβ-crust local ou `a unβ-axe m´edian. Par contre, ils incluent le βopt-crust local et leβopt-axe m´edian (Algorithm 2). Des r´esultats obtenus avec l’algorithme 3 sont illustr´es aux figures 8 et 9 sur des ´echantillons peu denses de courbes ferm´ees. On peut remarquer qu’ils am´eliorent les r´esultats obtenus avec le crust local et le crust des plus proches voisins.

Algorithme 3 recons(P)

Entr´ee: un ensemble fini de pointsP⊂R².

Sortie: le grapheG= (V,E)correspondant aux courbes, et le grapheG⁰= (V⁰,E⁰)correspondant `a l’approximation de l’axe m´edian des courbes.

1: V←P

2: E,V⁰,E⁰←/0

3: w←0

4: D←D(P)

5: L← spectre(P,D)

6: k←0

7: pourk=1, . . . ,taille(L)faire

8: pq←L[k]

9: si(deg(p,G)<2)et(deg(q,G)<2)alors

10: E←E∪ {pq}

11: deg(p,G)←deg(p,G) +1

12: deg(q,G)←deg(q,G) +1

13: sinonE⁰←E⁰∪ {dual(pq)}

14: retourner GetG⁰