Structure électronique auto-cohérente d'une surface traitée en liaisons fortes

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Structure électronique auto-cohérente d’une surface traitée en liaisons fortes

H. Dreysse, R. Riedinger

To cite this version:

H. Dreysse, R. Riedinger. Structure électronique auto-cohérente d’une surface traitée en liaisons fortes.

Journal de Physique, 1981, 42 (3), pp.437-444. �10.1051/jphys:01981004203043700�. �jpa-00209028�

Structure électronique auto-cohérente d’une surface traitée ^en liaisons fortes

H. Dreysse ^{et R.} Riedinger

Equipe ^de Physique ^des Surfaces, ISEA, 4, ^{rue des} Frères-Lumière, 68093 Mulhouse Cedex, ^France (Reçu ^{le 28} juillet 1980, accepté ^{le 6 novembre} 1980)

Résumé.

Nous développons ^{la structure de bandes} auto-cohérente d’un cristal semi-infini dans l’approximation

des liaisons fortes. Nous discutons notamment les états propres du milieu semi-infini, ^et déterminons le profil ^des densités électroniques par la méthode des fonctions de Green. Nous appliquons ^{le modèle au calcul du} profil ^de

densité électronique ^{d’un cristal} cubique simple (100), ^{dans le cas non} dégénéré.

Nous discutons notamment du rôle dominant du potentiel dipolaire. ^Les variations de charge des électrons en

liaisons fortes donnent une contribution très faible à la couche dipolaire de surface.

Abstract.

We develop ^the self-consistent band structure of a semi-infinite crystal ^{in the} tight-binding approxi-

mation. We discuss especially ^the eigenstates ^{of the} semi-infinite medium and we determine the electronic density distribution with a Green’s function method. We apply ^{the model to the} computation of the electronic density

distribution of simple ^cubic crystal ^with (100) surface, ^{in the} non-degenerate ^{case. We discuss} especially ^{the domi-}

nant role of the dipolar potential. ^The variations of self-consistent électron charges ^{in T.B.} give only ^a very small contribution to the surface dipolar layer.

Classification

Physics ^Abstracts

71.25P - 73.20

1. Introduction.

Lang ^{et Kohn} [1] ^{ont résolu le} problème de la densité électronique ^du « jellium »

de manière auto-cohérente. ^{Le problème} corres-

pondant ^{en liaisons fortes n’est} que partiellement

résolu : le potentiel dipolaire ^n’a jamais ^été pris ^en compte, ^et le seul modèle existant tenant compte ^{de la} neutralité globale ^est celui d’Allan [2], où le niveau

d’énergie ^du premier plan ^est ajusté de manière à réaliser cette neutralité.

Dans ce travail nous développons ^{un modèle}

pour la structure électronique d’un cristal semi-infini

en liaisons fortes, ^{où les} charges ^{sur les} plans atomiques parallèles ^{à la} surface, ^sont calculées de manière auto-cohérente, ^et contraintes de vérifier la neutralité

globale (règle de Friedel [3]).

Dans une première partie, ^nous discutons les états propres du système (de ^surface notamment). ^{Du fait}

de la périodicité de translation parallèlement ^{à la} surface, ^{le vecteur d’onde} bidimensionnel ka, ^{est un}

bon nombre quantique. L’équation ^de Schrôdinger

se ramène à un système d’équations ^aux différences.

Dans une deuxième partie ^nous discutons de la fonction de Green associée au milieu semi-infini, qui peut être obtenue soit à partir de la connaissance des états propres, soit à partir ^d’une équation ^de Dyson.

Dans la pratique ^nous obtenons le milieu semi-infini relaxé électroniquement par le recollement exact d’un film et d’un milieu semi-infini non relaxé.

Dans une troisième partie, ^nous appliquons ^ce

modèle à une bande s dans un cristal semi-infini

cubique simple ^{de surface} (100).

2. Etats propres d’un milieu semi-infini en liaisons fortes.

Dans l’approximation des liaisons fortes, la fonction d’onde à un électron est une combinaison linéaire d’orbitales atomiques ^{centrées sur les sites}

|Â>

m dénote la symétrie des orbitales atomiques.

On négligera ^pour simplifier ^le recouvrement des fonctions d centrées ^sur des sites différents.

Au potentiel du réseau massif tronqué, s’ajoute,

du fait des transferts de charge ^causés par la surface

-

une contribution de Coulomb et d’échange intraatomique,

-

le potentiel dipolaire, généré par les contribu- tions coulombiennes intersites.

Les coefficients CjJ’ ^vérifient l’équation ^{de Schrô-} dinger (E - H) |03C8|> ^{= 0 d’où :}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01981004203043700

438

où E est l’énergie propre,

a03BBm l’intégrale ^{de dérive,}

03B2mm’03BB03BB’ l’intégrale ^de résonance ( m03BB 1 H 1 m’ ^À’ >, eT représente le niveau atomique ^{sur l’atome}

dans l’approximation Hartree-Fock :

U et J sont respectivement ^les intégrales ^{de Coulomb}

et d’échanges intraatomiques, Vd(03BB) l’élément de matrice du potentiel dipolaire ^sur le site ;. (appenT

dice A), ^{Q le} spin ^de l’électron ; Q = 2013 03C3. Dans la

suite, nous nous limitons au cas paramagnétique.

Les sommations sur les sites Ïv, 1" ^{sont limitées}

au milieu semi-infini (Â3 > 0).

Du fait de la périodicité ^{suivant les} plans parallèles

à la surface, eT ^et ex! ^ne dépendent ^en fait que du plan atomique (À3). ^Par transformation de Fourier bidiT mensionnelle, l’on obtient :

où

Ce système peut être écrit sous forme modifiée, ^dans

le cas où _a3 n’est pas perpendiculaire ^{à la surface :}

soit T la composante ^de a3 parallèle ^{à la} surface ; ; alors :

et

Sous cette forme le système ^est écrit dans la repréT

sentation de Brown [4]. ^{On a utilisé n à la} place ^de À3

pour désigner ^les plans ^et distinguer ^{les deux} repré-

sentations.

En supposant que les intégrales de résonance sont de portée finie, ^{on obtient un} système ^matriciel d’équa-

tions aux différences. Pour simplifier, ^{nous nous}

limiterons à des intégrales ^de recouvrement limitées

aux premiers ^voisins.

Le système ^obtenu est, pour k ^{|l fixé, un} bloc tridia-

gonal ; ^{il est} identique’à ^une chaîne unidimensionnelle

et peut être résolu _par les méthodes développées ^dans

ce cas [5] :

Oll An ^et Bn,n ± ^{1 sont des} matrices de _rang M, ^{le nombre} d’orbitales m, Cn ^{un vecteur} colonne de dimension M.

Nous pouvons définir les matrices de transfert 1;.

et Tn ^{de rang 2 M par :}

Dans le cas de la surface, les conditions aux limites

sur les coefficients sont les suivantes :

La résolution de ^ce système ^et l’obtention des états de volume et de surface s’effectuent de manière sui- vante :

Dans le milieu massif, An ^et Bn,n± ^{1 tendent vers une}

limite Aoo, Boo ^notées simplement A ^{et B. On pourra}

admettre cette propriété pour n > (N - 1).

On notera également ^{T et son inverse f admettant}

le même système de valeurs propres, ^car elles ont des

équations caractéristiques équivalentes; ^{donc les}

valeurs propres de ^{T sont} constituées de couples, ^ou quaternes de valeurs propres inverses et conjuguées.

Cette propriété ^est caractéristique d’une matrice

symplectique [6]. ^Plus précisément, ^on classe les valeur, propres :

en quaternes :

en couples ^{situés sur l’axe réel :}

en couples ^sur le cercle unité :

Les 4 points ^d’un quaterne (ou ^{les deux} points ^d’un couple) ^{ont même} multiplicité. ^{On a} la relation :

Il existe donc une transformation unitaire U

diagonalisant ^{T. Soit D = U -1 TU :}

D se mettant sous la forme :

Avec :

Cn devant être borné à l’intérieur du cristal, XN + 1

s’écrit dans la base des vecteurs propres de ^{T sous}

la forme

L’autre condition aux limites (Cn ^{= 0, n =} 0) ^est prise ^en compte ^{en écrivant} que X 1 ^{s’écrit :}

ce qui permet ^de déterminer tous les états propres du système ^{et la structure de bandes.}

3. Fonction de Green d’un milieu semi-infini en

liaisons fortes.

Les éléments de la fonction de Green associée à l’hamiltonien satisfont le système d’équa-

tions aux différences similaires à celui des coefficients

de la fonction d’onde au second membre près :

où G¡iE, kjj) ^{est une} matrice carrée d’ordre M.

Cette équation peut ^être résolue de différentes manières :

a) ^{Par la} représentation spectrale ^à partir ^des

solutions C(") de l’équation homogène (5), ^corres- pondant à la valeur propre Ecx.

G est donné _{par :}

b) ^{Par la} méthode de traitement standard des fonctions de Green [5].

c) ^Par l’équation ^de Dyson, ^en multipliant (11)

par An- 1

On constate que G vérifie l’équation ^de Dyson :

où G ° est la fonction de Green d’une infinité de plans découplés,

B la matrice qui rétablit les liaisons électroniques

entre les plans.

440

L’équation (13) ^{est une} équation ^de Dyson, qu’on peut résoudre d’une infinité de manières : en effet

quelle que soit la décomposition de l’hamiltonien H

sous la forme H = Ho. + Hi, ^à partir de la connais-

sance de la fonction de Green G ° associée à H° ^{et la}

résolution de (13), ^on obtient G. Ainsi peut-on ^cons- truire notamment les fonctions de Green associées

respectivement ^{à un film, à un milieu} semi-infini ou au

milieu infini, ^en recollant les plans grâce ^{aux liaisons B.}

Les études courantes de milieu semi-infini se conten- tent de considérer soit ^un film borné, ^{soit un film}

,

périodiquement répété.

On peut également partir ^{en sens inverse,} c’est-à-dire couper les liaisons ^entre 2 plans ; ^{ainsi à} partir ^d’un

milieu infini, ^{obtenir un} milieu semi-infini non relaxé

[2-7]. ^A partir ^de l’équation (13) ^on peut considérer le cristal semi-infini relaxé électroniquement ^comme

constitué de 2 éléments : ^un film de N plans ^{où sont} pleinement prises ^en compte ^{dans les éléments de} l’hamiltonien associé les interactions coulombiennes de type dipolaire ^{et les} interactions coulombiennes et

d’échanges intraatomiques ^{et un} milieu semi-infini

non relaxé à contributions dipolaires constantes,

correspondant ^{au cas} où An ^et Bn ^{ont dans} (11) ^leurs

valeurs asymptotiques. ^{La méthode} proposée ^ici

est la seule permettant ^un recollement exact entre le film et le milieu semi-infini non relaxé.

G ° s’écrit alors sous forme de blocs :

La densité d’états intégrée ^de symétrie m ^{sur un site}

donné dans le plan ^{d’indice i} s’obtient directement à

partir des éléments de G :

que l’on peut aussi réécrire [8]

L’auto-cohérence est obtenue à partir ^des équations (15) par la résolution d’un système surdéterminé du

type : 1

No étant la densité électronique moyenne ^en volume, EF le niveau de Fermi.

La _coupure en un film de N plans ^est artificielle.

Physiquement ^{elle est} justifiée par le fait que les transferts de charge convergent ^{vers 0 à une} distance suffisante de la surface. A partir des résultats obtenus

pour ^ce nombre fini de plans, ^{on peut} s’affranchir de N

en étendant le film traité _par des méthodes de per.

turbation ou itératives.

La résolution des équations (16) fournit directement les éléments de l’hamiltonien, ^sans avoir à passer par l’intermédiaire des densités d’états, par intégration

sur la zone de Brillouin bidimensionnelle et sur les

énergies complexes (EF ⁺ iy), intégrale qui ^{est bien} convergente. Connaissant les éléments de l’hamilto nien, ^{on en déduit} par les résultats du 2, les états propres et la structure de bandes.

Enfin il faut _remarquer que ^{la méthode} proposée

ici s’étend à beaucoup ^{d’autres cas de} figures (interfaces cohérentes, alliages, ...).

4. Profil de densité électronique d’un cristal semi- infini C.S. avec surface (100). ^{Cas non} dégénéré.

Nous appliquons ^le formalisme décrit dans la section

précédente ^{au cas} simple d’un cristal semi-infini de structure cristalline cubique simple ^{avec surface} (100)

dans le cas d’une bande ^{« s ».} Les équations (16) ^se

résolvent de manière approchée ^en minimisant la

quantité :

où À est l’ordre d’itération. La résolution se fait en 2 temps : ^{d’abord sur un nombre limité de} plans pouf

le film (4 ^ou 5) ^{en utilisant} des méthodes de résolution basées sur ^les méthodes du simplexe ^{et du} gradient conjugué, puis ^{en étendant le film} par des méthodes itératives. La principale difficulté dans la résolution de ce problème ^{est la} susceptibilité ^très grande ^des Ni

Les résultats obtenus mettent en évidence le rôle crucial _que jouent les interactions coulombiennes de type dipolaire : ^{celles-ci sont à} longue portée ^et

limitent singulièrement ^les variations de charge (qui

sont de l’ordre du 1/1 ^oooe d’électron pour urie couche

remplie ^{à un} électron).

L’hypothèse de la couche dipolaire [2] ^{dans le cas}

où seul le niveau du plan ^{de surface} pouvait varier

est contestable. En effet une étude sur un nombre élevé de plans (30) ^{avec ce} formalisme [9] ^montre quç les oscillations sont à très longue portée (ainsi par

exemple pour N o = ^0,4, > AN14 ’ _AN, > 6 B% ^{avec des}

variations de charge ^{sur les} plans ^{4 et} 5, qui / peuvent être de l’ordre de celles sur les 2 premiers plans.

De plus l’écart à la neutralité globale, ^s’il présente

un minimum pour les 2 ^ou 3 premiers plans, ^{varie de} façon importante pour les plans ^d’indice supérieur.

Mais l’hypothèse de la couche dipolaire ^{semble dans}

le cas d’un traitement plus complet ^de l’hamiltonien mieux se vérifier : la variance introduite _par l’extension de la perturbation permet ^{de mieux} guérir ^{la coupure}

brutale introduite _par la création de la surface (Figs. 1

et 2).

Fig. ^1.

^La perturbation ^est étendue, par ^une méthode itérative

sur 10 plans pour le film (courbe ^{en traits} pleins), ^alors que pour la courbe en pointillés ^{le film est} limité à 4 plans. ^Le profil ^{de densité} électronique montre que l’extension de la perturbation ^{à un nombre} plus ^{élevé de} plans pour le film a pour effet de limiter davantage

les variations de charges. ^{U est} la valeur de l’intégrale ^{de Coulomb} intraatomique, ^a l’intégrale ^de dérive ; (U et a, ^en Ry), No ^{la densité} électronique moyenne ^en volume ; paramètre de réseau : 6 _{u.a. ;}

03B2

0,03 Ry.

[The perturbation is extended with an iterative method over a

10 planes ^film (in ^full line). For the dotted line the film has 4 planes.

The extension of the perturbation attenuates the charges variations.

U is the Coulomb integral, ^{a the} crystal ^field integral (both ⁱⁿ Ry units), No the electronic density ^{of the} bulk ; ^lattice parameter :

a = 6 a.u. ; 03B2 = 0.03 Ry. ]

Fig. ^2.

Profil de densité électronique auto-cohérente pour ^une bande à moitié remplie.

[Self-consistent electronic charge density ^{for a} half-filled band.]

L’allure du potentiel dipolaire ^est oscillante et il décroît très rapidement. Les valeurs sur le plan ^de

surface sont de l’ordre de 0, 1 ^{eV et} dépendent ^fortement

de la contribution de l’intégrale de dérive. L’expres-

sion du potentiel dipolaire ^a été testée sur 2 cas limites du résultat général ^de l’appendice ^{A :} charges ponc- tuelles et charges uniformément aplaties ^{dans les} plans parallèles ^{à la surface. On trouve une variation}

de l’ordre de 20 % ^{entre les 2 cas.}

On peut aussi étudier l’importance ^{de la} dégénéy

rescence en spin. ^Ce qui consiste à multiplier ^le potentiel dipolaire par l’ordre de dégénérescence.

Les résultats trouvés (Fig. 3) ^montrent que :

Ce qui ^confirme l’importance ^{du terme} dipolaire ^car

dans l’hypothèse ^des charges uniformes dans les plans parallèles ^{à la surface faite} pour ^ce calcul, ^le potentiel dipolaire ^{est linéaire en} AN;. Enfin le calcul a été fait

Fig. ^3.

Profil de densité électronique ^en pointillés ^{obtenu en}

faisant l’hypothèse ^{de la} dégénérescence ^{2 en} spin, hypothèse ^non

faite pour la courbe ^en traits pleins.

[Ni (dotted line) is obtained for a spin degeneracy of 2 for the dipolar potential. ^The Ni (full line) is obtained when such a degeneracy ^is

not assumed.]

en supposant ^le potentiel dipolaire ^{nul sur tous les}

sites. Les résultats obtenus (Fig. 4) ^ont peu de rapports

avec la réalité physique !

Fig. ^4.

Profil de densité électronique ^{si le} potentiel dipolaire ^est supposé ^nul partout.

[Electronic charge distribution for a zero dipolar potential.]

Les valeurs exactes des intégrales coulombiennes et d’échanges intraatomiques [10] jouent ^{un rôle}

mineur. La comparaison ^{des résultats} pour U ⁼ 0,1 Ry

et U ⁼ 0,3 Ry (qui ^est sensiblement de l’ordre de

grandeur ^{de la} largeur ^de bande) ^{montre une variation}

de charge ^{de l’ordre de 1-2} %. ^{Ceci est dû au} fait que le terme U. bNi ^est petit par rapport à la valeur du

potentiel dipolaire.

Par contre la valeur de la variation de l’intégrale ^de

dérive en surface joue ^un grand ^rôle pour le profil ^de

densité électronique (Figs. ^{5 et} 6). ^Ce qui n’est pas ^sans poser de problème. ^{En effet} l’hypothèse ^retenue içi, ^à savoir celles des liaisons coupées, ^est quelque peu

abrupte, ^{vu l’intense} champ électrique régnant ^en

surface et donc les distorsions des orbitales atomiques qui ^{en résultent.}

Les résultats obtenus mettent aussi en évidence que pour ^une densité électronique moyenne ^en volume

donnée, la variation du niveau électronique ^{est sensi-}

blement constante, quelles ^que soient les valeurs des intégrales ^{de dérive ou} intraatomiques.

Les niveaux d’énergie présentent ^des oscillations

et décroissent très vite. Il est à remarquer que la

variation du niveau du plan de surface a pratiquement

442

Fig. ^5.

Profil de densité électronique auto-cohérent avec a

0,03 Ry (en ^traits pleins). ^En pointillés profil de densité élec-

tronique obtenu si seul le niveau du plan ^{de surface est} ajusté.

[Self-consistent electronic charge distribution for ce

0.03 Ry (full line). In dotted line the electronic charge distribution if only

the surface plane ^{level is} fitted.]

la valeur du potentiel perturbateur ^en surface dans un

formalisme où seul le niveau du plan de surface est

ajustable [11]. ^{Par contre} les variations de charge qui

en découlent peuvent (Figs. ^{5 ou} 6) ^différer jusqu’à

un facteur 10.

Fig. ^6.

Profil de densité électronique ^en supposant l’intégrale

de dérive nulle (en ^traits pleins). ^En pointillés ^le profil ^{de densité} électronique si seul le niveau du plan de surface est ajusté.

(Electronic charge distribution for a

0 (full line). In dotted line electronic charge distribution if only ^{the surface} plane ^{level is} fitted.]

Le profil de densité électronique ^obtenu quand ^le

niveau de Fermi tombe sur une des singularités logarithmiques ^{de la densité} d’états du cristal infini est très peu régulier [9]. ^{Ceci est} dû vraisemblablement à la méthode utilisée pour les sommations ^sur { kll }

[12-13] (voir Fig. 7), qu’on peut espérer moins sensible pour le calcul de quantités intégrées.

Les électrons _s, complètement négligés ^{dans ce} travail, ^doivent jouer ^{un rôle} relativement important

pour le potentiel dipolaire ^et le travail de sortie.

En effet les valeurs obtenues avec un électron d seul sont de 2 ordres de grandeur au-dessous des valeurs généralement ^admises.

5. Conclusion.

Nous avons développé ^{un for-}

malisme permettant ^{de connaître} les états _propres et la structure de bandes d’un cristal semi-infini. Par

une adaptation originale des fonctions de Green nous

Fig. ^7.

Densité d’états d’un cristal infmi cubique simple (36 points

de Cunningham [12-13] pour { kll } ^dans 1/8e ^{de la zone} de Brillouin

en surface). ^{On notera} que ^cette méthode ne reproduit pas les

singularités de Van Hove. En pointillés le résultat exact [14-15].

[Density ^{of states of a s.c. infinite} crystal (36 Cunningham’s points [12-13] ^for { k jj ) ^{in the 1/8e of the S.B.Z.). We can see that the} singu- larity of Van Hove are not well described by this method. In dotted line the exact result [14-15].]

avons pu obtenir le profil auto-cohérent de densité

électronique d’un milieu semi-infini. L’application

à un cubique simple ^{avec surface} (100) ^{dans le cas}

d’une bande « s » permet ^{notamment de mettre en} évidence l’importance cruciale du potentiel dipolaire qui limite fortement les variations de charges (elles

sont de l’ordre de 1/1 ^oooe d’électron). ^Le calcul de la fonction de Green peut ^{aussi se} faire par ^une méthode

récursive, ^{mais cette} technique ^{ne bénéficie} pas de

l’avantage du recollement. Nous ^avons également

établi l’expression ^du potentiel dipolaire valable pour

un milieu périodique ^non uniforme dans les plans parallèles ^{à la} surface, ^et discuté divers cas limites.

Enfin, ^{cette méthode} peut être étendue aux interfaces

et aux alliages (dans ^{un modèle de} potentiel ^cohérent (CPA) généralisé ^{au cas des} surfaces).

APPENDICE A

Le potentiel dipolaire ^{à la} surface d’un métal.

Nous établissons dans cet appendice l’expression

du potentiel dipolaire ^{Y à} la surface d’un métal,’

tenant compte ^{de la} périodicité bidimensionnelle suivant les plans parallèles à la surface (r ^{|| = x, y).}

Soit v(r) l’énergie électrostatique d’un électron

n(r) ^la variation du nombre d’électrons ^au point ^r

induit _par la surface ; e n(r) ^est la variation de charge.

Le métal reste globalement ^{neutre :}

v(r) ^vérifie l’équation ^{de Poisson}

avec les conditions aux limites suivantes

Introduisons les transformées de Fourier bidimen- sionnelles :

S est l’aire d’une période bidimensionnelle élémentaire pour le potentiel ^{v et la} charge ^n.

Les composantes de Fourier du potentiel ^satisfont

donc :

La solution pour le ^{terme K} _il ⁼ 0 est celle bien connue

d’un milieu uniforme en x, y, n(o, z)

Pour les autres termes : elle est :

où GK|| ^{(z) est la} fonction de Green de (A. 5)

Donc, par transformation de Fourier inverse, (A. 4b)

L’expression ^{de v(r) est triviale, dans le cas de} charges

uniformes parallèlement ^{à la} surface; nous avons notamment choisi comme modèles

(charges aplaties ^{sur des} plans parallèles ^{à la} surface)

et des charges ponctuelles

Dans les liaisons fortes, ^la charge ^{s’écrit :}

L’expression ^du potentiel dipolaire ^{est soluble} analytiquement, ^dans l’hypothèse d’orbitales _gaus-

siennes, ^même anisotropes.

Nous laissons au lecteur le soin d’établir ces rela-

tions, et montrons le résultat d’un calcul correspondant (Fig. 8).

Fig. ^8.

^Potentiel dipolaire pour ^une surface cubique simple (100)

dans le modèle liaisons fortes avec orbitales gaussiennes : paramètre

de réseau : a = 1, distribution de charge n(p3) : n(0) = 0,1 ; n(l) = - 0, 1,

0 ailleurs. _oel

_OC2

_03B13

4. La composante vl (K||

^{0) est} représentée ^{sur la} figure ^b. Les corrections structurales (K |l # ⁰⁾

sont petites, ^{et sont} représentées ^sur (c) ^{sur trois} lignes perpendi-

culaires à la surface aux points ^{x, y}

(0, 0), (0,5, 0,5), (0,5, 0) (Fig. a).

--00

[Dipolar potential ^{for s.c.} (100) face, ^{in the} gaussian orbital model lattice parameter : ^a

1, charge distribution n(P3) : n(0)

^{0.1 1} n(1) = - 0.1, 0 elsewhere. al

a2

03B13

4. The K Il

0 compo-

nent vl is represented ^on figure b. The structural corrections (K 11 * ^0).

V2 ^are small, ^and represented ^{on c} for three rods perpendicular ^tc

the surface at points (x, y) = (0, 0), (0.5, 0.5), (0.5, 0) (a). ^{The limil}

Il.

L’élément de matrice Vd(À) ^{dans le} texte est :

Nous l’avons approximé par la valeur du potentiel

sur un plan dans le modèle de la charge répartie ^sur

les plans, ^{ou la valeur en un} point du réseau dans le

modèle des charges ponctuelles.

444

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