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1S1 : doc 3 Les vecteurs : autres propriétés 2015-2016

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Academic year: 2022

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(1)

1S1 : doc 3 Les vecteurs : autres propriétés 2015-2016

I Propriétés

• Régle du parallélogramme Dessiner un représentant − →

v

1

du vecteur − →

v à partir de l’extrémité de − →

u . Construire le vecteur − → w = − →

u + − →

v

1

. Proposer une méthode de construction de − →

w directement à partir des vecteurs − → u et − →

v .

−

→ u

−

→ v

• Caractérisation du milieu d’un segment

Plusieurs caractérisations du milieu I d’un segment [AB].

I est le milieu de [AB] ⇔ . . . .

⇔ . . . .

⇔ . . . .

II Mise en application

On considère un triangle non aplati ABC.

Le point D est tel que − − →

AD = 2( − − → AB + −→

AC) et I est le milieu de [AB] et J celui de [CD].

1. (a) Faire une figure.

(b) Il s’agit maintenant construire le point E tel que 3 − − → EB + − − →

ED = − → 0 (1).

Le point E à construire est présent dans les deux vecteurs de la somme précédente. En utilisant la relation de Chasles, « introduire » le point B dans le vecteur − − →

ED de la relation (1). Quelle nouvelle relation obtenez-vous ? Permet-elle de construire le point E ?

(c) Le point F à construire vérifie 3 −→

F A + − − → F C = − →

0 . Proposer une technique permettant d’y parvenir.

(d) Construire le point K milieu du segment [EF ].

2. Il s’agit dans cette question de prouver que les points K, I et J sont alignés et de préciser la position de K sur le segment [IJ].

(a) Écrire le vecteur − →

IK en fonction des vecteurs − → IE et − →

IF . (b) Décomposer les vecteurs − →

IE et − →

IF en utilisant respectivement les points B et A.

(c) L’utilisation de la relation de Chasles permet à ce stade d’exprimer − → IK en fonction des vecteurs − →

ID et − → IC .

(d) Déterminer une relation de colinéarité entre les vecteurs − → IK et − →

IJ . Conclure.

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