Statistique (II) Dossier N◦ 20 STMG 1

Texte intégral

(1)Statistique (II) STMG 1. Dossier N◦ 20 Pour bien démarrer. Intro 1 : Un nouvel indicateur : l’ écart-type Evariste Pythalès , élève de première du lycée de Mathville a obtenu en mathématiques les 10 notes suivantes : x1 = 14 ; x2 = 11 ; x3 = 7 ; x4 = 10 ; x5 = 19 ; x6 = 5 ; x7 = 12 ; x8 = 10 ; x9 = 9 ; x10 = 13. 1 On note x la moyenne des notes. Vérifier que x = 11 - ................................................... - .................................................... bas. On rappelle que le signe $ dans la formule bloque la recopie , ainsi B$14 reste B$14 lors de la recopie vers le bas) (c) Calculer la moyenne des valeurs de la plage de cellules C2 :C11 La valeur obtenue est appelée Variance de la série statistique. Variance= · · · · · · · · · · · · · · ·. 2 On souhaite évaluer comment les notes sont réparties autour de la moyenne. Comme le fait l’interquartile par rapport à la médiane Pour cela, on considère la feuille de calcul ci-dessous ?? (a) Quelle formule doit-on écrire dans la cellule B14 afin d’afficher la moyenne des valeurs de la plage de cellule A2 :A11 ? - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. (d) Calculer la racine carrée de la variance obtenue à la question précédente. La valeur obtenue est appelée Écart-type de la série statistique. Ecart-type= · · · · · · · · · · · · · · · Ce nombre caractérise la dispersion des notes autour de la moyenne. Plus ce nombre est grand plus l’élève est irrégulier. (b) Compléter la feuille de calcul (sur ce document) en considérant que les formules ont été tirées vers le. Figure 1 – Annexe 1. Intro 2 :. 1.

(2) Son camarade Léo Euler a quant à lui obtenu l’échantillon de notes suivant : y1 = 14 ; y2 = 11 ; y3 = 7 ; y4 = 10 ; y5 = 14 ; y6 = 10 ; y7 = 11 ; y8 = 10 ; y9 = 9 ; y10 = 14.. https: // accueil. framacalc. org/ fr/ 2 Léo prétend être un meilleur élève qu’ Evariste et qu’il a un argument très précis qui permet de l’affirmer. Qu’en pensez vous ? - ................................................... - .................................................... 1 Calculer de même ( en complétant une feuille de calcul similaire à celle proposée en annexe 1) la moyenne, la variance et l’écart-type des notes de Léo Euler Vous disposez d’un tableur ici :. Entraînement et apprentissage. Exercice 3 : Une formule de calcul On rappelle que l’écart-type, qui est un indicateur numérique qui mesure la dispersion des résultats Pour calculer l’écart-type σ d’une série statistique d’une série de ns valeurs x1 ; x2 ; x3 ; · · · · · · · · · xn , il suffit de calculer : 1 (x1 − x)2 + (x2 − x)2 + · · · · · · + (xn − x)2 σ= n Ou x est la moyenne des n valeurs de la série. écarts à la moyenne n L’écart-type est la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne n L’écart-type est la racine carrée de la somme des carrés des écarts à la moyenne 2 Calculer, en adaptant la formule précédente, l’écarttype de l’échantillon des notes de Léo Euler : 14 ; 11 ; 7 ; 10 ; 14 ; 10 ; 11 ; 10 ; 9 ; y14.. 1 Quelle est l’affirmation exacte ? n L’écart-type est la racine carrée de la moyenne des. Utilisation de la calculatrice La calculatrice permet aussi d’obtenir l’écart-type d’une série statistique. cet outil se trouve bien sur dans le menu statistique. Cette valeur est en général notée σx . Des exemples sont donnés ci-dessous pour détailler les manipulations nécessaires. Exercice 4 : Écart-type et calculatrice Remarque : Vous disposez éventuellement de cette calculatrice en ligne : https://www.numworks.com/fr/ simulateur/ Pour se déplacer dans les menus utiliser les flèches de déplacement du clavier Vous pouvez utiliser votre smartphone ou une tablette. 1 En choisissant votre modèle de calculatrice, mettre en œuvre les calculs présentés par les exemples ci-dessus. 2 Retrouver alors,avec la calculatrice, la moyenne et l’écart-type des notes des notes de Léo Euler : y1 = 14 ; y2 = 11 ; y3 = 7 ; y4 = 10 ; y5 = 14 ; y6 = 10 ; y7 = 11 ; y8 = 10 ; y9 = 9 ; y10 = 14.. 2.

(3) Exercice 5 : Comparer des échantillons. 3.

(4) ï. ï. Sur un premier échantillon de 80 personnes,choisies au hasard, parmi la population du lycée Pythalès de Mathville, on a mesuré la capacité vitale (en litres). Voici la liste des résultats : 4,15 4,48 5,24 4,8 4,95 4,05 4,3 4,7 5,51 4,58 4,12 5,7 4,85 5,05 4,65 4,7 4,28 4,12 4,82 4,10 4,65 4,20 5,12 4,51 4,46 4,95 4,71 4,24 5,53 4,18 4,52 5,89 4,21 5,52 4,5 4,8 4,35 4,21 4,20 4,98 5,65 5,10 4,21 5,62 5,35 5,05 5,75 5,42 4,35 5,45 5,63 5,89 5,12 4,92 5,5 5,38 5,35 5,11 5,82 5,80 4,17 4,51 5,42 4,24 4,07 4,95 4,52 4,15 5,63 4,00 4,15 5,52 5,05 5,05 4,85 4,85 4,18 5,12 4,93 5,10. Sur un deuxième échantillon de 50 personnes choisies parmi les U19 du club de football de Mathville, on a de même mesuré la capacité vitale (en litre) et on a obtenu les résultats suivants : 5,24 4,8 4,95 4,7 5,71 4,78 5,7 4,85 5,05 4,65 4,7 4,28 4,12 4,82 4,50 4,65 4,50 5,12 4,51 4,46 4,95 4,71 4,24 5,53 4,92 5,89 5,92 4,5 4,98 5,65 5,10 4,21 5,62 5,75 5,05 5,75 5,42 4,35 5,95 5,63 5,89 5,12 4,92 5,5 5,38 5,35 5,98 5,82 5,90 5,51. 1 Déterminer la moyenne et l’écart-type de ces deux échantillons. 2 Comparer en argumentant les deux échantillons.. 4.

(5) Exercice 6 : Retour aux coupes du monde Voici de nouveau les données du début de dossier : n Coupe du monde 2014 : Nombre de buts Nombre de matchs. 0 7. 1 12. 2 8. 1 15. 2 17. 3 20. 4 9. 5 4. 6 2. On rappelle que le signe $ dans la formule bloque la recopie , ainsi B$12 reste B$12 lors de la recopie vers le bas) 7 1. 8 1. n Coupe du monde 2018 : Nombre de buts Nombre de matchs. 0 1. 3 19. 4 5. 5 2. 6 2. 7 3. (b) Calculer la moyenne des valeurs de la colonne F (Somme des valeurs divisée par 64) La valeur obtenue est appelée Variance de la série statistique. (c) Calculer la racine carrée de la variance obtenue à la question précédente.. Cette fois des effectifs sont associés aux valeurs du caractère. Une adaptation sera nécessaire pour les prendre en compte 1 Calculer la moyenne de buts de chacun des échantillons précédents. Classer les compétitions de la moins offensive à la plus offensive. 2 Dans cette question, on cherche à calculer l’écart-type du nombre de buts pour la coupe du monde 2014. On considère la feuille de calcul ci-dessous ?? (a) Compléter le tableau en considérant que les formules ont été tirées vers le bas.. La valeur obtenue est appelée Écart-type de la série statistique. Ce nombre caractérise la dispersion du nombre de buts marqués autour de la moyenne. 3 Calculer de même ( en complétant une feuille de calcul similaire à celle proposée pour la coupe du monde 2014) l’écart-type du championnat d’Europe 2012 et de la coupe du monde 2018. Quel est le championnat le plus homogène en terme de buts marqués ?. Figure 2 – Annexe 2. Formule de calcul Pour calculer l’écart-type σ d’une série statistique d’une série de n valeurs x1 ; x2 ; x3 ; · · · · · · · · · xn d’effectifs respectifs s k1 ; k2 ; k3 ; · · · · · · · · · kn il suffit de calculer : 1 σ= k1 × (x1 − x)2 + k2 × (x2 − x)2 + · · · · · · + kn × (xn − x)2 N Ou x est la moyenne des n valeurs de la série Et N = k1 + k2 + · · · · · · · · · + kn est l’effectif total. 5.

(6) Utilisation de la calculatrice La calculatrice permet aussi d’obtenir l’écart-type d’une série statistique constituées de valeurs associées à des effectifs. cet outil se trouve bien sur dans le menu statistique. Cette valeur est en général notée σx . Voici des vidéos d’explication à consulter : n CASIO : http://hgurgey.free.fr/spip.php?article1038 Vous disposez éventuellement de cette calculatrice en ligne : https://www.numworks.com/fr/simulateur/. Exercice 7 : 1 Utiliser votre calculatrice pour retrouver les moyennes et écart-type du nombres de buts marqués lors de l’euro 2012 et la coupe du monde 2018. 2 Vérifier que les résultats obtenus sont cohérents avec ceux de la question ... de l’intro ..... Exercice 8 : Écart-type (Bis) Nombre de buts : xi Nombre de matchs : ni. On s’intéresse au nombre de buts marqués par le joueur du F.C. Barcelone, Nikola Karabatic , lors de la ligue des champions de handball 2013-2014. La série du nombre de buts par match par Karabatic est donnée par le tableau ci-dessous ( Annexe 3).. 1 1. 3 3. 4 5. 5 3. 6 1. 7 3. 1 Calculer la moyenne x du nombre de buts marqués par Nicolas Karabatic 2 Calculer l’écart-type de cet échantillon.. Annexe 3. Exercice 9 : Autour du seuil de pauvreté Dans ce TP, on utilisera pour définition du seuil de pauvreté : « la moitié du salaire médian ». Le salaire médian est en fait la médiane des salaires On donne ci-dessous (Annexe 1) le graphique des fréquences cumulées croissantes des salaires et allocations chômage annuels des Français vivant en France métropolitaine en 2011 (Source : Insee).. dessous du seuil de pauvreté en 2011 ? 3 On souhaite tracer le diagramme en boîte correspondant à la série. (a) Quelles données nous manquent-elles construire ce diagramme ?. pour. (b) Il existe un deuxième type de diagramme en boîte dont les extrémités ne sont pas le minimum et le maximum mais les premier et neuvième déciles D1 et D9 , c’est-à-dire l’équivalent des quartiles mais pour respectivement 10 % et 90 %. Déterminer une valeur approchée de D1 et D9 puis tracer ce diagramme en boîte.. 1 Lire sur ce graphique une valeur approchée des premier et troisième quartiles et de la médiane de cette série des salaires et allocations chômage des Français vivant en France métropolitaine en 2011. 2 Quel pourcentage (environ) de la population vivait en. Annexe 1. 6.

(7) en % •. 100. •. 90. •. 80. •. 70. •. 60. •. 50. •. 40. •. 30. •. 20. •. 10 −1. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40. en milliers d’ euro. Exercice 10 : Écart moyen entre les planètes et la moyenne x (calculée en B11 ) Valeur absolue sur Excel : =ABS(...). On considère la feuille de tableur donnée en annexe 2 (cidessous) donnant les distances des planètes du système solaire au Soleil.. (c) Recopier cette formule vers le bas jusqu’à la cellule C9.. 1 Reproduire les colonnes A et B de cette feuille de calcul dans un tableur. 2. 3 Saisir une formule dans la cellule C11 permettant d’obtenir la moyenne des valeurs de la colonne C.. (a) Saisir une formule dans la cellule B11 permettant d’obtenir la moyenne des distances des planètes au Soleil. Dans la suite, on notera x cette moyenne.. 4 Ce résultat est appelé écart moyen de la série des distances au Soleil. L’écart moyen est une mesure de dispersion par rapport à la moyenne de la série.. (b) Saisir une formule dans la cellule C2 à recopier vers le bas et qui donne les valeurs absolues des écarts. 1. Annexe 2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. A Planète. B Distance au Soleil en millions de km. Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune. 58 108 150 228 778 1429 2871 4503 Moyenne des distances au Soleil. Exercice 11 : Écart-type. 7. C Écart absolu entre la distance au Soleil et la moyenne des distances. Moyenne des écarts.

(8) Dans la pratique, les statisticiens privilégient à l’écart moyen un autre indicateur : l’écart-type .. Ici, on a x1 = 58, x2 = 108, etc. Retrouver la valeur obtenue en B13 à l’aide de cette formule.. n Inscrire Écart-type des distances au Soleil dans la cellule B12 ; n saisir =ECARTYPEP(B2:B9) dans la cellule B13 : cette valeur est l’écart-type de la série. 2 La formule de l’écart-type σ d’une série de valeurs x1 , x2 , . s . . , xn est : 1 (x1 − x)2 + (x1 − x)2 + · · · · · · + (x8 − x)2 σ= n. 3 Avant 2006, Pluton était considérée comme une planète du système solaire.. 1. (a) Sachant que la distance entre Pluton et le Soleil est d’environ 5900 millions de km, peut-on intuitivement penser qu’avant 2006, l’écart-type des distances des planètes au Soleil était plus grand ou plus petit qu’à l’heure actuelle ? (b) Vérifier à l’aide du tableur ou par le calcul.. Entraînement et apprentissage. Exercice 12 : Écart-type Evariste Pythalès , élève de première S du lycée de Mathville a obtenu en mathématiques les 10 notes suivantes : x1 = 14 ; x2 = 11 ; x3 = 7 ; x4 = 10 ; x5 = 19 ; x6 = 5 ; x7 = 12 ; x8 = 10 ; x9 = 9 ; x10 = 13. 1 On note x la moyenne des notes. Vérifier que x = 11 2 On rappelle que l’écart-type, qui est un indicateur numérique qui mesure la dispersion des résultats, est donné spar: 1 (x1 − x)2 + (x2 − x)2 + · · · · · · + (x10 − x)2 σ= 10 Quelle est l’affirmation exacte ? n L’écart-type est la racine carrée de la moyenne des écarts à la moyenne. n L’écart-type est la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne n L’écart-type est la racine carrée de la somme des carrés des écarts à la moyenne 3 Calculer l’écart-type de l’échantillon des notes d’Evariste Pythalès 4 Son camarade Léo Euler a quant à lui obtenu l’échantillon de notes suivant : y1 = 14 ; y2 = 11 ; y3 = 7 ; y4 = 10 ; y5 = 14 ; y6 = 10 ; y7 = 11 ; y8 = 10 ; y9 = 9 ; y10 = 14. Léo prétend être un meilleur élève qu’ Evariste et qu’il a un argument très précis qui permet de l’affirmer. Qu’en pensez vous ?. Exercice 13 : Écart-type (Bis) On s’intéresse au nombre de buts marqués par le joueur du F.C. Barcelone, Nikola Karabatic , lors de la ligue des champions de handball 2013-2014. La série du nombre de buts par match par Karabatic est donnée par le tableau ci-dessous ( Annexe 3). Dans cette situation, on associe aux valeurs du caractère un effectif. Nicolas Karabatic 2 Calculer l’écart-type de cet échantillon. La formule devra être adaptée pour prendre en compte les effectifs associés à chaque valeur du caractère 3 Écrire, (en adaptant la formule de la question de l’ activité précédente) la formule de calcul de l’écart-type. La formule devra être adaptée pour prendre en compte les effectifs associés à chaque valeur du caractère. 1 Calculer la moyenne x du nombre de buts marqués par. Annexe 3 Nombre de buts : xi 1 3 Nombre de matchs : ni 1 3. 4 5. 5 3. 6 1. 7 3. Boîte à outils mathématiques. 8.

(9) Cours 14 : Écart-type et calculatrice. 9.

(10) Approfondissement. Information La capacité vitale est le volume d’air maximal pouvant être mobilisé en une seule inspiration.. Exercice 15 : Comparer des échantillons ï. ï. Sur un premier échantillon de 80 personnes,choisies au hasard, parmi la population du lycée Pythalès de Mathville, on a mesuré la capacité vitale (en litres). Voici la liste des résultats : 4,15 - 4,48 - 5,24 - 4,8 - 4,95 - 4,05 - 4,3 - 4,7 - 5,51 4,58 - 4,12 - 5,7 - 4,85 - 5,05 - 4,65 - 4,7 - 4,28 - 4,12 4,82 - 4,10 4,65 - 4,20 - 5,12 - 4,51 - 4,46 - 4,95 - 4,71 4,24 - 5,53 - 4,18 - 4,52 - 5,89 - 4,21 - 5,52 - 4,5 - 4,8 4,35 - 4,21 - 4,20 - 4,98 5,65 - 5,10 - 4,21 - 5,62 - 5,35 5,05 - 5,75 - 5,42 - 4,35 - 5,45 - 5,63 - 5,89 - 5,12 - 4,92 - 5,5 - 5,38 - 5,35 - 5,11 - 5,82 - 5,80 4,17 - 4,51 - 5,42 4,24 - 4,07 - 4,95 - 4,52 - 4,15 - 5,63 - 4,00 - 4,15 - 5,52 - 5,05 - 5,05 - 4,85 - 4,85 - 4,18 - 5,12 - 4,93 - 5,10. Sur un deuxième échantillon de 50 personnes choisies parmi les U19 du club de football de Mathville, on a de même mesuré la capacité vitale (en litre) et on a obtenu les résultats suivants : 5,24 - 4,8 - 4,95 - 4,7 - 5,71 - 4,78 - 5,7 - 4,85 - 5,05 4,65 - 4,7 - 4,28 - 4,12 - 4,82 - 4,50 - 4,65 - 4,50 - 5,12 4,51 - 4,46 - 4,95 - 4,71 - 4,24 - 5,53 - 4,92 - 5,89 - 5,92 - 4,5 - 4,98 - 5,65 - 5,10 - 4,21 - 5,62 - 5,75 - 5,05 - 5,75 - 5,42 - 4,35 - 5,95 - 5,63 - 5,89 - 5,12 - 4,92 - 5,5 - 5,38 - 5,35 - 5,98 - 5,82 - 5,90 - - 5,51 - 5,40. 1 Construire les diagrammes en boîte de ces deux échantillons 2 Déterminer la moyennes et l’écart-type de ces deux échantillons. 3 Comparer en argumentant les deux échantillons.. Exercice 16 : Une question parlementaire 1 Le parlement européen est constitué de 751 députés venant des 28 différents états-membres de l’Union européenne. La répartition des députés par pays est donnée dans le tableau ci-dessous (annexe 1) Déterminer la médiane, les quartiles Q1 et Q3 , la moyenne et l’écart-type de la série du nombre de députés par pays. 2 La chambre des représentants des États-Unis est constituée de 435 représentants issus des 50 états américains. Les indicateurs de la série du nombre de représentants par état sont : min= 1, Q1 = 3, médiane= 6, Q3 = 10, max= 53, moyenne= 8, 7 et écart-type' 9, 5. (a) Tracer sur le même graphique les diagrammes en boîte des séries du nombre de députés européens par pays de l’Union européenne et du nombre de représentants par état des États-Unis (on prendra pour unité 1 cm pour 10 députés ou représentants).. Nombre de députés Nombre de pays. 6 4. 8 2. 11 3. 13 3. (b) Dans laquelle de ces deux institutions y a-t-il globalement le plus de représentants par état ? 3 Le coefficient interquartile relatif est défini par écart interquartile et permet de mesurer la dispersion médiane d’une série. (a) Calculer les coefficients interquartiles relatifs des deux séries. (b) Laquelle est la plus homogène ? (c) Cela était-il prévisible en observant les diagrammes en boîtes ? Expliquer pourquoi. écart-type 4 Le coefficient de variation est défini par et moyenne permet lui aussi de mesurer la dispersion d’une série.. Annexe 1 17 18 20 1 1 1. 10. (a) Calculer les coefficients de variation des deux séries. (b) Les résultats confirment-ils la réponse à la question 3.c ?. 21 5. 26 1. 32 1. 51 1. 54 1. 73 2. 74 1. 96 1.

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