S´erie 11

Electrodynamique S´erie 11 25 Novembre 2015

Exercice 1 Equations de Maxwell´

i) Avec la d´efinition du tenseur champFµν =∂µAν−∂νAµ, o`uA^µ= (Φ, cA)^T, v´erifier que les ´equations

∂µF^µν = 1 cε0

j^ν (1)

1

2∂µε^µνρσFρσ= 0, (2)

o`u ε<sup>µνρσ</sup> est le symbole de L´evi-Civit`a

ε^µνρσ =







1 si (µνρσ) une permutation paire de (0123)

−1 si (µνρσ) une permutation impaire de (0123) 0 sinon

,

d´ecrivent les ´equations de Maxwell.

ii) D´efinissons la transform´ee de Lorentz deε^µνρσ comme suit:

˜

ε^µνρσ = Λ^µ_αΛ^ν_βΛ^ρ_γΛ^σ_δε^αβγδ.

Montrez que ˜ε^µνρσ = det(Λ)ε^µνρσ et det(Λ) =±1.

iii) A l’aide des r´` esultats obtenus montrez explicitement que les ´equations de Maxwell (1) et (2) sont invariantes de Lorentz.

Exercice 2 Invariants de Lorentz

• En utilisant le tenseur champF_µν construire deux invariants de Lorentz quadratiques dans les champs E etB.

• Consid´erons un tenseurT^µν donn´e. Contruisez un invariant de Lorentz lin´eaire dans ce tenseur.

Exercice 3 Transformation des champs ´electromagn´etiques I

Montrez que la transformation de Lorentz d’un champ ´electromagn´etique {E,B} est donn´ee par

E⁰_k =E_k

E⁰⊥=γ(E⊥+cβ×B) B⁰k =Bk

B⁰_⊥=γ(B_⊥−1

cβ×E) .

Application: V´erifier que F_µνF^µν =−4cE·B est invariant.

Exercices `a faire chez soi

Exercice 4 Transformation des champs ´electromagn´etiques II

Soit un champ ´electromagn´etique uniforme et constant{E,B} exprim´e dans un r´ef´erentiel R.

i) Trouver un r´ef´erentiel R⁰ dans lequel le champ ´electromagn´etique transform´e {E⁰,B⁰}est tel que E⁰ kB⁰.

ii) Ce probl`eme a-t-il toujours une solution, si oui, est-elle unique?

iii) Donner les grandeurs E⁰ etB⁰ du champ exprim´e dansR⁰.

Exercice 5 Symbole de L´evi-Civit`a

V´erifiez les ´equations suivantes en trouvant la valeur deN1,N2 etN3: ε^µνρσε_µνρσ =N₁,

ε^µνρσε_ανρσ=N₂δ_α^µ, ε^µνρσε_αβρσ=N3

δ^µ_αδ_β^ν−δ^µ_βδ_α^ν .

Exercice 6 Composition des vitesses

Retrouver la loi de composition des vitesses, dans le cas relativiste, en utilisant le quadri-vecteur vitesse.

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