Ing. MACS 1/L3 MIM Analyse Numérique I
Sup'Galilée Année 2016-2017
Partiel du 6 juin 2017
durée : 3h00.
Sans documents et sans appareils électroniques
Le barême est donné à titre indicatif
Exercice 1
(7 points)Q. 1 1. Soit pykqkPN une suite de réels. Donner précisement la dénition de la convergence versy PRavec un ordrepě1 de la suitepykqkPN.
2. Ecrire précisement le théorème du point xe dans R(hypothèse surΦmais pas sur sa dérivée). ˝ SoitΦ :ra, bs ÝÑ ra, bs une application de classeC1.On déni la suitepxkqkPN par
xk`1“Φpxkq, @kPN (1)
avecx0P ra, bsdonné. On suppose qu'il existe0ďLă1 tel que@xP ra, bs, |Φ1pxq| ďL.
Q. 2 1. Montrer que la fonction admet un unique point xeαP ra, bs.
2. Montrer que la suitepxkqkPN est bien déni.
3. Montrer que la suitepxkqkPN converge versαavec un order 1 au moins.
4. Montrer que si pour tout kPN, xk ‰αalors
kÑ`8lim
xk`1´α
xk´α “Φ1pαq
˝ On suppose ensuite queΦ1pαq “0 etDδą0,DM PR`˚ tel que pour toutxP rα´δ, α`δson ai|Φ2pxq| ďM.
Q. 3 1. Montrer que
@x0P rα´δ, α`δs, |xk´α| ď 2 M
ˆ1
2M|x0´α|
˙2k
2. Quel est l'ordre de convergence dans ce cas.
3. A quelle condition a-t'on
|xk´α| ď 2 M10´2k.
˝
Q. 4 (algo) Ecrire la fonction algorithmique PtFixe retournant une approximation du point xeα deΦ(s'il existe) en utilisant la suitepxkq.
Q. 1 1. Directement extrait du polycopié:
Denition 0.1
On dit qu'une suite pxkqkPN , obtenue par une méthode numérique, converge vers α avec un ordre pě1 si
Dk0PN, DCą0 tels que |xk`1´α|
|xk´α|p ďC, @kěk0. (2) oùCă1 sip“1.
2. Directement extrait du polycopié:
Theorem 0.2: Théorème du point xe dans R
Soientra, bsun intervalle non vide deRetΦune application continue dera, bsdans lui-même. Alors, il existe au moins un pointαP ra, bs vériantΦpαq “α.Le point αest appelé point xe de la fonctionΦ.
De plus, siΦest contractante (lipschitzienne de rapportLP r0,1r), c'est à dire
DLă1 t.q.|Φpxq ´Φpyq| ďL|x´y| @px, yq P ra, bs2, (3) alorsΦadmet un unique point xeαP ra, bs,la suite dénie en (1) converge versαavec un ordre 1pour toute donnée initialexp0q dansra, bs,et l'on a les deux estimations suivantes :
|xk´α| ď Lk|x0´α|, @kě0, (4)
|xk´α| ď L
1´L|xk´xk´1|, @kě0, (5) Q. 2 1. Comme Φ est continue sur ra, bs et vérie Φpra, bsq Ă ra, bs, le théoréme 0.2 (du point xe) as-
sure l'existence d'un point xe. Pour l'unicité, on note α1 P ra, bs et α2 P ra, bs, deux points xes de Φ. On a donc Φpα1q “ α1 et Φpα2q “ α2. D'après le théorème des accroissements nis il existe ξPsminpα1, α2q,maxpα1, α2qrĂsa, brtel que
Φpα1q ´Φpα2q “ pα1´α2qΦ1pξq.
Comme|Φ1pξq| ă1,on obtientα1´α2“0, i.e. α1“α2.
2. on a immediatement@kPN, xkP ra, bscarx0P ra, bset Φpra, bsq Ă ra, bs.
3. Le résultat découle du théorème des accroissements. En eet, pour toutką0,il existeξk Psminpα, xk´1q,maxpα, xk´1q Ă sa, brtel que
Φpxk´1q ´Φpαq “ pxk´1´αqΦ1pξkq. (6) On obtient alors
|xk´α| “ |Φpxk´1q ´Φpαq| ďL|xk´1´α|
et donc par récurrence
|xk´α| ďLk|x0´α|.
CommeLă1, on obtient
lim
kÑ`8|xk´α| “0.
4. Comme par hypothèsexk´1‰α,l'équation (6) s'écrit Φpxk´1q ´Φpαq
xk´1´α “Φ1pξkq
La fonction Φ1 étant continue et comme limkÑ`8ξk “α, on obtientlimkÑ`8Φ1pξkq “Φpαq.
Q. 3 1. D'après la formule de Taylor, on aDηPsminpα, xq,maxpα, xqrtel que Φpxq “Φpαq ` px´aqΦ1pαq `px´αq2
2! Φ2pηq
“α`1
2Φ2pηqpx´αq2.
On en déduit que |Φpxq ´α| ď M2|x´α|2 ce qui s'écrit encore M2|Φpxq ´α| ď pM2|x´α|q2. Or si x0P rα´δ, α`δs,alorsxk´1P rα´δ, α`δs,@kPN˚.On a alors
M
2 |Φpxk´1q ´α| “ M
2 |xk´α| ď pM
2 |xk´1´α|q2 et donc par récurrence
M
2 |xk´α| ď pM
2 |x0´α|q2k.
2. On a
|xk´α| ď 2 MpM
2 |xk´1´α|q2 c'est à dire
|xk´α|
|xk´1´α|2 ďM 2 et donc la méthode est d'ordre2.
3. En supposant de plus que|x0´α| ď 5M1 ,on obtient immédiatement le résultat.
Q. 4 Directement extrait du polycopié:
Algorithme 1 Méthode de point xe : version Tantque avec critères d'arrêt Données :
Φ : Φ :RÝÑR,
x0 : donnée initiale, x0PR, tol : la tolérence,tolPR`,
kmax : nombre maximum d'itérations,kmaxPN˚ Résultat :
αtol : un réel tel que|Φpαtolq ´αtol| ďtol (ou |Φpα|αtoltolq´α|`1tol| ďtol)
1: FonctionαtolÐPtFixe (Φ, x0,tol,kmax)
2: kÐ0, αtolÐ H
3: xÐx0,fxÐΦpx0q,
4: errÐ |fx´x| Źou |fx´x||x|`1
5: Tantque errątoletkďkmaxfaire
6: kÐk`1
7: xÐfx
8: fxÐΦpxq
9: errÐ |fx´x| Źou |fx´x||x|`1
10: Fin Tantque
11: Sierrďtolalors ŹConvergence
12: αtolÐx
13: Fin Si
14: Fin Fonction
Exercice 2
(7 points)Q. 1 Donner précisement les dénitions de:
1. matrice triangulaire supérieure, 2. matrice unitaire,
3. élément propre d'une matrice, 4. base orthonormée de Cn.
SoitAPMn,npCqune matrice etpλ, uuuqun élément propre deAavec}uuu}2“1.
Q. 2 1. En s'aidant de la base canonique teee1, . . . , eeenu, construire une base orthonormée txxx1, . . . , xxxnu telle quexxx1“uuu.
2. Ecrire la fonction algorithmique BaseOrtho permettant de construire la base orthonorméetxxx1, . . . , xxxnu à partir d'un vecteuruuudonné. Les vecteursxxxk seront stockés dans une matrice deMn,npCq,le vecteurxxxk
étant en colonne k de la matrice. On pourra pour celà utiliser les fonctions prédéniessÐdotpuuu, vvv qui retourne le produit scalaire de deux vecteurs),sÐabspxqqui retourne le module d'un nombre complexe,
... ˝
Notons parPla matrice deMn,npCqdénie par
P“
¨
˝ xxx1 . . . xxxn
˛
‚
et parBla matrice dénie parB“P˚AP.
Q. 3 1. Calculer la matriceP˚P. Que peut-on en conclure?
2. Exprimer les coecients de la matriceBen fonction de la matrice Aet des vecteursxxxi, iP v1, nw.
B“P˚AP.
3. En déduire que la première colonne de Bestpλ,0, . . . ,0qt. ˝
Q. 4 Montrer par récurrence sur l'ordre de la matrice que la matriceA s'écrit A“UTU˚
oùUest une matrice unitaire etTune matrice triangulaire supérieure. ˝ Q. 5 En supposant A inversible et la décomposition A “UTU˚ connue, expliquer comment résoudre "simple-
ment" le système linéaireAxxx“bbb. ˝
Q. 1 1. Directement extrait du polycopié:
2. Une matriceAest unitaire si elle est carrée et si AA˚“A˚A“I, 3. Directement extrait du polycopié:
Denition 0.3
SoitAPMnpKq. On dit queλPCest valeur propre deAs'il existeuuuPCn non nul tel que
Auuu“λuuu. (1)
Le vecteuruuuest appelé vecteur propre associé à la valeur propreλ.
Le couplepλ, uuuqest appelé élément propre deA.
4. Directement extrait du polycopié:
Une base deCnest une familletvvv1, . . . , vvvnudenvecteurs deCnlinéairement indépendants (ils engendrent doncCn). Cette base est orthonormée si
xvvvi, vvvjy “δij, @pi, jq P v1, nw2 oùδij est le symbole de Kronecker : δij “
"
1 sii“j, 0 sii‰j.
Q. 2 1. La première chose à faire est de construire une base contenant uuu à partir de la base canonique teee1, . . . , eeenu. Comme le vecteur propreuuuest non nul, il existe j P v1, nw tel que xuuu, eeejy ‰ 0. La famille
tuuu, eee1, . . . , eeej´1, eeej`1, . . . , eeenuforme alors une base deCncaruuun'est pas combinaison linéaire desteee1, . . . , eeej´1, eeej`1, . . . , eeenu.
On notetzzz1, . . . , zzznula base dont le premier élément estzzz1“uuu:
tzzz1, . . . , zzznu “ tuuu, eee1, . . . , eeej´1, eeej`1, . . . , eeenu.
On peut ensuite utiliser le procédé de Gram-Schmidt, rappelé en Proposition ??, pour construire une base orthonormée à partir de cette base.
On calcule successivement les vecteursxxxi à partir de la base tzzz1, . . . , zzznuen construisant un vecteurwwwi orthogonal aux vecteursxxx1, . . . , xxxi´1.
w w
wi “zzzi´
i´1
ÿ
k“1
xxxxk, zzziyxxxk puis on obtient le vecteurxxxi en normalisant
xxxi“ wwwi
}wwwi}
2. Nous allons tout d'abord rechercher un indiceimaxtel que|uimax| “maxiPv1,nw|ui|.Ensuite, nous constru- isons la matriceZPMn,npCqtelle que la colonneideZcontienne le vecteurzzzi avec
tzzz1, . . . , zzznu “ tuuu, eee1, . . . , eeeimax´1, eeeimax`1, . . . , eeenu.
Ensuite, à l'aide des formules précédentes nous calculons la matricePPMn,npCqtelle que la colonneide Zcontienne le vecteurxxxi. Voici donc l'algorithme:
Algorithme 2
Données : uuu : un vecteur deCn tel que}uuu}2 “1.
Résultat : P : matricenˆndont les vecteurs colonnes
forment une base orthonormée deCn et telle que la première colonne dePsoituuu.
1: FonctionPÐBaseOrtho (uuu)
2: umaxÐ0, imaxÐ0 ŹOn calcule imax
3: PouriÐ1ànfaire
4: Siumaxďabspuuupiqq alors
5: umaxÐabspuuupiqq, imaxÐi
6: Fin Si
7: Fin Pour
8: ZÐzerospn, nq ŹOn calculeZ“ pzzz1, . . . , zzznq
9: Zp:,1q Ðuuu
10: iÐ2
11: PourkÐ1àimax´1faire
12: Zpk, iq Ð1
13: iÐi`1
14: Fin Pour
15: PourkÐimax`1ànfaire
16: Zpk, iq Ð1
17: iÐi`1
18: Fin Pour
19: PÐzerospn, nq ŹOn calcule P“ pxxx1, . . . , xxxnq
20: PouriÐ1ànfaire
21: Pp:, iq ÐZp:, iq
22: PourkÐ1ài´1faire
23: Pp:, iq ÐPp:, iq ´dotpPp:, kq,Zp:, iqq ˚Pp:, kq
24: Fin Pour
25: Pp:, iq ÐPp:, iq{sqrtpdotpPp:, iq,Pp:, iqqq
26: Fin Pour
27: Fin Fonction
Q. 3 1. NotonsS“P˚Pla matrice deMn,npCq.On a pour toutpi, jq PP v1, nw2 Si,j“ xPp:, iq,Pp:, jqy “ xxxxi, xxxjy “δi,j.
On a donc
P˚P“I et la matricePest unitaire.
2. En conservant l'écriture colonne de la matricePon obtient
B“
¨
˚
˚
˚
˚
˝
xxx˚1 xxx˚2 ...
xxx˚n
˛
‹
‹
‹
‹
‚ A
¨
˝ xxx111 xxx2 . . . xxxn
˛
‚“
¨
˚
˚
˚
˚
˝
xxx˚1 xxx˚2 ...
xxx˚n
˛
‹
‹
‹
‹
‚
¨
˝ Axxx111 Axxx2 . . . Axxxn
˛
‚
Ce qui donne
B“
¨
˚
˚
˚
˝
xxx˚1Axxx111 xxx111˚Axxx2 . . . xxx111˚Axxxn
xxx˚2Axxx111 xxx˚2Axxx2 . . . xxx˚2Axxxn
... ... ...
xxx˚nAxxx111 xxx˚nAxxx2 . . . xxx˚nAxxxn
˛
‹
‹
‹
‚
On a donc
Bi,j “xxx˚iAxxxjjj, @pi, jq P v1, nw2 .
3. On aAuuu“λuuu,}uuu} “1,la basetxxx1, . . . , xxxnuest orthonormée etxxx1“uuu.on obtient alors
B“
¨
˚
˚
˚
˝
λuuu˚uuu uuu˚Axxx2 . . . uuu˚Axxxn
λxxx˚2uuu xxx˚2Axxx2 . . . xxx˚2Axxxn
... ... ...
λxxx˚nuuu xxx˚nAxxx2 . . . xxx˚nAxxxn
˛
‹
‹
‹
‚
“
¨
˚
˚
˚
˝
λ uuu˚Axxx2 . . . uuu˚Axxxn
0 xxx˚2Axxx2 . . . xxx˚2Axxxn
... ... ...
0 xxx˚nAxxx2 . . . xxx˚nAxxxn
˛
‹
‹
‹
‚
Q. 4 On veut démontrer, par récurrence faible, la proposition suivante pourně2
pPnq @APMnpCq, DUPMnpCqunitaire, DTPMnpCqtriangulaire supérieure, telles queA“UTU˚. Initialisation : Montrons quepP2qest vérié.
SoitA2PM2pCq.Elle admet au moins un élément proprepλ, uuuq(voir Proposition ?? par ex.) avec}uuu} “1.
On peut donc appliquer le résultat de la question précédente : il existe une matrice unitaireP2PM2pCq telle que la matrice B2 “ P2A2P˚2 ait comme premier vecteur colonne pλ,0qt. La matrice B2 est donc triangulaire supérieure et commeP2 est unitaire on en déduit
A2“P˚2B2P2.
On pose U2 “ P˚2 matrice unitaire et T2 “ B2 matrice triangulaire supérieure pour conclure que la propostion pP2qest vraie.
Hérédité : Supposons quepPn´1qsoit vériée. Montrons quepPnqest vraie.
Soit An P MnpCq. Elle admet au moins un élément propre pλ, uuuq (voir Proposition ?? par ex.) avec }uuu} “ 1. On peut donc appliquer le résultat de la question précédente : il existe une matrice unitaire PnPMnpCqtelle que la matriceBn“PnAnP˚n s'écrivent
Bn “
¨
˚
˚
˚
˝
λ ccc˚n´1 0
... An´1
0
˛
‹
‹
‹
‚
oùcccn´1 P Mn´1pCq et An´1 P Mn´1pCq. Par hypothèse de récurrence, DUn´1 P Mn´1pCq unitaire et Tn´1PMn´1pCqtriangulaire supérieure telles que
An´1“Un´1Tn´1U˚n´1
ou encore
Tn´1“U˚n´1An´1Un´1. SoitQnPMnpCqla matrice dénie par
Qn“
¨
˚
˚
˚
˝
1 0 . . . 0 0
... Un´1
0
˛
‹
‹
‹
‚ .
La matriceQn est unitaire. En eet on a
QnQ˚n “
¨
˚
˚
˚
˝
1 0 . . . 0 0
... Un´1 0
˛
‹
‹
‹
‚
¨
˚
˚
˚
˝
1 0 . . . 0 0
... U˚n´1 0
˛
‹
‹
‹
‚
“
¨
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˝
1 0 . . . 0
0
... Un´1U˚n´1 looooomooooon
“In´1
0
˛
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‚
“In.
On noteTn la matrice dénie parTn“Q˚nBnQn.On a alors
Tn“
¨
˚
˚
˚
˝
1 0 . . . 0 0
... U˚n´1 0
˛
‹
‹
‹
‚
¨
˚
˚
˚
˝
λ ccc˚n´1 0
... An´1
0
˛
‹
‹
‹
‚
¨
˚
˚
˚
˝
1 0 . . . 0 0
... Un´1
0
˛
‹
‹
‹
‚
“
¨
˚
˚
˚
˚
˝
λ ccc˚n´1 0
... U˚n´1An´1
0
˛
‹
‹
‹
‹
‚
¨
˚
˚
˚
˝
1 0 . . . 0 0
... Un´1
0
˛
‹
‹
‹
‚
“
¨
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˝
λ ccc˚n´1U˚n´1 0
... U˚n´1An´1Un´1
loooooooomoooooooon
“Tn´1
“ 0
˛
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‚
La matriceTn est donc triangulaire supérieure et on a par dénition deBn Tn“Q˚nPnAnP˚nQn.
On noteUn“P˚nQn.Cette matrice est unitaire car les matricesQn et Pn le sont. En eet, on a UnU˚n“P˚nQnpP˚nQnq˚“P˚n QnQ˚n
loomoon
“In
Pn“P˚nPn “In.
On a Tn “ U˚nAnUn et en multipliant cette équation à gauche par Un et à droite par U˚n on obtient l'équation équivalenteAn“UnTnU˚n.La propriétépPnqest donc vériée. Ce qui achève la démonstration.
Q. 5 RésoudreAxxx“bbbest équivalent à résoudre
UTU˚xxx“bbb. (2)
CommeUest unitaire, on a UU˚ “Iet U˚ inversible. Donc en multipliant (2) parU˚ on obtient le système équivalent
U˚U loomoon
“I
TU˚xxx“U˚bbb ðñ TU˚xxx“U˚bbb.
On poseyyy“U˚xxx.Le système précédant se résoud en deux étapes
1. on chercheyyy solution deTyyy“U˚bbb. CommeUest unitaire on adetpUqdetpU˚q “detpIq “1 et donc detpAq “detpUTU˚q “detpUqdetpTqdetpU˚q
“detpTq
OrAinversible équivalent àdetpAq ‰0et donc la matriceTest inversible. La matriceTétant triangulaire inférieure on peut résoudre facilement le système par la méthode de remontée.
2. une foisyyy déterminé, on résoudU˚xxx“yyy.CommeUest unitaire, on obtient directementxxx“Uyyy.
Exercice 3
(7 points)SoientnPN˚ et n`1couples de R2,pxi, yiqiPv0,nw,tels que lesxi sont distincts deux à deux. On note Q. 1 1. Soit iP v0, nw. Montrer qu'il existe un unique polynômeLi de degrénvériant
Lipxjq “δij, @jP v0, nw. (1)
2. Montrer que lespLiqiPv0,nw forment une base deRnrXs(espace vectoriel des polynômes à coecients réels de degré inférieur ou égal à n).
On déni le polynômePn par
Pnpxq “
n
ÿ
i“0
yiLipxq. (2)
Q. 2 Montrer que polynômePn est l'unique polynôme de degré au plusnvériantPnpxiq “yi,@iP v1, nw.
Soitπn le polynôme de degrén`1déni par
πnpxq “
n
ź
i“0
px´xiq. (3)
Q. 3 Soit f PCn`1pra;bs;Rq. On suppose que @iP v0, nw, xi P ra;bs et yi “fpxiq. Montrer que, @xP ra;bs, il existeξx appartenant au plus petit intervalle fermé contenantx, x0, . . . , xn tel que
fpxq ´Pnpxq “ πnpxq
pn`1q!fpn`1qpξxq. (4)
Indication : Etudier les zéros de la fonctionFptq “fptq ´Pnptq ´fpxq ´Pnpxq πnpxq πnptq.
Q. 4 (algo) Ecrire la fonction algorithmiqueLagrange retournant la valeur de Pnpxq
Q. 1 1. De (1), on déduit que lesnpoints distincts xj pour jP v0, nwztiusont lesnzéros du polynômeLi
de degrén: il s'écrit donc sous la forme
Lipxq “C
n
ź
j“0 j‰i
px´xjq avecCPR
Pour déterminer la constante C,on utilise (1) avecj“i
Lipxiq “1“C
n
ź
j“0 j‰i
pxi´xjq
Les pointsxi sont distincts deux à deux, on aśn j“0 j‰i
pxi´xjq ‰0et donc
C“ 1
śn j“0 j‰i
pxi´xjq d'où
Lipxq “
n
ź
j“0 j‰i
x´xj xi´xj
, @iP v0, nw. (5)
Il reste à démontrer l'unicité. On suppose qu'il existe Li et Ui deux polynômes de RnrXs vériant (1).
Alors Qi “ Li´Ui est polynôme de degré n (au plus) admettant n`1 zéros distincts, c'est donc le polynôme nul et on a nécessairementLi“Ui.
2. On sait quedimRnrXs “n`1.Pour que lestLiuiPv0,nwforment une base deRnrXsil sut de démontrer qu'ils sont linéairement indépendants.
Soitλ0,¨ ¨ ¨, λn n`1scalaires. Montrons pour celà que
n
ÿ
i“1
λiLi“0 ùñ λi“0, @iP v0, nw
Noter que la première égalité est dans l'espace vectorielRnrXset donc le0est pris au sens polynôme nul.
On a n
ÿ
i“1
λiLi “0 ðñ
n
ÿ
i“1
λiLipxq “0, @xPR SoitkP v0, nw.En choisissantx“xk,on a par (1)řn
i“1λiLipxkq “λk et donc
n
ÿ
i“1
λiLi“0 ùñ
n
ÿ
i“1
λiLipxkq “0, @kP v0, nw ðñ λk“0, @kP v0, nw.
LestLiuiPv0,nwsont donc linéairement indépendants.
Q. 2 Par constructionPnPRnrXset
Pnpxiq “yi, @iP v0, nw (6)
et c'est l'unique polynôme de degré au plus n vériant (6) (car la décomposition dans la base tLiuiPv0,nw est unique). L'unicité peut aussi se démontrer en supposant qu'il existe deux polynômes Q1 et Q2 de degré au plusn vériant (6). Alors le polynômeR“def“Q1´Q2 de degré au plusnadmetn`1 racines simples : lesxi
@iP v0, nw. Le polynômeRest donc le polynôme nul et necessairementQ1“Q2. Q. 3 S'il existeiP v0, nwtel quex“xi alors l'équation (4) est immédiatement vériée.
SoitxP ra, bs distinct de tous les xi. Comme f PCn`1pra;bs;Rq, Pn PRnrXs et πn PRn`1rXs, on en déduit que la fonction F est dans Cn`1pra;bs;Rq. La fonction F admet aussi n`2 zéros : x, x0,¨ ¨ ¨, xn. On note ξx,1r0s,¨ ¨ ¨, ξr0sx,n`2 cesn`2zéros ordonnésξx,1r0s ă ¨ ¨ ¨ ăξx,n`2r0s .La fonctionF étant continue surra, bset dérivable sursa, br,le théorème de Rolle dit qu'entre deux zéros consécutifs deF,il existe au moins un zéro deF1“Fp1q. Plus précisemment on a
@iP v1, n`1w, Dξx,ir1sPsξx,ir0s, ξr0sx,i`1r tels que Fp1qpξr1sx,iq “0
et on en déduit que la fonctionFp1qadmetn`1zérosξr1sx,1,¨ ¨ ¨ , ξx,n`1r1s et l'on aξx,1r0s ăξx,1r1s ă ¨ ¨ ¨ ăξr1sx,n`1ăξx,n`2r0s . Il faut noter la dépendance enxdes zéros de F1 d'où la notation un peu "lourde".
Montrons par récurrence nie que pPkqest vraie pour toutkP v1, n`1w
pPkq : Dξx,irks, iP v1, n`2´kw, ξr0sx,1ăξx,1rks ă ¨ ¨ ¨ ăξx,n`2´krks ăξr0sx,n`2 tels que Fpkqpξx,irksq “0 Initialisation : Pourk“1,la preuve a déjà été faites.
Hérédité : Soit1ăk´1ăn`1,on supposepPk´1qvériée. La fonctionFpk´1qétant continue sur ra, bset dérivable sursa, br,le théorème de Rolle dit qu'entre deux zéros consécutifs de Fpk´1q,il existe au moins un zéro deFpkq.Par hypothèseFpk´1qadmetn`2´ pk´1qzéros vériant
ξr0sx,1ăξx,1rk´1să ¨ ¨ ¨ ăξrk´1sx,n`2´pk´1qăξx,n`2r0s
La fonctionFpk´1qest continue surra, bset dérivable sursa, brpuisqueF PCn`1pra;bs;Rq.Par application du théorème de Rolle, entre deux zéros deFpk´1q,il existe au moins un zéro deFpkq.Plus précisemment pour toutiP v1, n`2´kwon a
Dξx,irksPsξx,irk´1s, ξx,i`1rk´1sr, Fpkqpξx,irksq “0
De plus, par construction,ξx,1r0s ăξx,1rksă ¨ ¨ ¨ ăξx,n`2´krks ăξx,n`2r0s .et doncpPkqest vraie.
Aveck“n`1 on obtient
pPn`1q : Dξx,1rn`1sPsξx,1r0s, ξr0sx,n`2r tel que Fpn`1qpξx,1rn`1sq “0
et donc
0“Fpn`1qpξrn`1sx,1 q “fpn`1qpξx,1rn`1sq ´Ppn`1qn pξx,1rn`1sq ´fpxq ´Pnpxq
πnpxq πnpn`1qpξrn`1sx,1 q
CommePnPRnrXs,on a Ppn`1qn “0.De plusπnPRn`1rXs,et comme πnpxq “xn`1`QpxqavecQPRnrXs (i.e. son monône de puissancen`1 à pour coecient1) on obtientπpn`1qn pxq “ pn`1q!On a alors
fpn`1qpξx,1rn`1sq “ fpxq ´Pnpxq
πnpxq pn`1q!
Q. 4 Directement extrait du polycopié:
Algorithme 3 Fonction Lagrange permettant de calculer le polynôme d'interpolation de LagrangePnpxq
Données : XXX : vecteur/tableau de Rn`1, Xpiq “xi´1@iP v1, n`1wet Xpiq ‰Xpjqpouri‰j,
YYY : vecteur/tableau de Rn`1, Ypiq “yi´1@iP v1, n`1w, t : un réel.
Résultat : y : le réely“Pnptq.
1: FonctionyÐLagrange(t, X, Y )
2: yÐ0
3: PouriÐ1àn`1faire
4: LÐ1
5: PourjÐ1 àn`1,pj„“iqfaire
6: LÐL˚ pt´Xpjqq{pXpiq ´Xpjqq
7: Fin Pour
8: yÐy`Ypiq ˚L
9: Fin Pour
10: returny
11: Fin Fonction
