Rappels sur la fonction exponentielle

Texte intégral

(1)Introduction 2. Rappels sur la fonction exponentielle Dossier N◦ 8. Si on ajoute une contrainte supplémentaire, par exemple le fait que la courbe passe par le point A(0, 1), la courbe ci-dessous apparaît :. FONCTIONS. Introduction 1 En classe de première vous vous êtes intéressé à l’existence éventuelle d’une fonction qui serait égale à sa fonction dérivée. Du point de vue graphique et si une telle fonction existe, en un point de la courbe d’ordonnée u la pente de la tangente est ....... u ! ! ! Voici une illustration de cette idée, à chaque position on a dessiné une tangente dont la pente correspondant à cette position. On peut constater le parallélisme des tangentes pour la même ordonnée.. C’est cette fonction que l’on va appeler. On dit d’une telle fonction qu’elle est solution de l’équation différentielle : y0 = y. 1. fonction exponentielle.

(2) Le nombre e. Définition. On décide de noter e l’image de 1 par la fonction exp.. On admet qu’il existe une fonction dérivable sur R égale à sa dérivée et telle que l’image de 0 soit égale à 1 Plus précisément : On admet qu’il existe une fonction f dérivable sur R telle que :  0  f (x) = · · · · · · · · · pour tout x de R et  f(0) = · · · · · · · · · Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est accessible sur vos calculatrices par la touche : ex Nous la noterons pour l’instant sous la forme exp(x) On  a donc : 0  (exp(x)) = exp(x) pour tout x de R et  exp(0) = 1. On peut démontrer ( à l’aide de la méthode d’Euler par exemple) que e ≈ 2, 718....... . Ce nombre est un nombre irrationnel. Il se produit alors un effet remarquable : n exp(0) = 1 = e··· n exp(1) = e = e···. Propriété calculatoire. n exp(2) = exp(1 + 1) = exp(1) × exp(1) = e × e = e2. Il a été démontré en première les propriétés ci-dessous : 1. Pour tout x de R. 2. Pour tout a et b de R, exp(a + b) = exp(a) × exp(b) La fonction exp transforme les sommes en produits exp(a) Pour tout a et b de R, exp(a − b) = exp(b) La fonction exp transforme les différences en quotients 1 Pour tout b de R exp(−b) = exp(b) La fonction exp transforme l’opposé en l’inverse. 3. 4 5. n exp(3) = exp(2 + 1) = exp(2) × exp(1) = e2 × e = e3. exp(x) > 0. n exp(4) = exp(3 + 1) = exp(3) × exp(1) = e3 × e = = e4 On peut alors démontrer par récurrence que : Pour tout n de N, exp(n) = en où e est le nombre réel défini comme l’image de 1 par la fonction exponentielle. 1 Puisque exp(−n) = la propriété précédente peut être généralisée : exp(n) Pour tout n de Z, exp(n) = en. Et bien sur ( C’est dans la définition) exp(0) = 1. 2.

(3) Changement de notation On décide alors de généraliser à toute valeur de x la notation de type puissance de e Ainsi exp(x) sera dorénavant noté ex . Cependant il faudra toujours dire exponentielle de x. f(x) = ex + 3x − 10. f(x) = xex + 10x − 100. f(x) = (x2 − 3x + 1)e−x. f(x) = (1 − x)(2 − 3ex ). f(x) =. ex 1 + x2. f(x) =. f(x) = e2x + 5ex − 3. n (e ) = ex n e0 = 1 a+b. f(x) = x + 2 +. f(x) =. 3ex ex + 1. 1+x ex. 2ex + 1 ex + 1. f(x) = 5e−x + 6ex − 2. e1 = e. Exercice 2 : Manipulation algébrique. = e × eb ea n ea−b = b e 1 −b n e = b e n n (ea ) = enx n ∈ Z n e. f(x) =. ex ex − x. Les propriétés avec la nouvelle notation x 0. f(x) = (x2 − 3x + 1)ex. a. Simplifier les expressions suivantes : 1. e3 × e5. 3. 2. e−2 × e4. 4. 1 e−5 3 e5. Exercice 3 : Propriété. Simplifier les expressions suivantes :. u est une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction f définie par : f(x) = eu(x) est dérivable sur I et pour tout réel x de I. f 0 (x) =. 0. On retient : (eu ) =. 1. e4 × e−4. 3. e4. 3. 2. e5 × e−3 e−2. 4. e3. −2. × e4 × e5. Exercice 4 : Simplifier les expressions suivantes :. Entraînement et apprentissage 1 2. Exercice 1 :. 3. Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : On ne s’occupera pas des ensembles de continuité et dérivabilité. 4. 3. 2 − e5 + e4 e2 + e−2 e2 − e−2 e3 − e−3 e3 + e−3 q e5 − e4. 2. (e2 + 1)2 − (e2 − 1)2. 5. e × e2x+1. 6. e3−2x × ex+5 2 e5x 3 e9x − 2 e3x. 7 8.

(4) Exercice 5 :. Exercice 8 : Résolution d’équations et inéquations. Simplifier les expressions suivantes : 1. −x. x. −x+1. e ×e. 2. e ×e. 3. e × e−x 2 e−x. 4 5 6. x. e. −x. La fonction exponentielle étant strictement croissante, on dispose des propriétés suivantes :. (e ) e2x. 8. e +e. (e ). 7. √. x. x 5. Information x 3. x. n ea = eb équivaut à a = b n ea < eb équivaut à a < b. e−2x. n ea > eb équivaut à a > b. 9. −2x 2. e. e−4x × e (e−x ). 2. Exercice 6 : Simplifier les expressions suivantes : 2 2 ex + e−x − ex − e−x 1 2 2 ex − e−x − e−x e3x − e−x 3 ex − e−x e2x + ex + 1. 4. 2 2 2 e3x + e−3x − e3x − e−3x. 5. 2 2 e3x − e2x e2x + e−2. 1. Résoudre l’équation e5x+8 = e2. 2. Résoudre l’équation e2x+5 = e10x+1. 3. Résoudre l’équation e10x+2 = 1. 4. Résoudre l’équation e3x+2 = e. 5. Résoudre l’inéquation ex. 6. Résoudre l’équation e2x+1 < 1. 2. −4. ≤ e−3x. Exercice 9 : Encore un peu de dérivation Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : f(x) = (5x − 2)ex. Exercice 7 : Propriétés algébriques et graphique. f(x) = 3xe4x f(x) = 3x2 + 5x − e−x. On considère la fonction, g définie sur R par g(x) =. ex − 1 ex + 1. 1. Démontrer que :. 2. Représenter graphiquement la fonction g sur votre calculatrice. Comment la relation du 1) se traduit-elle géométriquement ?. pour tout x de R on a :. f(x) =. x2 ex. f(x) = xe0,1x+1 100ex f(x) = x e +1. f(x) = e2x − 5ex + 3 e−x f(x) = 2x. Exercice 10 : Étude de fonctions Après avoir calculé les fonctions dérivées, étudier les variations des fonction suivantes : (Les limites aux bornes des ensembles de définition seront conjecturées à l’aide de la calculatrice). g(−x) = −g(x) .. 1 2 4. f(x) = (2x − 1)e−x sur R ex f(x) = sur ]1; +∞[ 2 − 2x.

(5) 3. f(x) = −x +. 5 − e−x 2. Partie B : Étude des fonctions f et g. sur R. 1. Approfondissement. Vérifier que pour tout x de R : f 0 (x) = (−x2 − 2x)ex Étudier le signe de f 0 (x) puis établir le tableau de variation de f On admettra que : lim f( x) = 0 et lim f(x) = −∞ x→−∞. 2. Exercice 11 :. x→+∞. 0. Calculer g (x) Étudier le signe de g 0 (x) puis établir le tableau de variation de g On admettra que : lim g(x) = 0 et lim g(x) = +∞ x→−∞. On considère les fonctions f et g définies sur R par : f(x) = −x2 ex et g(x) = x2 − x − 1 ex Les représentations graphiques de f et de g sont données ci-contre y. x→+∞. Partie C. (C2 ). 1. Résoudre l’équation f(x) = g(x). 2. En déduire les valeurs exactes de u et v .. 1. Exercice 12 : Comme au bac ! ! x. 1. On considère la fonction f définie sur R par :. (C1 ). Partie A : Quelques conjectures. f 0 (x). f 0 (x) =. f(x) =. xex ex + 1. ex (ex + x + 1). 1. Calculer. 2. Pour déterminer le signe de f 0 (x) il nous faut connaître le signe de ex + x + 1 Les techniques de calcul algébrique ( factorisation , transposition....) ne nous permette pas une telle étude. Nous allons donc étudier les variations de la fonction g(x) = ex + x + 1 afin d’avoir des renseignements sur son signe. Vérifier que. (ex + 1). 2. 1. Justifier que la représentation graphique de la fonction f est la courbe C1. (a) On pose donc : g(x) = ex + x + 1 Calculer g 0 (x) puis établir le tableau de variation de g. 2. Conjecturer par lecture graphique les valeurs qui annulent les fonctions dérivées de f et g. (b) Justifier que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α Donner une valeur approchée de α à 10−2 près. 3. Justifier sur le graphique que l’équation f(x) = g(x) semble admettre deux solution u et v Vérifier que v est un nombre entier et donner par lecture graphique un encadrement de u. (c) Donner alors dans un tableau de signe le signe de g(x) en fonction des valeurs de x . (d) Conclure en construisant le tableau de variation de la fonction f. 5.

(6) Exercice 13 : Chute libre. Exercice 14 : Comme au BAC Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire On considère la fonction g définie sur l’ensemble des nombres réels R par :. À l’instant t = 0, un parachutiste de 80 kg saute d’une altitude de 2 500 mètres avec une vitesse verticale de 1 mètre par seconde. La distance en mètres d que parcourt le parachutiste pendant t secondes est donnée par la formule :. g(x) = e2x − ex + 1. Méthode 1 . d(t) = 60t + C(e−t − 1). 1 e − 2 x. 1. Montrer que pour tout nombre réel x,. 2. En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x. g(x) =. 2 +. 3 4. Partie B : Étude d’une fonction où C est une constante qui dépend de la vitesse initiale. La vitesse instantanée est donnée par v(t) = d 0 (t).. On considère la fonction f définie sur l’ensemble des nombres réels R par : f(x) = x + 2 −. 1. Déterminer la valeur de C. Il faudra utiliser la condition initiale d’altitude. 2. Déterminer une expression de v(t).. 3ex ex + 1. f 0 (x) =. g(x) (ex + 1)2. 1. Montrer que , pour tout nombre réel x ,. 2. Déduire de la partie A le tableau de variation de f sur [−5; 5]. Exercice 15 : 3. Représenter graphiquement la fonction sur votre calculatrice. Quelle conjecture peut-on faire sur la vitesse limite du parachutiste ?. 1. Montrer que la fonction g définie sur R par g(x) = C’est à dire que :. 4. 2. Le parachute doit être impérativement ouvert à plus de 500 m d’altitude. Déterminer le temps maximum δ (à 0,1 seconde près) pendant lequel le parachutiste peut voler librement.. 5. Un peu de Physique : Que représente d 00 (t) ? Que vaut d 00 (δ) ? Interpréter.. 6. Pour tout x ∈ R, g(−x) = g(x). ex − 1 est impaire. ex + 1. Que peut-on en déduire pour la représentation graphique de f. On pourra observer la représentation graphique donnée par la calculatrice.

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