HAL Id: jpa-00213744
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00213744
Submitted on 1 Jan 1970
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
ÉTATS DE SURFACE ET BANDE ”S” EN LIAISONS FORTES
C. Thibaudier
To cite this version:
C. Thibaudier. ÉTATS DE SURFACE ET BANDE ”S” EN LIAISONS FORTES. Journal de Physique
Colloques, 1970, 31 (C1), pp.C1-75-C1-77. �10.1051/jphyscol:1970113�. �jpa-00213744�
JOURNAL DE PHYSIQUE
Colloque C 1, supplément au no 4, Tome 31, Avril 1970, page C 1 - 75
ÉTATS DE SURFACE ET BANDE « S » EN LIAISONS FORTES
par C . THIBAUDIER
Service de Physique des Solides
;Faculté des Sciences, Orsay
Résumé.
- Pour une bande
<( s» et une surface formée par un plan réticulaire quelconque, on étudie les états électroniques localisés au voisinage de la surface. On montre en particulier que l'ap- proximation fréquemment faite, qui consiste
ànégliger les intégrales décrivant la dérive de la bande devant celles qui définissent son élargissement a pour conséquences d'exclure l'existence d'états localisés.
Abstract. -
One studies for an
« s» band and a boundary built from a lattice plane, the electro- nic states localized near the surface. In particular one shows that the fairly usual assumption that the
((drift » integrals are much smaller than those describe the broadening of the band amounts to excluding the presence of localized states.
Les calculs pratiques, dans l'approximation des liaisons fortes et par des méthodes de cheminement, des moments de la densité d'états superficielle d'un métal, tels qu'ils ont été exposés par Mme Cyrot [l], reposent sur l'hypothèse essentielle (A) que les inté- grales de « dérive » sont négligeables devant les inté- grales de résonance, c'est-à-dire que nous avons des relations du type
:Pour dégager la signification physique de cette asser- tion, nous allons reprendre le modèle d'ions rigides sur un réseau rigide limité
àun plan dense tel qu'il est décrit dans [l], et résoudre l'équation de Schro- dinger pour une bande «
r;»
;nous nous bornerons ici
àévoquer quelques-uns des résultats que l'on obtient par cette voie
;pour leur justification détaillée nous renvoyons
àun exposé plus complet [2].
1. La
forme réduite de l'équation de Schrodinger.-
Choisissons un noeud origine sur le sous-réseau r de
la surface, et une translation
etelle que e et r
engendrent le réseau de Bravais, de sorte que tout site M du demi-cristal puisse s'écrire
:Les fonctions d'onde du demi-cristal seront caracté- risées parmi les combinaisons
qui sont fonctions propres de l'Hamiltonien des liai- sons fortes et qui satisfont
àla condition de Bloch a(m; R
-I-S )
=eik." s a(m; R)
(4)pour les translations S parallèles
àla surface.
Définissons les plans « singuliers » nq(O
dq < p) comme étant les plans denses parallèles
àla surface contenant les sites qe, et tels que le nombre n, d'ions premiers voisins d'un ion du plan 17, diffère de la valeur n associée au métal parfait
;posons de plus
a(m
;R)
=a(m) eik.R.
( 5 )Le vecteur d'onde k (parallèle
àla surface) est un bon nombre quantique et l'on peut se limiter
àl'étude de la restriction de I'Hamiltonien aux sous-espaces des fonctions $ satisfaisant
à(5) pour un k donné
;cette restriction peut se décrire comme une matrice infinie Hagissant sur les vecteurs (a(O), a(l), ..., a(n), ...)
d'un espace de Hilbert abstrait 0.
Les éléments de matrice de H situés sur une même parallèle a la diagonale principale sont égaux
;seuls font exception les premiers termes diagonaux
;plus précisément, définissons
S,par
S ,
=C eik.R4 (6)
la sommation étant étendue aux R, tels que
qe+ R,
soient premiers voisins de l'origine (dans le cristal parfait)
;Les symétries du réseau de Bravais entraînent
d'ailleurs
: -S-,
=S, . (7)
En désignant par a et y l'intégrale de dérive et celle d'échange, nous avons
:Si
Ij- i l< p H . . =
Z J y S jI j - i l > p Hij=O (8) O < i < p Hii
=y S o f ni
a(où
ÿ,est la fonction atomique), comme étant celles
p < iHi,
= yS, 4-ncl.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1970113
II. L'ordre du spectre et l'équation aux différences.
-
Les formules (7) et (8) montrent que H
àla symé- trie Hermitienne
;de plus l'inégalité de Schwartz per- met d'établir immédiatement la continuité de H qui est donc auto-adjoint. On peut alors montrer que les valeurs des spectres ponctuel et continu sont au plus d'ordre p, c'est-à-dire que l'on peut décomposer
Ijen une somme de p sous-espaces mutuellement orthogo- naux, stables par H, tels que la restriction de H
àchacun de ces sous-espaces soit simple, donc repré- sentable par une matrice de Jacobi.
Pour continuer l'étude du spectre de H, il est plus avantageux de remarquer que les composantes (a(O), ..., a(m),) d'un vecteur propre de H pour l'éner- gie E vérifient, pour m
2 pune relation de récurrence linéaire
à2
p+ 1 termes :
avec p
=(E - Eo
-na)/y, et pour O < m <
p -1,
àp relations analogues
à(9) mais tronquées, qui font figure de conditions aux limites.
L'équation caractéristique F(z
;E) de cette récur- rence est de degré 2
p,et invariante par la transforma- tion z
-,i-' ce qui lui assure r (r < p) racines de module inférieur
à1, autant de racines de module supérieur
à1, et 2
(p- r) racines de module 1.
Les solutions de (9) sont de la forme
a(m)
=C Ai
2 7 .(10) Une fonction d'onde déduite d'une solution a(m) dans laquelle ne figurent que des z, tels que 1 zi 1 < 1 s'amortit exponentiellement dans le cristal
;celle que l'on déduirait de a(m)
=eime représenterait dans l'ap- proximation des liaisons fortes la portion d'une onde de Bloch intérieure au demi-cristal.
III. Les états de surface des plans simples
(p= 1). - Nous cherchons des solutions a(m) de la forme z';
où
2,est (si elle existe) la seule racine de module stric- tement inférieur
à1 de l'équation caractéristique
s 1 z 2
+ ( S O - p ) z +
S-, =O l'unique condition aux limites fournit
l'équation de la bande de surface est donc
restreinte
àla portion de la zone de Brillouin
àdeux dimensions définie par
montrons sur deux exemples empruntés au cubique simple les situations que l'on peut être amené àren- contrer
:1) LE
PLAN(1, 0, 0).
-L'équation de la bande de surface est
et la condition d'existence d'états localisés est 1x1 > 1
indépendante de
k.Donc dans le cas physiquement probable 1 x 1 < 1 il n'y a pas d'états localisés
;si 1 x 1 > 1 tous les
kde la zone de Brillouin peuvent fournir un état localisé.
2) LE
PLAN(1, l,O).- L'équation de la bande de surface est
p =
2 x + -- 2 cos2
nk2 + 2 cos 2
nk3 .
X
La condition d'existence d'états localisés est
:les résultats de la discussion simultanée de ces deux relations sont consignés sur la figure 1.
FIG. 1.
-
On a porté, pour le plan (1, 1, O) du cubique simple et en fonction du rapport x de l'intégrale de dérive à l'intégrale de résonance, les bornes p- et p+ de la bande de volume. L'énergieréduite p est définie par p = (E
-
Eo-
nor)/y.Nous pouvons avoir des états localisés pour toute
valeur non nulle de x
;de plus la bande de surface
peut déborder la bande de volume. Enfin, suivant les
valeurs de x, le nombre d'états localisés par atorni: de
ÉTAT ET SURFACE ET BANDE « S » EN LIAISONS FORTES C l - 7 7
la surface peut prendre n'importe quelle valeur entre O
et 1 (Fig. 2).
FIG. 2. -
On
aporté
pour leplan
(1, 1, O)du cubique
simple eten
fonction du rapport x del'intégrale de
dérive àl'intégrale de résonance
le nombre n(x) d'états disponiblesdans la bande
de surface.
IV. Les états propres du cristal coupé.
-1) LES
ÉTATS LOCALISÉS DANS LE CAS GÉNÉRAL.
- On les obtient en général en cherchant des solutions de (9) où ne figurent que des zi tels que 1 zi 1 < 1 .
On est conduit pour déterminer les Ai
àun système linéaire homogène de
péquations
àr inconnues ce qui implique que p -
r+ 1 conditions soient satis- faites ; ceci est en général impossible si
r <
p ;
si r
= p il suffit d'annuler le déterminant de Vander- Monde de z,, ..., z, par une fonction symétrique 2 de ces quantités. Le calcul de Z en fonction des coeffi- cients S, conduit
à une équation algébrique en E,
et les bandes de surfaces seront des nappes de la sur- face définie par G(E, k)
=O, où seulement des por- tions de nappes s'il existe des couples (Eo, k,) tels que G(E,, k,)
=O mais que F(z, E,) ait des racines de module 1 (cf. III). Si p # 1 le calcul de G(E, k) est très compliqué eu égard au caractère non algébrique de la transformation conservant F. Pour le cas le plus simple que l'on puisse rencontrer, le plan (110) du réseau CFC, G est déjà un polynôme en E du 7" degré.
2) LES
ÉTATS LOCALISÉS DANS L ' H Y P O T H ~ E(A).
-Dans l'hypothèse (A), tous les Hii sont égaux, et la fonction du paragraphe précédent est une constante.
On peut donc affirmer qu'il n'y a pas d'états loca- lisés lorsque l'on utilise l'hypothèse (A).
Ce résultat peut s'étendre au cas d'une lame d'épais- seur finie, et reste vrai en cas de racines multiples dans l'équation caractéristique.
3) LES
ÉTATS DU SPECTRE CONTINU.- :Si
r< p et si 1'011 conserve dans (10) tous les zi tels que 1 zi 1 < 1 le nombre d'inconnues Ai est 2
p- r .
Le système des p équations déterminant les Ai pos- sède alors des solutions composées d'une somme d'ondes de Bloch et d'ondes s'amortissant exponen- tiellement dans le cristal ce qui est une image satis- faisante de la diffusion des ondes de Bloch par la sur- face. Remarquons que les vecteurs d'onde figurant dans une solution d'énergie E du spectre continu ne sont autres que les racines de module inférieur ou égal
à1 de l'équation
où
E(k)est la fonction de dispersion tridimension- nelle habituelle.
Bibliographie
Il]
